Automação - Sistema de controle

Automação IV

Análise e Projeto de Sistemas Controle pelo

Método do Lugar das Raízes e pela

Resposta em Freqüência

- Notas de Aula -

José Carlos Borim Revisão Janeiro de 2004

Índice Capítulo 1 – Revisão em Sistemas de Controle com Realimentação Negativa (Não incluído neste texto). Capítulo 2 – Análise da Estabilidade dos Sistemas de Controle 2.1 Introdução 2.2 Critério Geral de Estabilidade 2.3 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Capítulo 3 – Método do Lugar das Raízes 3.1 Introdução 3.2 Conceito de Lugar das Raízes 3.3 Técnicas Básicas para a Construção do Lugar das Raízes 3.4 Técnicas Adicionais para a Construção do Lugar das Raízespo Discreto Capítulo 4 – Análise da Resposta em Freqüência 4.1 Introdução 4.2 Resposta Estacionária a Entradas Senoidais 4.3 Gráficos de Resposta em Freqüência 4.4 Diagramas de Bode Capítulo 5 – Análise da Estabilidade no Domínio da Freqüência 5.1 Introdução 5.2 Critério de Estabilidade de Nyquist 5.3 Aplicações do Critério de Nyquist na Análise da Estabilidade 5.4 Estabilidade Relativa e o Diagrama de Bode Capítulo 6 – Projeto de Sistemas de Controle com Realimentação Negativa (Não incluído neste texto).

Bibliografia (a) Richard C. Dorf e Robert H. Bishop – ‘Sistemas de Controle Moderno’. (b) Charles L. Phillips e Royce D. Harbor – ‘Feedback Control Systems’ (c) Katsuhiko Ogata – ‘Engenharia de Controle Moderno’ (d) Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar e Duncan A. Mellichamp – ‘Process Dynamics and

Control’ (e) P. L. Lee, R. B. Newell e I. T. Cameron – ‘Process Control and Mangement’

Cap. 3 – Método do Lugar das Raízes

José Carlos Borim 5

Capítulo 2

Análise da Estabilidade dos Sistemas de Controle 2.1 Introdução Uma conseqüência importante da utilização de controle por realimentação negativa é que este pode provocar uma resposta oscilatória no sistema. Se a oscilação tiver pequena amplitude e decair rapidamente, então, a performance do sistema de controle é, geralmente, considerada satisfatória. No entanto, sob certas circunstâncias, as oscilações podem se tornar não amortecidas ou, até mesmo, crescerem em amplitude com o tempo até que um limite físico seja atingido, como por exemplo, uma válvula de controle totalmente aberta ou fechada. Nestas situações, o sistema em malha fechada é considerado instável. Neste capítulo são analisadas as características de estabilidade de um sistema de controle em malha fechada e são apresentados diversos critérios para se determinar se um sistema é estável ou não. Inicialmente, será considerado um exemplo ilustrativo de um sistema de controle que pode se tornar instável. Exemplo 2.1 Considere o sistema de controle por realimentação mostrado na figura 5.1, com as seguintes funções de transferência:

)1.2(1

115

112

1+

=+

=+

==s

Gs

Gs

GKG mpvcc



em que R(s) e C(s) são, respectivamente, a entrada e a saída do sistema de controle. Mostre que o sistema em malha fechada pode produzir uma resposta instável dependendo do ganho do controlador, Kc. Solução: Para se determinar o efeito do ganho Kc na resposta transitória em malha fechada c(t), iremos considerar uma mudança em degrau unitário no setpoint, R(s) = 1/s. A função de transferência em malha fechada do sistema de controle apresentado na figura 5.1 é:

Substituindo-se (2.1) em (2.2) e reordenando-se os termos tem-se:

Se Kc for especificado, c(t) pode ser calculado pela transformada inversa de Laplace da equação (2.3). Naturalmente, as raízes do polinômio cúbico em s devem ser determinadas antes de se fazer a expansão de (2.3) em frações parciais para, finalmente, utilizar a tabela de transformadas de Laplace. A solução de (2.2), apresentada na figura 5.2, demonstra que, a medida que Kc aumenta, a resposta se torna mais oscilatória, tornando-se instável para Kc = 15. A resposta instável do exemplo 2.1 é uma oscilação em que a amplitude cresce a cada novo ciclo. Nos sistemas físicos, no entanto, a amplitude irá aumentar até que um limite seja atingido. Como, geralmente, o elemento final de controle tem limites de saturação, a resposta instável de um sistema irá se manifestar como uma oscilação com uma amplitude constante. Este tipo de oscilação também pode ocorrer sem que o elemento final de controle atinja algum limite de saturação. Claramente, a condição de estabilidade deve ser um pré-requisito para um controle satisfatório. Conseqüentemente, é de muita importância prática o conhecimento das condições para as quais um sistema de controle se torna instável. Por exemplo, quais valores dos parâmetros Kc, τI e τD, do controlador PID (proporcional+integral+derivativo) mantêm o controle do processo estável?

)2.2(1)(

)()(pvcm

pvc

GGGGGGG

sRsCsT

+==

)3.2(1181710

)1()()()( 23 sKsss

sKsRsTsC

c

c

+++++

==



2.2 Critério Geral de Estabilidade A grande maioria dos processos industriais é estável sem realimentação negativa. Por este motivo, eles são chamados de estáveis em malha aberta ou auto-regulados. Um processo estável em malha aberta irá retornar ao seu estado estacionário após a ocorrência de um distúrbio transitório. Existem alguns processos, no entanto, que podem ser instáveis em malha aberta. Estes processos são extremamente difíceis de se operar sem controle por realimentação negativa. Antes de se apresentar alguns critérios de estabilidade, deve-se introduzir o conceito de sistema estável:

Definição de Estabilidade: Um sistema é estável se a resposta da saída for limitada

para toda e qualquer entrada também limitada. De outra forma ele é instável. Uma entrada limitada significa que a variável de entrada permanece entre limites de mínimo e máximo ao longo do tempo. Exemplo 2.2 Um sistema de armazenamento de líquido está mostrado na figura 5.3. Mostre que este processo não é auto-regulado. Solução: A função de transferência que relaciona o nível do tanque h com a diferença entre as vazões de entrada qi e de saída q, pode ser expressa por:

em que ∆Q(s) = Qi(s) – Q(s) e A é a área de seção quadrada do tanque. Se considerarmos, a partir de uma condição de equilíbrio, uma entrada em degrau, em Qi(s), de amplitude M, o nível é dado por:

Tomando a transformada inversa de Laplace, tem-se a resposta temporal de h(t):

A resposta é, portanto, não limitada para uma entrada em degrau (que é limitada). Podemos concluir que este processo não é auto-regulado (ou estável em malha aberta).

)4.2(1)()()(

AssQsHsG =

∆=

2)(AsMsH =

tAMth =)(



Equação característica do sistema: Como ponto de partida para a análise da estabilidade de um sistema de controle, considere o diagrama de blocos da figura 5.4. A função de transferência em malha fechada pode ser facilmente determinada empregando-se álgebra de diagramas de blocos:

Se G(s) e Gm(s) são relações de polinômios em s, então a função de transferência em malha fechada, T(s), também é uma relação de polinômios em s. T(s) pode ser fatorada em termos de pólos e zeros como:

onde K' é uma constante selecionada para dar o ganho estático correto ao sistema. Para que o sistema possa ser realizável fisicamente, o número de pólos deve ser maior ou igual ao número de zeros, isto é, n ≥ m. Comparando-se as equações (2.5) e (2.6) pode-se afirmar que os pólos são, também, as raízes da seguinte equação, que é chamada de equação característica do sistema em malha fechada:

A equação característica é decisiva na determinação da estabilidade do sistema, como será provado em seguida. Para uma mudança em degrau unitário no setpoint, R(s) = 1/s, a saída C(s) pode ser determinada por:

Se não existirem pólos repetidos, então a expansão de (2.8) em frações parciais tem a seguinte forma:

)5.2()()(1

)()()()(

sGsGsG

sRsCsT

m+==

)6.2())...()(())...()((

)(21

21'

n

m

pspspszszszs

KsT−−−−−−

=

)7.2(0)()(1 =+ sGsGm

)8.2())...()(())...()((

)(21

21'

n

m

pspspszszszs

sKsC

−−−−−−

=

)9.2(...)(2

2

1

10

n

n

psA

psA

psA

sA

sC−

++−

+−

+=



sendo que {A}, os resíduos de C(s) nos pólos, podendo ser determinado pelo método de Heaveside. Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (2.9), tem-se:

Se supormos que um dos pólos é um número real positivo, isto é, pk > 0, então se pode concluir, pela equação (2.10), que c(t) não será limitada a um novo valor para uma entrada em degrau, isto é, uma entrada limitada. Pode-se afirmar, neste caso, que o sistema de controle da figura 5.4 é instável. Se pk for um número complexo, pk = ak + jbk, com uma parte real positiva (ak > 0), então o sistema também é instável. Em contraste, se todos os pólos forem negativos (ou se possuírem parte real negativa), então o sistema é estável. Estas considerações podem ser resumidas no seguinte critério de estabilidade:

Critério Geral de Estabilidade: Um sistema de controle é estável se todas as raízes da

equação característica são negativas ou têm partes reais negativas. De outra forma o sistema é instável.

A figura 5.5 traz uma representação gráfica do critério de estabilidade. Note que todas as raízes da equação característica do sistema em malha fechada devem estar do lado esquerdo do eixo imaginário do plano complexo de s para que o sistema seja estável. Do ponto de vista matemático, o critério geral de estabilidade apresentado acima é uma condição necessária e suficiente. Portanto, a estabilidade de sistemas lineares é completamente determinada pelas raízes da equação característica. Um sistema será marginalmente estável se a equação característica possuir raízes simples sobre o eixo imaginário (eixo jω), com todas as demais raízes no semiplano da esquerda do plano s. Para estes sistemas, a saída, em regime permanente, será oscilatória com amplitude limitada para uma entrada também limitada, a menos que a entrada seja uma sinoide cuja freqüência seja igual à magnitude das raízes no eixo jω. Neste caso a saída será ilimitada (sistema instável). Exemplo 2.3 Considere um processo de 1ª ordem que tem a função de transferência:

e, portanto é instável em malha aberta (pólo p1 = 1). Se H(s) for considerado igual a 1, determine se um controlador proporcional pode estabilizar o sistema em malha fechada.

)10.2(...)( 21210

tpn

tptp neAeAeAAtc ++++=

12,0−

=s

Gp



Solução: A função de transferência em malha fechada é dada por:

e a equação característica do sistema é:

que tem uma única raiz em s = 1 – 0,2Kc. Se o requisito de estabilidade é que s < 0, então Kc > 5. Este exemplo ilustra o importante fato que um sistema de controle por realimentação negativa pode ser utilizado para estabilizar um processo que não é estável naturalmente. Exemplo 2.4 Determine, para cada um dos sistemas representados pelas funções de transferência abaixo, se são estáveis ou não. Justifique a resposta.

Solução: (a) O sistema é estável, pois as raízes da equação característica (s+1)(s+2) = 0, são s = -1

e s = -2, estando, portanto, localizadas no semiplano esquerdo do plano s. (b) Este sistema é instável porque o pólo em s = 3 está localizado no semiplano direito do

plano s. (c) Os pólos do sistema estão localizados em s = ± j, isto é, sobre o eixo imaginário do

plano s. Sistemas desta natureza são ditos marginalmente estáveis e exibem uma resposta senoidal não amortecida (com amplitude constante). No entanto, se a entrada de tais sistemas for senoidal e na mesma freqüência da oscilação natural, a saída não será limitada, tornando, nestas condições, o sistema instável.

Nos exemplos 2.3 e 2.4, as equações características são de 1ª ou de 2ª ordem, o que torna possível se obter as raízes por métodos analíticos. Nos casos de polinômios de ordem superior, não é possível utilizar o método analítico e então técnicas numéricas para obtenção das raízes devem ser aplicadas. Felizmente, uma alternativa atrativa, o método de Routh-Hurwitz, permite a avaliação da estabilidade de um sistema, sem se calcular as raízes de sua equação característica.

12,02,0

)(−+

=c

c

KsK

sT

012,0 =−+ cKs

11)()(

)4)(3)(1()4,2(10)()(

)2)(1(2)()( 2 +

=+−+

+=

++=

ssTc

sssssTb

sssTa



2.3 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz O critério de Routh-Hurwitz é um procedimento analítico para se determinar se todas as raízes de um polinômio possuem partes reais negativas e é utilizado na análise de estabilidade dos sistemas lineares invariantes no tempo. O critério de Routh-Hurwitz só pode ser aplicado em sistemas em que a equação característica é um polinômio em s. O critério de Routh-Hurwitz é baseado em uma equação característica da forma:

Pode-se assumir, arbitrariamente, que an > 0, caso contrário, basta multiplicar a equação (2.11) por –1 para gerar uma nova equação que satisfaz esta premissa. Uma condição necessária (mas não suficiente) para que o sistema seja estável é que todos os coeficientes (a0, a1, ..., an) da equação característica sejam positivos. Se qualquer coeficiente for negativo ou zero, então pelo menos uma raiz estará localizada no semiplano direito do plano s ou sobre o eixo imaginário, e o sistema é instável. Se todos os coeficientes são positivos, o próximo passo para se aplicar o critério de Routh-Hurwitz é construir o seguinte arranjo, chamado de arranjo de Routh:

Linha 1 an an-2 an-4 . . . 2 an-1 an-3 an-5 . . . 3 b1 b2 b3 . . . 4 c1 c2 . . . . . . . . .

n+1 z1 O arranjo de Routh tem n+1 linhas, onde n é a ordem da equação característica, equação (2.11). O arranjo tem uma estrutura quase triangular com um único elemento na última linha. As duas primeiras linhas são formadas pelos coeficientes de s da equação característica, arranjados de acordo com a tabela acima. Os elementos restantes nas demais linhas são calculados por um método conveniente. A linha b é calculada a partir das duas linhas diretamente acima, a linha c a partir das duas linhas diretamente acima, e assim por diante. As equações dos coeficientes são:

Uma vez tendo sido construído o arranjo, o critério de Routh-Hurwitz pode ser expresso como:

Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz: Uma condição necessária e suficiente para que todas as raízes da equação característica de um sistema tenham partes reais negativas

é que todos os elementos da coluna da esquerda do arranjo de Routh sejam positivos.

)11.2(0... 011

1 =++++ −− asasasa n

nn

n

)12.2(...

...

1

31512

1

21311

1

5412

1

3211

bbaab

cb

baabc

aaaaa

ba

aaaab

nnnn

n

nnnn

n

nnnn

−−−−

−

−−−

−

−−−

−=

−=

−=

−=



De acordo com o critério de Routh-Hurwitz, o número de raízes no semiplano da direita do plano s, é igual ao número de mudanças de sinal dos elementos na primeira coluna do arranjo. Os seguintes exemplos demonstram como o critério de Routh-Hurwitz pode ser aplicado. Exemplo 2.5 Determine a estabilidade de um sistema que possui a seguinte equação característica:

Solução: Se não existe um termo em s, seu coeficiente é zero. Então o sistema é instável. Conforme já estabelecido, uma condição necessária (mas não suficiente) para a estabilidade é que todos os coeficientes na equação característica devem ser positivos e diferentes de zero. Exemplo 2.6 Considere um sistema cuja equação característica é dada por:

Determine se o sistema é estável ou não. Solução: O arranjo de Routh é:

1 1 2 2 1 8 3 -6 4 8

onde:

Como existe um elemento negativo na primeira coluna, o sistema é, então, instável. Podem-se identificar duas mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna e, portanto, duas raízes do polinômio estão localizadas no semiplano da direita. O exemplo 2.6 demonstra como o critério de Routh-Hurwitz é aplicado. Note, no entanto, que apenas a estabilidade do sistema é determinada. Se a localização das raízes da equação característica não é definida pelo método, então a resposta transitória de um sistema estável não pode ser determinada pela aplicação deste método.

0135 234 =+++ sss

08223 =+++ sss

86486

182

1

21311

1

3211 =

−−

=−

=−=−

=−

= −−

−

−−−

bbaab

ca

aaaab nn

n

nnnn



Exemplo 2.7 Determine os valores do ganho do controlador Kc que fazem com que o sistema de controle do exemplo 2.1 seja estável. Solução: Da equação (2.3), a equação característica do sistema de controle é:

A primeira condição para que o sistema seja estável é que todos os coeficientes sejam positivos, isto é, 1 + Kc > 0 ou Kc > -1. O arranjo de Routh é:

1 10 8 2 17 1+Kc 3 b1 b2 4 c1

onde

Para que o sistema seja estável, todos os elementos da 1ª coluna do arranjo devem ser positivos, portanto:

Podemos concluir que o sistema será estável se:

Nota: O método de construção do arranjo de Routh requer que todos os elementos da 1ª coluna sejam diferentes de zero, pois, de outra forma, não seria possível completar o cálculo dos demais elementos do arranjo (divisão por zero). A presença de um zero na 1ª coluna já indica a existência de, pelo menos, uma raiz no semiplano da direita do plano s, o que implica, portanto, que o sistema é instável. Na literatura fornecida poderão ser encontrados alguns métodos para a construção do arranjo de Routh nestes casos.

0181710 23 =++++ cKsss

cc

cc K

bKb

cbKK

b +=−+

==−=+−

= 1)0(17)1(

0588,041,717

)1(10)8(17

1

1121

1016,120588,041,7 −>→>+<→>− cccc KKKK

6,121 <<− cK



Capítulo 3

Método do Lugar das Raízes 3.1 Introdução A localização das raízes da equação característica, ou os pólos da função de transferência, define a natureza da resposta transitória e a estabilidade do sistema de controle. O diagrama do lugar das raízes provê um método gráfico para se conhecer como as raízes da equação característica mudam quando um parâmetro em particular do sistema muda. 3.2 Conceito de Lugar das Raízes O conceito de lugar das raízes será apresentado através de um exemplo. Exemplo 3.1 Considere o sistema de controle em malha fechada da figura 3.1, em que H(s) = 1.

A função de transferência em malha fechada do sistema é:

)1.3(2)(1

)()()()( 2 Kss

KsKG

sKGsRsCsT

++=

+==

Portanto, a equação característica da função de transferência é dada por:

)2.3(022 =++ Kss



Observando-se (3.2) pode-se afirmar que o sistema é estável para qualquer K > 0 (sistema de 2ª ordem com todos os coeficientes positivos e diferentes de zero). A questão de interesse é: como o valor de K afeta a resposta transitória da variável controlada? O diagrama do lugar das raízes da equação característica, conforme será demonstrado a seguir, nos ajuda a responder esta questão. O diagrama representa o lugar das raízes da equação característica da função de transferência, equação (3.2), no plano s para K variando de zero a infinito. As raízes da equação (3.2) são:

)3.3(112

442 KKs −±−=−±−

=

Tabela 3.1 – Raízes da equação característica do exemplo 3.1

Parâmetro variável Raízes Resposta transitória

K = 0 s = 0 e -2 Sistema instável em malha aberta.

0 < K < 1 Raízes reais e negativas. Sistema sobre amortecido.

K = 1 Raízes iguais, reais e negativas. Sistema criticamente amortecido.

K > 1 11 −±−= Kjs Sistema sub amortecido.

A figura 3.2 apresenta a localização das raízes da equação (3.2) no plano s, para K variando de zero a infinito. Este gráfico é chamado de Diagrama do Lugar das Raízes e é amplamente empregado na análise e no projeto de sistemas de controle.



Pode ser observado na figura 3.2 que, para qualquer K > 1, as raízes da equação característica são pares complexos conjugados e a constante de tempo do sistema, ζωn, é igual a -1. Na região do lugar das raízes em que 1 < K < ∞, é possível afirmar que a constante de amortecimento, ζ, diminui e a freqüência natural, ωn, aumenta com o aumento do ganho K do controlador. A resposta transitória será, portanto, mais oscilatória com o aumento de K. Pode também ser observado que a parte real das raízes nunca será positiva, o que indica que o sistema é estável para qualquer valor de K. Condição para que um ponto no plano s pertença ao lugar das raízes da função de transferência: Se considerarmos o sistema de controle da figura 3.3,

A equação característica do sistema é:

)4.3(0)()(1 =+ sGsKH

Pode-se afirmar que s1 é um ponto no lugar das raízes se e somente se s1 satisfazer a equação (3.4) para um valor real de K, tal que 0 ≤ K < ∞. A equação (3.4) pode ser rescrita na forma:

)5.3()()(

11)()(

sGsHK

sGsKH

−=

−=

Como s é uma variável complexa, (3.5) pode ser rescrita na forma polar:

)7.3(,3,1),180()()(

)6.3()()(

1

L±±==∠

=

rrsGsHArgumento

sGsHK

Módulo



A equação (3.6) é chamada de ‘critério da magnitude do lugar das raízes’. Ela é sempre satisfeita para qualquer valor de s (sempre irá existir um K positivo e real). A equação (3.7) é chamada de ‘critério do ângulo do lugar das raízes’. s tem que satisfazer (3.7) para ser um ponto do lugar das raízes. O critério do ângulo está ilustrado na figura 3.4, para a função em malha aberta:

)8.3())((

)()()(21

1

pspszsKsGsKH−−

−=

Suponhamos que o ponto s1 deve ser testado para se determinar se ele pertence ao lugar das raízes do sistema da equação (3.8). O ângulo do fator (s1 – z1) é θ1, do fator (s1 – p1) é θ2 e do fator (s1 – p2) é θ3. Pelo critério do ângulo, equação (3.7), s1 é um ponto no lugar das raízes se θ1 - θ2 - θ3 = ±180°. Se s1 pertencer ao lugar das raízes, o valor de K que coloca o lugar das raízes passando pelo ponto s1 é, equação (3.6):

)()(1

sGsHK =

Do desenvolvimento mostrado anteriormente, baseado na equação (3.7), pode ser também afirmado que a condição para que um ponto no plano s pertença ao lugar das raízes é:

( ) ( ) )9.3(,3,1)180( L±±=°=−∑∑ rr pólosngulos dostodos os â zerosngulos dostodos os â Para o sistema da figura 3.3, o produto KH(s)G(s) é chamado de função em malha aberta. A função em malha aberta é definida tal que a equação característica do sistema é obtida somando-se um a esta função e igualando-se a zero. Se F(s) é a função em malha aberta, então a equação característica é 1 + F(s) = 0. Muitos procedimentos de análise e projeto que serão apresentados neste texto são baseados no uso da função em malha aberta. Exemplo 3.2 Considere o lugar das raízes obtido no exemplo 3.1. Deseja-se demonstrar que qualquer ponto na bissetriz do segmento -2 a 0 pertence ao lugar das raízes da equação característica, conforme apresentado na figura 3.5. A função em malha aberta do sistema do exemplo 3.1 é:



)2()()(

+=

ssKsGsKH

O critério do ângulo do lugar das raízes é:

°±=−−°±=+∠−∠−

°±=+

∠=∠

180180)2(

180)2(

1)()(

21

1

θθss

sssGsH

Examinando-se a figura 3.5, se s1 está na bissetriz podemos afirmar que:

21 180 θθ −°=

( ) °−=−−°− 180180 22 θθ Portanto, qualquer s na bissetriz do segmento -2 a 0 pertence ao lugar das raízes do sistema.

O valor de K para um dado s = s1 na bissetriz pode ser calculado pela equação (3.6). Por exemplo, se s1 = -1 ± j2, então o valor de K será:

55212

52)1(

2)2()()(

1

221

221

11

=

=+=+

=+−=

+=+==

Ks

s

sssssGsH

K



Como os pólos são sempre pares complexos conjugados, o valor de K pode ser obtido com qualquer um deles. Exemplo 3.3 Para um sistema de controle com função de malha aberta

∞<≤++

= Ksss

KsGsKH 0)2)(1(

)()(

Verifique, utilizando o critério do ângulo, se os seguintes pontos pertencem ao lugar das raízes:

jsdjscsbsa +−==−=−= 1)(414,1)(5,1)(5,0)( Resposta: (a) pertence, (b) não pertence, (c) pertence, (d) não pertence. Atualmente existem programas de computador especialmente desenvolvidos para o cálculo e construção do lugar das raízes (MATLAB, por exemplo). No entanto, um bom conhecimento das regras e técnicas de construção do lugar das raízes proporciona uma rápida avaliação dos efeitos da mudança de parâmetros e da inclusão de pólos e zeros no sistema de controle. 3.3 Técnicas Básicas para a Construção do Lugar das Raízes As regras que serão apresentadas para a construção do lugar das raízes são baseadas no critério do ângulo, equações (3.7) e (3.9). Estas regras não serão provadas. O leitor interessado na demonstração poderá consultar um dos livros textos sugeridos na bibliografia. 1ª regra: O lugar das raízes é simétrico com respeito ao eixo real. Esta regra se aplica, pois raízes complexas de polinômios com coeficientes reais, premissa já assumida, sempre aparecem na forma de pares complexos conjugados. 2ª regra: O lugar das raízes se origina nos pólos de H(s)G(s), para K = 0, e termina nos zeros de H(s)G(s), para K → ∞, incluindo os zeros no infinito (número de pólos maior que o número de zeros). A equação característica do sistema da figura 3.3 pode ser expressa da forma:



)10.3(0)())(()())((

1)()(121

21 =−−−−−−

+=+n

m

pspspszszszsK

sGsKHL

L

A equação (3.10) pode ser rearranjada para eliminar as frações:

)11.3(0)())(()())(( 2121 =−−−+−−− mn zszszsKpspsps LL

Para K = 0, as raízes da equação característica são simplesmente os pólos da função em malha aberta H(s)G(s). Quando K tende a infinito, mas as raízes permanecem finitas, os ramos do lugar das raízes se aproximam dos zeros da função em malha aberta. Se a função em malha aberta possui zeros no infinito, isto é, mais pólos do que zeros, ou n > m (o que ocorre na maioria dos casos práticos), os ramos do lugar das raízes irão também tender a estes zeros quando K tende a infinito. A diferença α = n – m dá o número de ramos que tendem ao infinito quando K → ∞. 3ª regra: Se a função em malha aberta possui α zeros no infinito, α ≥ 1, o lugar das raízes aproxima-se de α assíntotas quando K → ∞. Os ângulos que as assíntotas fazem com o eixo real do plano s são:

)12.3(,3,1)180(L±±=

°= rr

αθ

Tabela 3.2 – Ângulos das

assíntotas

α Ângulos

0 Nenhuma assíntota

1 180°

2 ±90°

3 ±60°, 180°

4 ±45°, ±135°

As assíntotas interceptam o eixo real no ponto:

)13.3(rosmero de zepólos - núnúmero de

zerospólosA

∑∑ −=σ

Na equação (3.13) apenas os pólos e zeros finitos devem ser considerados. A equação (3.13) só tem sentido para α ≥ 2, pois, para α = 1, a única assíntota estará sobre o eixo real. Alguns exemplos são agora apresentados para demonstrar a utilização das três primeiras regras de construção do lugar das raízes de um sistema.



Exemplo 3.4 Considere, novamente, o sistema discutido no exemplo 3.1, cuja função em malha aberta é:

)2()()(

+=

ssKsGsKH

Se na equação (3.10), m (número de zeros finitos) é zero e n (número de pólos finitos) é dois, então:

2=−= mnα Existem dois zeros no infinito. Portanto, existem duas assíntotas, com ângulos de ±90° em relação ao eixo real do plano s, equação (3.12) e tabela 3.2. O ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real pode ser obtido pela equação (3.13), 3ª regra. A função em malha aberta exibe nenhum zero finito e dois pólos finitos, em s = 0 e s = -2. O ponto de intersecção é:

[ ] 102

0)2(0−=

−−−+

=Aσ

As duas assíntotas podem ser vistas na figura 3.2, que é o diagrama do lugar das raízes obtido algebricamente no exemplo 3.1. Neste exemplo, o lugar das raízes sobrepõe exatamente as assíntotas. Exemplo 3.5 Considere o sistema com função em malha aberta igual a:

3)()(sKsGsKH =

Se a função tem três zeros no infinito, o lugar das raízes tem três assíntotas, com ângulos de ±60° e 180°. Para este sistema as raízes podem ser calculadas analiticamente. A equação característica é:

0)()(1 3 =+=+ KssGsKH

As raízes são, portanto: ( ) ( ) ( ) ( ) °∠°−∠°∠=−= 180,60,60

1111ssss KKKKs

Note que as raízes da equação característica incluem, além de números reais negativos, qualquer número complexo que, quando elevado ao cubo, possui parte real negativa. O ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é, pela equação (3.13):

00300=

−−

=Aσ



O lugar das raízes é mostrado na figura 3.6. Este sistema é instável para qualquer valor de K, pois o sistema em malha fechada tem dois pólos no semiplano da direita do plano s, para todos valores de K.

Nos sistemas dos exemplos anteriores, o lugar das raízes sobrepôs exatamente as assíntotas. Em muitos casos o lugar das raízes só se aproxima das assíntotas quando s tende a infinito. Exemplo 3.6 Para este exemplo, a função em malha aberta é dada por:

)3)(2)(1()()(

++−=

sssKsGsKH

Da regra três, o lugar das raízes tem três assíntotas, nos ângulos ±60° e 180°. As assíntotas interceptam o eixo real em:

34

030)321(

−=−

−−−=Aσ

Nós iremos completar este lugar das raízes mais tarde, após serem apresentadas algumas regras adicionais. Será visto que o lugar aproxima das assíntotas quando K → ∞. Na próxima seção serão apresentadas duas regras adicionais que irão nos permitir desenhar o lugar das raízes de alguns sistemas com mais precisão.



3.4 Técnicas Adicionais para a Construção do Lugar das Raízes Inicialmente será desenvolvida uma regra para a parte real do lugar das raízes, usando o critério do ângulo, equação (3.9). Este requerimento é:

( ) ( ) L,3,1)180( ±±=°=−∑∑ rr pólosngulos dostodos os â zerosngulos dostodos os â Considere a função em malha aberta, ilustrada na figura 3.7(a), com dois pólos e um zero tal que:

)(()()()(

21

1

pspszsKsGsKH−−

−=

Primeiramente, vamos testar um ponto s no eixo real à direita do pólo p1. Observando-se a figura 3.7(b), pode-se afirmar que o ângulo dos fatores (s – z1), (s – p1) e (s – p2) são todos 0° e, portanto, o critério do ângulo não é satisfeito. Considere agora um ponto s entre o pólo p1 e o zero z1. O fator (s – p1) tem um ângulo de 180°, como mostrado na figura 3.7(c). No entanto, os ângulos do zero z1 e do pólo p2 ainda são 0°. O critério do ângulo é satisfeito e qualquer ponto entre p1 e z1 está no lugar das raízes. É fácil observar que um ponto s entre z1 e p2 não pertence ao lugar das raízes. Já para um ponto à esquerda de p2, os ângulos de todos os fatores é 180° e o critério de ângulo é satisfeito. O lugar das raízes resultante é apresentado na figura 3.7(d).

Desta análise podemos concluir que uma freqüência crítica real (pólo ou zero) à esquerda de um ponto de teste, contribui com um ângulo de 0° para o critério de ângulo. Uma freqüência crítica real à direita do ponto de teste contribui com um ângulo de 180°. Portanto, se o número de freqüências à direita do ponto for impar, o ponto está no lugar das raízes. Caso



contrário o ponto não está no lugar das raízes. Este conceito pode ser sumarizado na seguinte regra: 4ª regra: O lugar das raízes inclui todos os pontos no eixo real do plano s à esquerda de um número impar de freqüências críticas reais (pólos e zeros no eixo real). Esta regra será ilustrada através de um exemplo. Exemplo 3.7 Considere a função em malha aberta do exemplo 3.6,

)3)(2)(1()()(

++−=

sssKsGsKH

Foi determinado naquele exemplo que existem três assíntotas, em ±60° e 180°, interceptando o eixo real em s = - 4/3, como mostrado na figura 3.8. Da regra 4, as partes do eixo real entre 1 e -2 e à esquerda de -3 estão no lugar das raízes. Como o lugar se origina nos pólos para K = 0, a direção do lugar está mostrada pelas setas na figura.

O lugar segue a assíntota a 180° para o infinito, como mostrado. Se o lugar deixa os pólos em 1 e -2, tem que existir um ponto no qual o mesmo deixa o eixo real nas proximidades das assíntotas em ±60°. Este ponto é chamado de ponto de quebra. O método para identificar o ponto de quebra do lugar das raízes será apresentado na regra 5. Este exemplo poderá, então, ser completado. Uma regra ainda é necessária para se esboçar, com mais precisão, o lugar das raízes. Trata-se de se determinar o ponto no plano s em que dois, ou mais, ramos saem do eixo real. A partir deste ponto as raízes serão pares complexos conjugados. Pode-se calcular o ponto de saída, ou de quebra, de forma gráfica ou analítica. Optamos por apresentar a 2ª opção. O leitor interessado em conhecer a solução gráfica pode consultar um dos livros sugeridos. 5ª regra: Os pontos de quebra, ou de saída, do lugar das raízes podem ser obtidos pelas raízes do polinômio:



[ ]

0

0)()(

=

=

N'(s)D(s)N(s)D'(s)-ntea equivaleou de form

dssGsHd

onde N(s) e D(s) são, respectivamente, o numerador e o denominador de H(s)G(s). Esta regra será demonstrada através de um exemplo. Exemplo 3.8 Novamente será considerado o sistema dos exemplos 3.6 e 3.7, que tem a seguinte função em malha aberta:

64)3)(2)(1()()( 23 −++

=++−

=sss

Ksss

KsGsKH

O ponto de quebra será calculado utilizando a regra 5. Os demais fatores do lugar das raízes já foram obtidos nos exemplos anteriores: assíntotas em ±60° e 180°, ponto de intersecção com o eixo real em -4/3, e as partes do eixo real entre 1 e -2 e à esquerda de -3 estão no lugar das raízes. Utilizando a regra 5, pode-se determinar o ponto de quebra dos ramos:

( ) 018364)()(')(')( 223 =++=−++=− sssssdsdsDsNsDsN

As raízes do polinômio ocorrem em s = -0,13 e s = -2,54. Observando-se a figura 3.9, podemos ver que o ponto s = -2,54 não pertence ao lugar das raízes e pode ser ignorado. O ponto s = -0,13 está no lugar das raízes e é o ponto de quebra. O lugar das raízes completo está mostrado na figura 3.9.



Note que o sistema em malha fechada é instável para valores pequenos de K (uma raiz real no semiplano da direita) e para grandes valores de K (duas raízes complexas no semiplano da direita).

Os valores de K que garantem um sistema de controle estável é mais facilmente obtido utilizando o critério de Routh-Hurwitz, apresentado no capítulo anterior. Uma última regra que é geralmente apresentada nos livros texto indicados na referência bibliográfica diz respeito ao ângulo com que um ramo do lugar das raízes deixa o pólo (ângulo de partida) ou se aproxima do zero (ângulo de chegada). No presente texto esta regra não será apresentada por se tratar de um refinamento na precisão do esboço do diagrama do lugar das raízes, quase sempre não necessário. As regras aqui apresentadas são suficientes para a construção rápida de diagramas do lugar das raízes de sistemas de baixa ordem. Nos casos de sistemas mais complexos é recomendado o uso de um programa de computador. Para encerrar este estudo, serão apresentados alguns exemplos de construção do lugar das raízes para a fixação dos conceitos que foram introduzidos. Adicionalmente, algumas questões relativas ao regime transitório da resposta do sistema a uma entrada em degrau também serão abordadas. Exemplo 3.9 Considere o sistema de controle que tem a função em malha aberta dada por

2

)1()()(ssKsGsKH +

=

Deseja-se obter (a) o lugar das raízes do sistema de controle em malha fechada e (b) a faixa de valores de K que assegura uma resposta não oscilatória para uma entrada em degrau. Solução: (a) A função em malha aberta tem dois pólos em s = 0 e um zero em s = -1. Portanto, pela regra 3, a única assíntota está no eixo real negativo (180°). Pela regra 4, a parte do eixo real negativo à esquerda de -1 está no lugar das raízes. Finalmente, pela regra 5, os pontos de quebra são:

2''0'0)2())(1()2)(1(

0)()(')(')(2

−===+=−+

=−

sssssss

sDsNsDsN



As duas raízes desta equação estão no lugar das raízes do sistema e ambas são pontos de quebra. A figura 3.10 apresenta o diagrama. Note que o ponto de quebra em s = 0 é óbvio porque o eixo real nas proximidades deste ponto não é parte do lugar das raízes (regra 4). (b) Examinando-se o lugar das raízes do sistema de controle em malha fechada da figura 3.10, é evidente que a resposta será não oscilatória (raízes reais e negativas) para valores de ganho K ≥ K1, onde K1 é o ganho cujas raízes da equação característica são iguais a s’1 = s’’1 = -2. Pela equação (3.6):

44)1()()(

1

1

21 ≥→=+

== Ks

ssGsH

K

Exemplo 3.10 Dado o sistema de controle da figura 3.11, em que a função em malha aberta é dada por

)2()1()( 2 +

+=

sssKsF

Faça um esboço do lugar das raízes do sistema. Solução: A função em malha aberta tem 3 pólos, dois em s = 0 e um em s = -2, e um zero em s = -1. Portanto, pela regra 3, existem duas assíntotas em ±90° e o ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é:

5,02

)1()2(−=

−−−=Aσ

O eixo real à esquerda do ponto -1 pertence ao lugar das raízes (regra 4). Pela regra 5, os pontos de quebra são:

66,025,1'''66,025,1''0'0)452(

045224730)2)(1()43)(1(

0)()(')(')(

2

232323

232

jsjsssss

sssssssssssss

sDsNsDsN

−−=+−===++

=++=−−++

=+−++

=−

Somente a raiz s = 0 está no lugar das raízes, sendo este o único ponto de quebra. A figura 3.12 apresenta o lugar das raízes do sistema de controle.



Exemplo 3.11 Considere o sistema de controle da figura 3.13.

(a) Faça um esboço do lugar das raízes. (b) Determine a faixa de valores de K que assegura uma resposta não oscilatória (raízes

reais e negativas). Solução: (a) A função em malha aberta tem 2 pólos, um em s = 0 e um em s = -1, e um zero em s = -3. Portanto, pela regra 3, existe uma única assíntota em 180°. Pela regra 4, o segmento do eixo real, entre os pontos 0 e -1, e o segmento à esquerda do ponto -3 pertencem ao lugar das raízes. Pela regra 5, os pontos de quebra são:

45,5''56,0'02,14,24,0

04,04,02,14,24,08,00))(4,0()12)(2,14,0(

0)()(')(')(

2

22

2

−=−==++

=−−+++

=+−++

=−

ssss

sssssssss

sDsNsDsN

As duas raízes desta equação estão no lugar das raízes do sistema e ambas são pontos de quebra. A figura 3.14 apresenta o diagrama. (b) Os valores de K que asseguram uma resposta não oscilatória podem ser obtidos da equação (3.6) e as raízes nos pontos de quebra:

455724560250)3(4,0

)1()()(

1 , - para s ,K, - para s ,Ks

sssGsH

K ====→++

==

Portanto, a faixa de K para uma resposta não oscilatória é 0 < K ≤ 0,25 e K ≥ 24,7.

Capítulo V – Análise da Estabilidade no Domínio da Freqüência


Capítulo 4

Análise da Resposta em Freqüência 4.1 Introdução Os métodos de análise da resposta em freqüência são uns dos mais usados na análise e projeto de sistemas de controle. Os métodos de análise se complementam. O método do lugar das raízes oferece uma excelente forma de análise da resposta transitória. No entanto, é necessário um bom modelo matemático para se utilizar esta técnica. Os métodos de resposta em freqüência não precisam, necessariamente, de uma função de transferência (modelo matemático) para a sua utilização. A análise da resposta em freqüência da função de transferência é uma ferramenta poderosa no projeto de sistemas de controle. Vários métodos gráficos foram desenvolvidos para a representação da resposta em freqüência dos sistemas de controle. 4.2 Resposta Estacionária a Entradas Senoidais No método de análise do lugar das raízes e nos estudos de sistemas de controle realimentados, foi considerada a resposta transitória (temporal) dos sistemas lineares invariantes no tempo. Nesta seção será avaliada a resposta estacionária de um sistema para uma entrada senoidal, que é chamada resposta em freqüência. Os conceitos serão introduzidos em um exemplo. Exemplo 4.1 Suponhamos um sistema G(s) sendo excitado por uma entrada senoidal r(t), conforme a figura 4.1.

)1.4()()( 22 ωωω−

==s

AsRoutAsentr



Deseja-se determinar C(s), a resposta do sistema. Solução: A resposta do sistema, C(s), pode ser expressa como:

)2.4()()()()( 22 ωω+

==s

AsGsRsGsC

G(s) é uma razão de polinômios em s, tal que:

)3.4()()()(

sDsNsG =

Substituindo-se (4.3) em (4.2) tem-se:

22)()()(

ωω+

=s

AsDsNsC

Fazendo-se a expansão de C(s) em frações parciais, tem-se:

)4.4()()()(

)( 21

2

2

1

1

ωω jsa

jsa

psb

psb

psbsC

n

n

−+

++

+++

++

+= L

onde bi e ai são os resíduos nos pólos. Observando-se (4.4) pode-se concluir que os termos em b dependem do sistema (função de transferência) e a1 e a2 dependem da entrada. A resposta temporal, c(t), pode ser obtida tomando-se a transformada inversa de C(s):

)5.4()( 212121 tjtjtp

ntptp eaeaebebebtc n ωω +++++= −−−− L

Os termos bie-pt, na equação (4.5), definem o regime transitório e tendem a zero quando t tende a infinito (para um sistema estável). A resposta em regime será, portanto:

)6.4()( 21tjtj eaeatc ωω += −

O próximo passo é calcular os resíduos a1 e a2. Da expressão (4.2) tem-se que:

)7.4()()())((

)()( 21

ωωωωω

jsa

jsa

jsjsAsGsC

−+

+=

−+=



Empregando-se, por exemplo, o método de Heaveside, os resíduos podem ser determinados em (4.7):

)8.4(2

)()(

)(

2)(

)()(

2

1

jjAG

jsjsAsGa

jjAG

jsjsAsGa

ωωω

ω

ωωω

ω

==+

=

−−=

−=−=

Os resíduos formam um par complexo conjugado. Substituindo-se (4.8) em (4.6), tem-se:

)9.4(2

)(2

)()( tjtj ejjAGe

jjAGtc ωω ωω

+−

−= −

G(jω) é uma variável complexa e pode ser expressa na forma polar:

)10.4()()(

)()(θ

θ

ωω

ωωj

j

ejGjG

ejGjG−=−

=

Substituindo-se (4.10) em (4.9), tem-se:

( ) ( ))11.4(

2)()(

2)(

2)(

)(

−=

+−=

+−+

−−

jeejGAtc

eejjGA

ej

ejGAtc

tjtj

tjjtjj

θωθω

ωθωθ

ω

ωω

Aplicando-se a identidade de Euler em (4.11), tem-se:

( )( )

)12.4()()(,)(

)()(

θωωθω

θωω

=∠=

+=

+=

jGejGACondetCsentc

outsenjGAtc

Da expressão de c(t), equação (4.12), pode-se concluir que: A saída de um sistema linear e estável, quando excitado por uma entrada senoidal, é também uma senoide de mesma freqüência, independentemente da complexidade da função de transferência. A amplitude e o deslocamento de fase de c(t) estão relacionados com a freqüência ω do sinal senoidal de entrada. O ganho (ou atenuação) e o deslocamento de fase de um sistema, para uma entrada senoidal, são determinados pela função de transferência, avaliada em s = jω.



Exemplo 4.2 Um sistema, representado pela função de transferência

232)( 2 ++

=ss

sG

é excitado por uma entrada dada por e(t) = 8 sen2t. Determine a saída c(t). Solução: Avaliando-se G(s) em s = j2, tem-se:

°−==

+−=

++=

=

10832,0)2(

622

2)2(3)2(2

2)( 2

θ

ω

jG

jjjjsjG

A saída em regime estacionário será, portanto:

)1082(56,2)1082()32,0.8()( °−=°−= tsentsentc

A resposta em freqüência de um sistema pode ser obtida avaliando-se G(jω) para 0 ≤ ω < ∞. G(jω) é uma variável complexa, portanto, para um certo ω, dois números são necessários para especificar G(jω), a amplitude e o ângulo, parte real e parte imaginária, etc. Normalmente, G(jω) x ω é demonstrado de uma forma gráfica padrão. Duas destas formas serão apresentadas neste texto. 4.3 Gráficos de Resposta em Freqüência Normalmente a resposta em freqüência G(jω) x ω de um sistema é mostrada de forma gráfica. Duas formas de representação gráfica serão apresentadas através de um exemplo bem simples. A função de transferência de um circuito RC, conforme mostrado na figura 4.2 pode ser expressa como:

)13.4(1

1)()()(

+==

RCssEisEosG

Suponhamos, por simplicidade, que o circuito tem uma constante de tempo τ = RC = 1 segundo. A equação (4.13) torna-se, portanto:



)14.4(1

1)(+

=s

sG

A resposta em freqüência do circuito deve ser avaliada para s = jω. A função de transferência da equação (4.14) fica, portanto:

( ) )15.4(tan11

1)( 1212 ωω

ωω −−

−∠+=+

=j

jG

Um dos métodos usuais de se mostrar a resposta em freqüência é na forma de um gráfico polar. A amplitude e o ângulo função de transferência (ou as partes real e imaginária) são plotados em um plano complexo, variando-se a freqüência ω. Para construirmos um gráfico polar da resposta em freqüência, equação (4.15), nós inicialmente calculamos G(jω) para diversos valores de ω. A tabela 4.1 apresenta os valores obtidos.

Tabela 4.1 – Resposta em freqüência do circuito RC

ω G(jω)

0 °∠01

0,5 °−∠ 6,2689,0

1,0 °−∠ 4571,0

1,5 °−∠ 3,5656,0

2,0 °−∠ 4,6345,0

3,0 °−∠ 6,7132,0

5,0 °−∠ 7,7820,0

10,0 °−∠ 3,8410,0

Finalmente, estes valores são plotados em um plano complexo, como mostrado na figura 4.3. No gráfico polar, a freqüência ω parece como um parâmetro.



Outra forma de mostrar a resposta em freqüência é plotar a amplitude, ou ganho, de G(jω) x ω, e o ângulo de G(jω) x ω. Estes gráficos de freqüência estão mostrados na figura 4.4. Note que o comportamento do ganho do sistema quando a freqüência aumenta é mais facilmente observado nesta forma de representação do que no gráfico polar. Pela análise do gráfico da figura 4.4 pode-se afirmar que o circuito RC é um filtro passa-baixas. Esta forma de gráfico é normalmente empregada para mostrar a resposta em freqüência de filtros.

Análise pelos vetores de G(jω) Uma outra forma de análise da resposta em freqüência de um sistema descrito por sua função de transferência, a análise pelos vetores de G(jω), será apresentada. Vamos considerar uma função de transferência de 1ª ordem em sua forma padrão:

)16.4(1

)(+

=sKsG

τ

A função de resposta em freqüência é dada por:



)17.4(11

)(ω

τ

τωτ

ωj

K

jKjG

+=

+=

O termo no denominador pode ser representado por um vetor que se origina no pólo -1/τ e termina no ponto jω no plano s, figura 4.5(a). Quando ω varia de 0 até infinito, o comprimento do vetor varia de 1/τ até ∞ e, por conseqüência, o ganho de G(jω) decresce de K até 0. O ângulo de G(jω) decresce de 0 até -90°, porque o ângulo do vetor no denominador tende a 90°, quando ω → ∞. Nós podemos obter as características de resposta em freqüência da equação (4.17) no vetor da figura 4.5(a).

O conceito de vetores pode ser estendido para sistemas de ordem superior. Considere um sistema de 2ª ordem com pólos reais:

( )( ) )18.4(1111

)(

21

21

21

+

+

=++

=ω

τω

τ

ττωτωτ

ωjj

K

jjKjG

Os dois fatores do denominador são iguais aos vetores mostrados na figura 4.5(b). Quando ω → ∞, os comprimentos dos vetores tendem a infinito e o ganho de G(jω) tende a zero. O ângulo de G(jω) vai de 0° a -180°, quando ω varia de 0 a infinito, porque o ângulo de cada um dos vetores tende a +90°. A figura 4.5(c) apresenta os dois vetores do denominador para a situação em que os pólos são pares complexos conjugados. O comportamento do ângulo de G(jω), quando ω varia de 0 a infinito, é igual ao caso de dois pólos reais.



O comportamento da magnitude de G(jω) pode ser bem diferente. O vetor (p1 + jω), para ω variando de 0 até ∞, encontra um mínimo e depois cresce sem limite. Assim o módulo de G(jω) terá um máximo e depois decresce até 0, conforme ilustrado na figura 4.6. Este efeito é conhecido por ressonância e ocorre sempre que a função de transferência possui um par de pólos complexos conjugados. Obviamente, se a função de transferência possui um zero, este vetor irá contribuir em G(jω) com uma amplitude que tende a infinito quando ω → ∞. O ângulo deste vetor irá crescer de 0° a 90° quando ω → ∞. O método da análise da resposta em freqüência a partir do diagrama de pólos e zeros serve para uma primeira aproximação e uma análise preliminar. Se um gráfico preciso é requerido, então a resposta em freqüência deve ser calculada utilizando um computador. 4.4 Diagramas de Bode Esta seção apresenta um método para a representação gráfica da resposta em freqüência de funções de transferência. Os gráficos de resposta em freqüência obtidos por este método, conhecidos como diagramas de Bode, são muito empregados na análise e projeto de sistemas de controle. Os diagramas de Bode apresentam a resposta em freqüência em dois gráficos, o de amplitude x freqüência e o de fase x freqüência. A escala do eixo de freqüência é logarítmica. A amplitude, ou módulo de G(jω), é calculado em decibéis. A principal vantagem do diagrama de Bode, em relação aos outros tipos de gráficos de resposta em freqüência, é que análise do efeito da adição de um pólo ou zero na função de transferência pode ser feita facilmente, não sendo necessário recalcular as contribuições dos demais pólos e zeros já existentes na função de transferência. Este aspecto é bastante vantajoso no projeto de sistemas de controle. Nós iremos desenvolver um diagrama de Bode usando como exemplo uma função de transferência de 2ª ordem:

( )( )( ) )19.4(

11

1

111

)(

21

3

21

3

+

+

+

=++

+=

ωω

ωττ

τss

sK

sssK

sG



É assumido neste exemplo que os pólos e o zero são reais e negativos. Note que nós definimos uma constante ωi igual ao recíproco de τi, que é a constante de tempo para os termos do denominador. Nós iremos chamar ωi de freqüência de quebra, por uma razão que será explicada posteriormente. Para a análise da resposta em freqüência, tomamos s = jω. A equação (4.19) fica, portanto:

)20.4(11

1)(

21

3

+

+

+

=

ωω

ωω

ωω

ωjj

jKjG

A amplitude de G(jω) é:

)21.4(11

1)(

21

3

ωω

ωω

ωω

ωjj

jKjG

++

+

=

A unidade decibel é definida como sendo:

adB log20=

onde a é um ganho. No diagrama de Bode, a amplitude em função da freqüência é plotada em decibéis, isto é, nós plotamos 20log| G(jω)|. Para a função de transferência de (4.21),

)22.4(1log201log201log20log20)(log20213 ωω

ωω

ωωω jjjKjG +−+−++=

O efeito de plotar em decibéis é que os fatores do numerador são somados na amplitude total e os fatores do denominador são subtraídos da amplitude total. Considere, agora, um termo genérico dependente da freqüência da equação (4.22):

)23.4(1log201log2021

2

+=+=

iii jdB

ωω

ωω

Se plotarmos o termo da equação (4.23) para 0 ≤ ω < ∞, obtém-se o gráfico da figura 4.7.



Note que o valor do termo de (4.23) na freqüência ωi (chamada freqüência de quebra) é igual a:

( ) 0103,32log20 21==idB

Normalmente este valor é aproximado para 3 dB. De forma geral, para um termo de 1ª ordem no numerador, em ω = ωi, a contribuição na amplitude de G(jω) é de 3 dB e, no denominador, - 3 dB. Para uma freqüência ω = 10ωi, a amplitude do termo é 20 dB (20,04), conforme mostrado na figura 4.7. Se considerarmos ω = 100ωi, então a amplitude do termo será de 40 dB. Ou seja, para um termo de 1º grau no numerador, a amplitude cresce 20 dB por década. Aproximações para os termos de 1ª ordem: Vamos demonstrar as aproximações que podem ser feitas para os termos de 1ª ordem na construção dos diagramas de Bode da resposta em freqüência. Considere, novamente, o termo dependente da freqüência, equação (4.23).

( )[ ] )24.4(1log20 21

2iidB ωω+=

Para freqüências muito pequenas, se comparadas com a freqüência de quebra ωi, tem-se:

)25.4(0)1log(20 iidB ωω <<=≈ Para freqüências muito altas, se comparadas com ωi, tem-se:

)26.4(log20log20log20 iii

idB ωωωωωω

>>−=

≈

Para baixas freqüências, equação (4.25), o termo é aproximado por uma reta sobre o eixo ω. Para altas freqüências, a equação (4.26) é uma função de log ω e também pode ser aproximada por uma reta. A inclinação da reta é de 20 dB por década. As duas retas se interceptam em ω = ωi.



O resultado das aproximações está apresentado na figura 4.8. Pode-se observar que a curva exata aproxima-se das linhas retas de forma assintótica. O erro máximo da aproximação ocorre na freqüência de quebra ω = ωi, e é de 3 dB. ωi é chamada de freqüência de quebra por causa da quebra da inclinação na nesta freqüência. Se for necessário um diagrama de Bode mais preciso, então um computador digital deve ser empregado. No entanto, existem situações em que estes diagramas aproximados são úteis. Quando se desejar avaliar o tipo do compensador a ser empregado em uma planta em particular e para se avaliar os efeitos de pólos e zeros, os diagramas de Bode são muito empregados. As aproximações são boas, como será demonstrado, para funções de transferência com pólos e zeros reais. Pólos e zeros complexos podem ter uma aproximação muito ruim. Construção dos diagramas de Bode Na construção de gráficos de resposta em freqüência, cinco tipos de fatores podem ser encontrados nas funções de transferência: 1. Ganho constante 2. Pólos e zeros na origem 3. Pólos e zeros reais não na origem 4. Pólos e zeros complexos conjugados 5. Retardos puros de tempo Nós consideraremos cada um dos fatores listados acima para a construção dos diagramas de Bode. Ganho constante No caso de um ganho constante,

KdB log20= A magnitude deste termo não varia com a freqüência. Duas possibilidades estão mostradas na figura 4.9. Se |K| é maior que a unidade, dB é positivo e a fase é 0°; se |K| é menor que a unidade, dB é negativo e a fase é 180°. Em qualquer caso a amplitude é plotada como uma reta com inclinação zero.



Pólos e Zeros na Origem Para o caso em que a função de transferência tem um zero na origem, a magnitude deste termo é dada por

ωω log20log20 == jdB O gráfico deste termo é uma reta, com inclinação de 20dB/década, e intercepta o eixo ω em ω = 1, conforme apresentado na figura 4.10(a). Para este caso, a linha de aproximação coincide exatamente com a curva exata. Na figura 4.10(b) é mostrado o caso em que o termo é um pólo na origem.

Se a ordem do pólo ou zero na origem for N, então dB = N20logω, e a inclinação da reta será N20dB/década. Com respeito à fase, para um zero na origem na função de transferência, o ângulo de fase é 90°, pois:

°∠===

90ωωω

jjs

s

De maneira similar, um pólo na origem contribui com um ângulo de -90°:

°−∠===

90111ωωω jjss

Para os dois termos, o ângulo independe da freqüência.



Pólos e zeros reais não na origem O termo zero real não na origem já foi considerado anteriormente:

( )[ ]

ii

i

iijdB

ωωωωωω

ωωωω

>−≈≤≈

+=+=

,log20log20,0

1log201log20 21

2

A aproximação para um zero real não na origem está mostrada na figura 4.11(a) e na 4.12(b) para um pólo. Suponhamos que o termo de 1ª ordem é repetido, isto é, que a função de transferência tenha um termo de ordem:

( )Nis ω+1

A magnitude deste termo é dada por:

22

1log20

N

iidB

+=

ωω

Realizando-se a aproximação para o gráfico de Bode, para ω ≤ ωi, dBi = 0. Para ω > ωi, dBi = N20log(ω/ωi). Portanto, a inclinação da reta será, neste caso de N20dB/década. A contribuição na fase de G(jω) de zeros e pólos reais não origem pode ser aproximada por uma reta. Vejamos o caso de um zero:

=→+=

=+

iii

arctgjjs

sωωθ

ωω

ωω11

A reta que aproxima a contribuição de um zero real não na origem quebra em 0° na freqüência ω = 0,1ωi, e quebra novamente para um valor constante de 90°, na freqüência ω = 0,1ωi. A figura 4.12 ilustra a aproximação. O erro pode ser considerável, mas, ainda assim, é um método conveniente para uma primeira aproximação. Note que a característica de fase de um pólo é o negativo da característica de fase de um zero.



Exemplo 4.3 Considere um sistema, representado pela função de transferência:

1101)(

1101

)10()1(10)(

++

=

++

=++

=

ωωωjG

ss

sssG

Vamos demonstrar a utilização da técnica apresentada para a construção dos diagramas de Bode. Examinando-se a função de transferência G(js), pode-se afirmar que a mesma possui um zero, localizado em s = -1 e um pólo localizado em s = -10. Portanto a freqüência de quebra no numerador é ω = 1 e do denominador ω = 10. A figura 4.13 apresenta o termo do numerador, o termo do denominador e a magnitude total, que é a soma dos dois termos. Podem-se testar os limites de amplitude de G(jω):

dBj

jjG

dBjG

201010

lim)(lim

01)(lim0

===

==

∞→∞→

→

ωωω

ω

ωω

ω

Os limites conferem com o diagrama da figura 4.13. A aproximação da característica de fase do zero tem um ponto de quebra em ω = 0,1 e outro em ω = 10. A característica de fase do pólo quebra em ω = 10 e em ω = 100. Estas linhas de aproximação e o diagrama de fase resultante estão mostrados na figura 4.14. De forma similar, os limites de fase de G(jω) também podem ser testados. O exemplo mostra que o esboço da resposta em freqüência pode ser



facilmente construído para funções simples com a do exemplo. Exemplo 4.4 Como um segundo exemplo, considere a função de transferência do exemplo anterior, com a diferença de um ganho constante e um pólo adicional em s = 10, que foram acrescentados.

22 )101()1(2

)10()1(200)(

ss

sssG

++

=+

+=

O diagrama de Bode tem três termos. O primeiro termo é um ganho constante, que soma um ganho de 6 dB em todas as freqüências. O segundo termo é um zero com freqüência de quebra ω = 1. O terceiro termo é um pólo de 2ª ordem em s = 10. Os três termos estão plotados na figura 4.15 em conjunto com diagrama da amplitude total (a soma dos três termos). O diagrama de amplitude de Bode confere com os limites de freqüência:

ωω

ω

200)(lim

62)0(

=

==

∞→jG

dbG

O diagrama de Bode tem uma inclinação de -20dB/década em altas freqüências. A característica de fase de cada um dos termos e a fase total da função de transferência estão mostradas na figura 4.16. Exemplo 4.5 Um último exemplo de construção do diagrama de Bode da resposta em freqüência de uma função de transferência será apresentado. Neste caso a função de transferência incorpora todos os termos vistos até agora. Considere:

)501)(1()31(5

)5)(12()3(1000)(

ssss

sssssG

+++

=++

+=



O ganho constante, que é igual a 5, foi obtido de:

5)50)(12()3)(1000(=

A função de transferência tem cinco termos: um ganho constante de 14 dB, um zero real em ω = 3, um pólo na origem, um pólo em ω = 12 e um pólo em ω = 50. A figura 4.17 apresenta os cinco termos e a amplitude total.

Em baixas freqüências, a amplitude é dada por:

ωω

ω

5)(lim0

=→

jG

A amplitude tem uma inclinação de -20dB/década nos extremos de baixa freqüência. Em altas freqüências, a amplitude é dada por:

2

1000)(limω

ωω

=∞→

jG

A amplitude tem uma inclinação de -40dB/década nos extremos de alta freqüência. O cálculo destes limites coincide com o diagrama apresentado na figura 4.17.



A contribuição de cada um dos termos e fase total da função de transferência está mostrada na figura 4.18. A característica de fase em baixas freqüências é dada por:

°−∠==→

9055)(lim0 ωω

ωω j

jG

Portanto, a fase em baixas freqüências é de -90°. Para altas freqüências:

°−∠==∞→

1801000)(

1000)(lim 22 ωωω

ω jjG

Estes valores são os mesmos que os obtidos graficamente na figura 4.18. Pares de pólos e zeros complexos conjugados Raízes complexas aparecem em funções de transferência na forma de pares complexos conjugados, tanto no numerador quanto no denominador, na forma:

)27.4(102 22 <≤++ ζωζω nn ss Da mesma forma que foi feita na última seção, para conveniência na plotagem nestes termos, nós normalizamos o fator da equação (4.27) para que o mesmo tenha um ganho DC unitário. Isto é conseguido fatorando-se ωn

2 em (4.27). Portanto o fator que estamos considerando é:

)28.4(212

+

+

nn

ssωω

ζ

A magnitude e a fase da expressão (4.28), para s = jω, dependem do fator de amortecimento ζ e, em geral, não se obtém aproximações satisfatórias utilizando retas, como será demonstrado nesta seção. Para os casos em que ζ = 1, os sistemas criticamente amortecidos, vale a análise de dois pólos ou dois zeros reais.



Substituindo-se s por jω na expressão (4.28), tem-se:

)29.4(212122

+

−=

−

+

nnnn

jjωωζ

ωω

ωω

ωωζ

De uma forma geral, a amplitude de um par de zeros complexos conjugados é:

)30.4(21log10

21log20

222

21

222

+

−=

+

−=

nni

nni

dB

dB

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

E a fase é:

)31.4(

1

2tan 2

1

−

= −

n

n

ωω

ωωζ

θ

Se adotarmos uma freqüência normalizada u, tal que u = ω/ωn, a equação (4.30) fica:

( )[ ] )32.4(41log10 2222 uudBi ζ+−= E a equação (4.31) fica:

)33.4(12tan 2

1

uu

−= − ζθ

As equações (4.32) e (4.33) determinam de forma exata a contribuição em magnitude e fase de um pólo ou zero complexo conjugado, em função da freqüência. Quando u << 1, a magnitude pode ser aproximada por:

dBdBi 0)1log(10 == e o ângulo de fase tende a 0°. Quando u >> 1, a magnitude tende a

uudBi log40log10 4 == o que resulta em uma curva com inclinação de 40dB/década. O ângulo de fase, para u >> 1, tende a 180°.



As assíntotas de magnitude se cruzam em ω = ωn, contudo o erro em relação à magnitude real pode ser muito grande, dependendo do fator de amortecimento ζ. Os diagramas de Bode, com as curvas exatas, de um fator quadrático no numerador, estão mostrados na figura 4.19 para diversos valores do fator de amortecimento ζ.

Pode-se observar na figura 4.19 que o erro da aproximação por retas que se intersectam em ω = ωn, pode ser muito elevado, dependendo do fator de amortecimento. No entanto, nunca é demais lembrarmos que os diagramas aproximados de Bode devem ser usados apenas para se obter uma idéia preliminar das características de um sistema; para uma análise mais precisa os diagramas exatos de Bode devem ser calculados usando-se um computador digital. Os gráficos de Bode da figura 4.19 são para zeros complexos. Naturalmente, as figuras devem ser invertidas para pólos complexos. O valor máximo da resposta em freqüência, Mp, ocorre na freqüência de ressonância ωr. Quando o fator de amortecimento ζ tende a zero, então ωr tende a ωn, a freqüência natural do sistema. A freqüência de ressonância é obtida derivando-se o módulo de G(jω), em relação a u, e igualando-se a zero. A freqüência de ressonância é, portanto:

)34.4(707,021 2 ≤−= ζζωω nr

e o valor máximo da magnitude de | G(jω)| é:



)35.4(121(

2ζζω

−== rp jGM

Exemplo 4.6 Considere a função de transferência

22

1010)2,0(21

)1(21004

)1(200)(

++

+=

+++

=ss

sssssG

Para os pólos complexos conjugados, ζ = 0,2 e a aproximação dos diagramas de Bode por retas não será muita precisa nas proximidades de ωn = 10. A aproximação por retas e a curva exata estão mostradas na figura 4.20. O máximo erro em magnitude é da ordem de 8 dB, o que é bastante considerável. Note que o erro para a aproximação da fase também é elevado.



Retardo puro de tempo Nas plantas industriais é bastante freqüente encontrarmos sistemas e processos que exibem um fenômeno conhecido por atraso puro de tempo. Situações em que o atraso puro de tempo pode ocorrer são, por exemplo, nas análises de laboratório em que o resultado de uma adição de um componente só é conhecido após a sua análise em laboratório. Este atraso pode ser da ordem de segundos até de horas. Nos processos que envolvem transporte de energia ou massa também podem ser encontrados atrasos puros de tempo. Se um atraso puro de tempo está incorporado a um sistema de controle, podem-se prever grandes dificuldades em sua sintonia (por causa do atraso de fase introduzido). Matematicamente, a função de transferência de um atraso puro de tempo pode ser representada como:

)36.4()( stoesG −= em que to é a quantidade de atraso de tempo. Note que esta função de transferência é diferente de todas já consideradas até então, não sendo uma relação de polinômios em s. Este fato torna a análise do sistema de controle mais complexa. Por exemplo, o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz não pode ser empregado neste caso. A resposta em freqüência de uma função de transferência do tipo definido em (4.36) é obtida substituindo-se s por jω. Desta forma

)37.4(1)( otj tejG o ωω ω −∠== −

Portanto, a magnitude da função de transferência é unitária, e a fase é uma função linear da freqüência. O atraso de fase introduzido por um atraso puro de tempo aumenta sem limites enquanto a freqüência aumenta. O diagrama de Bode da função de transferência de um atraso puro de tempo está mostrado na figura 4.21. A magnitude é, obviamente, 0 dB, e a fase, em degraus, é dada por:

)38.4(3,57 otωθ −=



Exemplo 4.7 Considere um sistema que contém um atraso puro de tempo em sua função de transferência da seguinte forma:

)1()(

2,0

+=

−

ssesG

s

Os dois pólos, um na origem e outro em s = -1, contribuem para o diagrama de Bode na forma já apresentada anteriormente. O atraso puro de tempo de 0,2 segundos contribui com 0 dB para o termo de magnitude e uma fase de -11,46ω, em graus. O resultado é mostrado na figura 4.22.



Capítulo 5 Análise da Estabilidade no Domínio da Freqüência

5.1 Introdução

Método de Routh-Hurwitz: equação característica do sistema em malha fechada expressa em termos da variável s.

Método do Lugar das Raízes: método gráfico também baseado na variável complexa s.

Não se aplica quando a função de transferência possui atraso puro de tempo.

A resposta em freqüência fornece informação suficiente sobre a estabilidade relativa de um sistema, sem a necessidade de se ter um modelo matemático do mesmo.

Para se determinar a estabilidade relativa de um sistema em malha fechada, como o

apresentado na figura 5.1, deve-se investigar a equação característica do sistema. Para que o sistema seja estável é necessário que as raízes da equação característica estejam no semiplano da esquerda do plano s.

)()()(:aberta malha em Função

)(1)(:sistema do ticacaracterís Equação

sGsHsL

sLsF

=

+=



5.2 Critério de Estabilidade de Nyquist No método do lugar das raízes, a função em malha aberta é dada por H(s)G(s). No domínio da freqüência, H(jω)G(jω) é a função em malha aberta utilizada para se obter os diagramas de Nyquist e os gráficos de Bode. Nesta seção será investigada a estabilidade de um sistema em malha fechada a partir da resposta em freqüência da função em malha aberta H(jω)G(jω). O método que será apresentado é baseado no critério de Nyquist. O diagrama de Nyquist, já estudado no capítulo anterior, é uma representação polar da característica da resposta em freqüência de um sistema. Critério de Estabilidade de Nyquist: Se N é o número de vezes que o diagrama polar de Nyquist envolve o ponto (-1,0) no plano-s no sentido horário, e P é o número de pólos em malha aberta que estão no semiplano da direita, então Z = N + P é o número de raízes instáveis da equação característica do sistema em malha fechada (raízes estas que estão no semiplano da direita).

De acordo com o critério de Nyquist, Z na equação (5.1) deve ser zero para que o sistema em malha fechada seja estável. N é o número de vezes que o diagrama de Nyquist envolve o ponto (-1,0) no plano-s. P é o número de pólos da função em malha aberta, H(s)G(s), no semiplano da direita. Portanto, P indica a estabilidade do sistema se este é operado em malha aberta. No diagrama de Nyquist da figura 5.2, o mapeamento envolve o ponto (-1,0) duas vezes e, portanto,

Como P é o número de pólos, da função em malha aberta, no semiplano s da direita, ele não pode ser um número negativo. Portanto, no sistema da figura 5.2, Z é maior ou igual a 2 e o sistema em malha fechada é instável. Alguns comentários podem ser feitos sobre o critério de Nyquist: 1. A razão do ponto (-1,0) ser tão importante vem da equação característica 1 + H(s)G(s) =

0, que pode ser escrita como H(s)G(s) = -1. Esta condição corresponde a uma função de transferência com ganho 1 e ângulo de fase de –180°.

)1.5(PNZ +=

PZ += 2



2. Tipicamente, sistemas em malha aberta são estáveis, então P = 0, ou seja, nenhum pólo no semiplano da direita. Para estes casos, Z = N e o sistema em malha fechada será instável se o diagrama de Nyquist envolver o ponto (-1,0) uma ou mais vezes.

3. Um valor negativo de N indica que o envolvimento do ponto (-1,0) se dá no sentido anti-

horário. 4. O critério de Nyquist pode ser empregado para se determinar se um processo, instável

em malha aberta, pode ser estabilizado por realimentação negativa. O seguinte exemplo ilustra o critério de Nyquist. Exemplo 5.1 Considere um sistema com uma função em malha aberta

A função foi avaliada para alguns valores de ω e o resultado está mostrado na tabela 5.1.

Tabela 5.1 – Resposta em freqüência do exemplo 5.1 ω 1 + jω G(jω) 0 1∠0° 5∠0°

0,5 1,118∠26,6° 3,58∠-79,8° 1,0 1,414∠45° 1,77∠-135° 1,5 1,80∠56,3° 0,85∠-169° 2,0 2,24∠63,4° 0,45∠-190,3° 5,0 5,10∠78,7° 0,038∠-236,1° 20,0 20,0∠87,1° 0,0006∠-261,3°

O diagrama de Nyquist da função está apresentado na figura 5.3. O ganho DC, H(0)G(0), é igual a 5 e está mostrado no ponto I. A curva sólida, parte II, é obtida diretamente dos valores da tabela 5.1. Para ω → ∞,

sendo o ponto III no diagrama. Para valores negativos de ω, nós usamos o complexo conjugado dos valores obtidos na tabela 5.1. Esta parte do diagrama de Nyquist, parte IV, está

33 )1(5)()(

)1(5)()(

ωωω

jjGjHou

ssGsH

+=

+=

0)()(lim =∞→s

sGsH



mostrada como uma curva tracejada. Para se determinar se o diagrama de Nyquist da função H(jω)G(jω) envolve o ponto (-1,0), é necessário se conhecer o ponto de interceptação do eixo real (-180°), no semiplano da esquerda. A magnitude e a freqüência de H(jω)G(jω), neste ponto, não são evidentes na figura 5.3. O ponto onde o lugar de H(jω)G(jω) intercepta o eixo real negativo pode ser determinado fazendo-se a parte imaginária de H(jω)G(jω) igual a zero. Tem-se

A freqüência na qual o diagrama de Nyquist intercepta o eixo real é, portanto, 1,73 rd/s. A amplitude do vetor neste ponto é

Pelo resultado obtido, é possível afirmar que o diagrama de Nyquist não envolve o ponto (-1,0). A equação para a aplicação do critério de Nyquist é

O valor de P é zero, pois H(s)G(s) não tem pólos no semiplano da direita. Do diagrama de Nyquist da figura 5.3 pode-se afirmar que o número de envolvimentos do ponto (-1,0), N, é também zero. Então, o sistema em malha fechada não possui pólos no semiplano da direita e é, portanto, estável. Um comentário adicional deve ser feito com respeito à análise da estabilidade usando o critério de Nyquist. Suponhamos que o diagrama de Nyquist intercepta o ponto (-1,0) para uma certa freqüência ω = ω1. Então.

Isto indica que o sistema em malha fechada tem um pólo em s = jω1, isto é, o sistema é marginalmente estável e oscila na freqüência ω1, se os demais pólos da função de transferência em malha fechada estiverem no semiplano da esquerda. Um ponto final relacionado ao critério de Nyquist é evidente se observarmos o diagrama da figura 5.3. A parte II do diagrama de Nyquist é um gráfico da resposta em freqüência da

PNZ +=

0)()(1 11 =+ ωω jGjH

73,130)3()3()31(

5221

5)()(

232

322

±=±=→=−→−+−

=

−−+−+=

ωωωωωω

ωωωωωωω

j

jjjjGjH

625,073,1)31(

5)()( 2 −==−

=ωω

ωω jGjH



função em malha aberta. De fato, o diagrama de Nyquist pode ser totalmente construído a partir da resposta em freqüência de H(jω)G(jω), pois as partes I e III também podem ser obtidas da resposta em freqüência e a parte IV é o complexo conjugado da mesma resposta. Portanto, o diagrama de Nyquist pode ser construído a partir de dados experimentais da resposta em freqüência, sem o prévio conhecimento do modelo matemático do processo. 5.3 Aplicações do Critério de Nyquist na Análise da Estabilidade Antes de apresentarmos alguns exemplos da aplicação do critério de Nyquist na determinação da estabilidade dos sistemas de controle em malha fechada, o procedimento para a construção do diagrama de Nyquist é revisado. O contorno do diagrama de Nyquist pode ser quebrado em quatro partes, conforme já foi apresentado no exemplo 5.1. As quatro partes estão mostradas na figura 5.4 e são as seguintes: I. Esta parte do diagrama é o ponto ω = 0, ou a origem do

plano H(jω)G(jω). A função em malha aberta avaliada neste ponto, H(0)G(0), dá o ganho DC do sistema.

II. Este trecho é a resposta em freqüência da função em

malha aberta, H(jω)G(jω), avaliada para 0 < ω < ∞. III. Este é o ponto em que ω tende a infinito. Como os

processos físicos são naturalmente passa-baixa, este ponto quase sempre estará na origem do plano H(jω)G(jω).

IV. Esta seção do diagrama de Nyquist é o complexo conjugado da função em malha aberta

avaliada na seção II do diagrama. A seção IV é quase sempre omitida nos diagramas de Nyquist.

Dois exemplos são dados em seguida. Por simplicidade, foi adotado H(s) = 1, e a função em malha aberta é, portanto, G(s). Exemplo 5.2 Considere um sistema com a função em malha aberta

O ganho DC é G(0) = 5, e a parte I do diagrama de Nyquist da figura 5.5 mapea este ponto. Para a parte II do diagrama, tem-se:

2)1(5)(+

=s

sG



)1)(1(5)(

ωωω

jjjG

++=

Cada fator no denominador, (1 + jω), tem uma magnitude que aumenta do valor unitário até o valor infinito, quando ω cresce de zero até o infinito. Desta forma, a magnitude de G(jω) decresce de 5 até 0. Adicionalmente, o ângulo de cada termo no denominador cresce de 0° até 90°. Então, o ângulo de G(jω) decresce de 0° até –180°. O diagrama de Nyquist deste sistema está mostrado na figura 5.5. Note que o ângulo de G(jω) não pode ser mais negativo que –180° e, portanto, o diagrama de Nyquist não pode cruzar o eixo real negativo. Se um ganho K é adicionado ao sistema tal que a equação característica seja

O diagrama de Nyquist não pode ser forçado para envolver o ponto (-1,0) aumentando-se K (Por que?). Pelo critério de Nyquist,

N é zero porque o diagrama de Nyquist não pode envolver o ponto (-1,0), e P é zero porque G(s) não tem pólos no lado direito do plano s. Desta forma, o sistema em malha fechada é estável para todos os valores possíveis para K. Exemplo 5.3 Considere neste exemplo o sistema com a seguinte função em malha aberta

Note que é o mesmo sistema do exemplo 5.2, com um pólo adicionado. O ponto I do diagrama de Nyquist, o ganho DC, é G(0) = 5. A resposta em freqüência, contorno II do diagrama, é obtida da função G(s) avaliada para s = jω.

2)1(51)(1

sKsKG+

+=+

000 =+=+= PNZ

)10()1(50)( 2 ++

=ss

sG

)10()1(50)( 2 ωω

ωjj

jG++

=



Os fatores no denominador crescem sem limite com o crescimento da freqüência, e a amplitude de G(jω) decresce até zero quando ω tende a infinito. O ângulo de cada fator no denominador cresce de 0° a 90° e, desta forma, o ângulo de G(jω) decresce de 0° a -270° com o crescimento de ω. Um esboço do diagrama de Nyquist está apresentado na figura 5.6. A parte do diagrama relativa à resposta complexa conjugada (freqüência negativa) foi omitida para simplificar o desenho. O ponto onde o lugar de G(jω) intercepta o eixo real negativo, G(jω1), pode ser calculado fazendo-se a parte imaginária de G(jω) igual a zero. Tem-se

A parte imaginária de G(jω) é zero quando ω = 4,583. O valor do módulo nesta freqüência é, portanto.

Neste exemplo, P = 0 e N = 0 e, então, Z = 0. O sistema é estável. Exemplo 5.4 Outra forma de se conhecer o ponto em que o lugar de G(jω) intercepta o eixo real negativo é empregando o critério de Routh-Hurwitz. Considere o exemplo 5.3. Inicialmente, nós acrescentamos um ganho K em G(s) e determinamos a equação característica.

Resolvendo pelo método de Routh-Hurwitz, tem-se que o sistema é estável para K < 4,84. Para K = 4,84, o diagrama de Nyquist intercepta o ponto (-1,0), então 4,84G(jω1) = -1. Desta forma, G(jω1) = -1 / 4,84 = -0,207. Este valor confere com o obtido no exemplo 5.3. A freqüência em que o diagrama de Nyquist da função em malha aberta intercepta o eixo real negativo é:

050102112

0)10()1(

501)(1

23

2

=++++

=++

+=+

KsssssKsKG

583,4021)21()1210(

50)(

12211050

210201050)(

)10)(21(50

)10()1(50)(

13

32

32322

22

±=→=−→−+−

=

−−+=

−−+−+=

+−+=

++=

ωωωωωω

ω

ωωωωωωωωω

ωωωωωω

jjG

jjjjjjG

jjjjjG

207,0)25210(

50583,4

)( −=−

==ω

ωjG



58,4207,012105)( 2 ±=→−=

−= ω

ωωjG

O critério de estabilidade de Nyquist apresenta algumas dificuldades gráficas para a sua aplicação. Com os modernos softwares de análise de sistemas de controle, disponíveis no mercado, esta tarefa se tornou bastaste simplificada. Os alunos interessados em mais informações relativas à aplicação do critério de Nyquist na análise da estabilidade dos sistemas de controle poderão consultar C. L. Phillips e R. D. Harbor 'Feedback Control Systems'. 5.4 Estabilidade Relativa e o Diagrama de Bode Na seção anterior, o critério de Nyquist foi usado para determinar se um sistema é estável ou não. Naturalmente, um sistema deve ser estável para que se possa utilizá-lo. Geralmente nós requeremos que um sistema não seja simplesmente estável, mas que seja estável com uma certa margem de segurança. Por esta razão nós definimos a estabilidade relativa de um sistema. A estabilidade relativa é determinada por dois termos, a margem de ganho e a margem de fase. Margem de Ganho: é o fator pelo qual o ganho em malha aberta de um sistema estável deve ser multiplicado para tornar o sistema marginalmente estável. Um sistema marginalmente estável, segundo o critério de Nyquist, ocorre quando o lugar de H(jω)G(jω), intercepta o eixo real negativo em (-1,0). Se o ponto de cruzamento é, por exemplo, -α, então a margem de ganho é 1 / α. Margem de Fase: é o ângulo mínimo que o diagrama de Nyquist deve ser rotacionado de forma a interceptar o ponto (-1,0). A margem de estabilidade pode ser obtida diretamente do diagrama de Nyquist. No entanto, ela é mais usualmente obtida do diagrama de Bode. O diagrama de Bode traz a mesma informação de resposta em freqüência do diagrama de Nyquist, mas com outras coordenadas. Pode-se descrever o critério de estabilidade, baseado no diagrama de Bode, como sendo: Critério de Estabilidade de Bode: Um sistema de controle em malha fechada é instável se a resposta em freqüência da função em malha aberta, H(jω)G(jω), tem um ganho maior que um na freqüência crítica ωc. De outra forma, ele é estável.



A freqüência crítica, ω1 na figura 5.7, é definida como sendo a freqüência na qual a fase da função em malha aberta é -180°. Observando-se a figura 5.7, algumas considerações sobre o critério de estabilidade de Bode podem ser formuladas: 1. Quando o ganho é unitário na freqüência crítica, o sistema é dito marginalmente estável

e produz uma oscilação de amplitude constante na saída. 2. O sinal (-) no comparador da malha de controle também produz um deslocamento de

fase de –180°. 3. Se o ganho for maior que 1 em ωc o sistema é instável. 4. O critério de Bode só pode ser aplicado em sistemas que exibem uma única freqüência

crítica, que é a maioria dos casos. Nos outros casos deve-se aplicar o critério de Nyquist. O próximo exemplo mostra uma aplicação do critério de estabilidade de Bode. Exemplo 5.5 Deseja-se avaliar a estabilidade de um sistema de controle em que a função em malha aberta é dada por

As constantes de tempo e o atraso têm unidades de minuto. O sistema em questão é de primeira ordem, com um pólo em s = -0,2 e um atraso puro de tempo de 1 minuto. A figura 5.8 apresenta o diagrama de Bode do sistema. A freqüência crítica, em que a fase é -180°, pode ser extraída do diagrama, sendo ωc = 1,69 rd/min. O ganho do sistema nesta freqüência é Kc = 0,235. A margem de ganho é, portanto 1 / Kc = 4,255. A fase em que o ganho é 1, pode ser obtida do gráfico de Bode, sendo -86°. A margem de fase é, portanto, de 180° - 86° = 94°. O diagrama de Bode trás mais informações que o diagrama de Nyquist porque a freqüência ω é mostrada de forma explícita. Adicionalmente, ele facilita a análise em um faixa mais ampla, por causa da escala logarítmica na abscissa.

158)()(+

=−

sesGsH

s

Education

Automação - Sistema de controle