Equazioni di secondo grado

- Prof. R. Fantini1

Nota storicaPer secoli l’algebra (dall’arabo al-Jabr che significa “aggiustamento” il lavoro tipico dei medici sulle ossa fratturate dei pazienti) ha cercato metodi meccanici (algoritmi) per risolvere le equazioni.In questa ricerca si sono distinti il matematico arabo Al-Khwarizmi (IX secolo d.C.) che ha trovato la formula risolutiva delle eq. di 2° grado e gli italiani: Scipione del Ferro, Nicolò Tartaglia, Gerolamo Cardano (dal 1500 al 1570), per quelle di 3° grado e Ludovico Ferrari per quelle di 4°.

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Problemi antichi1700 a. C. : BabiloniaHo sommato 7 volte il lato di un quadrato con 11 volte la sua area e ho trovato 6.25. Quanto è lungo il lato?

Moltiplica 11 per 6.25 e trovi 68.75 .Dimezza 7 e moltiplica il risultato per se stesso. Sommalo con 68.75 e trovi 81, la cui radice quadrata è 9. Sottrai 7/2 da 9 e hai 5.5. Per che cosa moltiplico 11 per avere 5.5? Per 0.5: QUESTO E’ IL LATO !

Soluzione

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Equazioni: richiami.Un’equazione è una uguaglianza fra due espressioni letterali che risulta VERA (soddisfatta) per particolari valori assunti dalle lettere.

Es. 43 4 0 3

x x

0ax b 0a Eq. di 1° grado

Sol. bxa

43 4 03

Verifica:

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Equazioni di secondo grado

La più generale equazione di 2° grado si può scrivere:

Es. 23 4 6 0x x

2 0ax bx c 0a

- Prof. R. Fantini5

Equazione PURAConsideriamo l’equazione di 2° grado con b=0b=0:

2 0 ax c 1,20

0

c cxa ac impossibilea

Es. 21,216 0 16 4x x

L’equazione pura, se non è impossibile, ha due radici reali e opposte.

2 cxa

21,281 0 81 impossibile!x x

- Prof. R. Fantini6

Equazione SPURIAConsideriamo l’equazione di 2° grado con c=0c=0:

Es.

2 0 ( ) 0ax bx x ax b Per la legge di annullamento del prodotto, questa equazione può essere soddisfatta annullando uno o l’altro fattore.

1 2bx 0 xa

Si ha dunque:

L’equazione spuria ha sempre due radici reali di cui una nulla.

21 2

83x 8x 0 x 3x 8 0 x 0 x3

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Equazione COMPLETA2 0ax bx c

0444 22 acabxxa

•Moltiplicando ambo i membri per 4a si ottiene:

•Aggiungiamo ora b^2 e sottraiamo 4ac ad ambo i membri dell’equazione:

acbbabxxa 444 2222 •Il primo membro è il quadrato di un binomio

2 2 2

22

1,2

(2 ) 4 (2 ) 4

2 4 42

ax b b ac ax b b ac

ax b b ac b b acxa

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EsempiRisolvere le seguenti equazioni:

22 9 5 0x x a=2; b=9; c=-5

2 1

1,2

2

9 121 59 81 4 2 ( 5)4 42 4 9 121 1

4 2

xb b acx

ax

23 2 0x x a=3; b=-1; c=-2

2 1

1,2

2

1 25 21 1 4 3 ( 2)4 6 3

2 6 1 25 16

xb b acx

ax

Le soluzioni (radici) sono

reali e distinte.

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Un ultimo esempioRisolvere la seguente equazione:

22 3 0x x a=2; b=-1; c=3

2

1,24 1 1 4 2 3 1 23 ...???

2 4 4b b acx

a

E’ di fondamentale importanza stabilire il segno della quantità:

2 4b ac

Non esistono soluzioni reali !!

- Prof. R. Fantini10

E’ l’espressione che nella formula risolutiva figura sotto il segno di radice si chiama discriminante dell’ equazione e si indica con la lettera DELTA

> 0

= 0

< 0

SI?

SI?

SI?Vai al

diagramma di flusso

Discriminante DELTA2b 4ac


Il radicale che compare nella formula risolutiva, è un numero reale e l’equazione data ha allora due soluzioni reali e distinte

∆ > 0

Vediamolo graficamente con Excel

L’equazione ammette due radici reali e distinte.


0x y-3 2-2 -2-1 -40 -41 -22 23 8

y

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x2 + x - 4

x

y

∆∆>0>0

Soluzioni reali e distinte

Vai al ∆

1x 2x

Delta = 1+16=17

2 4 0x x


La formula risolutiva dà per x 2 valori reali coincidenti

1,20

2bxa

abxx

221

∆ = 0


L’equazione ammette due radici reali e coincidentiEs. 2 6 9 0x x

2b 4ac 36 4 9 0 1,2

6 0 32

x


0x y-3 1-2 0-1 10 41 92 163 25

y

0

5

10

15

20

25

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x2 + 4x + 4

Soluzioni coincidenti

∆∆=0=0

Vai al ∆

1 2x x

Delta = 16-16=0

2 4 4 0x x


∆ < 0


L’equazione non ha soluzioni reali

In questo caso il radicale non ha valore nel campo dei numeri reali

e l’equazione è impossibile in R


∆∆<0<0

x y-3 11-2 6 0-1 30 21 32 63 11

11

6

32

3

6

11

0

2

4

6

8

10

12

-4 -2 0 2 4

x

y = x2+ 2

Nessuna Soluzione !

Vai al ∆

Delta = 0-8=-8

2 2 0x


a, b, c

Si calcoli

L’equazione ha due

radici reali e distinte

0

0

< 0 l’equazione è impossibile in R

2

1

2

2

42

42

b b acxa

b b acxa

1 2 2bx xa

L’equazione

ha due radici reali

e coincidenti

si

sino

no

Torna al delta

Riepilogando 1


Esercizio 2Risolvere le seguenti equazioni:2 4 0x Equazione PURA

(b=0)2

1,24 4 2x x

2 6 0x x Equazione SPURIA (c=0)

1 2( 6) 0 0; 6x x x x

Legge dell’annullamento del prodotto

21,2

1 22 1 0 2 2

x x


Esercizio 3Risolvere la seguente equazione:

22 5 3 0x x Equazione COMPLETA

2 4 25 24 49 0b ac

21

1,2

2

14 5 49

22 4 3

xb b acxa x


Se b è un numero pari con opportune semplificazioni si ottiene la seguente formula

risolutiva:

2

1,22 2b b ac

xa

Es. 21,2

2 4 33 4 1 0 3

x x x

1 21 , 13

x x

Formula ridotta

2

1,2

42

2

bb ac

xa

2

1,2

22

2

bb acx

a

4


Esercizio 4Risolvere la seguente equazione:

29 6 8 0x x Equazione COMPLETA con coefficiente b pari

2

9 72 81 04 2

b ac

2

1

1,2

2

42 2 3 81 3

293

b b ac xx

a x


Esercizio 5(equazioni parametriche o letterali)

Determinare per quali valori di K la seguente equazione ha due soluzioni reali coincidenti:2 (1 ) 3 0kx k x

2 24 1 2 12 0b ac k k k 2 10 1 0 k k

1,2 5 25 1 5 2 6k


Relazione fra i coefficienti di un’equazione di II grado

(a,b,c) e le sue radici (x1 e x2)


Somma delle soluzioni2

14

2b b acx

a

1 2bs x xa

2

24

2b b acx

a

2

1 24b acbx x

2 4b acb 2a


Prodotto delle soluzioni

1 2cp x xa

Prodotto notevole somma x differenza

2

14

2b b acx

a

2

24

2b b acx

a

2

2

2

1 2( 4 )4

b b acx xa


Un altro modo di scrivere l’eq. di II grado

2 0ax bx c Dividiamo per a:

2 0b cx xa a

Ricordandoci s e p:

2 0x sx p

1 2bs x xa

1 2cp x xa


Esempio• Trovare due numeri la cui somma

sia 4 ed il cui prodotto sia –21.

2 0x sx p 2 4 21 0x x 2

1,22 2b b ac

xa

1

2

32 4 21

7xx

4 -21


Esempi su s e p• Trovare per quale valore di k l’equazione:

(k-1)x^2 + (k+4)x + 3 = 0 ha: 1) Soluzioni opposte; 2) Soluzioni reciproche; 3) Una soluzione x1 = 2;

1) x1 =- x2 =>

4 0 41

k kk

x1 + x2 = 0 => s = 0 =>

2) x1 =1/x2 =>x1 x2 = 1 => p = 1 => 3 1 31

kk

3) x1 = 2 deve soddisfare l’equazione =>( 1) 4 ( 4) 2 3 0k k 76

k


2 21 2x x 2 2

1 2 1 2( ) 2 2x x x x s p

1 2

1 1x x

2 1

1 2

x x sx x p

3 31 2 ???x x

Sottigliezze …


Scomposizione del trinomio di II grado

21 2 1 2( )a x x x x x x Moltiplicando e

raccogliendo:

2 2 b cax bx c a x xa a

1 2( )( )a x x x x Ossia:

21 2( )( )ax bx c a x x x x


Esempio di scomposizione di un trinomio di II grado

Scomporre il trinomio:

22 5 3x x

1. Equazione associata:

22 5 3 0x x 2. Soluzioni dell’equazione:

1 23; 1/ 2;x x 3. Scomposizione del

trinomio:

2 12 5 3 2( 3)2

x x x x


Disegnare una parabola

• Abbiamo visto che il grafico di una funzione quadratica è una PARABOLA.

• Come si fa a disegnarla conoscendo la sua espressione algebrica?


Dall’equazione al grafico

• Problema: disegnare la parabola:2 2 3y x x

1. Troviamo dove interseca l’asse delle x, ossia risolviamo il sistema:

22

1 2

2 3 2 3 0 3; 1

0y x x

x x x xy

Otteniamo quindi i punti A(-3,0); B(1,0).

Asse x Parabola



2. Troviamo dove interseca l’asse delle y, ossia risolviamo il sistema:

2 2 3 3

0y x x

yx

Otteniamo quindi il punto P(0,-3).



3. Troviamo il VERTICE della parabola. Il modo più semplice è pensare che la sua ascissa Vx è il punto medio delle ascisse dei punti in cui la parabola interseca l’asse X.

Occorre cioè fare la media delle radici x1 e x2. Si ottiene:

1 2

2 2xx x bV

a

Nel nostro caso Vx = -1. Per Vy basta sostituire Vx. Si ottiene Vy =-4

V(-1,-4)


Finalmente il graficoUNIAMO i punti: A(-3,0) B(1,0) P(0,-3) V(-1,-4).

y = x^2+2x-3

-8

-4

0

4

8

12

16

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

A B

PV

x y-5 12-4 5-3 0-2 -3-1 -40 -31 02 53 12

A

VPB


RicapitolandoData la parabola di

equazione:2y ax bx c

Il Vertice: ,2 4bVa a

Intersezione con l’asse y (x=0):

0,P c

Intersezione con l’asse x (y=0):

1 2,0 B ,0A x x

La concavità della parabola dipende dal segno di a: a > 0 concava; a < 0 convessa.


Disequazioni di II grado• La disequazione di 2° grado più

generale è della forma:2 0ax bx c

• Per risolverla, troviamo i punti x1 e x2 (x1 < x2) in cui il trinomio si annulla. Allora la soluzione sarà:

1x x oppure 2x x

• Consideriamo per comodità a>0.


Esempio• Risolvi la seguente disequazione:

2 2 8 0x x

Soluzioni dell’equazione associata: x1 = -2 x2 = 4

2x oppure 4x

a>0


Risoluzione grafica di una disequazione di II grado

• Risolviamo la stessa disequazione graficamente:

2 2 8 0x x

Disegnamo la parabola associata:2 2 8y x x



y=x^2-2x-8

-10-8-6-4-202468

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X

Y

X1

X2

2x 4x oppureY>0

2 2 8 0x x



y=x^2-2x-8

-10-8-6-4-202468

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X

Y

X1

X2

2 4x Y< 0

2 2 8 0x x


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