EQUAZIONI DI SECONDO GRADO - MATHMIX · equazioni di secondo grado © prof. i. savoia , 2012 3 equazioni di secondo grado spurie: esempi 1) ( ) 2 3 000 ;;; 2 3 0 3 / 2 0 2 3 0 2 3

EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO

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IIIIOOOO STEPSTEPSTEPSTEP►►►►DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare lelelele condizionicondizionicondizionicondizioni didididi esistenzaesistenzaesistenzaesistenza (CE)(CE)(CE)(CE) delledelledelledelle frazionifrazionifrazionifrazioni algebrichealgebrichealgebrichealgebriche presentipresentipresentipresentinellenellenellenelle equazioniequazioniequazioniequazioni didididi partenzapartenzapartenzapartenza dopodopodopodopo averneaverneaverneaverne eventualmenteeventualmenteeventualmenteeventualmente scompostoscompostoscompostoscomposto iiii denominatori.denominatori.denominatori.denominatori.

IIIIIIIIOOOO STEPSTEPSTEPSTEP►►►►MoltiplicareMoltiplicareMoltiplicareMoltiplicare l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione perperperper ilililil minimominimominimominimo comunecomunecomunecomune denominatoredenominatoredenominatoredenominatore delledelledelledelle frazionifrazionifrazionifrazionialgebrichealgebrichealgebrichealgebriche perperperper poipoipoipoi risolvererisolvererisolvererisolvere l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione interainterainteraintera ottenuta.ottenuta.ottenuta.ottenuta.

IIIIIIIIIIIIOOOO STEPSTEPSTEPSTEP►►►►EsaminareEsaminareEsaminareEsaminare lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ottenuteottenuteottenuteottenute scartandoscartandoscartandoscartando lelelele eventualieventualieventualieventuali soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni chechecheche nonnonnonnonappartengonoappartengonoappartengonoappartengono alalalal campocampocampocampo didididi esistenza.esistenza.esistenza.esistenza.

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RELAZIONIRELAZIONIRELAZIONIRELAZIONI TRATRATRATRA LELELELE SOLUZIONISOLUZIONISOLUZIONISOLUZIONI DELL'EQUAZIONEDELL'EQUAZIONEDELL'EQUAZIONEDELL'EQUAZIONE 00002222 ====++++++++ ccccbxbxbxbxaxaxaxax EEEE IIII SUOISUOISUOISUOI COEFFICIENTICOEFFICIENTICOEFFICIENTICOEFFICIENTI

1111► aaaabbbbxxxxxxxx −−−−====++++ 22221111 . 2222►►►► aaaa

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8888►►►► (((( ))))22222222222211111111

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22221111 cccc

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acacacacbbbbxxxxxxxxaaaacccc

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9999►►►► (((( )))) (((( ))))3333

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22221111 aaaabbbbabcabcabcabc

aaaabbbb

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aaaabbbbxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++====++++ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠

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10101010►►►►3333

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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI PARAMETRICHEPARAMETRICHEPARAMETRICHEPARAMETRICHE

EquazioneEquazioneEquazioneEquazione parametricaparametricaparametricaparametrica didididi 2222oooo gradogradogradogrado :::: equazioneequazioneequazioneequazione nellanellanellanella qualequalequalequale iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti dell'incognitadell'incognitadell'incognitadell'incognita (x)(x)(x)(x) sonosonosonosonodelledelledelledelle espressioniespressioniespressioniespressioni letteraliletteraliletteraliletterali didididi unununun parametroparametroparametroparametro (k)(k)(k)(k) dadadada cuicuicuicui dipendono.dipendono.dipendono.dipendono. IIII parametri,parametri,parametri,parametri, denotatidenotatidenotatidenotati inininingeneregeneregeneregenere dalledalledalledalle letterelettereletterelettere "k""k""k""k" oppureoppureoppureoppure "m""m""m""m" oooo "p","p","p","p", aaaa differenzadifferenzadifferenzadifferenza delledelledelledelle variabilivariabilivariabilivariabili (la(la(la(la stessastessastessastessa x),x),x),x), posssonoposssonoposssonoposssonoassumereassumereassumereassumere unununun numeronumeronumeronumero limitatolimitatolimitatolimitato didididi valorivalorivalorivalori inininin relazionerelazionerelazionerelazione allealleallealle proprietproprietproprietproprietàààà delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni dadadada rispettare.rispettare.rispettare.rispettare.

PerPerPerPer indicareindicareindicareindicare chechecheche iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti dipendonodipendonodipendonodipendono inininin generalegeneralegeneralegenerale daldaldaldal paremetroparemetroparemetroparemetro k,k,k,k, scriviamoscriviamoscriviamoscriviamo l'equazione:l'equazione:l'equazione:l'equazione:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) 00002222 ====++++++++ kkkkccccxxxxkkkkbbbbxxxxkkkkaaaa ,,,, (((( )))) 0000≠≠≠≠kkkkaaaa

UnaUnaUnaUna equazioneequazioneequazioneequazione parametricaparametricaparametricaparametrica èèèè associataassociataassociataassociata adadadad alcunealcunealcunealcune condizionicondizionicondizionicondizioni allealleallealle qualiqualiqualiquali lelelele suesuesuesue soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ,,,, ooooradici,radici,radici,radici, devonodevonodevonodevono soddisfaresoddisfaresoddisfaresoddisfare eeee talitalitalitali condizionicondizionicondizionicondizioni sisisisi traduconotraduconotraduconotraducono inininin generegeneregeneregenere inininin relazionirelazionirelazionirelazioni algebrichealgebrichealgebrichealgebriche chechechechecoinvolgonocoinvolgonocoinvolgonocoinvolgono iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti inininin basebasebasebase dalledalledalledalle qualiqualiqualiquali sisisisi possonopossonopossonopossono ricavarericavarericavarericavare iiii valorivalorivalorivalori dadadada attribuireattribuireattribuireattribuire alalalalparametroparametroparametroparametro k.k.k.k. UnaUnaUnaUna voltavoltavoltavolta ottenutiottenutiottenutiottenuti unounounouno oooo pipipipiùùùù valorivalorivalorivalori deldeldeldel parametro,parametro,parametro,parametro, questiquestiquestiquesti vengonovengonovengonovengono sostituitisostituitisostituitisostituitinell'equazionenell'equazionenell'equazionenell'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica chechecheche vienevienevieneviene coscoscoscosìììì trasformatatrasformatatrasformatatrasformata inininin unaunaunauna oooo pipipipiùùùù equazioniequazioniequazioniequazioni numerichenumerichenumerichenumeriche(((( generalmentegeneralmentegeneralmentegeneralmente didididi primoprimoprimoprimo oooo didididi secondosecondosecondosecondo grado)grado)grado)grado) dadadada risolvererisolvererisolvererisolvere conconconcon lelelele abitualiabitualiabitualiabituali tecniche.tecniche.tecniche.tecniche.

AdAdAdAd esempioesempioesempioesempio sisisisi considericonsidericonsidericonsideri l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000033333333222233332222 ====++++++++++++−−−− kkkkxxxxkkkkkxkxkxkx associataassociataassociataassociata allaallaallaalla condizione:condizione:condizione:condizione:UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione ugualeugualeugualeuguale aaaa 2:2:2:2: questaquestaquestaquesta vienevienevieneviene tradottatradottatradottatradotta dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione chechecheche sisisisi ottieneottieneottieneottiene sostituendosostituendosostituendosostituendo ililililnumeronumeronumeronumero 2222 nell'equazionenell'equazionenell'equazionenell'equazione stessa:stessa:stessa:stessa:

(((( )))) 11110000111100003333333344446666444400003333333322222222333322222222 ====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++++++−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====++++++++⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅ kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ;;;;SostituiamoSostituiamoSostituiamoSostituiamo ilililil valorevalorevalorevalore ottenutoottenutoottenutoottenuto nell'equazionenell'equazionenell'equazionenell'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica eeee risolviamorisolviamorisolviamorisolviamo l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione numerica:numerica:numerica:numerica:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) {{{{ }}}}3333 ;;;;222200003333222200006666555500003333333322223333 222211112222 ====⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====++++−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯====++++++++++++−−−− ==== SSSSxxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkkxkxkxkx kkkk ....

RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni tratratratra coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti eeee soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni:::: inininin unaunaunauna equazioneequazioneequazioneequazione didididi secondosecondosecondosecondo gradogradogradogrado neineineinei casicasicasicasi 0000≥≥≥≥∆∆∆∆ ,,,, leleleleprincipaliprincipaliprincipaliprincipali relazionirelazionirelazionirelazioni dadadada doveredoveredoveredovere considerareconsiderareconsiderareconsiderare perperperper risolvererisolvererisolvererisolvere lelelele equazioniequazioniequazioniequazioni parametricheparametricheparametricheparametriche sono:sono:sono:sono:

►►►► sommasommasommasomma delledelledelledelle radiciradiciradiciradici espressaespressaespressaespressa dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione(((( ))))(((( ))))kkkkaaaakkkkbbbbxxxxxxxx −−−−====++++ 22221111 ;;;;

►►►►prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle radiciradiciradiciradici espressaespressaespressaespressa dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione(((( ))))(((( ))))kkkkaaaakkkkccccxxxxxxxx ====⋅⋅⋅⋅ 22221111 ;;;;

►►►► sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle radiciradiciradiciradici espressaespressaespressaespressa dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione (((( ))))(((( ))))kkkkcccckkkkbbbb

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►►►►discriminantediscriminantediscriminantediscriminante dell'equazionedell'equazionedell'equazionedell'equazione (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]222211112222

2222111122222222 44444444 xxxxxxxxxxxxxxxxkkkkaaaakkkkcccckkkkaaaakkkkbbbb ⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅====−−−−====∆∆∆∆ ;;;;

LeLeLeLe relazionirelazionirelazionirelazioni deldeldeldel parametroparametroparametroparametro kkkk chechecheche sisisisi ottengonoottengonoottengonoottengono possonopossonopossonopossono essere,essere,essere,essere, aaaa loroloroloroloro volta,volta,volta,volta, delledelledelledelle equazioniequazioniequazioniequazioni didididi2222oooo gradogradogradogrado ilililil cuicuicuicui discriminantediscriminantediscriminantediscriminante vienevienevieneviene dadadada oraoraoraora indicatoindicatoindicatoindicato conconconcon kkkk∆∆∆∆ ....



1)1)1)1) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica � (((( )))) � 0000111144442222 ====++++++++−−−−++++ccccbbbbaaaa

kkkkxxxxkkkkxxxxkkkk �� ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare 0000≠≠≠≠kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:

a)a)a)a) lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 4.4.4.4.

b)b)b)b) IlIlIlIl prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 3.3.3.3.

c)c)c)c) UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla.nulla.nulla.nulla.

d)d)d)d) UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 1111−−−− ....

e)e)e)e) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci valevalevalevale 1.1.1.1.

SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento

(((( ))))

.... 2222

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77774444161616168888

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−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒====−−−−==== xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkkxkxkxkx

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55550000555500001111444400001111111144441111 d)d)d)d)

1111

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.... eeeeImpossibilImpossibilImpossibilImpossibil

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.2)2)2)2) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica (((( )))) 0000222233332222 ====−−−−++++−−−−−−−− kkkkxxxxkkkkkxkxkxkx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare 0000≠≠≠≠kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:

a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidono;coincidono;coincidono;coincidono;b)b)b)b) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla;nulla;nulla;nulla;c)c)c)c) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè oppostaoppostaoppostaopposta deldeldeldel reciprocoreciprocoreciprocoreciproco dell'altra;dell'altra;dell'altra;dell'altra;d)d)d)d) unaunaunauna soluzionsoluzionsoluzionsoluzionèèèè èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 3;3;3;3;e)e)e)e) soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni opposte.opposte.opposte.opposte.


a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidono:coincidono:coincidono:coincidono:

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) .... 1111000011110000111122221111

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5555222216161616141414141616161699995555444414141414

0000999914141414555544448888666699992222444433330000

2222111122222222

1111

1111

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222222222222222222221111

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b)b)b)b) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla:nulla:nulla:nulla:

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c)c)c)c) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè oppostaoppostaoppostaopposta deldeldeldel reciprocoreciprocoreciprocoreciproco dell'altra:dell'altra:dell'altra:dell'altra:

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kkkkxxxxxxxxxxxxxxxx impossibile.impossibile.impossibile.impossibile.

d)d)d)d) unaunaunauna soluzionsoluzionsoluzionsoluzionèèèè èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 3:3:3:3:

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e)e)e)e) soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni opposte:opposte:opposte:opposte:

3333////3333111133330000111133333333000033330000 2222,,,,111122222222

2222111122221111 ±±±±====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒−−−−==== xxxxxxxxxxxxkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxx ....



3)3)3)3) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica (((( )))) 00002222888822221111 2222 ====−−−−++++++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare 1111≠≠≠≠kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:

a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidano.coincidano.coincidano.coincidano.b)b)b)b) LaLaLaLa sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni siasiasiasia ugualeugualeugualeuguale aaaa 3333−−−− ....c)c)c)c) UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione siasiasiasia nulla.nulla.nulla.nulla.d)d)d)d) IlIlIlIl prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valgavalgavalgavalga 2.2.2.2.e)e)e)e) LeLeLeLe radiciradiciradiciradici sianosianosianosiano opposte;opposte;opposte;opposte;f)f)f)f) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei quadratiquadratiquadratiquadrati delledelledelledelle radiciradiciradiciradici valevalevalevale 16.16.16.16.g)g)g)g) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle radiciradiciradiciradici valevalevalevale 3.3.3.3.h)h)h)h) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci deideideidei quadratiquadratiquadratiquadrati delledelledelledelle radiciradiciradiciradici valevalevalevale 16/9.16/9.16/9.16/9.


(((( )))) (((( )))) (((( ))))

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ContinuaContinuaContinuaContinua↓↓↓↓



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::::hahahaha sisisisi 646464643232323244449999 perperperper 4444kkkk ndondondondomoltiplicamoltiplicamoltiplicamoltiplica eeee ndondondondosemplificasemplificasemplificasemplifica cuicuicuicui dadadada 9999

161616166464646432323232444416161616202020208888

::::hahahaha sisisisi numeratorenumeratorenumeratorenumeratore ilililil sviluppatosviluppatosviluppatosviluppato avereavereavereavere dopodopodopodopo ;;;; 9999

1616161622228888

22228888111122224444

:::: equazioneequazioneequazioneequazioneall'all'all'all' pervienepervienepervieneperviene sisisisi , , , ,22228888 eeee

2222 ,,,,1111 sostituitosostituitosostituitosostituito avereavereavereavere dopodopodopodopo ,,,,222211111111 relazionerelazionerelazionerelazione dalladalladalladalla 9999

1616161611111111 h)h)h)h)

2222222222222222

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Per brevità vengono tralasciati i passaggi della sostituzione dei due valori del parametro sopra ottenutinell'equazione di partenza e la determinazione delle sue soluzioni.Come si nota, lo svolgimento dell'ultimo esercizio relativo all'ultimo punto h) è tutt'altro che semplicee richiede numerosi passaggi, ottenendo delle soluzioni numericamente poco attraenti. Ciò si verificain tutti i casi nei quali ogni coefficiente dell'equazione parametrica è una espressione del parametro edin presenza di valori numerici che non facilitano il calcolo. Per altro, in alcuni casi più fortunati, e inparticolare quando le condizioni sul parametro sono poche o più semplici, il calcolo ne vienefsensibilmente avvantaggiato.



_

RapportoRapportoRapportoRapporto costantecostantecostantecostante frafrafrafra lelelele radici.radici.radici.radici.

DataDataDataData unaunaunauna equazioneequazioneequazioneequazione 00002222 ====++++++++ ccccbxbxbxbxaxaxaxax ,,,, lalalala condizionecondizionecondizionecondizione chechecheche ilililil rapportorapportorapportorapporto frafrafrafra lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni siasiasiasia unaunaunauna numeronumeronumeronumerorealerealerealereale """"""""rrrr perperperper cuicuicuicui valgavalgavalgavalga lalalala relazionerelazionerelazionerelazione 11112222 xxxxrrrrxxxx ⋅⋅⋅⋅==== ,,,, sisisisi traducetraducetraducetraduce nellonellonellonello svolgeresvolgeresvolgeresvolgere ilililil sistema:sistema:sistema:sistema:

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11112222

1111

111111111111

IlIlIlIl sistemasistemasistemasistema portaportaportaporta aaaa risolvererisolvererisolvererisolvere duedueduedue distintidistintidistintidistinti sistemisistemisistemisistemi conconconcon duedueduedue soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni separateseparateseparateseparate lalalala cuicuicuicui unioneunioneunioneunione forniscefornisceforniscefornisce lalalalasoluzionesoluzionesoluzionesoluzione generalegeneralegeneralegenerale richiestarichiestarichiestarichiesta dalladalladalladalla condizionecondizionecondizionecondizione inizialeinizialeinizialeiniziale impostaimpostaimpostaimposta 11112222 xxxxrrrrxxxx ⋅⋅⋅⋅==== ....UnUnUnUnmetodometodometodometodo alternativoalternativoalternativoalternativo ,,,, deldeldeldel qualequalequalequale sisisisi riportanoriportanoriportanoriportano alcunialcunialcunialcuni passaggipassaggipassaggipassaggi algebrici,algebrici,algebrici,algebrici, consisteconsisteconsisteconsiste nelnelnelnel risolvererisolvererisolvererisolverel'equazionel'equazionel'equazionel'equazione seguente:seguente:seguente:seguente:

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) .... 1111111111111111 22222222 bbbbrrrrrrrrbbbbrrrrrrrr

bbbbrrrrbbbbrrrrrrrrbbbbrrrrbbbbbbbbrrrrbbbb

⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++−−−−⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆++++−−−−

4)4)4)4) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione 00004444444444442222 ====++++++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare kkkk perperperper cuicuicuicui unaunaunauna radiceradiceradiceradice èèèè ilililil triplotriplotriplotriplo dell'altra.dell'altra.dell'altra.dell'altra.


00001212121288882222

22226666

2222000033334444

33338888

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33332222

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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI PARAMETRICHE:PARAMETRICHE:PARAMETRICHE:PARAMETRICHE: ESERCIZIESERCIZIESERCIZIESERCIZI CONCONCONCON SOLUZIONESOLUZIONESOLUZIONESOLUZIONE

1)1)1)1) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000011112222 ====−−−−−−−−−−−− kkkkxxxxkkkkxxxx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori deldeldeldel parametroparametroparametroparametro kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:

a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidono;coincidono;coincidono;coincidono; ｛ 1111−−−−====kkkk ｝

b-b-b-b- unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla;nulla;nulla;nulla; ｛ 0000====kkkk ｝

c-c-c-c- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 3;3;3;3; ｛ 4444====kkkk ｝

d-ild-ild-ild-il prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 10.10.10.10. ｛ 10101010−−−−====kkkk

2)2)2)2) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000033332222 2222 ====++++−−−−−−−− kkkkxxxxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi22223333

≠≠≠≠kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:

a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono opposte;opposte;opposte;opposte; ｛ΦΦΦΦ｝

b-b-b-b- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; ｛ 3333====kkkk ｝

c-c-c-c- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 1;1;1;1; ｛ 2222====kkkk ｝

d-ild-ild-ild-il prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 10.10.10.10. {{{{ }}}} 3333////4444 ====kkkk

3)3)3)3) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000333366661111 2222 ====−−−−++++++++−−−− kkkkxxxxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi 1111≠≠≠≠kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:

a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono coincidenti;coincidenti;coincidenti;coincidenti; ｛ΦΦΦΦ｝

b-b-b-b- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè 3;3;3;3; ｛ 1111−−−−====kkkk ｝

c-c-c-c- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; ｛ 2222====kkkk ｝

d-unad-unad-unad-una soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè 5.5.5.5. {{{{ }}}} 3333////1111 −−−−====kkkke-e-e-e- unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè 1111 ｛ΦΦΦΦ｝

4)4)4)4) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000111122221111 2222 ====++++++++++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi 1111≠≠≠≠kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:

a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono coincidenti;coincidenti;coincidenti;coincidenti; ｛ 2222////2222±±±±====kkkk ｝

b-b-b-b- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè 2222−−−− ;;;; ｛ 1111====kkkk ｝

c-c-c-c- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; ｛ΦΦΦΦ｝

d-unad-unad-unad-una soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè 0000 .... {{{{ }}}} 1111 −−−−====kkkke-e-e-e- lalalala sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè 1111−−−− ;;;; 1111====kkkk ｝

5)5)5)5) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione 000011112222 22222222 ====−−−−++++++++ kkkkkxkxkxkxxxxx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:

a)a)a)a) EsistonoEsistonoEsistonoEsistono duedueduedue radiciradiciradiciradici coincidenticoincidenticoincidenticoincidenti {{{{ }}}} 4444////5555 −−−−====kkkkb)b)b)b) EsistonoEsistonoEsistonoEsistono duedueduedue radiciradiciradiciradici realirealirealireali distintedistintedistintedistinte {{{{ }}}} 4444////5555 −−−−>>>>kkkk



6)6)6)6) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 1111≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000022221111 ====++++−−−−−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:

a)a)a)a) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione nulla;nulla;nulla;nulla; {{{{ }}}}0000====kkkk

b)b)b)b) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione ugualeugualeugualeuguale aaaa 1;1;1;1; {{{{ }}}}ΦΦΦΦ

c)c)c)c) sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 5;5;5;5; {{{{ }}}} 3333////5555 ====kkkk

d)d)d)d) prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 0;0;0;0; {{{{ }}}}0000====kkkk

e)e)e)e) prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 2;2;2;2; {{{{ }}}}2222====kkkk

f)f)f)f) radiciradiciradiciradici opposteopposteopposteopposte reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; {{{{ }}}}2222////1111====kkkk

g)g)g)g) sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 2222−−−− .... {{{{ }}}}1111−−−−≠≠≠≠∀∀∀∀kkkk

7)7)7)7) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 00001111333333332222 ====−−−−++++−−−− kxkxkxkxxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:

a)a)a)a) 11111111 −−−−====xxxx ;;;; {{{{ }}}}4444−−−−====kkkk b)b)b)b) 22222222 ====xxxx ;;;; {{{{ }}}}14141414////13131313====kkkk c)c)c)c) 111122221111 ====++++ xxxxxxxx ;;;; {{{{ }}}}5555////3333====kkkk

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8)8)8)8) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 2222≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) (((( )))) 00001111222222222222 ====++++−−−−++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:

a)a)a)a) 222211111111

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9)9)9)9) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 1111−−−−≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) (((( )))) 000099991111333322221111 2222 ====++++++++−−−−++++ xxxxkkkkxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:

a)a)a)a) 22221111 4444 xxxxxxxx ++++==== ;;;;⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫

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33334444 kkkkkkkk ;;;; b)b)b)b) 555522221111 ====++++ xxxxxxxx ;;;; {{{{ }}}}3333====kkkk

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777712121212kkkk

10)10)10)10) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare33331111

−−−−≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000011113333222211113333 2222 ====−−−−++++−−−−++++ kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk abbiaabbiaabbiaabbia lelelele proprietproprietproprietproprietàààà::::

a)a)a)a) 22221111 xxxxxxxx ====⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫

⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧

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1111 ====xxxx⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫

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⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====

33331111kkkk

11)11)11)11) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 3333−−−−≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000333322223333 2222 ====−−−−++++++++++++ kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk rispettirispettirispettirispetti lelelele relazioni:relazioni:relazioni:relazioni:

a)a)a)a) 666611112222 ====−−−− xxxxxxxx {{{{ }}}}2222−−−−====kkkkb)b)b)b) (((( ))))1111222211112222 2222 xxxxxxxxxxxxxxxx −−−−⋅⋅⋅⋅====++++ {{{{ }}}}6666====kkkkc)c)c)c) 22221111 −−−−====xxxx {{{{ }}}}9999−−−−====kkkk



DIZIONARIODIZIONARIODIZIONARIODIZIONARIO DEIDEIDEIDEI SIMBOLISIMBOLISIMBOLISIMBOLI

""""""""≥≥≥≥ ====maggioremaggioremaggioremaggiore oooo ugualeugualeugualeuguale a...a...a...a... ,,,, """"""""≤≤≤≤ ====minoreminoreminoreminore oooo ugualeugualeugualeuguale a...;a...;a...;a...;

""""""""∈∈∈∈ appartieneappartieneappartieneappartiene aaaa ....,....,....,...., """"""""∉∉∉∉ nonnonnonnon appartieneappartieneappartieneappartiene a....a....a....a....

""""""""∃∃∃∃ esisteesisteesisteesiste ............ ;;;; ∄ nonnonnonnon esiste...esiste...esiste...esiste... ;;;; ∀∀∀∀ perperperper ogniogniogniogni ................

"""" """"∪ unioneunioneunioneunione didididi insiemi;insiemi;insiemi;insiemi; """"""""∩ intersezioneintersezioneintersezioneintersezione tratratratra insiemi;insiemi;insiemi;insiemi;

""""""""∨∨∨∨ conguntivoconguntivoconguntivoconguntivo "o""o""o""o" ,,,, oppureoppureoppureoppure unioneunioneunioneunione didididi elementielementielementielementi oooo didididi soluzioni;soluzioni;soluzioni;soluzioni;

""""""""∧∧∧∧ congiuntivocongiuntivocongiuntivocongiuntivo "e","e","e","e", oppureoppureoppureoppure intersezioneintersezioneintersezioneintersezione didididi elementielementielementielementi oooo didididi soluzioni;soluzioni;soluzioni;soluzioni;

""""""""⇒⇒⇒⇒ ==== implicaimplicaimplicaimplica ilililil passaggiopassaggiopassaggiopassaggio seguenteseguenteseguenteseguente aaaa destra;destra;destra;destra;

""""""""⇓⇓⇓⇓ ==== implicaimplicaimplicaimplica ilililil passaggiopassaggiopassaggiopassaggio seguenteseguenteseguenteseguente versoversoversoverso ilililil basso;basso;basso;basso; """"""""⇔⇔⇔⇔ ====èèèè equivalenteequivalenteequivalenteequivalente a....a....a....a.... ....

INDICEINDICEINDICEINDICE DEIDEIDEIDEI CONTENUTICONTENUTICONTENUTICONTENUTI

DiagrammiDiagrammiDiagrammiDiagrammi sullesullesullesulle equazioniequazioniequazioniequazioni didididi secondosecondosecondosecondo gradogradogradogrado P.P.P.P. 1111EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni purepurepurepure didididi secondosecondosecondosecondo grado:grado:grado:grado: esempiesempiesempiesempi P.P.P.P. 2222EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni spuriespuriespuriespurie didididi secondosecondosecondosecondo grado:grado:grado:grado: esempiesempiesempiesempi P.P.P.P. 3333EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni completecompletecompletecomplete didididi secondosecondosecondosecondo grado:grado:grado:grado: esempiesempiesempiesempi P.P.P.P. 4444FormulaFormulaFormulaFormula ridotta:ridotta:ridotta:ridotta: esempiesempiesempiesempi P.P.P.P. 6666EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni purepurepurepure eeee spurie:spurie:spurie:spurie: eserciziesercizieserciziesercizi conconconcon soluzionesoluzionesoluzionesoluzione P.P.P.P. 6666EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni completecompletecompletecomplete :::: eserciziesercizieserciziesercizi conconconcon soluzionesoluzionesoluzionesoluzione P.P.P.P. 7777ProprietProprietProprietProprietàààà delledelledelledelle soluzioni,soluzioni,soluzioni,soluzioni, scomposizionescomposizionescomposizionescomposizione eeee segnosegnosegnosegno deldeldeldel trinomiotrinomiotrinomiotrinomio P.P.P.P. 8888EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni intereintereintereintere didididi secondosecondosecondosecondo grado:grado:grado:grado: schemaschemaschemaschema riassuntivoriassuntivoriassuntivoriassuntivo P.P.P.P. 10101010ScomposizioneScomposizioneScomposizioneScomposizione eeee studiostudiostudiostudio deldeldeldel segnosegnosegnosegno deldeldeldel trinomio:trinomio:trinomio:trinomio: esempiesempiesempiesempi P.P.P.P. 11111111SchemaSchemaSchemaSchema riassuntivoriassuntivoriassuntivoriassuntivo sulsulsulsul segnosegnosegnosegno deldeldeldel trinomiotrinomiotrinomiotrinomio P.P.P.P. 12121212GraficiGraficiGraficiGrafici delladelladelladella funzionefunzionefunzionefunzione parabolaparabolaparabolaparabola associatiassociatiassociatiassociati alalalal trinomiotrinomiotrinomiotrinomio P.P.P.P. 13131313EserciziEserciziEserciziEsercizi conconconcon soluzionesoluzionesoluzionesoluzione susususu scomposizionescomposizionescomposizionescomposizione eeee segnosegnosegnosegno deldeldeldel trinomiotrinomiotrinomiotrinomio P.P.P.P. 13131313EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni fratte:fratte:fratte:fratte: procedimentoprocedimentoprocedimentoprocedimento didididi risoluzionerisoluzionerisoluzionerisoluzione P.P.P.P. 14141414EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni fratte:fratte:fratte:fratte: esempiesempiesempiesempi svoltisvoltisvoltisvolti P.P.P.P. 14141414EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni fratte:fratte:fratte:fratte: eserciziesercizieserciziesercizi conconconcon soluzionesoluzionesoluzionesoluzione P.P.P.P. 17171717RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni tratratratra lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni eeee iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti deldeldeldel trinomiotrinomiotrinomiotrinomio P.P.P.P. 18181818EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni parametriche:parametriche:parametriche:parametriche: P.P.P.P. 19191919EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni parametriche:parametriche:parametriche:parametriche: esempiesempiesempiesempi svoltisvoltisvoltisvolti P.P.P.P. 20202020RapportoRapportoRapportoRapporto costantecostantecostantecostante tratratratra lelelele radiciradiciradiciradici eeee relativirelativirelativirelativi esempiesempiesempiesempi P.P.P.P. 24242424EquazioniEquazioniEquazioniEquazioni parametriche:parametriche:parametriche:parametriche: eserciziesercizieserciziesercizi conconconcon soluzionesoluzionesoluzionesoluzione P.P.P.P. 27272727

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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO - MATHMIX · equazioni di secondo grado © prof. i. savoia , 2012 3 equazioni di secondo grado spurie: esempi 1) ( ) 2 3 000 ;;; 2 3 0 3 / 2 0 2 3 0 2 3