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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

Límites

Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezanecesarias para calcular límites de formadirecta.

Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán resueltos paso apaso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.

Es importante recalcar que este tema, esuno de los casos que se pueden encontraral calcular límites.

Presentación

2

Tema: Límites, Unidad I

Índice

Presentación 2

Concepto intuitivo de límite 4

Existencia de límite 6

Propiedades de límites 8

Técnicas para el cálculo de límites 9

Límites de la forma 0

011

Créditos 13

3


Concepto intuitivo de límite

Se dice que el límite de una función 𝑓(𝑥)cuando "𝑥" tiende a "𝑐", es igual a "𝐿", siconforme la "𝑥" se aproxima a “𝑐" tantopor la izquierda como por derecha, losvalores de 𝑓 𝑥 se aproximan a "𝐿"

Esto se representa simbólicamentecomo:

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿

4


5

Ejemplo #1


Considere la siguiente función:

𝑓 𝑥 =𝑥2 − 9

𝑥 + 3

Es importante conocer el comportamiento de

las imágenes de la función 𝑓 cuando 𝑥 se

acerca a 2.

Se puede acercar a 2 por la izquierda

Se puede acercar a 2 por la derecha

𝒙 𝟑 𝟐, 𝟓 𝟐, 𝟏 𝟐, 𝟎𝟏 𝟐, 𝟎𝟎𝟏

𝑦 0 −0,5 −0,9 −0,99 −0,999

2

−1

𝒙 𝟏 1, 𝟓 𝟏, 𝟗 𝟏, 𝟗𝟗 𝟏, 𝟗𝟗𝟗

𝑦 −2 −1,5 −1,1 −1,01 −1, 001

2

−1

6

Ejemplo #1


Se observa que para valores muy cercanos a

2, tanto por la izquierda (valores menores a

2) como por la derecha (valores mayores a

2), las imágenes se aproximan a −1.

Esto se representa mediante límites

laterales:

lim𝑥→2−

𝑓 𝑥 = −1 (límite lateral izquierdo)

lim𝑥→2+

𝑓 𝑥 = −1 (límite lateral derecho)

Como los límites coinciden, entonces:

Ejemplo #1

lim𝑥→2

𝑓 𝑥 = −1

Existencia de límite

Si 𝑓 una función, "𝑐" y "𝐿", son número reales, entonces se dice que:

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 si y sólo si

lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 =𝐿

En caso que los límites laterales den comoresultado valores diferentes, entonces ellímite no existe.

7


8

Ejemplo #2


Considere la siguiente función:

𝑔 𝑥 = ቐ4𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −27 𝑠𝑖 𝑥 = −21 + 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > −2

¿Qué sucede con las imágenes de la función

𝑔 cuando 𝑥 se acerca a −2?

Al ser una función a trozos, se tiene que

para los valores más pequeños que −2 se

utiliza el criterio 𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 3, pero para

los valores más grandes que −2 se utiliza el

criterio 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥2.

9

Ejemplo #2


Se puede acercar a −2 por la izquierda

Se puede acercar a −2 por la derecha

lim𝑥→−2−

𝑓 𝑥 = −5 lim𝑥→−2+

𝑓 𝑥 = 4

Como los límites laterales son diferentes,entonces el límite no existe.

𝒙 −𝟏 −𝟏, 𝟓 −𝟏, 𝟗 −𝟏, 𝟗𝟗

𝑦 2 3,25 4,61 4, 9601

−2

−5

𝒙 −𝟑 −𝟐, 𝟓 −𝟐, 𝟏 −𝟐, 𝟎𝟏

𝑦 −9 −7 −5,4 −5,04

−2

5

lim𝑥→−2

𝑓 𝑥 = ∄

Propiedades de límite

Si lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 y lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = 𝑀, con "𝑐",

"𝐿"y "𝑀" son número reales y "𝑘" una

constante, entonces se cumple que:

1. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝐿 +𝑀

2. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 𝐿 −𝑀

3. lim𝑥→𝑐

𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝐿

4. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = 𝐿 ∙ 𝑀

10


Propiedades de límite

5. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 𝑛 = lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥𝑛= 𝐿𝑛

6. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)=

𝐿

𝑀, con 𝑀 ≠ 0

7. lim𝑥→𝑐

𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) =𝑛𝐿

8. lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿

11


Técnicas para calcular límites

Sustitución directa

Las propiedades de límites y algunas otraspropiedades, permiten calcular límitesmediante la técnica de sustitución directa.

Dicha técnica, consiste en evaluar la funciónal valor que tiende el límite.

Seguidamente se anotan las propiedades delímites.

12


Técnicas para calcular límites

Propiedades:

1. lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘 con 𝑘 constante

2. lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑥

3. lim𝑥→𝑐

𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)

13


14

Ejemplos


1) lim𝑥→−3

𝑥+2

𝑥2−𝑥−7

=−3 + 2

(−3)2− −3 − 7=−1

5

2) lim𝑥→5

33+𝑥+1

2+𝑥

=

33 + 5 + 1

2 + (5)=3

7

15

Ejemplos


3) lim𝑥→

1

2

2𝑥−1

5𝑥+𝑥2+2

=2

12 − 1

5−12 +

12

2

+ 2

=0

−14

= 0

16

Ejemplos


4) Considera la función

𝑓 𝑥 =

2𝑥2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

4𝑥 + 3 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 3

𝑥2 − 5𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

Determine:

a) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

b) lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

c) lim𝑥→3

𝑓(𝑥)

17

Ejemplos


En este caso, la función 𝑓(𝑥) es una función atrazos, es decir, dependiendo del valor de lavariable 𝑥 el criterio de la función pudecambiar. Se puede representar mediante unarecta numérica.

Para los valores más pequeñoa o iguales a −1se utiliza el criterio 2𝑥2 + 3𝑥 y para losvalores más grandes −1 más pequeños que 3se utiliza el criterio 4𝑥 + 3.

Para los valores más pequeños que 3 pero másgrane que −1 se utiliza el criterio 4𝑥 + 3 ypara los valores más grandes o iguales a −3 seutiliza el criterio 𝑥2 − 5𝑥.

−1 3

2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3

4𝑥 + 3 𝑥2 − 5𝑥

18

Ejemplos


Paso 1Definir el vecindario

a) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

−1 3

2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3

4𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥

El vecindario para conocer el comportamiento de la función 𝑓, involucra dos criterios diferentes.

El criterio 2𝑥2 + 3𝑥 para el límite lateral izquierdo (valores más pequeños que −1) y el criterio 4𝑥 + 3 para el límite

lateral derecho (valores más grandes que −1)

19

Ejemplos


Paso 2Determinar límites laterales

lim𝑥→−1−

2𝑥2 + 3𝑥 = 2 −1 2 + 3 −1 = −1

lim𝑥→−1+

4𝑥 + 3 = 4 −1 + 3 = −1

Paso 3Dar la respuesta

Como los límites laterales dan el mismo resultado, entonces el límite existe y es −1

lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) = −1

20

EjemplosTema: Límites, Unidad I


a) lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

−1 3

2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3

4𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥

El vecindario para conocer el comportamiento de la función 𝑓, involucra dos criterios diferentes.

El criterio 2𝑥2 + 3𝑥 para el límite lateral izquierdo (valores más pequeños que−1) y el criterio 4𝑥 + 3 para el límite

lateral derecho (valores más grandes que −1)

21


Paso 2Calcular el límite

lim𝑥→2

4𝑥 + 3 = 4 2 + 3 = 9


lim𝑥→2

𝑓 𝑥 =2

22



c) lim𝑥→3

𝑓(𝑥)

−1 3

2𝑥2 + 3𝑥4𝑥 + 3

4𝑥 + 3𝑥2 − 5𝑥

2

El vecindario para conocer el comportamiento de la función 𝑓,involucra dos criterios diferentes.

El criterio 4𝑥 + 3 para el límite lateral izquierdo (valores más pequeños que −1) y el criterio 𝑥2 − 5𝑥 para el límite lateral

derecho (valores más grandes que −1)

23


Paso 2Determinar límites laterales

lim𝑥→3−

4𝑥 + 3 = 4(3) + 3 = 15

lim𝑥→3+

𝑥2 − 5𝑥 = (3)2−5 3 = −6


Como los límites laterales dan como resultadovalores distintos, entonces el límite no existe

lim𝑥→3

𝑓(𝑥) = ∄

Límites de la forma 𝟎

𝟎

Al aplicar la técnica de sustitución directa,se puede presentar el caso que algunoslímites sean indeterminados, es decir, de la

forma0

0.

Para poder calcular el límite, es necesariotrabajar algebraicamente la expresión,factorizando o racionalizando.

24


25


Resuelva el siguiente límite:

lim𝑥→−1

3𝑥2 − 2𝑥 − 1

2𝑥2 − 2

Paso 1Evaluar el límite

=3(−1)2 − 2(−1) − 1

2(−1)2 − 2=0

0

Paso 2Factorizar el numerador y denominador la expresión.

= lim𝑥→−1

3𝑥 + 1 𝑥 − 1

2 𝑥2 − 1

Ejemplo #1

Ejemplo #1

26


= lim𝑥→−1

(3𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

Paso 3Simplificar la expresión

= lim𝑥→−1

(3𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

= lim𝑥→−1

3𝑥 + 1

2 𝑥 − 1

Ejemplo #1

27



=3 −1 + 1

2( −1 − 1)

=1

2


lim𝑥→−1

3𝑥2 − 2𝑥 − 1

2𝑥2 − 2=1

2

Ejemplo #2

28



lim𝑥→−1

𝑥3 + 1

5𝑥2 + 4𝑥 − 1


=(−1)3+1

5(−1)2+4(−1) − 1=0

0

Paso 2Factorizar el numerador y denominador la expresión.

= lim𝑥→−1

𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1

5𝑥 − 1 𝑥 + 1

Ejemplo #2

29



= lim𝑥→−1

𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1

5𝑥 − 1 𝑥 + 1

= lim𝑥→−1

𝑥2 − 𝑥 + 1

5𝑥 − 1


=(−1)2−(−1) + 1

5(−1) − 1

=−1

2

Ejemplo #2

30



lim𝑥→−1

𝑥3 + 1

5𝑥2 + 4𝑥 − 1=−1

2

Ejemplo #3

31



lim𝑥→𝑎

5𝑥 + 3𝑎

2𝑥2 − 3𝑎


=5 𝑎 + 3𝑎

2(𝑎)2−3𝑎

=8𝑎

4𝑎2 − 3𝑎

=8𝑎

𝑎(4𝑎 − 3)

Ejemplo #3

32


=8

4𝑎 − 3


lim𝑥→𝑎

5𝑥 + 3𝑎

2𝑥2 − 3𝑎=

8

4𝑎 − 3

Ejemplo #4

33



lim𝑤→𝑎

2𝑤3 − 𝑎𝑤2 − 𝑎2𝑤

𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎


=2(𝑎)3−𝑎 𝑎 2 − 𝑎2 𝑎

(𝑎)2+𝑎(𝑎) + 3(𝑎) − 2𝑎2 − 3𝑎

=2𝑎3 − 𝑎3 − 𝑎3

𝑎2 + 𝑎2 + 3𝑎 − 2𝑎2 − 3𝑎

=0

0

Ejemplo #4

34


Paso 2Factorizar el numerador y el denominador

lim𝑤→𝑎

2𝑤3 − 𝑎𝑤2 − 𝑎2𝑤

𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎

= lim𝑤→𝑎

𝑤(2𝑤2 − 𝑎𝑤 − 𝑎2)

(𝑤2+𝑎𝑤 − 2𝑎2) + (3𝑤 − 3𝑎)

= lim𝑤→𝑎

𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎

(𝑤 − 𝑎) 𝑤 + 2𝑎 + 3(𝑤 − 𝑎)

= lim𝑤→𝑎

𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎

(𝑤 − 𝑎)(𝑤 + 2𝑎 + 3)

Para factorizar el denominador, se aplica el método de agrupamiento. 𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎 = (𝑤2+𝑎𝑤 − 2𝑎2) + (3𝑤 − 3𝑎)

Al primer subgrupo se le aplica inspección y al segundo subgrupo factor común.

Ejemplo #4

35



= lim𝑤→𝑎

𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎

(𝑤 − 𝑎)(𝑤 + 2𝑎 + 3)

= lim𝑤→𝑎

𝑤(2𝑤 + 𝑎) 𝑤 − 𝑎

(𝑤 − 𝑎)(𝑤 + 2𝑎 + 3)

= lim𝑤→𝑎

𝑤(2𝑤 + 𝑎)

𝑤 + 2𝑎 + 3

Paso 4

Evaluar el límite

=𝑎(2𝑎 + 𝑎)

𝑎 + 2𝑎 + 3

Ejemplo #4

36


=𝑎(3𝑎)

3𝑎 + 3

=3𝑎2

3 𝑎 + 1

=3𝑎2

3 𝑎 + 1

=𝑎2

𝑎 + 1

Paso 4

Dar la respuesta

lim𝑤→𝑎

2𝑤3 − 𝑎𝑤2 − 𝑎2𝑤

𝑤2 + 𝑎𝑤 + 3𝑤 − 2𝑎2 − 3𝑎=

𝑎2

𝑎 + 1

Al finaliza el recurso, se espera que losejercicios le sean de utilidad para reforzarlos conceptos necesarios para calcularlímites, y al mismo tiempo, pueda construirlos nuevos conocimientos de Cálculo I.

“La matemática es el alfabeto con que Dios escribió al mundo.”

Galileo Galilei

Factorizar la expresión

37


Créditos

38

Universidad Técnica NacionalCoordinación de Matemáticas y Estadística

Contenido

Autor: Evelyn Delgado Carvajal

Producción del recurso didáctico:

Productora académica: Yetty Lara Alemán

Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde

Derecho de Autor

Queda prohibida la reproducción, transformación, distribución y comunicación pública de la obra multimedia [Límites], por cualquier medio o procedimiento, conocido o por conocerse, sin el consentimiento previo de los titulares de los derechos, así como de las obras literarias, artísticas o científicas particulares que contiene.


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