Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar

Ayrık MatematikBagıntılar ve Fonksiyonlar

H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı

2001-2013

Lisans

c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı

You are free:

to Share – to copy, distribute and transmit the work

to Remix – to adapt the work

Under the following conditions:

Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).

Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.

Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.

Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Konular

1 BagıntılarGirisBagıntı NitelikleriEsdegerlilik

2 FonksiyonlarGirisGuvercin Deligi IlkesiRekursiyon

Konular



Bagıntı

Tanım

bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N

coklu: bagıntının her bir elemanı

α ⊆ A× B: ikili bagıntı

aαb ile (a, b) ∈ α aynı

bagıntı gosterilimi:

cizimlematrisle

Bagıntı

Tanım

bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N





cizimlematrisle

Bagıntı

Tanım

bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N





cizimlematrisle

Bagıntı

Tanım

bagıntı: α ⊆ A× B × C × · · · × N





cizimlematrisle

Bagıntı Ornegi

Ornek

A = {a1, a2, a3, a4},B = {b1, b2, b3}α = {(a1, b1), (a1, b3), (a2, b2), (a2, b3), (a3, b1), (a3, b3), (a4, b1)}

b1 b2 b3

a1 1 0 1a2 0 1 1a3 1 0 1a4 1 0 0

Mα =

1 0 10 1 11 0 11 0 0

Bagıntı Ornegi

Ornek

A = {a1, a2, a3, a4},B = {b1, b2, b3}α = {(a1, b1), (a1, b3), (a2, b2), (a2, b3), (a3, b1), (a3, b3), (a4, b1)}

b1 b2 b3

a1 1 0 1a2 0 1 1a3 1 0 1a4 1 0 0

Mα =

1 0 10 1 11 0 11 0 0

Bagıntı Bileskesi

Tanım

bagıntı bileskesi:α ⊆ A× B, β ⊆ B × C olsunαβ = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C ,∃b ∈ B [aαb ∧ bβc]}

Mαβ = Mα ×Mβ

mantıksal islemlerle:1 : T , 0 : F , · : ∧,+ : ∨

Bagıntı Bileskesi Ornegi

Ornek

Bagıntı Bileskesi Matrisi Ornegi

Ornek

Mα =

1 0 00 0 10 1 10 1 01 0 1

Mβ =1 1 0 00 0 1 10 1 1 0

Mαβ =

1 1 0 00 1 1 00 1 1 10 0 1 11 1 1 0

Bagıntı Bileskesinde Birlesme

bagıntı bileskesi birlesme ozelligi gosterir

(αβ)γ = α(βγ).

(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)




(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)




(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)




(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)




(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)




(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)




(a, d) ∈ (αβ)γ

⇔ ∃c [(a, c) ∈ αβ ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃c [∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β] ∧ (c, d) ∈ γ]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ∃c [(b, c) ∈ β ∧ (c, d) ∈ γ]]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, d) ∈ βγ]

⇔ (a, d) ∈ α(βγ)

Bagıntı Bileskesi Teoremleri

α, δ ⊆ A× B, veβ, γ ⊆ B × C olsun

α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ

α(β ∩ γ) ⊆ αβ ∩ αγ

(α ∪ δ)β = αβ ∪ δβ

(α ∩ δ)β ⊆ αβ ∩ δβ

(α ⊆ δ ∧ β ⊆ γ) ⇒ αβ ⊆ δγ


α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.

(a, c) ∈ α(β ∪ γ)

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]

⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)

∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]

⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ

⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ


α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.

(a, c) ∈ α(β ∪ γ)

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]

⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)

∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]

⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ

⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ


α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.

(a, c) ∈ α(β ∪ γ)

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]

⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)

∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]

⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ

⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ


α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.

(a, c) ∈ α(β ∪ γ)

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]

⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)

∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]

⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ

⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ


α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.

(a, c) ∈ α(β ∪ γ)

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]

⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)

∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]

⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ

⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ


α(β ∪ γ) = αβ ∪ αγ.

(a, c) ∈ α(β ∪ γ)

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ (β ∪ γ)]

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ ((b, c) ∈ β ∨ (b, c) ∈ γ)]

⇔ ∃b [((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β)

∨ ((a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ γ)]

⇔ (a, c) ∈ αβ ∨ (a, c) ∈ αγ

⇔ (a, c) ∈ αβ ∪ αγ

Evrik Bagıntı

Tanım

α−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ α}

Mα−1 = MTα

Evrik Bagıntı Teoremleri

(α−1)−1 = α

(α ∪ β)−1 = α−1 ∪ β−1

(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1

α−1 = α−1

(α− β)−1 = α−1 − β−1

α ⊂ β ⇒ α−1 ⊂ β−1


α−1 = α−1.

(b, a) ∈ α−1

⇔ (a, b) ∈ α

⇔ (a, b) /∈ α

⇔ (b, a) /∈ α−1

⇔ (b, a) ∈ α−1


α−1 = α−1.

(b, a) ∈ α−1

⇔ (a, b) ∈ α

⇔ (a, b) /∈ α

⇔ (b, a) /∈ α−1

⇔ (b, a) ∈ α−1


α−1 = α−1.

(b, a) ∈ α−1

⇔ (a, b) ∈ α

⇔ (a, b) /∈ α

⇔ (b, a) /∈ α−1

⇔ (b, a) ∈ α−1


α−1 = α−1.

(b, a) ∈ α−1

⇔ (a, b) ∈ α

⇔ (a, b) /∈ α

⇔ (b, a) /∈ α−1

⇔ (b, a) ∈ α−1


α−1 = α−1.

(b, a) ∈ α−1

⇔ (a, b) ∈ α

⇔ (a, b) /∈ α

⇔ (b, a) /∈ α−1

⇔ (b, a) ∈ α−1


(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.

(b, a) ∈ (α ∩ β)−1

⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)

⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1


(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.

(b, a) ∈ (α ∩ β)−1

⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)

⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1


(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.

(b, a) ∈ (α ∩ β)−1

⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)

⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1


(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.

(b, a) ∈ (α ∩ β)−1

⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)

⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1


(α ∩ β)−1 = α−1 ∩ β−1.

(b, a) ∈ (α ∩ β)−1

⇔ (a, b) ∈ (α ∩ β)

⇔ (a, b) ∈ α ∧ (a, b) ∈ β

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∧ (b, a) ∈ β−1

⇔ (b, a) ∈ α−1 ∩ β−1


(α− β)−1 = α−1 − β−1.

(α− β)−1 = (α ∩ β)−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 − β−1


(α− β)−1 = α−1 − β−1.

(α− β)−1 = (α ∩ β)−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 − β−1


(α− β)−1 = α−1 − β−1.

(α− β)−1 = (α ∩ β)−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 − β−1


(α− β)−1 = α−1 − β−1.

(α− β)−1 = (α ∩ β)−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 ∩ β−1

= α−1 − β−1

Bileske Evrigi

Teorem

(αβ)−1 = β−1α−1

Tanıt.

(c, a) ∈ (αβ)−1

⇔ (a, c) ∈ αβ

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]

⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]

⇔ (c, a) ∈ β−1α−1

Bileske Evrigi

Teorem

(αβ)−1 = β−1α−1

Tanıt.

(c, a) ∈ (αβ)−1

⇔ (a, c) ∈ αβ

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]

⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]

⇔ (c, a) ∈ β−1α−1

Bileske Evrigi

Teorem

(αβ)−1 = β−1α−1

Tanıt.

(c, a) ∈ (αβ)−1

⇔ (a, c) ∈ αβ

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]

⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]

⇔ (c, a) ∈ β−1α−1

Bileske Evrigi

Teorem

(αβ)−1 = β−1α−1

Tanıt.

(c, a) ∈ (αβ)−1

⇔ (a, c) ∈ αβ

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]

⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]

⇔ (c, a) ∈ β−1α−1

Bileske Evrigi

Teorem

(αβ)−1 = β−1α−1

Tanıt.

(c, a) ∈ (αβ)−1

⇔ (a, c) ∈ αβ

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]

⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]

⇔ (c, a) ∈ β−1α−1

Bileske Evrigi

Teorem

(αβ)−1 = β−1α−1

Tanıt.

(c, a) ∈ (αβ)−1

⇔ (a, c) ∈ αβ

⇔ ∃b [(a, b) ∈ α ∧ (b, c) ∈ β]

⇔ ∃b [(b, a) ∈ α−1 ∧ (c, b) ∈ β−1]

⇔ (c, a) ∈ β−1α−1

Konular



Bagıntı Nitelikleri

α ⊆ A× A

A kumesinde ikili bagıntı

αn ifadesi αα · · ·α anlamına gelsin

birim bagıntı: E = {(x , x) | x ∈ A}


α ⊆ A× A





α ⊆ A× A




Yansıma

yansımalı

α ⊆ A× A∀a [aαa]

E ⊆ α

yansımasız:∃a [¬(aαa)]

ters yansımalı:∀a [¬(aαa)]

Yansıma

yansımalı


E ⊆ α



Yansıma

yansımalı


E ⊆ α



Yansıma

yansımalı


E ⊆ α



Yansıma Ornekleri

Ornek

R1 ⊆ {1, 2} × {1, 2}R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}

R1 yansımalıdır

Ornek

R2 ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}

R2 yansımasızdır

Yansıma Ornekleri

Ornek

R1 ⊆ {1, 2} × {1, 2}R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}

R1 yansımalıdır

Ornek

R2 ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}

R2 yansımasızdır

Yansıma Ornekleri

Ornek

R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}

R ters yansımalıdır

Yansıma Ornekleri

Ornek

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ab ≥ 0}

R yansımalıdır

Bakıslılık

bakıslı

α ⊆ A× A∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ∧ bαa) ∨ (¬(aαb) ∧ ¬(bαa))]∀a, b [(a = b) ∨ (aαb ↔ bαa)]

α−1 = α

bakıssız:∃a, b [(a 6= b) ∧ (aαb ∧ ¬(bαa)) ∨ (¬(aαb) ∧ bαa))]

ters bakıslı:∀a, b [(a = b) ∨ (aαb → ¬(bαa))]

⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık

bakıslı


α−1 = α



⇔ ∀a, b [(a = b) ∨ ¬(aαb) ∨ ¬(bαa)]

⇔ ∀a, b [¬(aαb ∧ bαa) ∨ (a = b)]

⇔ ∀a, b [(aαb ∧ bαa) → (a = b)]

Bakıslılık Ornekleri

Ornek

R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}

R bakıssızdır


Ornek

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ab ≥ 0}

R bakıslıdır


Ornek

R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 1), (2, 2)}

R bakıslı ve ters bakıslıdır

Gecislilik

gecisli

α ⊆ A× A∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → (aαc)]

α2 ⊆ α

gecissiz:∃a, b, c [(aαb ∧ bαc) ∧ ¬(aαc)]

ters gecisli:∀a, b, c [(aαb ∧ bαc) → ¬(aαc)]

Gecislilik

gecisli


α2 ⊆ α



Gecislilik

gecisli


α2 ⊆ α



Gecislilik

gecisli


α2 ⊆ α



Gecislilik Ornekleri

Ornek

R ⊆ {1, 2, 3} × {1, 2, 3}R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)}

R ters gecislidir

Gecislilik Ornekleri

Ornek

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ab ≥ 0}

R gecissizdir

Evrik Bagıntı Nitelikleri

Teorem

Yansıma, bakıslılık ve gecislilik nitelikleri evrik bagıntıda korunur.

Ortuler

yansımalı ortu:rα = α ∪ E

bakıslı ortu:sα = α ∪ α−1

gecisli ortu:tα =

⋃i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·

Ortuler



gecisli ortu:tα =

⋃i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·

Ortuler



gecisli ortu:tα =

⋃i=1,2,3,... αi = α ∪ α2 ∪ α3 ∪ · · ·

Ozel Bagıntılar

once gelen - sonra gelen

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | a− b = 1}

ters yansımalı

ters bakıslı

ters gecisli

Ozel Bagıntılar

bitisiklik

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | |a− b| = 1}

ters yansımalı

bakıslı

ters gecisli

Ozel Bagıntılar

dar sıra

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | a < b}

ters yansımalı

ters bakıslı

gecisli

Ozel Bagıntılar

kısmi sıra

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | a ≤ b}

yansımalı

ters bakıslı

gecisli

Ozel Bagıntılar

onsıra

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | |a| ≤ |b|}

yansımalı

bakıssız

gecisli

Ozel Bagıntılar

sınırlı fark

R ⊆ Z× Z,m ∈ Z+

R = {(a, b) | |a− b| ≤ m}

yansımalı

bakıslı

gecissiz

Ozel Bagıntılar

karsılastırılabilirlik

R ⊆ U× UR = {(a, b) | (a ⊆ b) ∨ (b ⊆ a)}

yansımalı

bakıslı

gecissiz

Ozel Bagıntılar

kardeslik

ters yansımalı

bakıslı

gecisli

bir bagıntı nasıl bakıslı, gecisli ve yansımasız olabilir?

Ozel Bagıntılar

kardeslik

ters yansımalı

bakıslı

gecisli

bir bagıntı nasıl bakıslı, gecisli ve yansımasız olabilir?

Konular



Uyusma Bagıntıları

Tanım

uyusma bagıntısı: γ

yansımalı

bakıslı

cizerek gosterilimde oklar yerine cizgiler

matris gosterilimi merdiven seklinde

αα−1 bir uyusma bagıntısıdır


Tanım


yansımalı

bakıslı





Tanım


yansımalı

bakıslı




Uyusma Bagıntısı Ornegi

Ornek

A = {a1, a2, a3, a4}R = {(a1, a1), (a2, a2),

(a3, a3), (a4, a4),

(a1, a2), (a2, a1),

(a2, a4), (a4, a2),

(a3, a4), (a4, a3)}

1 1 0 01 1 0 10 0 1 10 1 1 1

10 00 1 1


Ornek

A = {a1, a2, a3, a4}R = {(a1, a1), (a2, a2),

(a3, a3), (a4, a4),

(a1, a2), (a2, a1),

(a2, a4), (a4, a2),

(a3, a4), (a4, a3)}

1 1 0 01 1 0 10 0 1 10 1 1 1

10 00 1 1


Ornek (αα−1)

P: kisiler, L: dillerP = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}L = {l1, l2, l3, l4, l5}

α ⊆ P × L

Mα =

1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 11 0 1 1 00 0 0 1 00 1 1 0 0

Mα−1 =

1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 10 0 1 1 0 10 0 0 1 1 00 0 1 0 0 0


Ornek (αα−1)

P: kisiler, L: dillerP = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}L = {l1, l2, l3, l4, l5}

α ⊆ P × L

Mα =

1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 11 0 1 1 00 0 0 1 00 1 1 0 0

Mα−1 =

1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 10 0 1 1 0 10 0 0 1 1 00 0 1 0 0 0


Ornek (αα−1)

αα−1 ⊆ P × P

Mαα−1 =

1 1 0 1 0 11 1 0 1 0 10 0 1 1 0 11 1 1 1 1 10 0 0 1 1 01 1 1 1 0 1

Uyusanlar Sınıfı

Tanım

uyusanlar sınıfı: C ⊆ A∀a, b [a ∈ C ∧ b ∈ C → aγb]

en ust uyusanlar sınıfı:baska bir uyusanlar sınıfının altkumesi degil

bir eleman birden fazla EUS’ye girebilir

eksiksiz ortu: Cγ

tum EUS’lerin olusturdugu kume

Uyusanlar Sınıfı

Tanım




eksiksiz ortu: Cγ


Uyusanlar Sınıfı

Tanım




eksiksiz ortu: Cγ


Uyusanlar Sınıfı Ornegi

Ornek (αα−1)

C1 = {a4, a6}C2 = {a2, a4, a6}C3 = {a1, a2, a4, a6} (EUS)

Cγ(A) = {{a1, a2, a4, a6},{a3, a4, a6},{a4, a5}}


Ornek (αα−1)


Cγ(A) = {{a1, a2, a4, a6},{a3, a4, a6},{a4, a5}}


Ornek (αα−1)


Cγ(A) = {{a1, a2, a4, a6},{a3, a4, a6},{a4, a5}}

Esdegerlilik Bagıntıları

Tanım

esdegerlilik bagıntısı: ε

yansımalı

bakıslı

gecisli

esdegerlilik sınıfları (bolmelemeler)

her eleman tek bir esdegerlilik sınıfına girer

eksiksiz ortu: Cε

Esdegerlilik Bagıntıları

Tanım

esdegerlilik bagıntısı: ε

yansımalı

bakıslı

gecisli

esdegerlilik sınıfları (bolmelemeler)

her eleman tek bir esdegerlilik sınıfına girer

eksiksiz ortu: Cε

Esdegerlilik Bagıntısı Ornegi

Ornek

R ⊆ Z× ZR = {(a, b) | ∃m ∈ Z [a− b = 5m]}

R bagıntısı Z kumesini 5 esdegerlilik sınıfına bolmeler

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 5: Relations and Functions

5.1. Cartesian Products and Relations

Chapter 7: Relations: The Second Time Around

7.1. Relations Revisited: Properties of Relations7.4. Equivalence Relations and Partitions

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 10: Relations

Konular



Fonksiyonlar

Tanım

fonksiyon: f : X → Y∀x ∈ X ∀y1, y2 ∈ Y (x , y1), (x , y2) ∈ f ⇒ y1 = y2

X : tanım kumesi, Y : deger kumesi

y = f (x) ile (x , y) ∈ f aynı

y , x ’in f altındaki goruntusu

f : X → Y ve X1 ⊆ X olsunaltkume goruntusu: f (X1) = {f (x) | x ∈ X1}

Fonksiyonlar

Tanım






Fonksiyonlar

Tanım






Altkume Goruntusu Ornekleri

Ornek

f : R → Rf (x) = x2

f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . . }

f ({−2, 1}) = {1, 4}

Altkume Goruntusu Ornekleri

Ornek

f : R → Rf (x) = x2

f (Z) = {0, 1, 4, 9, 16, . . . }

f ({−2, 1}) = {1, 4}

Fonksiyon Nitelikleri

Tanım

f : X → Y fonksiyonu birebir (ya da injektif):∀x1, x2 ∈ X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

Tanım

f : X → Y fonksiyonu orten (ya da surjektif):∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y

f (X ) = Y

Tanım

f : X → Y fonksiyonu bijektif:f fonksiyonu birebir ve orten


Tanım


Tanım


f (X ) = Y

Tanım



Tanım


Tanım


f (X ) = Y

Tanım


Birebir Fonksiyon Ornekleri

Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0


Ornekf : R → Rf (x) = 3x + 7

f (x1) = f (x2)⇒ 3x1 + 7 = 3x2 + 7⇒ 3x1 = 3x2

⇒ x1 = x2

Karsı Ornek

g : Z → Zg(x) = x4 − x

g(0) = 04 − 0 = 0g(1) = 14 − 1 = 0

Orten Fonksiyon Ornekleri

Ornek

f : R → Rf (x) = x3

Karsı Ornek

f : Z → Zf (x) = 3x + 1

Orten Fonksiyon Ornekleri

Ornek

f : R → Rf (x) = x3

Karsı Ornek

f : Z → Zf (x) = 3x + 1

Fonksiyon Bileskesi

Tanım

f : X → Y , g : Y → Z olsun

g ◦ f : X → Z(g ◦ f )(x) = g(f (x))

fonksiyon bileskesi degisme ozelligi gostermez

fonksiyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir:f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

Fonksiyon Bileskesi

Tanım

f : X → Y , g : Y → Z olsun

g ◦ f : X → Z(g ◦ f )(x) = g(f (x))

fonksiyon bileskesi degisme ozelligi gostermez

fonksiyon bileskesi birlesme ozelligi gosterir:f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

Fonksiyon Bileskesi Ornekleri

Ornek (degisme ozelligi)

f : R → Rf (x) = x2

g : R → Rg(x) = x + 5

g ◦ f : R → R(g ◦ f )(x) = x2 + 5

f ◦ g : R → R(f ◦ g)(x) = (x + 5)2



f : R → Rf (x) = x2

g : R → Rg(x) = x + 5

g ◦ f : R → R(g ◦ f )(x) = x2 + 5

f ◦ g : R → R(f ◦ g)(x) = (x + 5)2



f : R → Rf (x) = x2

g : R → Rg(x) = x + 5

g ◦ f : R → R(g ◦ f )(x) = x2 + 5

f ◦ g : R → R(f ◦ g)(x) = (x + 5)2

Fonksiyon Bileskesi Teoremleri

Teorem

f : X → Y , g : Y → Z olsunf birebir ∧ g birebir ⇒ g ◦ f birebir

Tanıt.

(g ◦ f )(a1) = (g ◦ f )(a2)⇒ g(f (a1)) = g(f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2


Teorem


Tanıt.



Teorem


Tanıt.



Teorem


Tanıt.



Teorem


Tanıt.



Teorem

f : X → Y , g : Y → Z olsunf orten ∧ g orten ⇒ g ◦ f orten

Tanıt.

∀z ∈ Z ∃y ∈ Y g(y) = z∀y ∈ Y ∃x ∈ X f (x) = y⇒ ∀z ∈ Z ∃x ∈ X g(f (x)) = z


Teorem


Tanıt.



Teorem


Tanıt.



Teorem


Tanıt.


Birim Fonksiyon

Tanım

birim fonksiyon: 1X

1X : X → X1X (x) = x

Evrik Fonksiyon

Tanım

f : X → Y fonksiyonu evrilebilir:∃f −1 : Y → X [f −1 ◦ f = 1X ∧ f ◦ f −1 = 1Y ]

f −1: f fonksiyonunun evrigi

Evrik Fonksiyon Ornekleri

Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x


Ornek

f : R → Rf (x) = 2x + 5

f −1 : R → Rf −1(x) = x−5

2

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(2x + 5) = (2x+5)−52 = 2x

2 = x

(f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x−52 ) = 2 x−5

2 + 5 = (x − 5) + 5 = x

Fonksiyon Evrigi

Teorem

Bir fonksiyon evrilebilirse evrigi tektir.

Tanıt.

f : X → Y olsun

g , h : Y → X olsun, oyle ki:g ◦ f = 1X ∧ f ◦ g = 1Y

h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Fonksiyon Evrigi

Teorem


Tanıt.

f : X → Y olsun


h ◦ f = 1X ∧ f ◦ h = 1Y

h = h ◦ 1Y = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g = 1X ◦ g = g

Evrilebilir Fonksiyon

Teorem

Bir fonksiyon yalnız ve ancak birebir ve orten ise evrilebilir.


Evrilebilir ise birebirdir.

f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2

Evrilebilir ise ortendir.

f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))



f : A → B

f (a1) = f (a2)

⇒ f −1(f (a1)) = f −1(f (a2))

⇒ (f −1 ◦ f )(a1) = (f −1 ◦ f )(a2)

⇒ 1A(a1) = 1A(a2)

⇒ a1 = a2


f : A → B

b

= 1B(b)

= (f ◦ f −1)(b)

= f (f −1(b))


Birebir ve orten ise evrilebilirdir.

f : A → B

f orten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b

g : B → A fonksiyonu a = g(b) ile belirlensin

g(b) = a1 6= a2 = g(b) olabilir mi?

f (a1) = b = f (a2) olması gerekir

olamaz: f birebir



f : A → B

f orten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b




olamaz: f birebir



f : A → B

f orten ⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b




olamaz: f birebir

Konular



Guvercin Deligi Ilkesi

Tanım

Guvercin Deligi Ilkesi (Dirichlet kutuları):m adet guvercin n adet delige yerlesirse ve m > n ise,en az bir delikte birden fazla guvercin vardır.

f : X → Y olsun:|X | > |Y | ise f birebir bir fonksiyon olamaz

∃x1, x2 ∈ X [x1 6= x2 ∧ f (x1) = f (x2)]

Guvercin Deligi Ilkesi

Tanım

Guvercin Deligi Ilkesi (Dirichlet kutuları):m adet guvercin n adet delige yerlesirse ve m > n ise,en az bir delikte birden fazla guvercin vardır.

f : X → Y olsun:|X | > |Y | ise f birebir bir fonksiyon olamaz

∃x1, x2 ∈ X [x1 6= x2 ∧ f (x1) = f (x2)]

Guvercin Deligi Ilkesi Ornekleri

Ornek

367 kisinin arasında en az ikisinin dogum gunu aynıdır.

0 ile 100 arasında tamsayı notlar alınan bir sınavda,en az iki ogrencinin aynı notu almasının kesin olması icinsınava kac ogrenci girmis olmalıdır?

Guvercin Deligi Ilkesi Ornekleri

Ornek

367 kisinin arasında en az ikisinin dogum gunu aynıdır.

0 ile 100 arasında tamsayı notlar alınan bir sınavda,en az iki ogrencinin aynı notu almasının kesin olması icinsınava kac ogrenci girmis olmalıdır?

Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi

Tanım

Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi:m adet nesne n adet kutuya dagıtılırsa,en az bir kutuda en az dm/ne adet nesne olur.

Ornek

100 kisinin arasında en az 9 kisi (d100/12e) aynı ayda dogmustur.

Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi

Tanım

Genellestirilmis Guvercin Deligi Ilkesi:m adet nesne n adet kutuya dagıtılırsa,en az bir kutuda en az dm/ne adet nesne olur.

Ornek

100 kisinin arasında en az 9 kisi (d100/12e) aynı ayda dogmustur.

Guvercin Deligi Ilkesi Ornegi

Teorem

S = {1,2,3,. . . ,9} kumesinin 6 elemanlı herhangi bir altkumesindetoplamı 10 olan iki sayı vardır.


Teorem

S kumesi en buyugu 14 olabilen 6 elemanlı bir pozitif tamsayılarkumesi olsun. S’nin bos olmayan altkumelerinin elemantoplamlarının hepsi birbirinden farklı olamaz.

Tanıt Denemesi

A ⊆ SsA : A’nın elemanlarının toplamı

delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69

guvercin: 26 − 1 = 63

Tanıt.

|A| ≤ 5 olan altkumelere bakalım.

delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60

guvercin: 26 − 2 = 62


Teorem


Tanıt Denemesi


delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69

guvercin: 26 − 1 = 63

Tanıt.


delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60

guvercin: 26 − 2 = 62


Teorem


Tanıt Denemesi


delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69

guvercin: 26 − 1 = 63

Tanıt.


delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60

guvercin: 26 − 2 = 62


Teorem


Tanıt Denemesi


delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69

guvercin: 26 − 1 = 63

Tanıt.


delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60

guvercin: 26 − 2 = 62


Teorem


Tanıt Denemesi


delik:1 ≤ sA ≤ 9 + · · ·+ 14 = 69

guvercin: 26 − 1 = 63

Tanıt.


delik:1 ≤ sA ≤ 10 + · · ·+ 14 = 60

guvercin: 26 − 2 = 62


Teorem

S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki, ciftin bir elemanı digerini boler.

Tanıt Yontemi

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]oldugu gosterilecek

bu teorem kullanılarak asıl teorem tanıtlanacak


Teorem

S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki, ciftin bir elemanı digerini boler.

Tanıt Yontemi

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]oldugu gosterilecek

bu teorem kullanılarak asıl teorem tanıtlanacak


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.

n = 1: r = 0, p = 1n ≤ k: n = 2rp varsayalımn = k + 1:n = 2 : r = 1, p = 1n asal (n > 2) : r = 0, p = n¬(n asal) : n = n1n2

n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

∀n ∃!p [n = 2rp ∧ r ∈ N ∧ ∃t ∈ Z [p = 2t + 1]]

Varlık Tanıtı.


n = 2r1p1 · 2r2p2

n = 2r1+r2 · p1p2

Teklik Tanıtı.

tek degilse:

n = 2r1p1 = 2r2p2

⇒ 2r1−r2p1 = p2

⇒ 2|p2


Teorem

S = {1, 2, 3, . . . , 200} kumesinden secilecek 101 elemanın icindeen az bir cift vardır ki ciftin bir elemanı digerini boler.

Tanıt.

T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100

let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t

S ’den 101 eleman secilirse en az ikisininT ’deki goruntusu aynı olur: f (s1) = f (s2) ⇒ 2m1t = 2m2t

s1s2

=2m1t

2m2t= 2m1−m2


Teorem


Tanıt.

T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100

let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t


s1s2

=2m1t

2m2t= 2m1−m2


Teorem


Tanıt.

T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100

let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t


s1s2

=2m1t

2m2t= 2m1−m2


Teorem


Tanıt.

T = {t | t ∈ S ,∃i ∈ Z [t = 2i + 1]}, |T | = 100

let f : S → T , r ∈ Ns = 2r t → f (s) = t


s1s2

=2m1t

2m2t= 2m1−m2

Konular



Rekursif Fonksiyonlar

Tanım

rekursif fonksiyon: kendisi cinsinden tanımlanan fonksiyon

f (n) = h(f (m))

tumevarımla tanımlanan fonksiyon: her adımda boyutukuculenrekursif bir fonksiyon

f (n) =

{k n = 0h(f (n − 1)) n > 0

Rekursiyon Orneklerii

Ornek

f 91(n) =

{n − 10 n > 100f 91(f 91(n + 11)) n ≤ 100

Ornek (faktoryel)

f (n) =

{1 n = 0n · f (n − 1) n > 0

Rekursiyon Orneklerii

Ornek

f 91(n) =

{n − 10 n > 100f 91(f 91(n + 11)) n ≤ 100

Ornek (faktoryel)

f (n) =

{1 n = 0n · f (n − 1) n > 0

Euclid Algoritması

Ornek (ortak bolenlerin en buyugu)

obeb(a, b) =

{b b|aobeb(b, a mod b) b - a

obeb(333, 84) = obeb(84, 333 mod 84)

= obeb(84, 81)

= obeb(81, 84 mod 81)

= obeb(81, 3)

= 3

Euclid Algoritması

Ornek (ortak bolenlerin en buyugu)

obeb(a, b) =

{b b|aobeb(b, a mod b) b - a

obeb(333, 84) = obeb(84, 333 mod 84)

= obeb(84, 81)

= obeb(81, 84 mod 81)

= obeb(81, 3)

= 3

Fibonacci Dizisi

Fibonacci dizisi

Fn = fib(n) =

1 n = 11 n = 2fib(n − 1) + fib(n − 2) n > 2

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 . . .1 1 2 3 5 8 13 21 . . .

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Fibonacci Dizisi

Teorem∑ni=1 Fi

2 = Fn · Fn+1

Tanıt.

n = 2 :∑2

i=1 Fi2 = F1

2 + F22 = 1 + 1 = 1 · 2 = F2 · F3

n = k :∑k

i=1 Fi2 = Fk · Fk+1

n = k + 1 :∑k+1

i=1 Fi2 =

∑ki=1 Fi

2 + Fk+12

= Fk · Fk+1 + Fk+12

= Fk+1 · (Fk + Fk+1)

= Fk+1 · Fk+2

Ackermann Fonksiyonu

Ackermann fonksiyonu

ack(x , y) =

y + 1 x = 0ack(x − 1, 1) y = 0ack(x − 1, ack(x , y − 1)) x > 0 ∧ y > 0

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 5: Relations and Functions

5.2. Functions: Plain and One-to-One5.3. Onto Functions: Stirling Numbers of the Second Kind5.5. The Pigeonhole Principle5.6. Function Composition and Inverse Functions

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 11: Functions

Education

Ayrık Matematik - Bağıntılar ve Fonksiyonlar