俺の人生ランダムウォーク

慶應義塾大学大学院理工学研究科　基礎理工学専攻

修士二年

松尾 洋一

自己紹介松尾洋一

慶應大学修士２年専攻

数学　数値計算　 C 言語　ハイパフォーマンスコンピューティング

VECPAR2012 ポスター発表“Parallel Block Gram-Schmidt

Ortho-gonalization with Optimal Block-size”

2

6 月のある日・・・ 島田「今度発表してよ」 松尾「いいよー．ランダムウォークとか？」 島田「ｲｲﾈ !! じゃあ，それで告知しとくねー !! 」 松尾「了解」

3

6 月のある日・・・ 島田「今度発表してよ」 松尾「いいよー．ランダムウォークとか？」 島田「ｲｲﾈ !! じゃあ，それで告知しとくねー !! 」 松尾「了解」

島田「今度の発表は，松尾君の『俺の人生ランダムウォーク』です」

4

俺「え，なにそれこわい」

5

　　　　　　　 ＿＿＿　　 　 　 　 ／　　　　 . ＼　　　　 ／　 　ノ　　ヽ　＼　　　／　 　 （○） }liil{ （○）＼　　　　 　 | 　 　　 　ﾞ ) （ __ 人 __ ）“　　）　　　　 _ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ _　　　＼　 　 　 　　⌒　　 ／　 |~~~| 　 | | 　　　　　　　　　　　　　 |＿＿／　　　　　　　　　　＼　 |_ ＿ | 　 | | 　　　　　　　　　　　　　 || | 　 / 　　 , 　 　 　 　 　 　 　 ＼ｎ || 　 　 | | 　　　　　　　　　　　　　 || | / 　　 / 　　　　　　　　　 r. 　 　（ こ） | | 　　　　　　　　　　　　　 || || 　⌒ ー n ｎｎ 　 　 　 　 | ＼ (⊆ ｿ . 　 |_|_ ＿＿＿ _ ＿＿＿＿ _|￣ ＼＿ _ ､ (" 二）￣￣￣￣￣ｌ二二ｌ二二　 ＿ |_| ＿ _| ＿

今までを振り返ってみると，

6

ZANSA

第１回　「統計入門以前」第２回　「正規分布」第３回　「分布」第４回　「重回帰分析」第５回　「推定」第６回　「ベイズの定理」第７回　「信頼性工学」

第８回　「？？」7統計解析入門はほとんど終わった？

ZANSA

『研究と実務の乖離』

確率なら，“統計っぽい”し，学問と実務が 近い

8

簡単な確率論とその応用を（僕が復習したので）みんなで学ぼう！！

確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

9

確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

10

確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

11

確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

12

ランダムウォークも最も初歩的な確率過程の１つ

OUTLINE

ランダムウォーク

応用

13

俺の人生ランダムウォーク

14

人生 (wiki) 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

俺の人生ランダムウォーク

15

人生 (wiki) 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ある法則のもとで人生を何度も繰り返しながら成長している（飯田史彦）

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

単純ランダムウォークは再帰的

俺の人生ランダムウォーク

16

人生 (wiki) 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ある法則のもとで人生を何度も繰り返しながら成長している（飯田史彦）

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

単純ランダムウォークは再帰的

人生が再帰的（同じ戻ってくる）じゃまずくね !?!?成長してない・・・

俺の人生ランダムウォーク

17

人生 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ある法則のもとで人生を何度も繰り返しながら成長している（飯田史彦）

“ つき”の存在：勝ち続ける or負け続ける

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

単純ランダムウォークは再帰的

ランダムウォークには偏りがある !!

“ つき”の存在 !?

1 次元単純ランダムウォーク

18

𝑡=0 1

1 次元単純ランダムウォーク

19

𝑡=0 1 2

1 次元単純ランダムウォーク

20

𝑡=0 1 2 3

1 次元単純ランダムウォーク

21

𝑡=0 1 2 3 5 6 74

ランダムウォーク 定義　を独立かつ同分布な値確率変数とす　る．この時，

　を次元ランダムウォークという．特にが値であり，　かつ

　であるとき， を次元単純ランダムウォークという．

22つまり，どういうこと ??

：経過時間 ：進む方向の数 ：進む速度が実数値 ：時間での進み方 ：時間での位置 ：進む速度が整数値 ：ある方向とその逆方向に進む確率が同じで，かつ

一定

23

1 次元単純ランダムウォークの場合 定義　を独立かつ同分布な値確率変数とす　る．この時，

　　を次元ランダムウォークという．特にが値であり，　かつ

　であるとき， を次元単純ランダムウォークという．

24

位置

1 と -1 が出る確率が同じ 1/2

𝑋 n={𝑥∈𝑍∨ x=1 ,−1 }(0,0)

(1,0)(-1,0)

1 次元単純ランダムウォーク

25

𝑡=0 1

1 次元単純ランダムウォーク

26

𝑡=0 1 2

1 次元単純ランダムウォーク

27

𝑡=0 1 2 3

1 次元単純ランダムウォーク

28

𝑡=0 1 2 3 5 6 74

2 次元ランダムウォークの例

29

30

再帰的 定義　　ランダムウォークがスタートの位置に確率 1 で戻ってくるとき，そのランダムウォークは再帰的であるという．そうでないときは非再帰的であるという． 定理　 1 次元ランダムウォークがいつか原点に戻る確率は．したがって， 1 次元単純ランダムウォークは再帰的．

31

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

32

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

33

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

求める確率再起確率

34

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

35

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

36

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

37

足し算する

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

38

足し算する

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

39

足し算する

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

これは，等差数列40

足し算する

定数

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

41

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

ここで，ならばとなる．すると十分大きなに対して，となる．しかし，は確率なのでより矛盾．

42

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

ここで，ならばとなる．すると十分大きなに対して，となる．しかし，は確率なのでより矛盾．よって，となる．また，に対しても同様に行うと となる．

43

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

ここで，ならばとなる．すると十分大きなに対して，となる．しかし，は確率なのでより矛盾．よって，となる．また，に対しても同様に行うと となる．以上より，

再帰確率となる． 44

1 次元ランダムウォーク， 2 次元ランダムウォークは再帰的

3 次元ランダムウォークは非再帰的

再帰的 確率 1 で戻ってくるとき，そのランダムウォークは再帰

的であるという．そうでないときは非再帰的であるという．

戻ってこないとは言っていない．45

（ 2 次元も好きだけど）俺の人生は 3 次元だからオッケー ^^

ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

46

ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

未来の状態・期待値は現在の状態にのみ依存

47

ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

未来の状態・期待値は現在の状態にのみ依存

つまり，過去は関係ない

48

ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

未来の状態・期待値は現在の状態にのみ依存

つまり，過去は関係ない

本当にそうだろうか？ 49

現在位置がスタート位置から上側だとしても，次の動きが下になりやすいわけではない．

片側に寄る傾向がある

１次元ランダムウォーク点の存在分布：正規分布点が正の領域にいる時間の割合の分布 50

点が正の領域にいる時間の割合の分布

51

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

グラフ

逆正弦定理 に対し，

　　が成り立つ．

52

十分に大きい回数，試行を行ったとき，正の位置にいる割合

53

存在位置の割合 確率[00.1] or [0.91] 0.200

[010.2] or [0.] 0.090

[00.3] or [0.7] 0.074

[0.30.4] or [0.6] 0.067

[0.40.5] or [0.] 0.064

十分に大きい回数，試行を行ったとき，正の位置にいる割合

54

存在位置の割合 確率[00.1] or [0.91] 0.200

[010.2] or [0.] 0.090

[00.3] or [0.7] 0.074

[0.30.4] or [0.6] 0.067

[0.40.5] or [0.] 0.064

十分に大きい回数，試行を行ったとき，正の位置にいる割合

55

存在位置の割合 確率[00.1] or [0.91] 0.200

[010.2] or [0.] 0.090

[00.3] or [0.7] 0.074

[0.30.4] or [0.6] 0.067

[0.40.5] or [0.] 0.064

正の位置にいる割合は 0 or 1 に近いことが多い

どのような応用があるのか？

56

破産問題 コイントスをし，表なら勝ち，裏なら負けとする．

表が出る確率はとする．倍がけ戦略

はじめに， 1 をかける．その後，コインを投げ表がでるまでかけ金を倍にする．

57

破産問題 コイントスをし，表なら勝ち，裏なら負けとする．

表が出る確率はとする．倍がけ戦略

はじめに， 1 をかける．その後，コインを投げ表がでるまでかけ金を倍にする．

いま， N 回目に初めて，表が出たとすると，それまでに負けた額は，

N 回目で勝って額は．つまり，儲かる．

58

破産問題 さらに， N 回目まで表が出ない確率

つまり，有限時間内に絶対に表は出る．よって，絶対に勝てるし，儲かる．

59

破産問題 さらに， N 回目まで表が出ない確率

つまり，有限時間内に絶対に表は出る．よって，絶対に勝てるし，儲かる．

これは必勝法なのか？

60

破産問題 いま， N 回目に初めて表が出たとする．負けた額

は．

初めて表が出るまでに，いくら負けるか，その期待値を求めてみる．

61

破産問題 いま， N 回目に初めて表が出たとする．負けた額

は．

初めて表が出るまでに，いくら負けるか，その期待値を求めてみる．

62

破産問題つまり，この方法が成立するためには始めに，円持っていないといけない．

63

破産問題つまり，この方法が成立するためには始めに，円持っていないといけない．

そんなのは無理

賭け事や株で，資金があれば勝てるのはこういうこと？

64

確率過程

65

離散的ランダムウォー

ク

マルコフ時系列

連続的ブラウン運動

マルコフ過程

伊藤の公式ブラック・ショー

ルズの公式

一般化 一般化

ですが，今回はここまでー．　また，機会があれば話します！＾＾

ありがとうございました．

66