Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Unequazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale (se a = 0 lequazione bx

Le equazioni di secondo grado Forma dell’equazione

Un’equazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale

(se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado)

Se i coefficienti b e c sono diversi da zero l’equazione si dice completa.

Termine noto

Se i coefficienti b o c sono nulli l’equazione si dice incompleta.

Un’equazione incompleta può quindi avere la forma

ax2 bx 0 se b ≠ 0 e c = 0 in questo caso si dice spuria

ax2 c 0 se b = 0 e c ≠ 0 in questo caso si dice pura

ax2 0 se b = 0 e c = 0 in questo caso si dice monomia

1

ax2 bx c 0

a0con

Le equazioni di secondo grado Forma dell’equazione

Per esempio:

è completa l’equazione

4x2 3x 10 dove è a = 4, b = −3, c = 1

è incompleta spuria l’equazione

3x2 5x 0 dove è a = 3, b = −5, c = 0

è incompleta pura l’equazione

x2 60 dove è a = 1, b = 0, c = −6

è monomia l’equazione

7x2 0 dove è a = 7, b = 0, c = 0

2

Le equazioni di secondo grado Risoluzione di equazioni incomplete

Si raccoglie x a fattore comune:

x ax b 0

Si applica la legge di annullamento del prodotto:

x 0 ax b0

x 0 x = ba

L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni di cui una è zero.

ESEMPIO

3x2 4x 0

x 3x 4 0

x 0

3x 40 3x 4 x 43

34 ,0S

3

Regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete.

Equazione della forma

ax2 bx 0

Le equazioni di secondo grado

Si scompone il polinomio, se possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto.

Primo metodo

Secondo metodo

Dopo aver scritto l’equazione nella forma

x2 ca

si calcola la radice quadrata dei due membri:

x2 ca

ca0

x ca

x ca

ca 0 l’equazione è impossibile

4

Risoluzione di equazioni incomplete

Equazione della forma

ax2 c 0

Equazione della forma monomia

ax2 0L’unica soluzione è x = 0.


ESEMPI

x2 40

Primo metodo

x 2 x 2 0

x 20

x 2

x 20

x 2

Secondo metodo

x2 4

x 4

x 2

x2 40

Primo metodo

La somma di due quadrati non è scomponibile e non si annulla mai.

Secondo metodo

x2 4

x 4equazione impossibileequazione impossibile

5

Risoluzione di equazioni incomplete

Le equazioni di secondo grado Formula risolutiva

L’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, nell’ipotesi che sia a ≠ 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0, ammette come soluzioni i numeri reali dati dalle seguenti espressioni

b b2 4ac2a

b b2 4ac2a

∨

L’espressione Δ = b2 − 4ac è il discriminante dell’equazione e si verifica che:

• se Δ > 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi (si dice che le soluzioni sono reali distinte)

• se Δ = 0 l’equazione ammette come soluzione due numeri reali uguali (si dice che le soluzioni sono reali coincidenti)

• se Δ < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali.

6


ESEMPI

1. Risolviamo l’equazione

2x2 x 60 nella quale a = 2; b = 1; c = −6

x 1 12 42 6

22 1 49

4 17

4

1 74

2

174

32

23 ,2S

7

Risoluzione equazioni complete


ESEMPI


x2 8x 160 nella quale a = 1; b = 8; c = 16

x 8 82 411621

802

4

S 4


x2 3x 80 nella quale a = 1; b = −3; c = 8

x 3 32 41821

3 232

S

8

Risoluzione equazioni complete


ESEMPIO

Formula risolutiva

Se il coefficiente b dell’equazione ax2 + bx + c = 0 è un numero pari, si può utilizzare la formula ridotta:

x b

2 b

2

2

ac

a

3x2 4x 10

x 2 433

2 73

2 73

9

Le equazioni di secondo grado Equazioni frazionarie

Nel caso di equazione frazionaria seguiamo la seguente procedura:

10

• determinazione del dominio D;

• riduzione dell’equazione alla forma intera;

• applicazione della formula risolutiva se è completa o degli algoritmi specifici se è incompleta.

ESEMPIO

3x x 2 Il dominio dell’equazione è D = R − {0}

Scriviamo l’equazione in forma normale

3 x2 2x

x2 2x 30

x 1 13 12

x 1

x 3

S 1, 3 Applichiamo la formula ridotta:

Le equazioni di secondo grado Equazioni letterali

Quando un’equazione contiene dei parametri è necessario discutere che cosa accade all’insieme delle soluzioni al variare di tali parametri.

11

Bisogna stabilire qual è il dominio dell’equazione, cioè l’insieme dei valori che può assumere l’incognita: il dominio è in genere R se l’equazione è intera, è R esclusi i valori che rendono nulli i denominatori se l’equazione è frazionaria.

Procedura risolutiva generale da seguire

Per esempio:

x2 x a2

3a ha dominio R

x ax 2

x 1x a

1 poiché deve essere x ≠ 2 e x ≠ a, ha dominio R − {2, a}


12

Se l’equazione ha dei denominatori letterali, è necessario che questi non siano nulli.

Per esempio nell’equazione

x2 2a1

x 1a 2

a 1 si deve porre a ≠ −1 ∧ a ≠ 2

Attenzione a non confondere il dominio di un’equazione con le condizioni che devono essere imposte al parametro: l’equazione precedente è intera e quindi il suo dominio è R, le condizioni sul parametro sono poste affinché l’equazione non perda significato.


13

Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione letterale, questa non sia nulla:

Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x2 non sia nullo perché, in caso contrario, la formula non si può applicare.

si può dividere per 3

3x2 6ax 9a2 0

x2 2ax 3a0

si può dividere per a solo se a ≠ 0

ax2 4a2x 6a3 0

x2 4ax 6a2 0

Si può applicare la formula (ridotta)

3x2 2ax a2 0

x a a2 3a2

3

1

3a

a

Si può applicare la formula solo se a ≠ 1

a 1 x2 ax 10

x a a2 4 a 1

2 a 1

1

a 1

2


14

L’insieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni di un’equazione rappresenta la discussione dell’equazione. Uno schema generale su come procedere è il seguente.

Caso dell’equazione intera

Il dominio è R, non ci sono condizioni sull’incognita; possono però esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale:

si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione;

si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

Quando, per risolvere un’equazione letterale, si applica la formula, il discriminante è di solito letterale; occorre quindi che sia Δ ≥ 0.

Esempio:

x2 2x a0

x 1 1 a e deve essere 1 − a > 0


15

ESEMPIO

bx2 13x2 8

D R

Riscriviamo l’equazione in forma normale:

b 3 x2 90

L’equazione è incompleta e per risolverla ricaviamo l’espressione di x2:

• se b ≠ 3

x2 9b 3

x2 3

b 33 b 3

b 3

Le soluzioni sono reali se b − 3 > 0, cioè b > 3

• se b = 3 l’equazione diventa:

0x2 90 90 che è impossibile


16

Caso dell’equazione frazionaria

Il dominio è R, ad esclusione dei valori dell’incognita che annullano i denominatori; possono anche esserci condizioni iniziali sul parametro.

si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio;

si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.


17

ESEMPIO

5 x 2 2

b2 b

x0

L’equazione è frazionaria e deve essere x ≠ 0 quindi D = R − {0}

Scriviamola in forma normale:

5x x 2 bx 2b0

5x2 10 b x 2b0

Calcoliamo il discriminante:

10 b 2 40b100 b2 20b 10 b 2

Il coefficiente di x2 è numerico, troviamo subito le soluzioni:

x 10 b 10 b

10

2010

2

2b10

b5 continua


18

Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili:

• la soluzione −2 appartiene sicuramente al dominio;

• dobbiamo invece confrontare la soluzione con 0: se

b

5

b

50

b 0

Quindi se b = 0 la soluzione non è accettabile e deve essere scartata.

b

5

se b ≠ 0

5

,2 bS

2

Sse b = 0

Riassumendo:

Le equazioni di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni

19

Fra le soluzioni x1 e x2 di un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 e i suoi coefficienti a,

b e c sussistono le seguenti relazioni:

S: somma delle soluzioni.

x1 x2 ba

S

x1x2 ca

P: prodotto delle soluzioni.

P


20

Mediante l’utilizzo di tali relazioni è possibile risolvere i seguenti problemi:

1. Trovare le soluzioni di un’equazione senza applicare la formula risolutiva.

Per trovare le soluzioni dell’equazione x2 − 4x − 5 = 0 senza utilizzare la formula risolutiva basta calcolare:

x1 x2 ba4

x1x2 ca 5

1 5

x1 = −1 e x2 = 5 infatti −1 + 5 = 4 e −1 5 = −5

Dobbiamo trovare due numeri la cui soma è 4 e il cui prodotto è −5:


21

2. Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto.

Per determinare due numeri di cui si conoscono somma s e prodotto p basta risolvere l’equazione

x2 − sx + p = 0

Le sue soluzioni sono i numeri richiesti.

s 115

x2 115

x 215

0Se e

p 215

15x2 x 20

x 1 112030

13

25

I due numeri sono e

13

25


22

3. Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati.

calcoliamo

s x1 x2 13 7

219

6

p x1x2 1372 7

6

x2 196

x 760

6x2 19x 70oppure L’equazione ha quindi la forma

x1 13

x2 72

ese

Indichiamo con x1 e x2 i due numeri; se s è la loro somma e p è il loro prodotto, essi sono soluzione dell’equazione

x2 sx p 0


ESEMPIO

Relazioni tra coefficienti e soluzioni

23

Scomposizione del trinomio di secondo grado

Se ax2 + bx + c è un trinomio di secondo grado con a ≠ 0 e se x1 e x2 sono le eventuali radici (cioè

le soluzioni reali dell’equazione associata ax2 + bx + c = 0), si ha che:

• se Δ > 0 ax2 − bx + c = a (x − x1)(x − x2)

• se Δ = 0 ax2 − bx + c = a (x − x1)2

• se Δ < 0 ax2 − bx + c è irriducibile

273 2 xxScomponiamo:Risolviamo l’equazione associata:

6

24497x31

2

2 132313273 2

xxxxxxSi ha quindi che:


ESEMPI

Interpretazione grafica: zeri di funzione

24

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado ax2 − bx + c = 0 si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione della parabola y = ax2 + bx + c con l’asse x (y = 0); esse rappresentano gli zeri della parabola.

1. La parabola

y 2x2 5x 2 ha due zeri di valore

2 e 12

Infatti l’equazione

2x2 5x 20 ha soluzioni

x 5 25 164

534

2

12

Le equazioni di secondo grado Interpretazione grafica: zeri di funzione

25

2. La parabola

y x2 3x 4

non ha zeri perché il delta dell’equazione è negativo.

9 16 7

x 2 4 44

x 12

3. La parabola

y 4x2 4x 1

ha due zeri coincidenti perché l’equazione ad essa associata ha un discriminante uguale a zero.

4x2 4x 10

Documents

Le equazioni di secondo grado Forma dellequazione Unequazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale (se a = 0 lequazione bx