› files › METODOS_NUMERIC... · Diferenciación e integración numéricasDiferenciación e integración numéricas. Derivadas e integrales ... Integración numérica Problema

Diferenciación e integración numéricas

Derivadas e integrales

Concepto de derivada

y x

=f x i x − f x i

xCociente incremental

d yd x

= lim x0

f x i x − f x i

xDerivada


Concepto de integral definida

I=∫a

b

f (x)dx

∫a

b

f x dx= lim x0n∞

∑i=1

n

f x i x

Suma de Riemann

Suma de Riemann


Relación entre derivadas e integrales: posición versus velocidad

v t =ddt

y t

y t =∫0

t

v t dt

Tipos de funciones

Tipo de función a integrar o diferenciar:

Función continua simple métodos analíticos

(polinomio, exp., trigon., etc.)

Función continua complicada métodos numéricos

Función tabulada métodos numéricos

Métodos sin computadora



Aplicaciones

Aplicaciones

Cálculo de la media para variable:● discreta:

● continua:

y=∑i=1

n

y i

n

y=∫a

b

f ( x)dx

b−a

Diferencias

● Métodos analíticos: cambian según el tipo de función --> tablas de derivadas e integrales

● Métodos numéricos: se aplican de igual forma a todas las funciones

Orientación

Integración numérica

Problema de integración numérica:

se quiere aproximar la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a,b] evaluando f(x) en un número finito de puntos.

I=∫a

b

f (x)dx

Fórmulas de integración de Newton-CotesSe basan en reemplazar el integrando por un polinomio:

I=∫a

b

f x dx≈∫a

b

Pn x dx

Pn(x)=a0+a1 x+a2 x2+...+an−1 xn−1+an xn

hh h h hh

1º Grado 2º Grado 3º Grado

Trapecio Simpson 1/3 Simpson 3/8

Fórmulas de integración de Newton-Cotes

Aplicación múltiple

(fórmula compuesta)

Segmentos de igual longitud h

Forma cerrada Forma abierta

h

Fórmulas de integración de Newton-Cotes

Se eligen n+1 puntos {x0,...,xn} en el intervalo [a,b], y se aproxima f(x)

con un polinomio de Lagrange de grado n :

f ( x)≈Pn(x )=∑i=0

n

f (x i)L i(x )

∫a

b

f (x )dx ≈ ∫a

b

∑i=0

n

f ( x i)L i(x )dx = ∑i=0

n

ai f (x i)⏟

Fórmula de integración

ai=∫a

b

Li( x)dx i=0,1,⋯ , ndonde para

Regla del Trapecio

f ( x)≈P1( x)

P1(x )=x−x1

x0−x1

f ( x0)+x−x0

x1−x0

f (x1)

∫a

b

f (x)dx≈∫x 0

x1

[ x−x1

x0−x1

f (x0)+x−x0

x1−x0

f (x1) ] dx

=[ 12 (x−x1)2

x0−x1

f (x0)+12

(x−x0)2

x1−x0

f ( x1)]x0

x1

n=1

P(x): polinomio de primer grado

Regla del Trapecio

∫a

b

f (x )dx≈x1−x0

2f (x1)−

x 0−x1

2f (x0)

∫a

b

f (x )dx≈x1−x0

2f (x1)+

x1−x0

2f (x0)

∫a

b

f (x )dx≈(x1−x0)f (x0)+ f (x1)

2⏟Regla del trapecio IT

Regla del Trapecio

∫a

b

f (x)dx ≈ ancho × altura promedio

Ejemplo 21.1 pág. 634

Integrar, desde a = 0 a b = 0.8,f x=0.225 x−200 x2675 x3−900 x4400 x5

La solución exacta es

I=30761875

≈1.640533333333333

Error de la regla del trapecio*

Partiendo de la serie de Taylor:

f (x )= f (x0)+ f I(x0)(x−x0)+ f II

(ξ1)(x−x0)

2

2!

Sustituyendo a z = x – x0 , dz = dx, e integrando

∫x0=a

x1=b

f (x )dx= ∫0

x1−x0

f (z+ x0)dz= f (x 0) ∫0

x1−x 0

dz+ f I(x 0) ∫

0

x1−x0

z dz+ f II(ξ1) ∫

0

x1−x0 z2

2dz

= f ( x0)( x1−x0)+ f I( x0)

( x1−x0)2

2+ f II

(ξ1)( x1−x0)

3

6reemplazamos la primera derivada por una diferencia finita dividida hacia adelante:

f I ( x0)=f ( x1)− f (x0)

(x1−x0)− f II (ξ2)

( x1−x0)

2

Se puede demostrar que , llegándose finalmente a:

Error de la regla del trapecio

∫a

b

f (x)dx= f (x0)(x1−x0)+(x1−x 0)

2

2 [ f (x1)− f (x 0)

(x1−x0)− f II

(ξ2)(x1−x0)

2 ]+ f II(ξ1)

(x1−x0)3

6

= f (x0)(x1−x0)+f (x1)− f (x0)

2(x1−x0)− f II

(ξ2)(x1−x0)

3

4+ f II

(ξ1)(x1−x0)

3

6

ξ1=ξ2

∫a

b

f (x )dx =( x1−x0)f (x0)+ f ( x1)

2⏟Regla del Trapecio

−1

12f II(ξ)(x1−x0)

3

⏟Error de truncamiento verdadero Et

Resultado exacto para polinomios de grado .

Error de la regla del trapecio

E t=−1

12f II (ξ)h3

Ea=−1

12f II (x )h3

Pn(x ) n≤1

Error de truncamiento aproximado

Error de truncamiento verdadero


f (0)=0.2 ; f (0.8)=0.232 ⇒ I Trap=0.80.2+0.232

2=0.1728

E t=1.640533−0.1728=1.467733 ⇒ t=89.5%

Estimación del error

f II (x )=8000 x3−10800 x2+4050 x−400

f II (x )=∫0

0.8

8000 x3−10800 x2+4050 x−400 dx

0.8−0=−60

Ea=−1

12−600.83=2.56


La regla del trapecio de aplicación múltiple (regla

compuesta)

La regla del trapecio de aplicación múltiple (regla compuesta)

Se divide el intervalo [a,b] en n segmentos de igual longitud h=(ba)/n:

h=b−a

n


∫a

b

f (x)dx=∫x0

x1

f (x)dx+∫x1

x2

f (x)dx+...+∫xn−1

xn

f (x)dx

∫a

b

f (x )dx≈ I T=hf ( x0)+ f (x1)

2+h

f (x1)+ f (x2)

2+...+h

f ( xn−1)+ f (xn)

2

I T=h2 [ f (x0)+2∑

i=1

n−1

f (x i)+ f (xn) ]


Error de truncamiento verdaderoE t=−(b−a)3

12 n3 ∑i=1

n

f II (ξi)

considerandof II=

∑i=1

n

f II (ξi)

nse tiene

Ea=−(b−a)3

12 n2 f II

=−1

12h2(b−a) f II


#algoritmo 1iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; x = a; s = 0repetir para i desde 0 hasta n: si i==0 o i==n: s = s + f(x) en caso contrario: s = s + 2*f(x) x = x + hI = s*h/2

Regla compuesta del trapecio: Pseudocódigo

#algoritmo 2iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; s = 0repetir para i desde 0 hasta n:

x = a + i*h si i==0 o i==n: s = s + f(x) en caso contrario: s = s + 2*f(x) I = s*h/2


#algoritmo 3 (algoritmo eficiente)iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; x = a; s = 0s = f(a)repetir para i desde 1 hasta n1: x = x + h s = s + 2*f(x)s = s + f(b) I = s*h/2


Ejemplo 21.2, pag. 628

Usar la regla del trapecio con 2 segmentos para calcular la integral entre a = 0 y b = 0.8 de

f x=0.225 x−200 x2675 x3−900 x4400 x5

Solución. Para n = 2, h = 0.4:f 0=0.2 ; f 0.4=2.456 ; f 0.8=0.232

IT=0.80.2+2(2.456)+0.232

4=1.0688

E t=1.640533−1.0688=0.57173 ; t=34.9%

Ea=−0.83

12 22−60=0.64

● Código en Octave: trapecio.m● Código en Python: trapecio.py● Planilla de cálculo: trapecio.ods

Ejemplo 21.2, pag. 628

Ejemplo 21.3 pag. 629

Calcular la distancia recorrida por el paracaidista en 10 s

Parámetros g=9.8ms2 ; m=68.1 kg ; c=12.5

kgs

d=∫0

t

v t dt=g mc ∫0

t

1−e−

cm

t d t

● Código en Octave: p21_3.m● Código en Python: p21_3.py

Reglas de SimpsonRegla 1/3 de Simpson: P(x) de segundo grado

Regla 3/8 de Simpson: P(x) de tercer grado

h=b−a

2

h=b−a

3

Regla 1/3 de Simpson

P2(x)=(x−x1)(x−x2)

( x0−x1)(x0−x2)f ( x0)+

(x−x0)(x−x2)

(x1−x0)(x1−x2)f (x1)+

( x−x0)( x−x1)

(x2−x0)( x2−x1)f (x2)

I≈∫x0

x2

[ (x−x1)(x−x2)

(x0−x1)(x0−x2)f (x0)+

( x−x0)( x−x2)

(x1−x0)( x1−x2)f (x1)+

(x−x0)(x−x1)

( x2−x0)(x2−x1)f (x2) ] dx

Integrando y sustituyendo a , :

I S1/3=

h3 [ f ( x0)+4 f (x1)+ f (x2)]=(b−a)⏟

ancho

f (x 0)+4 f (x1)+ f (x2)

6⏟altura promedio

f ( x)≈P2 (x)n=2

P(x): polinomio de segundo grado

x2=x1+h x0=x1−hx2=x1+h

Error de la regla 1/3 de Simpson *Partiendo de la serie de Taylor:

f ( x)= f (x1)+ f I (x1)(x−x1)+ f II (x1)(x−x1)

2

2+ f III (x1)

( x−x1)3

6+ f (ξ1)

IV (x−x1)4

24

Entre los límites elegidos se anulan los coeficientes de las derivadas de orden impar:

Sustituyendo a , , e integrando entre h y h:

∫a

b

f (x)dx=∫−h

h

f (z+ x1)dz= f (x1)∫−h

h

dz+ f I(x1)∫

−h

h

z dz+ f II(x1)∫

−h

hz2

2dz+

f III(x1)∫

−h

hz3

6dz+ f IV

(ξ1)∫−h

hz4

24dz

z=x−x1 dz=dx

∫a

b

f (x)dx=∫−h

h

f (z+ x1)dz= f (x1)2 h+ f II(x1) [ z

3

6 ]−h

h

+ f IV(ξ1) [ z5

120 ]−h

h

=2 h f (x1)+h3

3f II(x1)+

h5

60f IV

(ξ1)

Error de la regla 1/3 de SimpsonReemplazamos la segunda derivada por una diferencia finita centrada:

∫a

b

f (x)dx=2 h f (x1)+h3

3 [ f (x0)−2 f (x1)+ f (x2)

h2 −h2

12f IV

(ξ2)]+ h5

60f IV

(ξ1)

=2 h f (x1)+hf (x0)−2 f (x1)+ f (x2)

3−

h5

36f IV

(ξ2)+h5

60f IV

(ξ1)

Se demuestra que , llegándose finalmente a: ξ1=ξ2

∫a

b

f (x )dx =h3 [ f (x0)+4 f (x1)+ f (x2) ]⏟

Regla de Simpson 1/3

−h5

90f IV

(ξ)⏟

Error de truncamiento verdadero E t

Error de la regla 1/3 de Simpson

Da resultados para polinomios cúbicos, aun cuando su fórmula se obtenga de una parábola!!!

E t=−190

h5 f IV(ξ)=−

(b−a)5

2880f IV

(ξ)



Ea=−190

h5 f IV(ξ)=−

(b−a)5

2880f IV

(ξ)

Ejemplo 21.4, pág. 633

Integrar entre a = 0 y b = 0.8f x=0.225 x−200 x2675 x3−900 x4400 x5

Solución.f 0=0.2 ; f 0.4=2.456 ; f 0.8=0.232

I S1/3=0.8

0.2+4(2.456)+0.2326

=1.367467

E t=1.640533−1.367467=0.2730667 ; t=16.6%

Ea=−0.85

2880−2400=0.2730667

f IV x =48000 x−21600

f IV=

∫0

0.8

48000x−21600dx

0.8−0=−2400

La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple

Se divide el intervalo [a,b] en

n segmentos de igual longitud:

∫a

b

f (x)dx=∫x 0

x 2

f (x)dx+∫x 2

x 4

f (x)dx+...+∫x n−2

xn

f (x)dx

∫a

b

f (x )dx≈h3 [ f (x0)+4 f ( x1)+ f (x2)]+

h3 [ f ( x2)+4 f (x3)+ f ( x4) ]+...+

h3 [ f (xn−2)+4 f ( xn−1)+ f ( xn)]

h=b−a

n

n : número par


I S1/3=

h3 [ f (x0)+4 f (x1)+2 f (x2)+...+2 f (x n−2)+4 f (xn−1)+ f (xn) ]

I S1/3=

h3 [ f (x0)+4 ∑

i=1,3,5,..

n−1

f (xi)+2 ∑i=2,4,6,. .

n−2

f (xi)+ f (xn) ]

I S1/3=(b−a)⏟

ancho

f (x0)+4 ∑i=1,3,5,..

n−1

f (xi)+2 ∑i=2,4,6,. .

n−2

f (xi)+ f (xn)

3 n⏟altura promedio


considerandof IV=

∑i=1

n

f IV (ξi)

n /2se tiene

Ea=−(b−a)5

180 n4 f IV

=−1

180h4(b−a) f IV


Error de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple

E t=−190

h5 ∑i=2,4,6. ..

n

f IV (ξi)

#algoritmo 1iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; x = a; s = 0repetir para i desde 0 hasta n: si i==0 o i==n: s = s + f(x) en caso contrario si i%2==0: s = s + 2*f(x) en caso contrario: s = s + 4*f(x) x = x + hI = s*h/3

Regla compuesta de Simpson 1/3: Pseudocódigo


x = a + i*h si i==0 o i==n: s = s + f(x) en caso contrario si i%2==0: s = s + 2*f(x) en caso contrario: s = s + 4*f(x) I = s*h/3


#algoritmo 3 (algoritmo eficiente)

iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; x = a; s = 0s = f(a)x = x + h # primer punto interno (indice impar)# puntos internos de indice imparrepetir para i desde 1 hasta n1 cada 2: s = s + 4*f(x) x = x + 2*hx = a # punto externo inferior# puntos internos de indice parrepetir para i desde 2 hasta n2 cada 2: x = x + 2*h s = s + 2*f(x)s = s + f(b) I = s*h/3


Ejemplo 21.5


Solución.

x f(x)

0 0.2

0.2 1.288

0.4 2.456

0.6 3.464

0.8 0.232

I S1/ 3=0.8

0.2+4(1.288+3.464)+2(2.456)+0.23212

=1.623467

E t=1.640533−1.623467=0.017067 ; εt=1.04 %

Ea=−0.85

180(4)4 (−2400)=0.017067

● Planilla de cálculo: simpson13.ods

Regla 3/8 de Simpson

Se integra un polinomio de tercer grado:

P3 x =∑i=0

3

∏j=0j≠i

3 x−x j

xi−x jI≈∫

x0

x2

[∑i=0

3

∏j=0j≠i

3 (x−x j)

(x i−x j) ] dx

Integrando y sustituyendo a , siendo h=(ba)/ 3:

I S3/8=

3 h8 [ f ( x0)+3 f (x1)+3 f (x2)+ f (x3)]=(b−a)⏟

ancho

f (x0)+3 f (x1)+3 f ( x2)+ f ( x3)

8⏟altura promedio

Error de truncamiento: E t=−3

80h5 f IV

(ξ)=−(b−a)5

6480f IV

(ξ)

x i=x0+i⋅h

Resultado exacto para polinomios de grado .Pn(x ) n≤3

Ejemplo 21.6. pag. 637


a) con la regla de Simpson 3/8

b) En 5 intervalos, usando las reglas 1/3 y 3/8 de Simpson

a) Se divide en 3 partes iguales

x f(x)

0 0.2

0.533333 3.487177

0.266667 1.432724

0.8 0.232

I S3 /8=0.8

0.2+3(3.487177+1.432724)+0.2328

=1.519170

E t=1.640533−1.519170=0.1213630 ; εt=7.4 %

Ea=−0.85

6480(−2400)=0.1213630

Ejemplo 21.6. pag. 637

b) Se divide en 5 segmentos

(h = 0.16):x f(x)

0 0,200000

0,16 1,296919

0,32 1,743393

0,48 3,186015

0,64 3,181929

0,80 0,232000

I1=0.16

30.24×1.2969191.743393=0.380324

I 2=38

0.16 [1.74339333.1860153.1819290.232 ]=1.264753

I=I 1I 2=1.645077

E t=−0.00454383

t=−0.28%

● Planilla: simpson3_8.ods

La regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple *

Se divide el intervalo [a,b] en n segmentos de igual longitud:

∫a

b

f (x)dx=∫x 0

x3

f (x)dx+∫x3

x 6

f (x)dx+...+∫x n−3

x n

f ( x)dx

∫a

b

f ( x)dx≈ I S3 /8=

3 h8 [ f (x0)+3 f (x1)+3 f (x2)+ f (x3) ]+

3 h8 [ f (x3)+3 f (x4)+3 f ( x5)+ f (x6) ]+...+

3 h8 [ f (x n−3)+3 f (xn−2)+3 f (x n−1)+ f (x n) ]

h=b−a

nn : número múltiplo de 3


I S3/8=

3 h8

[ f (x0)+3 f (x1)+3 f (x2)+2 f (x3)+...+

2 f (x n−3)+3 f (xn−2)+3 f (xn−1)+ f (xn)]

I S3/8=

3 h8 [ f (x0)+3 ∑

i=1,2,4,5,. .

n−1

f (xi)+2 ∑i=3,6,9,. .

n−3

f (xi)+ f (xn) ]

I S3/8=(b−a)⏟

ancho[3 ( f (x0)+3 ∑

i=1,2,4,5,. .

n−1

f (x i)+2 ∑i=3,6,9,. .

n−3

f (x i)+ f (xn)

8 n ) ]⏟

altura promedio

#algoritmo 1iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; x = a; s = 0repetir para i desde 0 hasta n: si i==0 o i==n: s = s + f(x) en caso contrario si i%3==0: s = s + 2*f(x) en caso contrario: s = s + 3*f(x) x = x + hI = 3*h/8*s



x = a + i*h si i==0 o i==n: s = s + f(x) en caso contrario si i%3==0: s = s + 2*f(x) en caso contrario: s = s + 3*f(x) I = 3*h/8*s


#algoritmo 3 (algoritmo eficiente)

iniciar a, b, ndefinir funcion fh = (ba)/n; x = a; s = 0s = f(a)x = x + h # primer punto interno (indice 1)# puntos internos de indice no multiplo de 3repetir para i desde 1 hasta n1 cada 3: s = s + 3*f(x) x = x + h s = s + 3*f(x) x = x + 2*hx = a # punto externo inferior# puntos internos de indice multiplo de 3repetir para i desde 3 hasta n3 cada 3: x = x + 3*h s = s + 2*f(x)s = s + f(b) I = 3*h/8*s


Algoritmos● Código en Octave regla 1/3 de simpson compuesta:

simpson1_3.m

● Código en Octave regla 3/8 de simpson compuesta: simpson3_8.m

● Código en Python regla 1/3 de simpson compuesta: simpson1_3.py

● Código en Python regla 3/8 de simpson compuesta: simpson3_8.py

Otras fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de Newton-Cotes: integrales.pdf

Integración con segmentos desiguales

Apropiada para datos experimentales

Por ejemplo, con la regla trapezoidal:

I≈h1

f (x0)+ f (x1)

2+h2

f (x1)+ f (x2)

2+...+hn

f (xn−1)+ f (xn)

2


Integrar a partir de los datos:

x f(x)

0,00 0,200000

0,12 1,309729

0,22 1,305241

0,32 1,743393

0,36 2,074903

0,40 2,456000

0,44 2,842985

0,54 3,507297

0,64 3,181929

0,70 2,363000

0,80 0,232000

● solución en 21_7.ods


● Solución en 21_8.ods

x f(x)

0,00 0,200000

0,12 1,309729

0,22 1,305241

0,32 1,743393

0,36 2,074903

0,40 2,456000

0,44 2,842985

0,54 3,507297

0,64 3,181929

0,70 2,363000

0,80 0,232000

Problemas 21.1 a 21.23 pag. 645

Límite de precisión de las fórmulas de Newton-Cotes

n : número de segmentos

Muchas evaluaciones de

f(x) para alcanzar alta

precisión.

Para n grandes predomina el error de redondeo.

Integración Numérica Eficiente de Funciones

Se conoce la expresión de f(x).

Algoritmo de Romberg: usa la regla compuesta del trapecio para obtener estimaciones preliminares, aplicando luego elproceso de Extrapolación de Richardson para mejorar lasaproximaciones.

Extrapolación de Richardson: se usan dos estimaciones

numéricas de una integral con el mismo orden del error

de truncamiento, para obtener una tercera estimación más

exacta.

Extrapolación de Richardson

I=I (h)+E (h)

Aplicada con dos pasos distintos, siendo h1>h2:

I (h1)+E (h1)=I (h2)+E (h2)

Usando la regla del trapecio compuesta, el error de truncamiento se aproxima:

E≈−(b−a)3

12 n2 f II=−(b−a)

12h2 f II

El valor exacto I de una integral definida consta de la estimación y el error correspondiente de la fórmula de integración numérica usada:


Suponiendo para todo tamaño de paso h, se puede escribir: E (h1)

E (h2)≈

h12

h22 ⇒ E (h1)≈E (h2) ( h1

h2)2

Reemplazando,

I (h1)+E (h2) ( h1

h2)2

≈ I (h2)+E (h2)

despejando,

E (h2)≈I (h1)− I (h2)

1− (h1/h2 )2

f II≈cte


reemplazando,

I=I (h2)+E (h2)≈...≈ I (h2)+I (h2)−I (h1)

(h1/h2 )2−1

En el caso en que h2=h1 /2

I≈I (h2)+I (h2)−I (h1)

22−1= ... =

43

I (h2)−13

I (h1)

Se puede demostrar que el error es del orden de O(h4).



De la aplicación de la regla del trapecio, n h I et(%) 1 0.8000 0.1728 89.5 2 0.4000 1.0688 34.9 4 0.2000 1.4848 9.5

Con 1 y 2 segmentos,

I≈43

1.0688−13

0.1728=1.367467 ⇒ ...εt=16.6%

Con 2 y 4 segmentos,

I≈43

1.4848−13

1.0688=1.623467 ⇒ ...εt=1.0%


Se puede demostrar que:

I S1 /3(h2)=

43

IT (h2)−13

IT (h1)+O(h4)

A partir de dos estimaciones de O(h4), realizando el mismo procedimiento usado para la regla del trapecio, se llega a:

I=1615

I h2−115

I h1O h6

I≈I (h2)+I (h2)−I (h1)

(h1/h2 )4−1



Obtener una estimación de O(h6) a partir del ejemplo 22.1:

I≈1615

1.623467−1

151.367467=1.640533

Extrapolación de Richardson: Caso General *

A partir de dos estimaciones de O(hn), se obtiene una aproximación de O(hn+2):

I=I (h2)+I (h2)−I (h1)

(h1/h2 )n−1

+O (hn+2

)


I=I (h2)+I (h2)− I (h1)

2n−1+O (hn+2

)

Algoritmo de Romberg

En general,

I j , k=4k−1 I j1, k−1−I j , k−1

4k−1−1

k : nivel de integración

j : estimación

Por ejemplo, para k = 2 y j = 1,

I 1,2=42−1 I 2,1−I 1,1

42−1−1=

4 I 2,1−I1,1

3

Algoritmo de Romberg

La iteración continúa hasta que

∣a∣=∣I 1,k−I 1,k−1

I 1, k∣100% s

● Planilla de cálculo: romberg.ods● Código en Octave: romberg.m● Código en Octave: romberg.py

Integrales impropias

Se resuelven con una sustitución:

∫a

b

f (x)dx=∫1 /b

1 /a1t2 f ( 1t ) dt , a b>0

Es decir cuando a > 0 y b → +∞, o a → ∞ y b < 0. Si a∙b < 0, se puede hacer:

∫−∞

b

f (x)dx=∫−∞

−A

f ( x)dx+∫−A

b

f (x)dx


Se deben usar fórmulas abiertas, o combinar fórmulas abiertas con fórmulas cerradas:

∫x0

xn

f x dx=h [ 32 f x i∑i=2

n−2

f x i32

f xn−1 ]O desarrollar una fórmula semiabierta:

∫x0

xn

f x dx=h [ 32 f x i∑i=2

n−1

f xi 12

f x n ]

Regla del trapecio + regla del punto medio


Regla extendida del punto medio:

∫x0

xn

f x dx=h [ f x1 /2 f x3 /2... f xn−3 /2 f xn−1 /2 ]


Distribución normal

N (x)=∫−∞

x1

√2πe−x2

/2 dx

donde x=y−μ yσ y

Calcular N(1)


Solución.

N (1)=1

√2π (∫−∞−2

e−x2/2 dx+∫

−2

1

e−x2/2 dx )

La primera integral se calcula como

∫−∞

−2

e−x 2/2 dx= ∫

−1 /2

01t 2 e−1 /(2 t2

)dt

Usando la regla extendida del punto medio (h = 1/8):

∫−1 /2

01t 2 e−1 /(2 t2

)dt≈18 [ f (− 7

16 )+ f (− 516 )+ f (− 3

16 )+ f (− 116 ) ]


La segunda integral se calculas usando la regla 1/3 de Simpson con h = 0.5:

...=18[0.3833+0.0612+0+0 ]=0.0556

∫−2

1

e−x2 /2 dx=[1−(−2)]0.1353+4(0.3247+0.8825+0.8825)+2(0.6065+1)+0.6065

3×6

∫−2

1

e−x 2/2 dx=2.0523

El resultado final es

N (1)≈1

√2π(0.0556+2.0523)=0.8409 ⇒ εt=0.046 %

Problemas

● 22.1 a 22.3● 22.9 a 22.11● 22.14 y 22.15

Diferenciación numérica

Recordando que a partir de la serie de Taylor:

Es posible obtener:

Que se puede escribir como:

Diferencia finita dividida hacia adelante

f ( xi+ 1)= f ( x i)+ f '( x i) h+f ' '( xi)

2!h2+

f ' ' '( x i)

3!h3+ ...

f '( x i)=f ( xi+ 1)− f ( x i)

h−

f ' ' ( xi)

2h+O(h2

)

f '( x i)=f ( xi+ 1)− f ( x i)

h+O(h)


En forma similar se obtenían

Primera diferencia finita dividida hacia atrás

y

Primera diferencia finita dividida centrada

f '( x i)=f ( xi)− f ( x i−1)

h+O(h)

f '( x i)=f ( xi+ 1)− f ( x i−1)

2 h+O(h2

)


Si escribimos

Ahora hacemos

despejando,

Segunda diferencia finita dividida hacia adelante

f ( xi+2)= f ( x i)+ f ' ( x i) 2 h+f ' ' ( x i)

2!(2 h)2

+f ' ' '( x i)

3!(2 h)3

+ ...

f ( xi+ 2)−2 f ( x i+1)=...=− f ( x i)+ f ' '( x i) h2+ ...

f ' ' ( x i)=f ( x i+2)−2 f ( x i+1)+ f ( xi)

h2 +O(h)


En forma similar, haciendo

Segunda diferencia finita dividida hacia atrás

En forma similar, haciendo

Segunda diferencia finita dividida centrada

f ( xi−2)−2 f ( x i−1)

f ( xi+ 1)+ f ( x i−1)

f ' ' ( x i)=f ( x i)−2 f ( xi−1)+ f ( x i−2)

h2 +O(h)

f ' ' ( x i)=f ( x i+1)−2 f ( xi)+ f ( x i−1)

h2 +O(h2)


Sustituyendo

en

se llega a

Es decir

f ' ' ( x i)=f ( x i+2)−2 f ( x i+1)+ f ( xi)

h2 +O(h)

f '( x i)=f ( xi+ 1)− f ( x i)

h−

f ' ' ( xi)

2h+O(h2

)

f '( x i)=f ( xi+ 1)− f ( x i)

h− [ f ( x i+2)−2 f ( x i+1)+ f ( xi)

2 h2 +O(h) ] h+O(h2)

f '( x i)=− f ( x i+ 2)+4 f ( x i+1)−3 f ( xi)

2 h+O(h2

)

Fórmulas de diferencias finitas divididas

En forma similar se obtienen las fórmulas indicadas en derivadas.pdf


Encontrar la derivada de f(x) en x = 0.5

Valor exacto:

f (x)=−0.1 x 4−0.15 x3−0.5 x2−0.25 x+1.2

f ' (0.5)=−0.3×0.53−0.45×0.52−0.5−0.25=−0.9125


Con fórmulas de exactitud O(h):

x f(x)

0 1.2

0.25 1.103516

0.5 0.925

0.75 0.6363281

1 0.2

Con fórmulas de exactitud O(h2):

Diferencia finita dividida hacia atrás


Diferencia finita dividida centrada

f ' (0.5)=0.925−1.103516

0.25=−0.714 ; εt=21.7%

f ' (0.5)=0.6363281−0.925

0.25=−1.155 ; εt=−26.5%

f ' (0.5)=0.6363281−1.103516

2×0.25=−0.934 ; εt=−2.4%

Ejemplo 23.1 pag. 671x f(x)

0 1.2

0.25 1.103516

0.5 0.925

0.75 0.6363281

1 0.2


Diferencia finita dividida hacia atrás



Diferencia finita dividida centrada

f ' (0.5)=−0.2+4×0.6363281−3×0.925

2×0.25=−0.859375 ; εt=5.82 %

f ' (0.5)=3×0.925−4×1.103516+1.2

2×0.25=−0.878125 ; εt=3.77%

f ' (0.5)=−0.2+8×0.6363281−8×1.1035156+1.2

12×0.25=−0.9125 ; εt=0 %


También se puede aplicar a las derivadas (O(h²)):

D≈D h2D h2−D h1

h1 /h2 2−1

Si :

D≈43

D h2−13

D h1

h2=h1 /2

Extrapolación de Richardson: Caso General *

A partir de dos estimaciones de O(hn), se obtiene una aproximación de O(hn+2):

D=D (h2)+D (h2)−D(h1)

(h1/h2 )n−1

+O (hn+2

)


D=D(h2)+D (h2)−D(h1)

2n−1+O (hn+2

)

Se puede usar el algoritmo de Romberg

Ejemplo 23.2 pag 672

Calcular la primera derivada en x = 0.5

Con fórmulas centradas, pasos 0.5 y 0.25:

extrapolando,

f ' (0.5)=0.2−1.22×0.5

=−1.0 ; εt=−9.6%

f ' (0.5)=0.6363281−1.103516

2×0.25=−0.934375 ; εt=−2.4%

f ' (0.5)=43(−0.934375)−

13(−1)=−0.9125 ; εt=0 %

f (x)=−0.1 x 4−0.15 x3−0.5 x2−0.25 x+1.2

Derivadas de datos irregularmente espaciados

● Datos experimentales y/o de campo● Ajustar un polinomio de Lagrange de grado 2 a

3 puntos adyacentes

f ' (x)= f (xi−1)2 x−x i−x i+1

(x i−1−xi)(x i−1−x i+1)+ f (xi)

2 x−xi−1−x i+1

(x i−xi−1)(x i−x i+1)

+ f ( xi+1)2 x−x i−1−xi

(x i+1−x i−1)(x i+1−x i)


Cálculo del flujo de calor en la sup. del suelo● Ley de Fourier

● Parámetros

q(z=0)=−k ρC ( dTdz )

z=0

k=3.5×10−7 m2

s

ρ=1800kgm3 C=840

Jkg⋅° C


Solución:

f ' (x)=13.52 (0)−1.25−3.75(0−1.25)(0−3.75)

+122(0)−0−3.75

(1.25−0)(1.25−3.75)

+102(0)−0−1.25

(3.75−0)(3.75−1.25)=−1.333333° C /cm

q(z=0)=−3.5×10−7 m2

s1800

kgm3 840

Jkg⋅° C (−133.3333°

Cm )

q(z=0)=70.56Wm2

Derivadas e integrales para datos con errores

● Datos empíricos● La diferenciación numérica tiende a amplificar los errores● Se prefiere ajustar por mínimos cuadrados un polinomio de

bajo grado y derivarlo.

● La integración (por ser una suma) tiende a compensar los errores y es mucho más estable

Uso de Octave

● quad ● trapz ● diff


Estudio de casos

Determinación de la cantidad total de calor

El calor necesario para incrementar la temperatura de un material es

Donde la capacidad calorífica c puede variar con la temperatura:

Calcular el calor necesario para elevar la temperatura de 1000 g de ese material desde 100 a 200 °C.

ΔH=m cΔT

c(T )=0.132+1.56×10−4 T+2.64×10−7 T 2

Determinación de la cantidad total de calor

Solución: el incremento de temperatura se calcula como

Se aplica la regla del trapecio.

Solución en caso24_1.m

ΔH=m∫T 1

T 2

c(T )dT

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras

F=∫0

30

200 ( z5+z ) e−2 z /30 dz


La posición de la fuerza viene dada por:

Determinar la fuerza T en el cable.

Determinación de F y d en planilla de cálculo: caso24_2.ods

F = 1480,56 lb

d = 13,05 ft

d=∫0

30

z f (z)dz

∫0

30

f (z)dz


Ecuaciones de equilibrio:

∑ F H=0=F−T sinθ−H

∑ FV=0=V−T cosθ

∑M 0=0=3V−F d

V=F d3=

1480.6×13.053

=6440.6 lb

T=V

cosθ=

6440.60.995

=6473 lb

H=F−T sinθ=1480.6−6473×0.0995=836.54 lb

Raíz media cuadrática de la corriente eléctrica

El valor medio de la CA puede ser cero:

En su lugar, se calcula

i=∫0

T

sin ( 2 π tT ) dt

T−0

i=−cos(2 π)+cos 0

T=0

I RMC=√ 1T∫0

T

i2(t)dt=√ 1

T∫0

T

(10 e−t sin 2 π t )2dt

Raíz media cuadrática de la corriente eléctrica

Se usa la integración de Romberg para calcular la integral

Código en Octave: caso24_3.m

I = 15.41261

La IRMC se calcula como (con T = 1):

I RMC=√ 11

15.41261=3.925890 A

Cálculo del trabajo

Trabajo:

Si F es cte

Si θ no es constante:

W=F×d

W=∫x0

xn

F (x)dx

W=∫x0

xn

F (x)cos [θ(x)]dx


Datosx, ft F(x), lb θ, rad F(x) cos θ

0 0,0 0,50 0,0000

5 9,0 1,40 1,5297

10 13,0 0,75 9,5120

15 14,0 0,90 8,7025

20 10,5 1,30 2,8087

25 12,0 1,48 1,0881

30 5,0 1,50 0,3537

Solución en caso24_4.ods


¿¿Por qué la regla del trapecio con 2 tramos da el mejor resultado??


¿Cómo podría mejorarse la estimación?


1)2)3)

4)

5)

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