Escola dos 2ºe 3ºciclos D. João I da Baixa da Banheira

Critérios de Paralelismo e

Perpendicularidade entre rectas e planos e entre

planos

Trabalho realizado por: Inês Gonçalves nº13, Joana Ferreira nº15, Pedro Ribeiro nº23, Sara Candeias nº24

Ano/Turma: 9ºA

Professor: Francisco Louro

0

Ano Lectivo: 2010/2011

Disciplina: Matemática

Índice

Introdução …………………………………………………………….. Página 2

O que é uma recta? ……………………………………………………. Página 3

O que é um plano? ...…………………………………………. ………. Página 5

O que significa paralelismo? ………………………………………….. Página 6

O que significa perpendicularidade? ………….……………………… Página 7

Critérios de paralelismo:

- Entre rectas e planos ….………...…………………………….. Página 8

- Entre planos ……...……………………………………………. Página 9

Critérios de perpendicularidade:

- Entre rectas e planos ..………………………………...……... Página 10

- Entre planos ……..……………………………………………. Página 11

Conclusão ……………………………………………………………... Página 12

1

Bibliografia ……………………………………………………………. Página 13

IntroduçãoEste trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de

Matemática, a pedido, do professor Francisco Louro.

Ao realizarmos este trabalho pretendemos enriquecer os nossos conhecimentos matemáticos para que num futuro próximo nos possa vir a ser útil.

A nossa intuição leva-nos, muitas vezes, a afirmar que dois planos são paralelos ou que uma recta é perpendicular a um plano.

Como garantir que a nossa intuição está correcta?

Utilizando critérios de paralelismo e perpendicularidade.

2

Rectas

Paralelas(Quando não têm nenhum ponto em

comum, tendo sempre a mesma distância

entre si)

Concorrentes(Quando têm um só ponto em comum)

Complanares(Quando pertencem ao

mesmo plano)

Não Complanares

(Quando não pertencem ao mesmo

plano)

O que é uma recta?Uma recta é um conjunto de pontos todos na mesma

direcção, ou uma linha, que não tem princípio ou fim. É representada ou por uma letra minúscula (neste caso, r), ou por dois dos seus pontos (AB).

3

Exemplos:

São paralelas as rectas m e n; perpendiculares as rectas l e m. ->

Podemos observar rectas em praticamente todas as situações do quotidiano:

Em qualquer um dos degraus destas escadas podemos observar rectas, como também o podemos fazer no chão ou até mesmo no corrimão.

Na cozinha, tanto nos armários, como nas

4

bancadas, e até nas prateleiras.

No parque infantil, tanto no escorrega, nos baloiços, no caixote do lixo… em tudo, praticamente.

O que é um plano?Um plano é um objecto geométrico infinito a duas

dimensões. Representa-se normalmente por um paralelogramo e identifica-se por uma letra grega ou por três dos seus pontos não colineares.

5

Exemplos de planos na vida real:

Numa baliza simples de futebol, podemos observar três planos, onde dois são paralelos.

O que significa paralelismo?Paralelismo é uma noção que indica se dois objectos

(rectas ou planos) estão na mesma direcção, com a mesma distância entre si (em qualquer ponto dos seus pontos), sem nunca se tocarem.

Exemplos de paralelismo na vida real:

- Estes lápis de cor estão colocado de forma a ficarem paralelos uns aos outros (representa rectas paralelas);

6

- Nesta vedação, por exemplo, verificamos que todos os barrotes verticais estão paralelos uns aos outros, e que ambas as tábuas horizontais também o estão. (de novo, representa rectas);

- Neste quarto podemos verificar que as paredes são paralelas duas a duas,

estando, neste caso, representadas por cores;

O que significa perpendicularidade?Perpendicularidade é uma noção que indica se dois

objectos (rectas ou planos) fazem um ângulo de 90º entre si.

Duas rectas podem ser perpendiculares, tal como dois planos o podem ser, mas pode uma recta ser perpendicular a um plano? Sim, pode.

Neste caso são duas rectas (s e r) perpendiculares, ou no caso da janela, várias (10 rectas) perpendiculares.

7

Dois planos (α e β) perpendiculares; dois livros perpendiculares.

Uma recta perpendicular a um plano; uma vara perpendicular à água.

Critérios de paralelismo

É fácil observar e verificar que duas rectas ou dois planos são paralelos, mas para o justificar é necessário enunciar teoremas a que se chamam critérios de paralelismo (entre rectas e planos, obviamente).

- Entre rectas e planos

8a

Se existir num plano uma recta paralela a uma recta dada complanar (ou seja, que não está contida nesse plano), a recta e o plano são paralelos.

No caso de uma baliza, acontece isso mesmo, tendo em atenção a recta a, e a recta b que está contida no plano α, o que torna a recta a paralela ao plano α.

- Entre planos

Se duas rectas concorrentes (a e b) de um plano (α) são paralelas a outro plano (β), então os planos são paralelos.

9

b

a

bα

A a

b

No caso de uma simples sala de aula podemos verificar que o tecto e o chão (dois planos, portanto, α e β) são paralelos.

Critérios de perpendicularidade

É igualmente fácil observar que duas rectas ou dois planos são perpendiculares, mas, mais uma vez, para o justificar é necessário enunciar os critérios de perpendicularidade (de novo entre rectas e planos, obviamente).

- Entre rectas e planos

10

a

b

β

α

t

Se uma recta (r) é perpendicular a duas rectas concorrentes (a e b) de um plano (α), então a recta (r) é perpendicular ao plano.

Considerando a árvore a recta perpendicular (r) às duas rectas concorrentes, esta acaba por ser perpendicular ao plano (chão, representado por α).

- Entre planos

Se num plano (α) existe um recta perpendicular (t) a outro plano (β), então os planos são perpendiculares.

11

r

r

abα

Denominando a parede lateral da casa como plano α e a parede frontal como plano β, temos assim dois planos perpendiculares.

Conclusão

Através da realização deste trabalho pudemos compreender uma das bases mais importantes para construção da geometria.

Um critério é uma afirmação que necessita de demonstração para ser considerada verdadeira e, com estes simples conhecimentos aqui explícitos, conseguimos confirmar e provar o paralelismo e a perpendicularidade de objectos, com uma certa facilidade.

12

α βα

β

Bibliografia

Para a realização destes trabalhos recorremos às seguintes fontes:

I – Manuais:

13

- Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Luís; Neves, Armando “Matemática”, 2ª Parte 9ºano, 1ª edição, Porto Editora, 2009.

II – Internet:

- http://geomdesc.no.sapo.pt/pag6.htm

- http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm22/representa.htm

- http://www.google.pt

14