Aturan Diferensiasi dan Penggunaannya dalam

Statika Komparatif

Created By:Taufiq A. Rizqi

Aturan Diferensiasi untuk Fungsi dengan Satu Variabel• Aturan fungsi konstan • Deviriatif fungsi konstan atau adalah

sama dengan nol, yakni nol untuk semua nilai . Atau dapat dinyatakan sebagai : Jika diketahui , maka derivatif adalah : • atau

• Aturan Fungsi Pangkat• Derivatif fungsi pangkat adalah hal in dapat di ekspresikan

sebagai :• atau • Contoh (1) derivatif adalah (2) derivatif adalah (3) derivatif adalah

• Perumusan Umum Aturan Fungsi Pangkat• Jika derivatifnya : atau • Contoh :• (1) jika diketahui , kita peroleh • (2) jika diketahui , derivatif adalah

Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari Variabel yang Sama• Aturan penjumlahan-Pengurangan

• Contoh :• (1) dari fungsi y dapat dianggap sebagai jumlah dari 2

fungsi dan . Menurut aturan penjumlahan kita dapatkan :

• (2)

• Aturan Hasil-Kali

• Contoh : • carilah derivatif dari . Misalkan dan . selanjutnya

dan dan menurut derivatif yang diinginkan adalah :•

• Aturan Hasil-Bagi

• Contoh :• (1) • (2) • (3)

Aturan Diferensiasi yang Melibatkan fungsi-fungsi dari Variabel yang Berbeda• Aturan Rantai (chain Rule): aturan ini digunakan ketika

harus mendiferensiasikan suatu fungsi seperti

• Contoh :• (1) Bila , dimana , maka • 2) Bila , dimana , maka

• Aturan Fungsi Invers• Jika ada fungsi y = f(x), maka fungsi f akan mempunyai fungsi invers x

= f-1(y) (baca : “x adalah fungsi invers dari y”). simbol f-1 disini sama seperti fungsi derivatif f’,yang menunjukkan fungsi ini berhubungan dengan fungsi f; tetapi bukan berarti kebalikan dari fungsi f(x).

• Jika x dan y mengacu secara khusus pada bilangan-bilangan, maka ini termasuk golongan fungsi yang dikenal sebagai fungsi monoton secara ketat (strictly). Namun jika secara berturut-turut nilai variable bebas yang semakin membesar selalu menghasilkan nilai f(x) yang berturut turut juga ikut membesar, yaitu : X1 > X2 → f(X1) → f(X2) ; maka fungsi f dikatakan sebagai fungsi yg meningkat secara sempurna. Bila berturut turut kenaikan dalam x selalu menyebabkan penurunan berturut-turut dalam f(x), yaitu jika : X1 > X2 → f (X1) < f (X2) maka fungsi f dikatakan sebagai fungsi yg menurun secara sempurna.

• Untuk fungsi invers, aturan diferensiasinya adalah : = Ini berarti bahwa derivatif dari fungsi invers adlah kebalikan derivatif fungsi asalnya, sehingga bila f meningkat atau menurun maka ini juga akan terjadi dengan f-1

Diferensiasi Parsial

• Derivatif Parsial• derivatif parsial dapat disimbolkan dengan simbol .

Derivatif parsial digunakan untuk menunjukkan bahwa semua variable bebas bersifat konstan ketika kita mencari derivatif tertentu dan juga untuk menentukan perubahan yang sangat kecil dalam variable bebas lainnya. Proses untuk mencari derivatif parsial dinamakan differensiasi parsial. Dengan ini dapat disimpulkan bahwa :• f1 sebagai yg pertama dalam himpunan n derivatif

parsial dari fungsi f

• Teknik Diferensiasi Parsial1. Aturan Hasil-kaliJika diketahui ; y = f (u, v) = (u + 4)(3u + 2v), derivatif parsial akan diperoleh dengan mempertahankan v konstan :Fu = (u + 4)(3 + 1(3u +2v) = 2(3u + v + 6)

Sama halnya dengan mempertahankan u konstan :Fv = (u + 4)(2) = 0(3u + 2v) = 2(u + 4)

Jika u = 2 dan v = 1, derivatif ini akan memiliki nilai :Fu (2, 1) = 2(13) = 26 dan Fv (2, 1) = 2 (6) = 12

2. Aturan Hasil-bagiJika diketahui y = (3u – 2v)/(u2 + 3v) maka cara mencari derivatif parsialnya adalah :• = =

3. Vector Gradiensemua derivatif parsial dari suatu fungsi dapat dikumpulkan dalam satu entitas matematis yang disebut vector gradient,atau gradient saja. Gradient disimbolkan dengan . Contoh vector gradient dari fungsi produksi Q = Q(K, L) = (Qk , QL)

Aplikasi pada Analisis Statis-Komparatif

• Model pasarModel ini dapat ditulis kedalam dua persamaan :• Q = a – bP (a, b > 0) [permintaan]• Q = -c = dP (c, d > 0) [penawaran]Dengan penyelesaian : • P* = • Q* = Dengan memusatkan perhatian pada P* maka kita dapat memperoleh empat derivatif parsial sebagai berikut :• ]• [aturan hasil-bagi]• • • Maka dapat disimpulkan bahwa :

• Model Pendapatan Nasional• Y (pendapatan nasional) ; C (konsumsi) ; T (pajak) :• Y = c + I0 + G0

• C = • T = • Ekuilibrium pendapatan (dalam bentuk yang

disederhanakan) : Y* =• Model Input-Output• Penggabungan sembilan derivatif ke dalam satu

matriks jika diketahui x* = Vd :• = V (I – A)-1

Analisis Statis-Komparatif dari Model

Fungsi-UmumCreated By:

Taufiq A. Rizqi

Analisis Statis-Komparatif dari Model Fungsi-Umum• Soal statika komparatif yang sederhana dinyatakan secara

eksplisit dalam bentuk yang ringkas. Deferensiasi parsial terhadap penyelesaian langsung menghasilkan informasi statis-komparatif yang diinginkan.

Contoh: model pendapatan nasional dengan dua variabel endogen Y dan CY = C + I0 + G0

C = C(Y, T0) [T0 : pajak eksogen]

Yang dapat diringkas menjadi satu persamaaan kondisi ekuilibrium: Y = C(Y, T0) + I0 + G0 yang dapat diselesaikan untuk Y*. Jadi kita dapat menulis persamaan Y* = Y* (I0, G0, T0)

Diferensial

• Simbol dy/dx, yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y= f (x) , sampai saat ini dianggap sebagi suatu entiitas tunggal.

Deferiansi dan derivatifdy/dx = f ‘ (x) merupakan limit dari suatu hasil bagi selisih : = f ‘ (x) =

dimana = 0 ketika = 0 mengalikan dengan maka akan menghasilkan

• Deferensial dan Elastisitas-Titik

Untuk semua fungsi total y = f (x) , kita dapat menuliskan rumus untuk elastisitas titik dari y terhadap x sebagai

Fungsi permintaan akan :1.Elastis memiliki pada satu titik jika elastisitas > 12.Elastisitas 1 pada suatu titik jika elastisitas = 13.Inelastispada suatu titik jika elastisitas < 1

Diferensiasi Total

• Konsep deferensial dengan mudah dapat diperluas menjadi fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas. Contoh, fungsi tabungan S = S(Y,i)

Perubahan total dalam S dapat diapromasikan dengan diferensial atau dengan menggunakan

notasi lain dS = Sydy + Sidi

Aturan-Aturan Deferensial

•Aturan I dk = 0Aturan II d(cun) = cnun-1 duAturan III Aturan IV d(uv) = v du + u dvAturan V Aturan VI Aturan VII d(uvw) = vw du + uw dv + uv dw

Derivatif Total• Derivatif total tidak mensyaratkan bahwa argumen Y * harus tetap

konstan bila T0 berubah-ubah, sehingga hubungan di antara kedua argumen tersebut boleh dipostulatkan.

Mencari derivatif total Y = f (x,w) dimana x = g(w)Y = f[g(w), w]

Satu variasi mengenai derivatif totaly = f (x1 , x2 , w ) dimana x1 = g(w) , x2 + h(w)

Derivatif dan Fungsi-Fungsi Implisit• dalil fungsi implisit dari persamaan simultan

F1 (y1, . . . , yn ; x1 , . . . , xm ) = 0F2 (y1, . . . , yn ; x1 , . . . , xm ) = 0............................................................Fn (y1, . . . , yn ; x1 , . . . , xm ) = 0 Pasti akan membentuk suatu himpunan fungsi-sungsi implisit Yi = f1 (x1...... xm)Y2= f2 (x1...... xm).................................Yn= fn (x1...... xm)

Statika Komparatif dan Model-model Fungsi Umum• Model pasar

Qd = QsQd = D (P , Y0)Qs = S(P)D (P , Y0) – S(P) = 0 P * = P * (Y0) D (P * ,Y0) – S(P *) = 0 [kelebihan permintaan = 0 dalam ekuilibrium] Pendekatan persamaan simultan

• Penggunaan derivativ total

Model pendapatan nasional (IS-LM)Kemiringan dari kurva IS

Kemiringan kurva LM

Memperluas Model : Suatu Ekonomi Terbuka

• Ekspor neto. Misalkan X melambangkan ekspor, M melambangkakn impor, dan E memlambangkan nilai tukar )diukur sebagai harga domestikk dari mata uanga asing). Ekspor merupakan fungsi yang meningkat dari nilai tukar. X= X(E) di mana X’(E) > 0 . impor merupakan suatu fungsi yang menurun dari nilai tukar tapi merupakan fungsi yang meningkat dari pendapatan. M = K(r, rw) di mana My >0, Me <0

Aliran Modal. Aliran modal neto ke dalam suatu negara merupakan suatu fungsi dari suku bunga domestik r dan seklaigus juga dari suku bunga dunia rw. Misalakan K melambangkan aliran neto yang masuk sehingga K = K(r, rw) di mana Kr > 0, Krw < 0

Neraca pembayaran (balance of payment). Aliran masuk dan aliran keluar dari mata unang asing untuk suatu negar apada umumnya dipisahkan kedalam dua neraca: neraca berjalan (eksporo neto dari barang dan jasa) dan neraca modal (pembelian dari obligasi asing dan domestik). Bersama-sama kedua neraca tersebut membentuk neraca pembayaran. NP = neraca berjalan + neraca modal = [ X(E) – M(Y,E)] + K(r,rw)