CALCULOLímite de una Función

Fuente : Vitutor

ContenidoLímite de una función ................................................................................................................................... 3

Límite en un punto .................................................................................................................................................. 3

Límites laterales ............................................................................................................................................... 4

Limites infinitos ................................................................................................................................................ 5

Límites en el infinito ..................................................................................................................................... 6

Propiedades de los límites ................................................................................................................. 7

Operaciones con infinito ............................................................................................................................. 7

Potencias con infinito y cero ................................................................................................................................... 7

Límites ..................................................................................................................................................................... 8

Cálculo de límites cuando x tiende ∞ .............................................................................................. 9

Límite de la función exponencial ....................................................................................................... 10

Caso 1: Si a > 0 ....................................................................................................................................................... 10

Caso 2: Si 0 < a < 1 ................................................................................................................................................. 10

Ejemplos ................................................................................................................................................................ 10

Límite de la función logarítmica ......................................................................................................... 11

Caso 1: Si a > 0 ....................................................................................................................................................... 11

Caso 2: Si 0 < a < 1 ................................................................................................................................................. 11

Ejemplo: ................................................................................................................................................................. 11

Indeterminaciones ........................................................................................................................................ 12

Tipos de indeterminación ..................................................................................................................................... 12

Comparación de infinitos ................................................................................................................... 12

Límite de un número partido por cero ........................................................................................... 13

Indeterminación infinito partido infinito ...................................................................................... 14

1. Por comparación de infinitos ............................................................................................................................ 14

Ejemplos ................................................................................................................................................................ 14

2º Método.............................................................................................................................................................. 14

Indeterminación infinito menos infinito ........................................................................................ 15

Indeterminación cero partido cero ................................................................................................... 16

Indeterminación cero por infinito ............................................................................................. 16

Indeterminación uno elevado a infinito ........................................................................................ 17

Ejercicios de límites de funciones ..................................................................................................... 18

Calcular los siguientes l ímites ......................................................................................................... 19

Límite de una función

Límite en un puntoEl límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales(las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) t iene como l ímite el número L , cuando x t iende a x 0 , s i f i jado unnúmero real posit ivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que,para todos los valores de x dist intos de x 0 que cumplen la condición |x − x0| < δ, se cumpleque |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si , para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño quesea su radio ε , existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (s incontar x0) , t ienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Breath

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε >0 existe δ > 0 tal que si x

(a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por laderecha es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x

(a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .

El límite de una función en un punto si existe, es único.

Ejemplos

1.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierdacomo por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.El límite de la función es 4 aunque la función no tengaimagen en x = 2.Para calcular el límite de una función en un punto, nonos interesa lo que sucede en dicho punto sino a sualrededor.

2.

Como no coinciden los límites laterales, la función notiene límite en x = 0.

You will be there

Limites infinitos

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, sifijado un número real positivo K > 0 se verificaque f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, sifijado un número real negativo K < 0 se verificaque f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

Take me away, where you are

Límites en el infinitoLímite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Ejemplos

As the pages turn I say Goodbye

Propiedades de los límitesLímite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

‘g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.’

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Operaciones con infinitoDebemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recursopara ayudarnos a resolver límites. Debemos tener claro que infinito no es un número. No distinguimos entre +∞y −∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber: La regla de los signos y que a-n = 1/a n

Sumas con infinitoInfinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito

Productos con infinitoInfinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero

Cocientes con infinito y ceroCero partido por unnúmero

Un número partido porcero

Un número partido porinfinito

Infinito partido por unnúmero

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido porinfinito

Potencias con infinito y ceroUn número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado ainfinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

LímitesCálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el puntoa, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomarvalores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sípodemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozosEn primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no existe.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe yvale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tienelímite en x = 1 .

So I put my hope in You

Cálculo de límites cuando x tiende ∞Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.

Límite de funciones polinómicas en el infinitoEl límite cuando x → ∞ de una función polinómica es+∞ o −∞ según que el término de mayor grado seapositivo o negativo.

Ejemplos

1.

2.

Límite de la inversa de un polinomio en elinfinitoSi P(x) es un polinomio, entonces:

.

Ejemplos

Cálculo de límites cuando x → −∞

Ejemplos

1.

2.

3.

4.No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

Límite de la función exponencial

Caso 1: Si a > 0 Caso 2: Si 0 < a < 1

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

Theocracy WITHIN

Límite de la función logarítmica

Caso 1: Si a > 0 Caso 2: Si 0 < a < 1

Ejemplo:

Just tell me that you still believe

IndeterminacionesUna indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de laspropiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

4. Cero por infinito

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Comparación de infinitos

1. f(x) es un infinito de ordensuperior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de ordeninferior a g(x) si:

3. f(x) es un infinito de igualorden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Claim me

Límite de un número partido por cero

Sea k un número, el límite puede ser: +∞−∞o no tener límite.

Ejemplos

Calcular el límite:

1.

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto elnumerador como denominador son negativos, por tanto el límite por la izquierda será: +∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derechacomo −0,9. El numerador será nega vo y el denominadorpositivo, por tanto el límite por la derecha será: −∞.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x → −1.

2. 3.

Arqueros en pie

Indeterminación infinito partido infinitoPara resolver la indeterminación infinito partido infinito podemos utilizar uno de estos dos métodos:

1. Por comparación de infinitos1. El numerador tiene mayor gradoque el denominador.

El límite es ∞

2. El denominador tiene mayor gradoque el numerador.

El límite es 0

3. Numerador y denominador tienenel mismo grado.

Al tener el mismo grado el límite esel cociente entre los coeficientes demayor grado.

Ejemplos

1.El número es un infinito de orden superior.

2.El denominador es un infinito de orden superior.

3.

4.El denominador tiene mayor orden.

5.El numerador tiene mayor orden.

2º Método1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos lossumandos por la x elevada al mayor exponente.

2. Si son funciones exponenciales dividimos por laexponencial de mayor base.

Blood on our hands

Indeterminación infinito menos infinitoPara resolver la indeterminación ∞ − ∞ tenemos varios métodos:

1. Por comparación de infinitos

2. Con funciones racionales

Ponemos a común denominador, para llegar a laindeterminación ∞/∞.

3. Con funciones irracionales

Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

Please forgive us ‘cause we only make it worse

Indeterminación cero partido ceroVamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos:

Caso 1. Función racionalSe descomponen en factores los polinomios y se simplificala fracción.

1.

El límite es 0.

2.

Tomamos límites laterales:

No tiene límite en x = −1

Caso 2. Función con radicalesEn primer lugar multiplicamos numerador y denominadorpor el conjugado de la expresión irracional.Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

Indeterminación cero por infinitoLa indeterminación ∞ · 0 se transforma en otras indeterminaciones como ∞/∞ o 0/0, que ya hemos vistocomo se resuelven.

Ejemplo

I am so….

Indeterminación uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

1er Método

Sumamos y restamos 1

Ponemos a común denominador los últimos sumando

Sustituimos por el inverso del inverso

Elevamos al denominador y a su inverso

2º MétodoRealizando la siguiente transformación:

Ejemplo

I wanna live for love

Ejercicios de límites de funcionesNota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso paraayudarnos a resolver límites.

1 Aplicando la definición de l ímite, probar que:

Aplicando la definición de límite, probar que:

Para comprobarlo vamos a tomar un ε = 0 ,01.

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagenen el entorno:

Para x = 0.995 f(x)= (0.995 + 3)/ 2= 1.9975.

Para x = 1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2 = 2.0075.

2 Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos l ímites.

Calcular los siguientes límites

3

4 5

6 7

Al elevar el binomio del numerador al cuadradoobtenemos x4 , y por tanto el grado del numerador esmayor que el grado del denominador.

8

El denominador es un infinito de orden superior.

9

El numerador es un infinito de orden superior.

10 11

12 13

14 15

16 17

18 Calcular:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Forgive me now ‘cause I am forgetful