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El problema
Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz
Los recursos son escasos
Los sistemas son cada vez más complejos
Investigación operativa (I.O.)
• Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos
• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones• Requiere un enfoque interdisciplinario
Historia de la I.O.
• Se aplica por primera vez en 1780• Antecedentes:
– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)
– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)
– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)
• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial
Historia de la I.O.
• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a:– competitividad industrial– progreso teórico
• RAND (Dantzig)• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)
– gran desarrollo de los ordenadores
Actualidad de la I.O.
• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial
• Más información:– Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)
• www.cica.es/aliens/seio
– Association of European O.R. Societies (EURO)• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html
– Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)• www.informs.org
– International Federation of O.R. Societies (IFORS)• www.ifors.org
El método de la I.O.
• Definición del problema• Formulación del problema y construcción del
modelo• Resolución• Verificación, validación, refinamiento• Interpretación y análisis de resultados• Implantación y uso extensivo
A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente
El modelado
• Es una ciencia– análisis de relaciones– aplicación de algoritmos de solución
• Y a la vez un arte– visión de la realidad– estilo, elegancia, simplicidad– uso creativo de las herramientas– experiencia
Definición del problema
• Consiste en identificar los elementos de decisión– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)– alternativas– limitaciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles
Formulación del problema
• Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación
• Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos– hace más claras la estructura y relaciones– facilita el uso de técnicas matemáticas y
ordenadores– a veces no es aplicable
Construcción del modelo
• Traducción del problema a términos matemáticos– objetivos: función objetivo– alternativas: variables de decisión– limitaciones del sistema: restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas– heurísticos– simulación
Tipos de modelos
• Determinísticos– Programación
matemática• Programación lineal• Programación entera• Programación dinámica• Programación no lineal• Programación multiobjetivo
– Modelos de transporte– Modelos de redes
• Probabilísticos– Programación
estocástica– Gestión de inventarios– Fenómenos de espera
(colas)– Teoría de juegos– Simulación
Resolución
• Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones
• Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos
Verificación y validación
• Eliminación de errores• Comprobación de que el modelo se adapta a la
realidad
Interpretación y análisis
• Robustez de la solución óptima obtenida: Análisis de sensibilidad
• Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas
Ejemplo nº1
En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?
El modelo de P.L.
z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente,
Opt CTXs.a.
AX bx 0
Forma canónica
Propiedades del modelo lineal
• Proporcionalidad– La contribución al coste y a las restricciones es
directamente proporcional al valor de cada variable
• Aditividad– El coste y las restricciones son la suma directa de
las variables
• Divisibilidad– Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de
fracción
Modelos de prog. entera
• El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras– Programación entera mixta (MIP)
• x R+, y Z+
– Programación entera pura (IP)• x Z+
– Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)• x {0,1}: variables de asignación, lógicas
• Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.
• El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)
Problemas típicos
• Problema del transporte• Problema de flujo con coste mínimo en red• Problema de asignación• Problema de la mochila (knapsack)• Problema del emparejamiento (matching)• Problema del recubrimiento (set-covering)• Problema del empaquetado (set-packing)• Problema de partición (set-partitioning)• Problema del coste fijo (fixed-charge)• Problema del viajante (TSP)• Problema de rutas óptimas
Problema del transporte
Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta
Zx,x
m..i,ax
n..j,bx
.a.s
xc Min
ijij
i
n
1jij
j
m
1iij
m
1i
n
1jijij
0
1
1
xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j
ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j
Se supone oferta total igual a demanda total
Flujo con coste mínimo en red
Embarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimo
Zx,x
m..j,bxx
.a.s
xc Min
ijij
i
m
kki
m
1jij
m
1i
n
1jijij
0
11
xij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a j
bi:recursos disponibles en un nodo ioferta: bi>0demanda: bi<0transbordo: bi=0
Se supone oferta total igual a demanda total
Problema de asignación
10
11
11
,x
m..i,x
n..j,x
.a.s
xc Min
ij
n
1jij
m
1iij
m
1i
n
1jijij
xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina j
n tareasm máquinas
Si hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias
Minimizar el coste total de operación de modo que:- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina- cada máquina realice una y sólo una tarea
Problema de la mochila
10,x
bxa
.a.s
xc Max
j
n
1jjj
n
1jjj
n objetos
aj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto j
b: volumen de la mochila
xj: 1 si se escoge el objeto j
Escoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponible
Problema de emparejamiento
1,0
2..1,1
..
c
2
1
1-i
1k
1-2n
1i
2n
11jij
ij
n
ijijki
ij
x
nixx
as
xMaxxij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j
i<j
Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.
Problema de recubrimiento
m característicasn actividades
xj=1 si la actividad j se realiza
cj: coste unitario de la actividad j
aij=1 si la característica i está en la actividad j
A: matriz de incidencia
Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
Problema de empaquetado
m actividadesn conjuntos de actividades
xj=1 si se elige el subconjunto j
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia
Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
Problema de partición
m actividadesn conjuntos de actividades
xj=1 si se elige el subconjunto j
cj: beneficio por realizar el conjunto j
aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i
A: matriz de incidencia
Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades
1,0
..1,1
..
c
n
1j
n
1jj
j
jij
j
x
mixa
as
xMin
Problema del coste fijo
1,0,0
..1,
..
n
1j
n
1j
1
n
1j
kij
kkjkj
jij
m
kkkjj
yx
mkyMxa
bx
as
yfxcMin xij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de j
yk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación k
bj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande
Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda
Problema del viajante
10
1
1
,x
Vi,x
Vj,x
.a.s
xc Min
ij
Aj)j/(i,ij
Aj)i/(i,ij
Aj)(i,ijij
xij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y j
A: conjunto de arcosV: conjunto de nodos
Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima
Uj,Ui/A)j,i(ij
UVj,Ui/A)j,i(ij
VU/VU,Ux
VU/VU,x
221
221
10
1
1
1
1
1
,x
k,Vj,xx
x
Vi,x
Vj,x
.a.s
xc Min
ijk
Ar)r/(j,1jrk
Aj)i/(i,ijk
Aj)(i,ijk
Aj)j/(i,
n
kijk
Aj)i/(i,
n
kijk
n
1k Aj)(i,ijkij
Problema de rutas
221
11
0
11
1
001 00 0
1 0
0 0
0
1 1 1
NS,Sx
m..k,x
k,rdxsxt
k,Qxq
k,j,xx
n..j,x
.a.s
xcxc Min
Si Sj
m
kijk
n
1jojk
kkn
i
n
jijki
n
i
n
jijkij
n
i
n
jkijki
n
i
n
ijikijk
n
i
m
1kijk
n
0i
n
0j
m
k
m
k
n
jojkkijkij
N: clientesM: vehículos
xijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a j
qi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadro
k, dok: período tiempo disponible
ck: coste fijo por uso
Minimizar el coste total, visitando todos los clientes