2.introduccion

Matematicas Aplicadas en Ingenierıa QuımicaIntroduccion

Dr. Javier [email protected]

Instituto Tecnologico de CelayaDepartamento de Ingenierıa Quımica

Ciencias Basicas de la Ingenierıa Quımica

• Cinetica Quımica

Mecanismos de Reaccion

Velocidades de Reaccion

Modelos de Reactores Quımicos

• Fenomenos de Transporte

Mecanica de Fluidos

Transferencia de Calor

Difusion de Masa

• Termodinamica

Leyes de Conservacion

Equilibrio y Estabilidad

Propiedades Termodinamicas

* Matematicas Aplicadas

Formulacion Matematica

Procedimiento1. Descripcion Fısico-Quımica del Proceso.

• Identificacion de las Variables Relevantes• Establecimiento de las Relaciones Causa-Efecto• Determinacion de las Condiciones Limitantes

2. Abstraccion a un Modelo Simbolico.• Diagramas, Dibujos• Perturbacion (Causas) → Respuesta (Efectos)• Asignacion de Sımbolos a Variables y Parametros

FuentesA. Leyes Fısico-Quımicas. (Universales)

• Leyes de Conservacion• Ley de Accion de Masas

B. Ecuaciones Descriptivas. (Locales)• Ecuaciones de Estado• Ecuaciones de Transporte

C. Condiciones Limitantes. (Restricciones)• Condiciones Iniciales (tiempo o espacio)• Condiciones Frontera (espacio)

Formulacion Matematica

IngredientesA. Ecuacion:

Variables: Escalares: (T, ρ), Vectores: (v), Funciones: y(x)

Parametros: Constantes conocidas: (π, g, R)

Operadores: Aritmeticos (+), Integro-Diferenciales (∫

), Vectoriales (∇)

B. Condiciones Limitantes:

Frontera: Espaciales

Iniciales: Temporales (Espaciales)

Modelo Matematico

F (x;α) = h; x ∈ Sn

B(xo) = k; xo ∈ ∂

F : Operador B : Condiciones Lımitex : Variables (n) k : Constantes conocidasα : Parametros Sn: Espacio Vectorialh : Funcion conocida ∂ : Frontera

Ejemplo

Transferencia de Calor en Estado Estacionario a (o desde) un Fluido que desarrollaun Perfil de Velocidad Parabolico a traves de un Tubo (Problema de Graetz):

• Ecuacion:

2v0ρCp

[1−

( rR

)2](

∂T

∂z

)=kR

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+ kL

∂2T

∂z2

• Condiciones Lımite:

T (R, z) = Tw,∂T

∂r

∣∣∣∣(0,z)

= 0, T (r, 0) = T0

El modelo se construye a partir de:

• Ecuacion de Conservacion: Balance de Energıa.

• Ecuacion Constitutiva: Ley de Fourier de Conduccion de Calor “efectiva”en direcciones radial y axial.

• Condiciones Lımite: Condiciones Frontera e Inicial.

Modelo Lineal

Principio de Superposicion

Modelo Matematico:

xH

y

x

H

y

x

1

2

1

y2

y = H(x)

• Considerar las respuestas y1 y y2 respectivas de las perturbaciones x1 y x2

tales que:y1 = H(x1); y2 = H(x2)

• El modelo es LINEAL si satisface el principio de superposicion:

H(αx1 + βx2) = αH(x1) + βH(x2) = αy1 + βy2

donde α y β son constantes arbitrarias.

xH

y

x

H

y

x

1

2

1

y2

• Si el modelo no satisface el principio de superposicion es NO LINEAL

Clasificacion

A. Problemas de Equilibrio:

• Configuraciones invariables en el tiempo.

• Minimizacion de Funciones de Energıa.

• Problemas de Valor en la Frontera.

Ecuaciones Matriciales:

Ax = b, y ATAx = ATb

Problema de Sturm-Liouville:

d

dx

[p(x)

dy

dx

]+ q(x)y(x) = λρ(x)y(x) x ∈ (a, b)

con: α1y(a) + α2y′(a) = k1 y β1y(b) + β2y

′(b) = k2

Ecuaciones Elıpticas:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= f(x, y, z),

{x ∈ (a, b)y ∈ (c, d)

con: ux(a, y) = A, u(x, c) = C

u(b, y) = B, uy(x, d) = D

Clasificacion

B. Problemas de Valor Inicial:

• Configuraciones Variables con el tiempo

• Problemas de Valor Inicial

• Evolucionan a un Estado de Equilibrio

Iteraciones (Series de tiempo)

x(n+1) = Gx(n) + k; con: x(0) = x0 n = 0, 1, 2, . . .

Modelos Dinamicos

dx

dt= Ax + Bu, y = Cx con: x(0) = x0

Ecuaciones Parabolicas (Difusion)

∂u

∂t= α

[∂2u

∂x2+∂2u

∂x2

];

t ∈ (0,∞)x ∈ (a, b)y ∈ (c, d)

con: u(0, x, y) = F (x, y)

u(t, a, y) = A, u(t, x, c) = C

u(t, b, y) = B, u(t, x, d) = D

Distribucion Espacial

I. Parametros Agrupados:

• Propiedades espaciales homogeneas.

• Aplicable a procesos con respuesta rapida a perturbaciones.

• Modelos: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Flujo de líquido Flujo de vapor

[~~

Flujo de vapor

~

Flujo de líquido

(a)

Flujo de líquido

(

~

Flujo de vapor

Flujo de vapor

~

)Flujo de líquido

(b)

Distribucion Espacial

II. Parametros Distribuidos:

• Propiedades variables en el espacio.

• Aplicable a procesos con respuesta lenta a perturbaciones

• Modelos: Ecuaciones Diferenciales Parciales

Flujo de líquido Flujo de vapor

[~~

Flujo de vapor

~

Flujo de líquido

(a)

Flujo de líquido

(

~

Flujo de vapor

Flujo de vapor

~

)Flujo de líquido

(b)

Principio de ConservacionEcuacion de Continuidad Global

Ecuacion de Continuidad (Masa) Flujo deMasa haciael Sistema

− Flujo de

Masa desdeel Sistema

=

Rapidez de cambiode la Masa dentro

del Sistema


Tanque perfectamente mezclado:

Variables

F - Flujo Volumetrico (volumen/tiempo)

ρ - Densidad masica (masa/volumen)

V - Volumen del fluido en el tanque

Flujo de entrada: Foρo

Flujo de salida: Fρ

Variacion en el tanque:d(ρV )

dt

Balance Macroscopico (Ecuacion de Continuidad)

d(ρV )

dt= Foρo − Fρ (1)


Flujo Piston en regimen turbulento a traves de un tubo con Areatransversal uniforme A:

Para el elemento de volumen

• Flujo de entrada: (vA)ρ|z , • Flujo de salida: (vA)ρ|z+∆z

• Variacion en el elemento de volumen:∂(ρA∆z)

∂t= A∆z

∂ρ

∂tsustituyendo en el balance de masa

(v A)ρ|z − (v A)ρ|z+∆z = A∆z∂ρ

∂t

dividiendo entre A∆z y tomando el lımite cuando ∆z → 0

∂ρ

∂t+∂(ρv)

∂z= 0

Principio de ConservacionSistemas con reacciones quımicas

Ecuacion de Continuidad por Componente Flujo deComponente j

hacia el Sistema

− Flujo de

Componente jdesde el Sistema

+

Rapidez deFormacion

de j

=

Rapidez de cambiodel Componente jdentro del Sistema

Reactor Continuo Perfectamente Mezclado (CSTR)

• Reaccion de primer orden reversible

A −→ B

• Velocidades de reaccion

rA = −k CA, rB = k CA

• Concentracion de j

Cj =Moles de j

Volumen

Principio de ConservacionEcuacion de Continuidad por Componente

Balance de Materia del Componente A:

• Flujo molar de A en la Entrada al reactor: FoCAo

• Flujo molar de A a la Salida del reactor: F CA

• Rapidez de formacion de A en el reactor: −V k CA• Variacion molar de A en el reactor: d(V CA)/dt

Ecuacion de Continuidad de A:

d(V CA)

dt= FoCAo − FCA − V kCA

de forma similar, para el componente B:

d(V CB)

dt= FoCBo − FCB + V kCA

Empleando la relacion: MACA +MBCB = ρ donde Mi es la masa molecular delcomponente i, resulta en que la suma de los dos balances anteriores es el balancetotal de masa (1)


Reactor de Flujo Piston en Regimen Turbulento

Debido al gradiente de concentracion en direccion axial, se presenta un proceso dedifusion que puede modelarse con una expresion similar a la ley de Fick

NA = −DA∂CA

∂z, DA − coeficiente de difusion efectivo.

Balance Molar del componente A en el volumen A∆z:

• Flujo molar de A en la entrada: [v ACA +NA A]z

• Flujo molar de A a la salida: [v ACA +NA A]z+∆z

• Formacion de A en el elemento: −k CAA∆z

• Variacion molar de A en el elemento:∂CA

∂t(A∆z)


sustituyendo en la ecuacion de continuidad

[vACA +NAA]z − [vACA +NAA]z+∆z − k CAA∆z =∂CA

∂t(A∆z)

dividiendo entre A∆z y tomando lımite cuando ∆z → 0

∂CA

∂t+∂(vCA)

∂z+∂NA

∂z+ kCA = 0

sustituyendo la ley de Fick efectiva:

∂CA

∂t+∂(vCA)

∂z−

∂

∂z

(DA

∂CA

∂z

)+ kCA = 0

Clasificacion por Escala

Clasificacion propuesta por Himmelblau y Bischoff1 de acuerdo al nivel de detalleo escala:

A. Molecular y Atomico

• Nivel microscopico fundamental.

• Basados en Mecanicas Cuantica y Estadıstica.

• Modelos: Funciones de Particion, Integrales de Colision.

• Parametros: Diametros Moleculares, Energıas de Interaccion.

B. Microscopico

• El medio es considerado continuo

• Basados en Fenomenos de Transporte

• Modelos: Ecuaciones Diferenciales

• Parametros: Propiedades de Transporte

1Process Analysis and Simulation., J. Wiley & Sons, 1968

Escala

C. Gradiente Multiple

• Extension de Nivel Microscopico.

• Casos: Flujo Turbulento, Flujo en medios porosos.

• Parametros: Coeficientes de Transporte Efectivos.

D. Gradiente Maximo

• Sistemas de Flujo Continuo (Flujo Piston)

• Terminos de dispersion despreciables

• Casos: Reactores Catalıticos de Lecho Fijo

• Parametros: Coeficientes de Interfase, Constantes Cineticas

E. Macroscopico

• Termodinamica, Operaciones Unitarias

• Detalles internos despreciables

• Modelos: Algebraicos y Ecuaciones Diferenciales

• Parametros: Propiedades Macroscopicas

Descripcion Microscopica.Ecuaciones de Conservacion

Aproximacion Unificada de Fenomenos de Transporte:2

Consideraciones:

• Equivalencia de Principios Fundamentales de Conservacion

• Similitud de las Ecuaciones Descriptivas (Constitutivas)

• Conservacion de una propiedad generica intensiva P (Por unidad de volumen)• Masa• Energıa• Momentum• Carga Electrica

• Empleo de coordenadas Cartesianas

• Notacion Vectorial

Objetivo:

• Balance de Materia (Total y por Componente)

• Balance de Energıa

• Balance de Momentum

2G.D. Fulford y D.C.T. Pei, I&EC, 61 (5), 47, 1969

Ecuacion de Conservacion

Elemento de volumen ∆V = ∆x∆y∆z dentro de un medio contınuo

Δ x

Δ y

Δ z

x

z

y

x

y

z

y

z z + zΔ

Δy + y

x + xΔx

z

y

x[F, v , ]Π

[F, v , ]Π

[F, v , ]Π

[F, v , ]Π

[F, v , ]Π

[F, v , ]Π

(x, y, z)

(x + x, y + y, z + z)Δ Δ Δ


Balance de una cantidad fısica que se conserva P (Masa, Momentum, Energıa) enel elemento de volumen ∆V :

(Acumulacion de P) = (Entrada de P)− (Salida de P)

Tomando en cuenta la variacion con respecto al tiempo: Rapidez deAcumulacion

de P

=

[Rapidez de

Entrada de P

]−[

Rapidez deSalida de P

]

=

[Rapidez Neta deIntercambio de P

]

Las posibles “fuentes” de la propiedad P al elemento de volumen son:

• Flujo global (Conveccion)

• Flujo Molecular (Difusion)

• Produccion en las fronteras del elemento

• Produccion interna en el elemento


Para el elemento de volumen ∆V : Rapidez deAcumulacion

en el Elemento

=

Rapidez Neta deTransferencia alElemento porFlujo Global

+

Rapidez Neta deTransferencia alElemento por

Flujo Molecular

+

Rapidez Neta deProduccion en

la Superficie delElemento

+


el Elemento

(2)

A. Rapidez de Acumulacion en ∆V :[∂P∂t

](∆x∆y∆z) (3)

B. Transferencia por Flujo Global en direccion x:

Entrada por cara ∆y∆z: P|x con velocidad vx|xSalida por cara ∆y∆z: P|x+∆x con velocidad vx|x+∆x


incluyendo direcciones y y z:

Rapidez Neta deTransferencia alElemento porFlujo Global

=(∆y∆z)[(vxP)|x − (vxP)|x+∆x] +(∆x∆z)[(vyP)|y − (vyP)|y+∆y ] +(∆x∆y)[(vzP)|z − (vzP)|z+∆z ]

(4)

C. Definiendo a Π como el flujo molecular de P por unidad de area (FluxMolecular), la transferencia por Flujo Molecular en direccion x es:

Entrada por cara ∆y∆z: Π(x)|xSalida por cara ∆y∆z: Π(x)|x+∆x

incluyendo las direcciones y y z:Rapidez Neta deTransferencia alElemento por

Flujo Molecular

=

(∆y∆z)(Π(x)|x −Π(x)|x+∆x) +(∆x∆z)(Π(y)|y −Π(y)|y+∆y) +(∆x∆y)(Π(z)|z −Π(z)|z+∆z)

(5)


D. Definiendo a F como la rapidez de generacion de P por unidad de area desuperficie del elemento de volumen, la generacion en la Superficie en direccionx es :

Entrada por cara ∆y∆z: F |xSalida por cara ∆y∆z: F |x+∆x

agregando direcciones y y z:


la Superficie delElemento

=(∆y∆z)(F |x − F |x+∆x) +(∆x∆z)(F |y − F |y+∆y) +(∆x∆y)(F |z − F |z+∆z)

(6)

E. Definiendo a G como la rapidez de generacion de P por unidad de volumendonde G puede consistir de varias aportaciones: G = G1 + G2 + · · · , lageneracion en el elemento de volumen: Rapidez Neta de

Produccion enel Elemento

= (∆x∆y∆z)G (7)


Sustituyendo terminos[∂P∂t

](∆x∆y∆z) = (∆y∆z)[(vxP)|x − (vxP)|x+∆x]

+ (∆x∆z)[(vyP)|y − (vyP)|y+∆y ] + (∆x∆y)[(vzP)|z − (vzP)|z+∆z ]

+ (∆y∆z)(Π(x)|x −Π(x)|x+∆x) + (∆x∆z)(Π(y)|y −Π(y)|y+∆y)

+ (∆x∆y)(Π(z)|z −Π(z)|z+∆z) + (∆y∆z)(F |x − F |x+∆x)

+ (∆x∆z)(F |y − F |y+∆y) + (∆x∆y)(F |z − F |z+∆z) + (∆x∆y∆z)G

Dividiendo entre el volumen del elemento (∆x∆y∆z) y tomando lımite cuandoeste volumen tiende a cero, se obtiene la Ecuacion de Conservacion de P enun medio fluente

∂P∂t

= −[∂(vxP)

∂x+∂(vyP)

∂y

∂(vzP)

∂z

]−[∂Πx

∂x+∂Πy

∂y+∂Πz

∂z

]−[∂F

∂x+∂F

∂y+∂F

∂z

]+ G


En notacion de operadores diferenciales

∂P∂t

= −∇ · (P v)−∇ · Π−∇F + G (8)

Terminos en la Ecuacion (8) para casos especıficos de Transporte

Masa Masa de iTermino Total en Mezcla Momentum Energıa

P ρ ρi ρv ρ(U + 12v2)

Π 0 ji τ q

F 0 0 p (pδ + τ ) · v

G 0 ri ρg ρ(v · g)

El termino G en la columna correspondiente a Energıa solo toma en cuenta laenergıa potencial debido al campo gravitatorio.

Ecuaciones de Conservacion

• Balance de Masa Total (Ecuacion de Continuidad):

∂ρ

∂t= −∇ · (ρv) = −∇ρ · v− ρ(∇ · v)

• Balance de Masa de especie i en mezcla:

∂ρi

∂t= −∇ · (ρiv)−∇ · ji + ri = −∇ · ni + ri


∂ρv

∂t= −∇ · (ρvv)−∇ · τ −∇p+ ρg

• Balance de Energıa:

∂

∂t

[ρ(U +

1

2v2)

]= −∇ ·

[ρ(U +

1

2v2)v

]−∇ · q−∇ · (pδ · v)

−∇ · [τ · v] + ρ(v · g)

Ecuaciones de ConservacionCoordenadas Cartesianas (x, y, z)

• Ecuacion de Continuidad

∂ρ

∂t+

∂

∂x(ρvx) +

∂

∂y(ρvy) +

∂

∂z(ρvz) = 0

• Ecuacion de Continuidad para especie i en mezcla

∂ρi

∂t+

∂

∂x(ρivx) +

∂

∂y(ρivy) +

∂

∂z(ρivz) = −

[∂jix

∂x+∂jiy

∂y+∂jiz

∂z

]+ ri

• Ecuacion de movimiento (Componente x)

∂ρvx

∂t+∂ρvx

∂x+∂ρvx

∂y+∂ρvx

∂z= −

∂p

∂x−[∂τxx

∂x+∂τyx

∂y+∂τzx

∂z

]+ ρgx

• Ecuacion de Energıa Interna3

ρCp

(∂T

∂t+ vx

∂T

∂x+ vy

∂T

∂y+ vy

∂T

∂y+ vz

∂T

∂z

)= −

[∂qx

∂x+∂qy

∂y+∂qz

∂z

]−(∂ ln ρ

∂ lnT

)p

Dp

Dt− (τ · · ·∇v)

3No incluye Energıa Cinetica ni Potencial

Ecuaciones de ConservacionCoordenadas Cartesianas (x, y, z)

Los ultimos dos terminos que aparecen en la ecuacion de energıa son:

• Derivada Sustancial: Variacion, con respecto al tiempo, de la propiedad deun fluido medida en un punto generico que se mueve a la velocidad del fluidov = (vx, vy , vz).

Dp

Dt≡∂p

∂t+ vx

∂p

∂x+ vy

∂p

∂y+ vz

∂p

∂z

• Disipacion viscosa: Energıa (Calor) liberada por el efecto de friccion entrelas moleculas.

τ · · ·∇v = τxx

(∂vx

∂x

)+ τxy

(∂vx

∂y

)+ τxz

(∂vx

∂z

)+ τyx

(∂vy

∂x

)+ τyy

(∂vy

∂y

)+ τyz

(∂vy

∂z

)+ τzx

(∂vz

∂x

)+ τzy

(∂vz

∂y

)+ τzz

(∂vz

∂z

)

Leyes de Transporte

Similitud de Procesos de Transferencia.

Ecuacion Constitutiva (Flujo Molecular de P)

[Flux deP

]= −

[Difusividad

de P

]×

Gradiente de Concentracionde P en direccion

de la Transferencia

Leyes de Transferencia

Flux Difusividad Gradiente Ley de Transferencia

qxCalor

α =k

ρCp

d(ρCpT )

dxqx = −α

d(ρCpT )

dx

(jA)xMasa

DABd(ρwA)

dx(jA)x = −DAB

d(ρwA)

dx

(τy)xMomentum

ν =µ

ρ

d(ρvx)

dy(τy)x = −ν

d(ρvx)

dy


Ecuaciones en Funcion de Fuerzas Impulsoras (Leyes de Newton, Fourier y Fick) yPropiedades Constantes (ρ, Cp)

• Continuidad:∇ · v = 0

• Balance de Masa de A en mezcla binaria con B:

ρ∂wA

∂t= −ρ(v ·∇wA) + ρDAB∇2wA + rA

• Balance de Momentum (Ecuacion Navier-Stokes):

ρ∂v

∂t= −ρ[v ·∇v] + µ∇2v−∇p+ ρg

• Balance de Energıa:

ρ Cp∂T

∂t= −ρCp(v ·∇T ) + k∇2T + µΦv

donde µΦv es el la Disipacion Viscosa.4

4Bird, Stewart, Lighfoot, Transport Phenomena. 2002, J Wiley & Sons. N.Y


• Continuidad∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z= 0

• Balance de Masa de A en mezcla binaria con B

ρ

[∂wA

∂t+ vx

∂wA

∂x+ vy

∂wA

∂y+ vz

∂wA

∂z

]= ρDAB

[∂2wA

∂x2+∂2wA

∂y2+∂2wA

∂z2

]+rA

• Ecuacion de Navier-Stokes. (Componente x)

ρ

[∂vx

∂t+ vx

∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y+ vz

∂vx

∂z

]= −

∂p

∂x+ µ

[∂2vx

∂x2+∂2vx

∂y2+∂2vx

∂z2

]+ ρgx

• Ecuacion de Energıa. Fluido Newtoniano, k y ρ constantes.

ρCp

[∂T

∂t+ vx

∂T

∂x+ vy

∂T

∂y+ vz

∂T

∂z

]= k

[∂2T

∂x2+∂2T

∂y2+∂2T

∂z2

]+ µΦv

Φv = 2

[(∂vx

∂x

)2

+

(∂vy

∂y

)2

+

(∂vz

∂z

)2]+

[∂vy

∂x+∂vx

∂y

]2+

[∂vz

∂y+∂vy

∂z

]2+

[∂vx

∂z+∂vz

∂x

]2−

2

3

[∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z

]2

Ecuaciones de Conservacion. Simplificaciones

• Flujo Potencial. Fluido Ideal (Viscosidad despreciable), Isotermico, Puro.

ρDρ

Dt= −∇p+ ρg = −∇(p+ ρgh) = −∇P, (Ecuacion de Euler)

• Flujo Reptante. Fluido Puro, Isotermico.

ρ∂v

∂t= −∇p+ µ∇2v, (Ecuacion de Stokes)

• Conveccion Forzada sin Reaccion Quımica. Se desprecian fuerzas decampo, calor de mezclado y disipacion viscosa.

ρDv

Dt= −∇p+ µ∇2v

DT

Dt=

k

ρCp∇2T

DwA

Dt= DAB∇2wA

Difusion en una pelıcula descendenteHimmelblau y Bischoff5, Ejemplo 2.2-3

Considerar la absorcion isotermica en estado es-tacionario de un gas en una pelıcula de lıquidoque fluye en regimen laminar hacia abajo sobreuna placa plana vertical. El gas A se difunde en ellıquido B y el campo de velocidad no es afectadopor el proceso de absorcion (ver Figura). Se deseaestablecer el modelo de ecuacion diferencial massimple posible que pueda ser resuelto para obte-ner el perfil de concentracion. Ignorar los efectosterminales en la parte superior de la placa.

SolucionEl modelo se obtiene del balance molar del gas Abajo las siguientes consideraciones:

1. El movimiento es en direccion z (vertical)con variacion de velocidad v y concentracionCA en direccion x.

2. Estado estacionario.

3. No hay reaccion quımica.

v

v

c

c

δ

max

= 0

= 0

A

A

z

x

5Process Analysis and Simulation. Deterministic Systems, J.Wiley & Sons, 1967

Difusion en una pelıcula descendenteHimmelblau y Bischoff, Ejemplo 2.2-3

El balance molar del gas A en solucion con B es

∂CA

∂t= −v ·∇CA +DAB∇2CA +RA

en estado estacionario, sin reaccion quımica y sin movimiento en direccion y, elbalance de A se simplifica a

vx∂CA

∂x+ vz

∂CA

∂z= DAB

[∂2CA

∂x2+∂2CA

∂z2

]la velocidad en direccion x es cero (vx = 0) y el termino de difusion en direccion zpuede ser despreciado pues el flujo convectivo en esa direccion es mucho mayor.

vz∂CA

∂z= DAB

∂2CA

∂x2

Para determinar la velocidad vz(x) se emplea la ecuacion de momentum endireccion z

ρ∂vz

∂t= −ρ(v ·∇vz) + µ∇2vz −

∂p

∂z+ ρgz

Difusion en una pelıcula descendenteHimmelblau y Bischoff, Ejemplo 2.2-3

En estado estacionario, velocidades en direcciones x y y iguales a cero vx = 0 yvy = 0 y caıda de presion nula (caıda libre), la ecuacion de momentum se reduce

µ∂2vz

∂x2+ ρgz = 0

esta ecuacion se convierte en una ecuacion diferencial ordinaria con condicionesfrontera: vz(δ) = 0 y vz(0) = vmax. La solucion es

vz(x) = vmax

[1−

(xδ

)2]

resultando, finalmente el modelo de difusion en la pelıcula:

vmax

[1−

(xδ

)2]∂CA

∂z= DAB

∂2CA

∂x2

Descripcion de Gradiente Multiple.

Caracterısticas.

• Ecuaciones de Conservacion con parametros efectivos.

• Todas las variables son entendidas como promedios en tiempo.

• Aplicaciones generales implican sistemas heterogeneos:• Flujo en Medios Porosos.• Flujo en Lechos Solidos.• Flujo Turbulento.

Caso: Flujo Turbulento.

• Variables dependientes: valor promedio temporal mas perturbacion

v(x, t) = v(x) + v′(x, t)

• Fluxes con coeficientes efectivos

τyx = −µyxdvx

dy, qy = −ky

dT

dy, nAy = −DAy

dCA

dy

µyx = µ+ µ(t), ky = k + k(t), DAy = DA +D(t)A

Efectivo = Molecular + Turbulento

Descripcion de Gradiente Multiple.Ecuaciones de Conservacion en Coordenadas Cilındricas

• Balance de Masa de especie A

∂CA

∂t+

1

r

∂

∂r(rvrCA) +

1

r

∂

∂θ(vθCA) +

∂

∂z(vzCA) =

1

r

∂

∂r

(DArr

∂CA

∂r

)+

1

r2

∂

∂θ

(DAθ

∂CA

∂θ

)+

∂

∂z

(DAz

∂CA

∂z

)+RA


ρCp

[∂T

∂t+ vr

∂T

∂r+vθ

r

∂T

∂θ+ vz

∂T

∂z

]=

1

r

∂

∂r

(krr

∂T

∂r

)+

1

r2

∂

∂θ

(kθ∂T

∂θ

)+

∂

∂z

(kz∂T

∂z

)+ SR

• Balance de Momentum (Direccion z)

ρ

[∂vz

∂t+ vr

∂vz

∂r+vθ

r

∂vz

∂θ+ vz

∂vz

∂z

]= −

∂p

∂z+

1

r

∂

∂r

(µzrr

∂vz

∂r

)+

1

r2

∂

∂θ

(µzθ

∂vz

∂θ

)+

∂

∂z

(µzz

∂vz

∂z

)+ ρgz

Reactor Catalıtico de Lecho Fijo Tubular.

Considerar el esquema de un reactor catalıtico de lecho fijo mostrado en la Figura.El radio del cilindro es R y se supone que el perfil de velocidad vz es constante(flujo piston) y uniforme a lo largo de todo el reactor. Se requiere determinar elperfil de temperatura en estado estacionario cuando ocurre una reaccion simplecon velocidad RA y entalpıa de reaccion ∆HR. La temperatura de la paredcilındrica permanece constante a Ts.

r

zT0

Perfil deVelocidad

vz = constante

Perfil deTemperatura

T(r,z)

Ts

R


Solo se considera el balance de energıa pues el perfil de velocidad es conocido y sesupone que solo existe un componente.

ρCp

[∂T

∂t+ vr

∂T

∂r+vθ

r

∂T

∂θ+ vz

∂T

∂z

]=

1

r

∂

∂r

(krr

∂T

∂r

)+

1

r2

∂

∂θ

(kθ∂T

∂θ

)+

∂

∂z

(kz∂T

∂z

)+RA∆HR

las simplificaciones que se pueden hacer son las siguientes

1 Perfil de velocidad uniforme (vr = vθ = 0). El perfil de velocidad es constanteen la seccion transversal del ducto.

2 Estado estacionario: (∂T/∂t = 0).

3 Las propiedades fısicas son independientes de T y son constantes en todo ellecho de catalizador (ki puede ser extraıda de los operadores diferenciales).

4 La distribucion de temperatura es simetrica alrededor del eje del cilindro(∂T/∂θ = ∂2T/∂θ2 = 0).

5 Se desprecia la transferencia de energıa axial por dispersion en comparacion ala de flujo convectivo (despreciar ∂2T/∂z2).


Una vez que se aplican las simplificaciones, la ecuacion que permite determinar elperfil de temperatura es

ρCpvz∂T

∂z= kr

[∂2T

∂r2+

1

r

∂T

∂r

]+RA∆HR

Las condiciones frontera son:

T = T0 en z = 0, y r ≥ 0

T = Ts en r = R, y z > 0

∂T/∂r = 0 en r = 0, y z > 0

La ecuacion obtenida es una Ecuacion Diferencial Parcial de Segundo Orden detipo Parabolico.

Descripcion de Gradiente Maximo.

Caracterısticas.

• Mınimo nivel de detalle interno (microscopico).

• Los terminos de dispersion son generalmente despreciados.

• Solo se mantienen, en los balances, los componentes de mayor peso de losgradientes de las variables dependientes.

• Balances de Masa de la especie A y de Energıa (direccion z)

∂CA

∂t+ vz

∂CA

∂z= RA +M

(t)A , ρCp

(∂T

∂t+ vz

∂T

∂z

)= SR + E(t)

• Se ignora el balance de Momentum pues se asume que la velocidad esconstante o funcion simple de la coordenada de interes.

• El termino M(t)A representa la tasa neta de transferencia molar de A por

unidad de volumen que atraviesa las fronteras del sistema.

• El termino E(t) es la rapidez neta de transferencia de energıa que atraviesalas fronteras del sistema, por unidad de volumen. (Conduccion, Conveccion,Radiacion, Trabajo Mecanico, por Transferencia de Masa).

• La concentracion y temperatura no representan valores puntuales sino valorespromediadas espacialmente (secciones transversales).

Descripcion de Gradiente Maximo.Balance de Masa de especie i en un reactor tubular

Considerar el balance de materia de una especie i en un reactor tubular de radio Ren estado transitorio. Flujo en direccion z (vr = vθ = 0) y simetrıa con respecto ala coordenada angular θ.

∂Ci

∂t+ vz

∂Ci

∂z= DL

∂2Ci

∂z2+ DR

1

r

∂

∂r

(∂Ci

∂r

)+Ri

Promediando con respecto al area de seccion transversal del tubo (A = πR2)

1

A

∫ R

0

∂Ci(r, z)

∂t2πr dr +

vz

A

∫ R

0

∂Ci(r, z)

∂z2πr dr =

DLA

∫ R

0

∂2Ci(r, z)

∂z22πr dr

+DRA

∫ R

0

1

r

∂

∂r

[r∂Ci(r, z)

∂r

]2πr dr +

1

A

∫ R

0Ri2πr dr

el promedio de la concentracion respecto al area de seccion transversal, es pordefinicion

Ci(z) ≡1

A

∫ R

0Ci(r, z)2πr dr

Descripcion de Gradiente Maximo.

tomando el resto de los promedios se obtiene

∂Ci(z)

∂t+ vz

∂Ci(z)

∂z= DL

∂2Ci(z)

∂z2+ (2πR)DR

[∂Ci(r, z)

∂r

]r=R

+ Ri

el termino intermedio del lado derecho es evaluado en la pared del tubo y como talrepresenta una condicion frontera. Las posibles alternativas son:

• Flux cero debido a pared impermeable

−DR[∂Ci(r, z)

∂r

]r=R

= 0

• Flux igual a un termino de transferencia de interfase (pared permeable).

−DR[∂Ci(r, z)

∂r

]r=R

= kC [Ci(z)− C∞i (z)]

• Flux igual a un termino cinetico

−DR[∂Ci(r, z)

∂r

]r=R

= KCi(z)

Conversion en un Reactor Quımico Tubular

Considerar el reactor quımico tubular (o reactor catalıtico de lecho fijo) mostradoen la Figura donde ocurre una reaccion de primer orden A→ B. Suponer que elperfil de velocidad es plano, constante y uniforme a lo largo del reactor. Que noexisten dispersion radial ni axial y que opera en estado estacionario.

z

R

0 L

Flujo

Sección deReacción

El balance de materia de la especie A es

vzdCA

dz= RA = −kCA, CA(0) = CA0 [CA(L) = CAL]

resolviendo

CA(z)

CA0= e−kz/vz →

CAL

CA0= e−kL/vz = e−kτ


Si se considera que existe dispersion axial, el balance de materia es

vzdCA

dz= Dz

d2CA

dz2− kCA

siendo ahora las condiciones frontera[CA −

Dzvz

dCA

dz

]z=0+

= CA0 ydCA

dz

∣∣∣∣z=L

= 0

La concentracion de A, que se obtiene al resolver la ecuacion, es

CA(z)

CA0=

2[m2 exp [m2L+m1z]−m1 exp [m1L+m2z]]

(1− a)m2 exp (m2L)− (1 + a)m1 exp (m1L)

donde

m1 =vz

2Dz(1 + a), m2 =

vz

2Dz(1− a), con a =

√1 + 4kτ/Pe

τ = L/vz , Pe = vzL/Dzτ es el tiempo nominal de residencia en el reactor y Pe el numero de Peclet.


A la salida de la seccion de reaccion, en z = L, la concentracion de A es

CA

CA0

∣∣∣∣L

=4a

(1 + a)2 exp [− 12Pe(1− a)]− (1− a)2 exp [− 1

2Pe(1 + a)]

el efecto de la dispersion axial en la conversion alcanzada en el reactor se puedeobtener expandiendo la expresion anterior en serie de Maclaurin para un valor deDz pequeno (Pe grande) que es cuando se aproxima a la condicion de flujo piston.El resultado obtenido es

C∗ACA0

∣∣∣∣L

=

[1 +

(kτ)2

Pe

]e−kτ

la relacion con el resultado obtenido del modelo de flujo piston es

C∗ACfp

A

∣∣∣∣∣L

= 1 +(kτ)2

Pe

donde Cfp

A es la concentracion en z = L para el reactor de flujo piston. El modelode dispersion predice, por lo tanto, una menor conversion pues la concentracionde A es mayor a la salida del reactor comparada a la de flujo piston.

Descripcion Macroscopica

Caracterısticas:

• Se ignoran detalles internos del sistema.

• No se involucran gradientes espaciales.

• Solo el tiempo permanece como variable diferencial independiente.

• Las variables dependientes representan promedios volumetricos o superficiales.

Ecuaciones de Conservacion:Obtenidas, normalmente, integrando las ecuaciones de balance microscopicas.

• Balance de Masa Total

dmt

dt= ρ1〈v1〉S1 − ρ2〈v2〉S2 = −∆w

donde mt =∫ρdV es la masa total del sistema y w ≡ ρ〈v〉S es el flujo

masico. La notacion 〈·〉 significa promedio sobre area transversal S

〈v〉 ≡1

S

∫Sv dS, p. ej.: 〈v〉 =

∫ 2π

0

∫ R

0v(r, θ)r dr dθ∫ 2π

0

∫ R

0r dr dθ

Descripcion MacroscopicaEcuaciones de Conservacion

• Balance de Masa de A

dmA,t

dt= −∆(ρA〈v〉S) + w

(b)A + rAVt

w(b)A es el flujo masico de A a traves de las fronteras del sistema y rA es la

rapidez de reaccion de A promediada en volumen.

w(b)A = −

∫SρAvi · nidSi, y rA =

1

V

∫VrAdV


dPi,t

dt= −∆(ρ〈v2〉Si + 〈p〉Si)− F

(b)i +mtg + Fi

el momentum total es

Pi,t =

∫VρvidV

F(b)i representa la transferencia de momentum a traves de las fronteras y Fi

la fuerza del fluido ejercida sobre las fronteras del sistema por friccion.

F(b)i = −

∫S

(ρvivi) · nidS

Descripcion MacroscopicaEcuaciones de Conservacion


dEt

dt= −∆

[(H +

1

2

〈v3〉〈v〉

+ Φ

)(ρ〈v〉S)

]+Q+W + SR

donde la energıa total es la suma de las energıas: interna, cinetica y potencialEt = Ut +Kt + Φt: con Ut =

∫ρUdV , Kt =

∫12ρv2dV y Φt =

∫ρΦdV .

H = U + pV es la Entalpıa del fluido por unidad de masa, Q la rapidez detransferencia de calor a traves de la superficie del sistema, W el trabajomecanico por unidad de tiempo y SR la tasa de energıa liberada porreacciones quımicas.

• Ecuacion de Bernoulli

∆

(1

2

〈v3〉〈v〉

+ Φ

)+

∫ p2

p1

1

ρdp+W = 0

ecuacion de energıa en estado estacionario a condiciones isotermicas sinreaccion quımica y sin transferencia de calor.


Llenado de un cilindro vacıo:Suponer un cilindro aislado, vacıo que sera llenado con un gas desde una fuenteilimitada a presion constante. Derivar las ecuaciones que relacionan la cantidad degas entrante al cilindro con la temperatura.

Simplificaciones

• No hay corriente de salida: (ρ〈v〉S)s = 0

• No reaccion quımica: rA = 0 y SR = 0

• No hay cambios de energıa potencial: ∆Φ = 0

• No hay transferencia de masa en interfase: w(b) = 0

• Tanque rıgido: W = 0

• Tanque aislado: Q = 0

Balance de masadmt

dt= (ρ〈v〉S)e (9)

Balance de energıadEt

dt= [(H + K)(ρ〈v〉S)]e


Se desprecia el termino de energıa cinetica (K) pues no se tiene informacion de lanaturaleza de la valvula de entrada. La energıa total se reduce a la energıa internapues no hay contribucion de enegıas potencial ni cinetica. Introduciendo laspropiedades termicas en el balance de energıa

Cv,td(Ttmt)

dt= Cv,t

(Ttdmt

dt+mt

dTt

dt

)= (CpTρ〈v〉S)e

sustituyendo el balance de masa

Cv,tmtdTt

dt+ [Cv,t(ρ〈v〉S)e]Tt = (CpTρ〈v〉S)e (10)

Conociendo Te y 〈v〉e se pueden resolver las ecuaciones (9) y (10) de formasimultanea con la condiciones iniciales:

mt(0) = 0 y Te(0) = T0

Modelacion Empırica: Analisis Dimensional

Aplicacion: Obtencion de relaciones empıricas (modelos) entre las variables deun proceso aplicando principio de homogeneidad dimensional de las leyes fısicasque lo describen.

• Formulacion matematica general de una “ley fısica”

f(q1, q2, q3, . . . , qm) = 0

donde q1, q2, . . . , qm son las variables relevantes del proceso.

• Las variables qj son expresables en terminos de las dimensionesfundamentales: L1, L2, . . . , Ln con n < m:

[qj ] = La1j1 L

a2j2 · · ·Lanj

n , j = 1, 2, . . . ,m

donde [qj ] significa “dimensiones de qj” y los valores de los exponentes aijdependen de la dimensionalidad de la variable.

• Las dimensiones fundamentales son: masa (M), longitud (L), tiempo, (T ),temperatura (θ), carga electrica (Q), entre otras.

• Ejemplos: Las dimensiones de la Fuerza y la Entropıa son

[F ] = MLT−2 y [S] = ML2T−2θ−1

Analisis Dimensional

• La matriz (n×m)

A =

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m

......

...an1 an2 · · · anm

(11)

es llamada matriz de dimensiones. Los elementos de la j-esima columna sonlos exponentes de las dimensiones Li que definen a la variable qj .

• Las unidades de cualquier dimension fundamental Li puede ser modificadamediante la multiplicacion por factores de conversion apropiados λi > 0.

Li = λiLi

• Las unidades de las variables q pueden ser cambiadas en forma similar

[q] = Lb11 Lb22 · · ·Lbnn

por lo tanto

q = λb11 λb22 · · ·λbnn q


DefinicionUna ley fısica f(q1, q2, . . . , qm) = 0 se dice ser libre de unidades si paracualquier conjunto de numeros reales λ1, λ2, . . . , λn, con λi > 0, se tienef(q1, q2, . . . , qm) = 0, si y solo si f(q1, q2, . . . , qm) = 0, donde

q = λb11 λb22 · · ·λbnn q

Ejemplo: La distancia x de un cuerpo que cae en un campo gravitacional gdurante el tiempo t esta dada por

x = 12gt2 o bien f(x, t, g) ≡ x− 1

2gt2 = 0

si x se da en centımetros y t en segundos entonces g debe estar en cm/seg2.Cambiando las unidades de x y t a pulgadas y minutos, en el nuevo sistema

x = λ1x y t = λ2t

donde λ1 = 12.54

(pulg/cm) y λ2 = 160

(min/seg). Puesto que [g] = Lθ−2, se tiene:

g = λ1λ−22 g. Entonces

f(x, t, g) = x− 12g t2 = λ1x− 1

2(λ1λ

−22 g)(λ2t)

2 = λ1(x− 12gt2) = 0

por lo tanto, la expresion f es libre de unidades.


Teorema Pi (Buckingham)Considerar la ley fısica libre de unidades

f(q1, q2, . . . , qm) = 0 (12)

que relaciona a las cantidades q1, q2, . . . , qm y sean L1, L2, . . . , Ln (n < m) lasdimensiones fundamentales involucradas, esto es:

[qj ] = La1j1 L

a2j2 · · ·Lanj

n , j = 1, 2, . . . ,m

Sea r el rango de la matriz de dimensiones A. Entonces, existen n = m− rcantidades adimensionales independientes π1,π2, . . . ,πn que pueden serconstruidas con las cantidades qj y que transforman a la ley fısica (12) en unaecuacion equivalente

F (π1,π2, . . . ,πn) = 0

expresada solo en terminos de las cantidades adimensionales. Esto es

[πk] = 1, k = 1, 2, . . . , n

Analisis DimensionalEjemplo

Determinar una expresion funcional para la caıda de presion en terminos de lasvariables relevantes en el flujo de un fluido incompresible en una tuberıa recta,cilındrica, de longitud dada, horizontal y seccion transversal constante.

Variable Sımbolo DimensionCaıda de Presion ∆P ML−1t−2

Diametro de la tuberıa D LLongitud de la tuberıa L LRugosidad de la tuberıa ε LVelocidad v Lt−1

Densidad del fluido ρ ML−3

Viscosidad del fluido µ ML−1t−1

Ley fısica:

f(∆P,D,L, ε, v, ρ, µ) = 0

Matriz de dimensiones A:

∆P D L ε v ρ µM 1 0 0 0 0 1 1L -1 1 1 1 1 -3 -1t -2 0 0 0 -1 0 -1


Resumen:

Variables: m = 7

Rango de A: r = 3

Grupos Adimensionales: n = m− r = 4

Expresion funcional:

F (π1,π2,π3,π4) = 0

En general, cualquier grupo adimensional debe ser expresado como

π = (∆P )α1Dα2Lα3εα4vα5ρα6µα7

y en terminos de las dimensiones de las variables

[π] = (ML−1t−2)α1 (L)α2 (L)α3 (L)α4 (Lt−1)α5 (ML−3)α6 (ML−1t−1)α7

puesto que π debe ser adimensional, [π] = 1, resulta

α1 + α6 + α7 = 0−α1 + α2 + α3 + α4 + α5 − 3α6 − α7 = 0−2α1 − α5 − α7 = 0


Para el sistema de ecuaciones que se obtiene se pueden determinar cuatrosoluciones independientes:

1. α1 = 1, α2 = α3 = α4 = 0, α5 = −2, α6 = −1, α7 = 0

π1 = (∆P )v−2ρ−1 → π1 =∆P

v2ρ

2. α1 = 0, α2 = −1, α3 = 0, α4 = 1, α5 = α6 = α7 = 0

π2 = D−1ε → π2 =ε

D

3. α1 = 0, α2 = 1, α3 = −1, α4 = α5 = α6 = α7 = 0

π3 = LD−1 → π3 =L

D

4. α1 = α2 = 0, α3 = 1, α4 = 0, α5 = 1, α6 = 1, α7 = −1

π4 = Dvρµ−1 → π4 =Dvρ

µ


Resultado

F

[∆P

v2ρ,ε

D,L

D,Dvρ

µ

]= 0

En los grupos adimensionales se reconoce al numero de Reynolds

Re ≡Dvρ

µ

resolviendo para la caıda de presion

∆P

v2ρ= g

[ε

D,L

D,Re

]

Mediante experimentacion se ha encontrado6

∆P

v2ρ=L

Dφ[ εD,Re

]donde φ denota a una funcion.

6Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. C.R. Welty, C.E. Wicks y R.E.Wilson, Limusa Wiley 2a. Ed. 2005

Education

2.introduccion