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EJEMPLO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Pervys Rengifo Rengifo
MÉTODOS NUMÉRICOS
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS
La siguiente tabla contiene valores de la función f(x)
Estime el valor de la integral Mediante la aplicación de método del rectángulo, trapecio y Simpson(1/3)
EJEMPLO 1
xi 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
f(x) 0.010 0.252 0.582 1.024 1.578
i 0 1 2 3 4=n
dxxf4.1
0.1
MÉTODO DEL RECTÁNGULO
Observe que los nodos xi están igualmente espaciados , por lo tanto es válido utilizar las fórmulas vistas.
El tamaño del intervalo h=xi+1-xi=0.1
n=4
Al aplicar el método de los rectángulos a los datos del problema planteado se obtiene:
MÉTODO DEL RECTÁNGULO
187.0024.1586.0252.0010.01.01
0
4.1
0.1
n
i
ixfhdxxf
3210
3
0
1
0
4.1
0.1
1.0 xfxfxfxfxfhxfhdxxfi
i
n
i
i
MÉTODO DEL TRAPECIO
1
1
0
1
0
4.1
0.1
22
n
i
in
n
i
i xfxfxfh
xfhdxxf
3
1
40
4.1
0.1
22 i
ixfxfxfh
dxxf
Al aplicar el método del trapecio al problema en cuestión, se obtiene:
MÉTODO DEL TRAPECIO
32140
4.1
0.1
22
xfxfxfxfxfh
dxxf
025.1586.0252.02578.1010.02
1.04.1
0.1
dxxf
266.0
4.1
0.1
dxxf
MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
1 1
0 1
21240
4.1
0.1
243 i i
ii xfxfxfxfh
dxxf
2
2
2
2
0 1
2120
4.1
0.1
243
n n
i i
iin xfxfxfxfh
dxxf
El método de Simpson (1/3) exige que el número de intervalos n, sea par. En este caso n=4, por lo tanto, cumple con este requerimiento y se puede aplicar este método, obteniendo lo siguiente:
MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
23140
4.1
0.1
243
1.0xfxfxfxfxfdxxf
586.02024.1252.04578.1010.03
1.04.1
0.1
dxxf
262.0
4.1
0.1
dxxf
EJEMPLO 2
Considere la función f(x)=x2, de la cual se ha construido una tabla para valores de x con incrementos iguales a 0.25
i xi f(xi)
0 0 0
1 0.25 0.0625
2 0.50 0.25
3 0.75 0.5625
4 1.00 1.00
5 1.25 1.5625
6 1.50 2.25
7 1.75 3.0625
8 2.00 4
9 2.25 5.0625
10 2.50 6.25
11 2.75 7.5625
12 3.00 9
Estime el valor de la integral Utilizando el método de los rectángulos, de los trapecios, de Simpson(1/3) y Simpson(3/8)
3
0
2dxx
93
3
0
33
0
2
xdxx
Integrando directamente, se obtiene:
MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS
El tamaño del intervalo es h=xi+1-xi=0.25
Aplicando el método de los rectángulos, se obtiene:
11
0
1
0
3
0
2 25.0i
i
n
i
i xfxfhdxx
11109876
5432103
0
2 25.0xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfdxx
MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS
5625.725.60625.540625.325.2
5625.100.15625.025.00625.0025.0
3
0
2dxx
90625.7625.3125.0
3
0
2 dxx
MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
1
1
0
3
0
2 22
n
i
in xfxfxfh
dxx
1121120
3
0
2 ...22
25.0xfxfxfxfxfdxx
Aplicando el método de los trapecios a los datos del problema planteado, se obtiene
MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
75.250.225.200.275.15.1
25.100.175.005.025.0230
2
25.03
0
2
ffffff
fffffffdxx
5625.725.60625.540625.325.2
5625.100.15625.025.00625.0290
2
25.03
0
2dxx
03125.9316252902
25.03
0
2 dxx
MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
El método de Simpson(1/3) requiere el número de intervalos, n, sea par. Para este caso n=12, por lo tanto se cumple este requisito.
2
2
2
2
0 1
2120
3
0
2 243
n n
i i
iin xfxfxfxfh
dxx
5 5
0 1
212120
3
0
2 243
25.0
i i
ii xfxfxfxfdxx
MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
108642
11975311203
0
2
2
4
3
25.0
xfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxfdxx
25.600.425.200.125.02
5625.70625.50625.35625.15625.00625.0490
3
25.03
0
2dxx
75.132875.17493
25.03
0
2 dxx
0.9
3
0
2 dxx
MÉTODO DE SIMPSON(3/8)
3
3
3
3
3
3
0 0 1
323130
3
0
2 2338
3n n n
i i i
iiin xfxfxfxfxfh
dxx
3 3 3
0 0 1
32313120
3
0
2 2338
3
i i i
iii xfxfxfxfxfh
dxx
El método de Simpson (3/8), exige que el número de intervalos debe ser múltiplo de 3. En este caso n=12, el cual es múltiplo de 3, por lo tanto se puede aplicar el método
MÉTODO DE SIMPSON(3/8)
0625.525.25625.025625.700.45625.125.03
25.60625.300.10625.0390
8
25.033
0
2dxx
875.72375.133375.10398
25.033
0
2
dxx
0.9
3
0
2 dxx
96311852
107413
0
2
23
330
8
3
xfxfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfffhdxx