4 алгебра логики

АЛГЕБРА ЛОГИКИАЛГЕБРА ЛОГИКИ

[email protected] http://dvoeknet.ucoz.ru

Определение Определение Алгебра логики — это раздел математической логики,

значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание — это любое предложение, в отношении которого имеет смысл ут верждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону искдюченногр третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным.

В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, Ь, с и т. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.


Основные законы алгебры Основные законы алгебры логикилогикиПростейшими операциями в алгебре

логики являются операции логического сложения (ИЛИ, операция дизъюнкции, ) и логического умножения (И, операция конъюнкции, ). Для алгебры логики выполняются следующие законы:

Переместительный А В=В А, А В=В АСочетательный(А В) С= А (В С), (А В) С= А (В С)Распределительный А (В С) = А В АС


Некоторые соотношения Некоторые соотношения отрицанияотрицанияНаименьшим элементом алгебры

логики является 0 (ложь), наибольшим элементом — 1 (истина).

В алгебре логики также вводится еще одна операция — отрицания (операция НЕ, инверсия, )

Справедливы такие соотношения:АА=1, АА=0, 0=1, 1=0(А)=А, (АВ)=АВ, (АВ)=АВ


Определение логической формулыОпределение логической формулы С помощью логических переменных и

символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы: 1) Всякая логическая переменная и символы

“истина” (“1”) и “ложь” (“0”) — формулы. 2) Если А и В — формулы, то ¬A, (А • В), (А v

В), (А → B), (А ↔ В) — формулы. 3) Никаких других формул в алгебре логики

нет.

ПримерыПримеры• Если я куплю яблоки или

абрикосы, то я приготовлю фруктовый пирог.

• Если Игорь знает английский или немецкий язык, то он может стать переводчиком

АvВ →C

• Как показывает анализ формулы (A v B)→ C , при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение “истина”, а при некоторых других сочетаниях — значение “ложь”. Такие формулы называются выполнимыми.

• Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v¬A, соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

• В качестве другого примера рассмотрим формулу А •¬A, которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

• Если две формулы А и В “одновременно”, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

• Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом “=” или символом “↔”. Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Булева алгебраБулева алгебра

Джордж Буль — английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа с 1849. Один из предтеч математической логики.

Джордж Буль родился и вырос в семье небогатого ремесленника Джона Буля, увлечённого наукой. Отец, интересуясь математикой и логикой, дал первые уроки своему сыну, но тот не сумел обнаружить рано свои выдающиеся таланты в точных науках, и его первым увлечением стали классические авторы.

Лишь к семнадцати годам Буль дошёл до высшей математики, продвигаясь медленно из-за отсутствия действенной помощи.

С шестнадцати лет Буль начал работать помощником учителя в частной школе в Донкастере и, так или иначе, продолжал преподавание на разных должностях в течение всей жизни. Он был женат на Мэри Эверест , племяннице знаменитого географа Джорджа Эвереста, также занимавшейся наукой и преподававшей, а после смерти мужа много сил уделившей популяризации его вклада в логику.

Четверо их дочерей снискали известность как учёные (геометр Алисия, химик Люси), или члены учёных семей (Мэри, жена математика и писателя Ч. Г. Хинтона, и Маргарет, мать математика Дж. И. Тейлора), а пятая — Этель Лилиан Войнич — прославилась как писатель.

Буль умер на пятидесятом году жизни от воспаления лёгких.

Буль был, вероятно, первым после Джона Валлиса математиком, обратившимся к логической проблематике. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Единицей Буль обозначал универсум мыслимых объектов, буквенными символами — выборки из него, связанные с обычными прилагательными и существительными (так, если x="рогатые", а y="овцы", последовательный выбор x и y из единицы даст класс рогатых овец). Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Ещё более оригинальной и примечательной была часть его системы, представленной в «Законах мышления…», образующая общий символический метод логического вывода. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. Вторая часть «Законов мышления…» содержит аналогичную попытку обнаружить общий метод в исчислении вероятностей, позволяющий из заданных вероятностей совокупности событий определить вероятность любого другого события, логически связанного с ними.



Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

ассоциативность коммутативность законы поглощения дистрибутивность

дополнительность[email protected] http://dvoeknet.ucoz.ru


Задания Задания Даны простые высказывания:А = {Принтер — устройство ввода

информации}, В = {Процессор — устройство обработки

информации}, С = {Монитор — устройство хранения

информации}, D = {Клавиатура — устройство ввода

информации}. Определите истинность составных высказываний:a) (AB) (CvD); б) (А В)=>(В С);

в) (AvB) ↔ (C D); г) А↔ В.


а) (0*1)*(0+1)=0, б) (0*1)(0*1)=1, в) (0+1)(0*1)=0, г) 01=0

Задания Задания Дано составное высказывание не

(не А и В), где А и В — простые высказывания. В каком случае данное высказывание будет ложным?


-(-1)*1=1, -(-0)*1=0, -(-1)*0=0, -(-0)*0=1

Задания Задания Даны простые высказывания:А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}.Определите истинность составных

высказыванийa)(AvB)C(A C)v(B C);

б) (A B)vC ↔ (AvC) (A B).


а) (1+0)*0(1*0)+(0*0)=1, б) (1*0)+0(1+0)*(1*0)=1

Education

4 алгебра логики