Upload
evgeny-smirnov
View
3.535
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Математическая логика
11 февраля 2013 г.
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Три основные логические операции
Название Обозначение Альт. Соответствие Знач.Конъюнкция & ∧ умножение иДизъюнкция ∨ сложение илиОтрицание ¬ отрицание не
Полезно запомнить соответствия — это помогаетопределить порядок выполнения операций: отрицание,конъюнкция, дизъюнкция.
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
&
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
¬
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
∨
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
A ∨ ¬B&CКакой порядок выполнения?
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
¬A&¬B ∨ C&(¬D ∨ E )Какой порядок выполнения?
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблицы истинности
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблица истинности для конъюнкции
Рассмотрим, чему может быть равно высказывание A & B:
A B A & BИ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л Л
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблица истинности для дизъюнкции
Рассмотрим, чему может быть равно высказывание A ∨ B :
A B A ∨ B
И И ИИ Л ИЛ И ИЛ Л Л
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблица истинности для отрицания
Рассмотрим, чему может быть равно высказывание ¬A:
A ¬AИ ЛЛ И
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Правила для запоминания / понимания
Конъюнкция требует, чтобы оба условия были истинны: ито, и другое.Дизъюнкции достаточно, чтобы одно из условийвыполнялось: или первое, или второе (или оба вместе).Отрицание меняет значение на противоположное.
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Пример построения таблицы истинности
Построим таблицу истинности для высказыванияA & B ∨ ¬C .Построение заключается в переборе всех возможныхвариантов.
A B C ИтогИ И ИИ И ЛИ Л ИЛ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л ИЛ Л Л
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Пример построения таблицы истинности
Посчитаем первую строку, подставив значения A, B, C:A&B ∨ ¬C = И&И∨¬И = И&И∨Л = И ∨ Л = И
A B C ИтогИ И И ИИ И ЛИ Л ИЛ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л ИЛ Л Л
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Пример построения таблицы истинности
Аналогично рассчитываем для каждой оставшейся строки.
A B C ИтогИ И И ИИ И Л ИИ Л И ЛЛ И И ЛИ Л Л ИЛ И Л ИЛ Л И ЛЛ Л Л И
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Задачи
Построить таблицу истинности для следующихвысказываний:
1 A ¬ B ∨ ¬¬A2 ¬(A&¬B)&C3 A ¬A4 A ∨ ¬A
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Законы логики
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Основные законы логики
Как и в математике, в логике есть свои законы.Во многом, они похожи на математические.Название ЗаконПереместительный A&B = B&A
A∨B = B∨AСочетательный A&(B&C) = A&(B&C)
A∨(B∨C) = A∨(B∨C)Распределительный A&(B∨C) = (A&B)∨(A&C)
A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)Правила де Моргана ¬(A&B) = ¬A∨¬B
¬(A∨B) = ¬A&¬B
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
В логике можно доказывать законы
Но как?
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Доказательство правила де Моргана
В логике два высказывания называются равными, еслисовпадают их таблицы истинности.Для доказательства одного из правил де Морганапостроим таблицы истинности для левых и правых частейравенства.Если таблицы совпадут, значит, формула верна:A B ¬(A&B)И И ЛИ Л ИЛ И ИЛ Л И
A B ¬A∨¬BИ И ЛИ Л ИЛ И ИЛ Л И
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Задачи
Докажите переместительный закон для конъюнкции.Докажите распределительный закон конъюнкцииотносительно дизъюнкции (первый).
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Остальные законы
Название ЗаконДвойного отрицания ¬¬A = AПротиворечия A&¬A = Л
A∨¬A = ИПовторения A&A = A
A∨A = AПросто закон A&И = A
A∨И = ИПросто закон 2 A&Л = Л
A∨Л = A
Математическая логика
Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Задачи
Пример с раскрытием скобок:A&¬(B∨C) = A&(¬B&¬C) = A&¬B&¬CРаскрыть скобки у следующих выражений:
1 ¬(A&¬B)&C2 ¬(¬(¬¬A&¬B)&C )
Математическая логика