Upload
mavila
View
658
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector.Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Fundamentos de Física. FCM.
A
'Aa
dirección
sentido
módulo
Álgebra vectorial1.1.
A
'Aa
dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado por:• Un origen o punto de aplicación. Punto A.• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a ó a
aa ó
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a
b cd
cbad
a
b
c
Regla del polígono
Regla del paralelogramo
bac
a
b
a
b
c
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. a
a
Diferencia de vectores.
bacbac
b
a
a
b
c
b
Producto de un vector por un escalar.
aa
0
1
a0
1
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
000 :nulo elemento vii) : vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi) :escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:producto el para asociativa v) es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)
0 :suma la para neutro elemento iii) :suma la para aconmutativ ii)
:suma la para asociativa i)
ababaaaa
aaababbaba
aaabba
cbacba
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
aaua
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección de será:a
Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
eu
a
aPe
coscos aaaPe
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro.
X
Y
Z
pulgar
índice
corazón
Levógiro (mano izquierda)
Y
X
Z
pulgar
corazón
índice
Dextrógiro (mano derecha)
i
jk
dextrógiroTriedro cartesiano
kji
, ,vectores unitarios:
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
yx
z
zyxP ,, zrP ,,
Y
X
Z
r
z
Coordenadas cilíndricas
,,P
Y
X
Z
Coordenadas esféricas
Álgebra vectorial1.1.
Sistemas de coordenadas.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa Y
X
Z
a
ya
za a
Y
X
Z
xk
j yz
i
zyx aaaa
kaa
jaaiaa
zz
yy
xx
zZz
yYy
xXx
aaPa
aaPaaaPa
cos
coscos
Componentes cartesianas Cosenos directores
aa
aaaa
zz
yy
xx
/cos
/cos/cos
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa cos cos cos
kaajaaiaa zzyyxx
zyx aaaa kajaia zyx
kjia zyx
coscoscos
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kjiaau zyxa
coscoscos
),,( zyxzyx aaaaaaa
Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
kbajbaibaba zzyyxx
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kbajbaibababa zzyyxx
)(
Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
cosb
ab
cosabba
Propiedades.
kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjii
bababa
baba
bcacbac
abba
zyxee
, , ia,consecuencEn . vii)
vi)
0 ,1 v)
0y 0, si iv)
:escalares a respecto asociativa iii)
:vadistributi ii)
:aconmutativ i)
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto escalar de dos vectores.
a
cosb
b
cosabba
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa
Ángulo que forman dos vectores.
abbababa
abba zzyyxx
cos
Álgebra vectorial1.1.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
senabbac
Propiedades.
bababa
bcacbacbababa
cbacbaabba
|| 0y 0, Si v) :suma la a respecto vodistributi iv)
:escalarun por producto el para asociativo iii) :asociativo-no ii)
:ativoanticonmut i)
c
Producto vectorial de dos vectores.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
kbabajbabaibababbbaaakji
ba zyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
senabbac
c
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a
b
c
ba
cosabcsenbac
Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores
Propiedades.
acbbaccba
:cíclica i)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbababbbaaaccc
bac
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Momento de un vector con respecto a un punto.
r a
d
OM
OP
araMO
adarMO sen
El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
ja
límialím yx
00
Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
1a
2a
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kajaiaaa zyx
12 aaa a
aaa
2
1
12
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
a
a
a
a
dad
dad
dad
dad
aalímalímdad
00
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
aaa
aaa
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
j
dda
iddaj
alímialím
jaa
límiaalím
aalímalímdad
yxyx
yyxx
00
00
00
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dtad
dtad
dtad
kdttdaj
dttda
idttda
talím
dttad zyx
t
0
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kdttdaj
dttda
idttda
talím
dttad zyx
t
0
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
dbdab
dadba
dd
dbdab
dadba
dd
ddfa
dadfaf
dd
dλbd
dλadλbλa
dλd
:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)
:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)
:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)
: vectoresde suma la de Derivada i)
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
auaa
Si iii)
|| Si ii)
general,En i)
aa
aaa
aa
udad
duda
dadctea
udadu
dda
dadcteu
dudau
dda
dad
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dadba
Propiedades.
1
2
2
1
2
1
2
1
v)
:y Si iv)
:, Si iii)
: Si ii)
:y Si i)
21
dada
dd
dada
dadacte
dadada
dakdakctek
dbdadbabbaa
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Integral en función de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kdajdaidada zyx
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dadba
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.