8 poutres

Comportement etdimensionnement

des poutres

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

Calcul desefforts internes

dans une poutre

8 m

40 kN/m

160 kN 160 kN

DCLpoutre entière

Pour calculer les efforts internes à l’intérieur d’une poutre il suffit de tracer le diagramme de corps libre (DCL) d’une partie tronquée de la poutre et de calculer l’équilibre statique des forces à cet endroit.

DCLpoutre tronquée

2 m

40 kN/m

160 kN

V

Ma

3Calcul des efforts internesdans une poutre

DCLpoutre tronquée

a

2 m

80 kN

160 kN

V

M

1 m

a

Pour prendre en compte la charge uniformément répartie, on peut la remplacer par une charge résultante équivalente placée au centre de gravité du rectangle.

8 m

40 kN/m

160 kN 160 kN

DCLpoutre entière

Par exemple, pour la poutre illustrée ci-contre, on obtient les efforts au quart de la portée de la façon suivante :

∑ Fv = 0 d’où :

160 - 80 + V = 0 à V = - 80 kN

DCLpoutre tronquée

a

2 m

80 kN

160 kN

V

M

1 m

a

4Calcul des efforts internesdans une poutre

∑ Ma = 0 d’où :

- (160 kN x 2 m) + (80 kN x 1 m) + M = 0

M = 240 kN-m

Les forces V et M que nous venons de calculer sont des efforts internes qui sont induits dans la poutre afin de préserver son équilibre statique.

5Nature des efforts internes

La force V est ce que l’on appelle l’effort tranchant et il est exprimé en kN. Cet effort induit des contraintes de cisaillement dans la poutre et la rupture survient lorsque ces contraintes excèdent la résistance en cisaillement du matériau.

Le moment fléchissant (M) est exprimé en kN-m. Cet effort de flexion génère des contraintes de compression et de tension dans l’axe horizontal qui atteignent une valeur maximale aux fibres extrêmes de la poutre. La rupture survient lorsque ces contraintes excèdent la résistance à la compression ou à la tension du matériau.

Efforttranchant

6

Considérons une poutre simplement appuyée qui supporte une charge concentrée au centre de la portée.

Si on coupe la poutre à une distance x de l’appui gauche et que l’on trace le DCL de la poutre tronquée on obtient les efforts internes (V er M) dans la poutre à cet endroit:

7Efforts internes dans une poutre

Imaginons que la poutre soit constituée d’une multitude de petites tranches verticales placées les unes à côté des autres:

Sous l’action de la force externe P, les tranches auront tendance à glisser les unes p/r aux autres:

8Effort tranchant (V)

L’effort tranchant est la résultante des contraintes de friction qui s’exercententre les tranches pour préserver leur équilibre statique.

Effort tranchant (V) 9

Isolons une tranche sur la poutre.

vv

La force externe induit des contraintes internes de cisaillement, v, qui génèrent une friction interne verticale et empêche les tranches de glisser les unes p/r aux autres.

VV

La somme de toutes ces contraintes v (exprimées kN/m2) multipliées par la section de la poutre (exprimée en m2) produisent une force interne verticale qui est égale à l’effort tranchant V(exprimé en kN) et qui préserve l’équilibre statique translationnel dans l’axe vertical (Σ Fv = 0)

Revenons maintenant à notre poutre tronquée et isolons une petit élément de matière sur la face de la coupe. On remarque que les contraintes verticales de cisaillement sont égales mais de directions opposées ce qui assure l’équilibre statique translationnel dans l’axe vertical.


Cependant, les deux forces v produisent un moment p/r au point a qui impose une rotation du cube dans le sens horaire. L’équilibre rotationnel n’est donc pas assuré.

Pour préserver l’équilibre rotationnel, il est nécessaire de générer des contraintes de cisaillement horizontales qui produiront un moment p/r au point a qui imposera une rotation du cube dans le sens anti-horaire pour annuler l’effet des contraintes de cisaillement verticales et assurer l’équilibre statique rotationnel.


Imaginons maintenant que la poutre soit constituée d’une multitude de petites tranches horizontales placées les unes par-dessus les autres:

Sous l’effet de la charge externe P, la poutre va fléchir et les tranches auront tendance à glisser les unes p/r au autres. Ce glissement sera empêché par les efforts de friction internes associés aux contraintes de cisaillement dans le plan horizontal.


Effort tranchant (V) 13

vv

v

v

En effet, les contraintes de cisaillement dans le plan horizontal empêchent les tranches horizontales de la poutre de glisser les unes p/r aux autres.

Revenons encore une fois à notre poutre tronquée et isolons deux petits éléments de matière sur la face de la coupe. L’un de ces éléments est placé au centre de la poutre et l’autre à son extrémité supérieure.

On constate que le cisaillement est forcément nul à la fibre supérieure et qu’il sera maximal au centre de la poutre. En fait, pour une section rectangulaire, la distribution des contraintes de cisaillement suit un profil parabolique:


15

Exemple de rupture d’une poutre de bois provoquée par les efforts de cisaillement horizontal

16Effort tranchant (V)Si on examine attentivement le petit élément de matière, on constate que, sous l’action des forces de cisaillement, le carré initial se déforme pour devenir un parallépipède.

Pour les matériaux possédant une faible résistante à la tension, comme le béton, l’effort de tension dans l’axe diagonal peut alors provoquer la rupture de la poutre.

vv

v

v

vv

v

v

compression

compression

De la même façon les deux contraintes de cisaillement dans le coin inférieur gauche, ainsi que les deux contraintes de cisaillement dans le coin supérieur droit se combinent pour créer une force résultante de compression le long de l’autre diagonale.

On remarque que les deux contraintes de cisaillement dans le coin supérieur gauche, ainsi que les deux contraintes de cisaillement dans le coin inférieur droit se combinent pour créer une force résultante de tension le long d’une diagonale.

tension

tension

17

Exemple de rupture d’une poutre en béton provoquée par l’effort tranchant (V)

tension

tension

Momentfléchissant

18

Considérons une poutre simplement appuyée et imaginons une mince tranche verticale au milieu de la poutre. Avant l’application des charges, cette tranche est de forme rectangulaire.

19Moment fléchissant (M)

P

P2

P2

Lorsque la poutre va être soumise à une charge externe, la tranche va se déformer pour devenir un élément prismatique où les deux faces latérales vont demeurer rectilignes en s’inclinant p/r à la verticale.

La figure ci-contre montre le profil de déformation sur la hauteur de la tranche considérée.


P

P2

P2

profil initial

profil final

axe neutre

axe neutre

On peut identifier un axe neutre au centre de la poutre pour lesquelles les fibres horizontales ne subiront aucune déformation.Toutes les fibres horizontales situées au-dessus de l’axe neutre subiront un raccourcissement et seront donc comprimées.

compression

Toutes les fibres horizontales situées en-dessous de l’axe neutre subiront un allongement et seront donc tendues.

tension

Si on reconsidère notre poutre tronquée en ne prenant en compte que le moment fléchissant (M), on constate que ce moment induit des contraintes de compression dans le haut de la poutre et de tension dans le bas de la poutre. Il en résulte deux forces horizontales internes F, de direction opposée (Σ Fh = 0) séparées l’une de l’autre par un bras de levier interne (d). Ces forces génèrent un moment interne (M = F d) qui équilibre le moment externe (M = Px/2) et assure l’équilibre statique rotationnel.


On remarque que, plus la matière est placée loin de l’axe neutre, plus la contrainte est élevée et plus le bras de levier est grand. La résistance en flexion d’une poutre sera donc grandement influencée par la géométrie de sa section.


Plus la matière est située loin de l’axe neutre, plus elle est efficacepour résister aux efforts de flexion.

axe neutre

Par exemple, les deux poutres ci-dessous contiennent approximativement la même quantité de matériau mais la poutre en forme de I est beaucoup plus efficace que la poutre circulaire parce que la matière est concentrée loin de l’axe neutre.


24

Exemple de rupture en flexion d’une poutre en béton

compression

compression

tensiontension

axe neutre

Diagrammesdes efforts

internes

25

Diagramme des efforts internes 26

Comme nous l’avons vu au début de cette présentation, on peut calculer les efforts internes (V et M) sur n’importe quelle section d’une poutre en traçant le diagramme de corps libre d’une partie tronquée de la poutre et en faisant l’équilibre statique des forces à cet endroit.

Si on effectue ce calcul sur plusieurs points de la poutre, on peut tracer le diagramme des efforts internes qui est une représentation graphique des efforts internes tout le long de la poutre. Ce diagramme nous permet d’identifier les sections de la poutre où les efforts internes sont maximaux.

Diagramme des efforts internes 27

Le traçage manuel du diagramme des efforts internes d’une poutre est une opération fastidieuse car elle nous oblige à calculer l’équilibre statique des forces en plusieurs points de la poutre.

Pour les cas les plus courants, on peut retrouver les diagrammes d’efforts internes dans plusieurs ouvrages comme par exemple le Handbook of Steel Construction publié par l’Institut canadien de l’acier.

Pour les cas plus complexes, ces diagrammes peuvent être obtenus facilement en utilisant un logiciel spécialisé, comme par exemple le logiciel DrBeamPro. Cela fera l’objet du prochain podcast.

Convention de signe 28

efforttranchant

positif

efforttranchant

négatif

Effort tranchant

momentfléchissant

positif

momentfléchissant

négatif

Moment fléchissant

Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge uniformément répartie

29Mmax = w L2

8

Vmax = w L2

w (kN/m)

L

Mmax

Vmax

Vmax

wL2

wL2

Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge concentrée au centre de la portée

30

P (kN)

L

Mmax

Vmax

Vmax

Vmax = P 2

Mmax = P L4

P2

P2

Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant deux charges concentrées au tiers de la portée

31

P (kN)

L

Vmax

Vmax

Vmax = P

PP

P (kN)

Mmax

Mmax = P L3


32

P (kN)

L

Vmax

Vmax

P (kN)

Mmax

Mmax = P L2

P (kN)

3P2

Vmax = 3P 2

3P2

Effortsrésistants

33

Vr = effort tranchant maximal (exprimé en kN) qu’une poutre peut supporter sans se rompre

Pour chaque poutre, on peut calculer deux efforts résistants (Vr et Mr) qui sont définis comme suit:

Les efforts résistants sont atteints lorsque la contrainte maximale de cisaillement ou la contrainte maximale de flexion induite dans la poutre excède la résistance du matériau.

34Efforts résistants

Mr = moment fléchissant maximal (exprimé en kN-m) qu’une poutre peut supporter sans se rompre

Les efforts résistants sont donc fonction de deux paramètres:

1. la résistance du matériau

2. la géométrie de la section de la poutre

Vr = Φ Fv k A

où: Vr = effort tranchant résistant (kN)

35Effort tranchant résistant (Vr)L’effort tranchant résistant peut être calculé de la façon suivante:

Φ = coefficient de tenue (prend en compte la variabilité du matériau) = 0,9 pour l’acier et le bois = 0,6 pour le béton

A = aire de la section (mm2)

Fv = contrainte admissible en cisaillement (MPa)

k = coefficient relié à la géométrie de la section = 0.67 pour une section rectangulaire

propriétés dumatériau

propriétés géométriquesde la section

Importance de la géométriede la section 36

La profil des efforts de cisaillement sur une section de poutre est fonction de la géométrie de la section.

poutre rectangulaire poutre en forme de I

Plus les efforts de cisaillement sont répartis uniformément sur toute la hauteur de la poutre, plus sa résistance est élevée à l’égard de l’effort tranchant.

où: Mr = moment résistant (kN-m)

Mr = Φ Fy I c

37Moment résistant (Mr)Le moment résistant peut être calculé de la façon suivante:



I = moment d’inertie de la section (mm4) Fy = contrainte admissible en flexion (MPa)

c = distance entre l’axe neutre et la fibre extrême (mm)

I = moment d’inertie de la section (mm4)

Fy = contrainte admissible en flexion (MPa)

c = distance entre l’axe neutre et la fibre extrême (mm)

propriétés géométriquesde la section

propriétésdu matériau

Le moment d’inertie est une propriété géométrique des sections qui mesure la résistance qu’un corps oppose aux déformations de flexion.

Par exemple, pour une section rectangulaire, on a que :

Il faut retenir que: plus la matière est située loin de l’axe neutre, plus le moment d’inertie est élevé

I = b d3

12

38Moment d’inertie

axe neutre d

b

c

39Résistance des matériaux

Matériau Cisaillement FlexionContrainte admissible (MPa)

Acier de charpenteBois lamellé-colléBéton armé

2351,75

1

35025,6

20 à 40

Déformationsdes poutres

40

Fléchissement des poutres 41

Sous l’effet des charges, les poutres subissent un fléchissement (i.e. des déformations verticales appelées flèches). Si ces déformations sont trop importantes elles peuvent occasionner:

- un inconfort pour les usagers;- des vibrations gênantes;- des défauts esthétiques (mauvais alignements, fissures, etc.);- le bris d’éléments de finition (cloisons sèches, parois de verre revêtements (gypse, plâtre, tuiles de plancher, etc.);- des problèmes fonctionnels (par exemple un mauvais fonctionnement des portes et fenêtres).

flèche ( )

charge

Déformations causées par les charges mortes 42

Habituellement les charges mortes ne causent pas de problèmes car elles sont imperceptibles pour les usagers et surviennent avant la construction des éléments de finition (cloisons sèches, parois de verre, revêtements de plancher,etc.)

De plus, lorsque ces déformations sont trop grandes, on peut les contrôler en imposant une cambrure à la poutre (i.e. une déformation verticale égale à la flèche qui sera provoquée par les charges mortes.

cambrure

avant l’applicationde la charge morte

après l’applicationde la charge morte

charge

Déformations causées par les charges vives 43

Ce sont donc essentiellement les flèches causées par les charges vives qui causent problème dans les bâtiments. Le C.N.B. exige que les flèches maximales causées par les charges vives non-majorées* n’excèdent pas les valeurs suivantes (où L représente la portée de la poutre):

ÉlémentFlèche maximale

autorisée

ToiturePlancher ne supportant pas d’éléments de finitionPlancher supportant des éléments de finition

L/180

L/240

L/360

* on ne majore pas les charges vives pour le calcul des flèches car ces déformations ne menacent en rien la sécurité des occupants

Fléchissement des poutres 44

Module élastiqueE (MPa)Matériau

Acier de charpenteBois lamellé-colléBéton armé

200 00013 10030 000

La déformation des poutres est directement proportionnelle à la charge appliquée et indirectement proportionnelle à leur rigidité.

rigidité = E x I

où E = module élastique (propriété du matériau)

et I = moment d’inertie (géométrie de la section)

Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge uniformément répartie

45

max = 5 wL4

384 EI

w (kN/m)

L

Mmax

Mmax = w L2

8

Vmax

Vmax

Vmax = w L2

wL2

wL2

Diagramme d’efforts internes pour une poutre simplement appuyée et supportant une charge concentrée au centre de la portée

46

max = PL3

48 EI

P (kN)

L

Mmax

Vmax

Vmax

Vmax = w 2

Mmax = P L4

P2

P2


47

max = 23 PL3

648 EI

P (kN)

L

Vmax

Vmax

Vmax = P

PP

P (kN)

Mmax

Mmax = P L3


48

P (kN)

L

Vmax

Vmax

P (kN)

Mmax

Mmax = P L2

P (kN)

3P2

Vmax = 3P 2

3P2

max= 19 PL3

384 EI

Dimensionnementdes poutres

49

Dimensionnement d’une poutre 50

Pour dimensionner une poutre, on suit les étapes suivantes:

1. On calcule les charges supportées par la poutre.

2. On trace le diagramme des efforts internes - à partir des schémas précédents, pour les cas de charge courants, ou en utilisant le logiciel DrBeamPro - et on calcule les efforts maximaux Vf et Mf provoqués par l’application des charges totales majorées.

L’utilisation de DrBeamPro fait l’objet d’un autre podcast.


3. On choisit un profilé en acier ou en bois lamellé-collé qui respecte les deux conditions suivantes:

Vr > Vf et Mr > Mf

Pour les profilés standard disponibles au Canada, on peut choisir un profilé très facilement en consultant un tableau qui est donné dans le document intitulé «Tables de sélection de profilés standard» et disponible sur le site du cours.

L’utilisation de ce document fait l’objet d’un autre podcast.

On peut aussi concevoir un profilé sur mesure en utilisant les feuilles excel conçues à cet effet et disponibles sur le site de cours.

Cela fait aussi l’objet d’un autre podcast


4. À l’aide de DrBeamPro on calcule la flèche maximale causée par la charge vive non-majorée ( max) et on vérifie que cette flèche est inférieure à la flèche maximale autorisée par le C.N.B. ( adm).

adm

5. Si la flèche est trop grande, on choisit un autre profilé qui possède un plus grand moment d’inertie (I). Le moment d’inertie requis (Irequis) peut être obtenu à l’aide d’une simple règle de trois :

Irequis = Ipremier profilé x max

Un autre podcast donne un exemple détaillé du processusqui mène au dimensionnement des poutres

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