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Aula 10
Regras de Derivação: Produto e quociente
Proposição
( ) ( ) ( )x xi f x e f x e x′= ⇒ = ∀ ∈ ¡
São válidas as seguintes fórmulas de derivação
Para as funções abaixo:
( ) ( ) ( ) ( )1ln 0,ii f x x f x x
x′= ⇒ = ∀ ∈ +∞
Regras de Derivação
( )(1) ( )f g p′+ =
Sejam e funções deriváveis em p
e seja uma constante. Então as
funções , e são deriváveis
em p e têm-se:
f g
k
f g kf f g+ ×
( ) ( )f p g p′ ′+
( )(2) ( )kf p′ = ( )kf p′
( )(3) ( )f g p′× = ( ) ( ) ( ) ( )f p g p f p g p′ ′+
Demonstração Derivada da soma de suas
funções( )(1) ( )f g p′+ =
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )limx p
f x g x f p g p
x p→
+ − +−
=( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x f p g x g p
x p x p→
− −+ − −
=( ) ( )
limx p
f x f p
x p→
− −
+ ( ) ( )limx p
g x g p
x p→
− −
( )f p′= + ( )g p′
DemonstraçãoDerivada do produto de uma constante por uma função
( )(2) ( )kf p′ =( ) ( )
limx p
kf x kf p
x p→
−−
= ( ) ( )limx p
f x f pk
x p→
−−
( )kf p′=
DemonstraçãoDerivada do produto de duas
funções
( )(3) ( )f g p′× =( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x g x f p g p
x p→
−−
=
=( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) ( )x p
f x f p g x g pg x f p
x p x p→
− −× + × − −
( ) ( )f p g p′= + ( ) ( )f p g p′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )limx p
f x g x f p g x f p g x f p g p
x p→
− + −−
Função InjetoraRegra do Quociente
Se e forem deriváveis em p
e se g(p) 0, então a função
será derivável em p e têm-se:
f g
f
g≠
(4) ( )f
pg
′ = ÷
[ ] 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f p g p f p g p
g p
′ ′−
Demonstração Regra do quociente
(4) ( )f
pg
′ = ÷
( ) ( )
( ) ( )limx p
f x f p
g x g p
x p→
−
−
=
( ) ( ) ( ) ( ) 1lim ( ) ( )
( ) ( )x p
f x f p g x g pg p f p
x p x p g x g p→
− −× − × × − −
=
( ) ( ) ( ) ( ) 1lim
( ) ( )x p
f x g p f p g x
x p g x g p→
−×
−Somando e subtraindo ( ) ( ) ao numerador resultaf p g p
[ ] 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f p g p f p g p
g p
′ ′−
=
Exemplo3 21) Seja ( ) 4 . Calcule: ) ( ) ) (1).f x x x a f x b f′ ′= +
Solução:
3 2) ( ) 4a f x x x ′′ = +
2b) Como ( ) 12 2 ,f x x x′ = +
( ) ( )3 24x x′ ′= + ( ) ( )3 24 x x′ ′= +24(3 ) 2x x= + 212 2x x= +
2temos (1) 12 1 2 1f ′ = × + × =
2Ou seja, ( ) 12 2f x x x′ = +
12 2 14+ =
Exemplo42) Calcule ( ) onde ( ) 5 4. g x g x x′ = +
Solução:
4( ) 5 4g x x ′′ = + ( ) ( )45 4x ′ ′= + ( )45 x ′=
35(4 )x= 320x
3Ou seja, ( ) 20f x x′ =
( )4 ′+
+ 0 =
Exemplo
2
2 33) Calcule f ( ) onde ( ) .
1
xx f x
x
+′ =+
Solução: Pela regra do quociente, temos:
2
2 3( )
1
xf x
x
′+ ′ = + ( )2 2
22
(2 3) ( 1) (2 3)( 1)
1
x x x x
x
′ ′+ + − + +=
+
( )2
22
2( 1) (2 3)2
1
x x x
x
+ − +
+= =
( )2 2
22
2 2 4 6
1
x x x
x
+ − +
+
( )2
22
2 6 2( )
1
x xf x
x
− − +′∴ =+
Exemplo
( )24) Seja ( ) 3 1 . Calcule ( ). xf x x e f x′= +
Solução: Pela regra do produto, temos:
( )f x′ =
=
( )2Ou seja, ( ) 3 6 1 .xf x x x e′ = + +
( )23 1x ′+ ( )23 1x ++
6x xe + ( )23 1x + xe
xe ( )xe ′
Exemplo
a) Se , determine . Solução:
b) Encontre a n-ésima derivada,
( ) xf x xe= ( )f x′
( ) ( )nf x
Exemplo
Exemplo
Calcule a derivada de .Solução1:
Solução 2
Equivalente ao resultado da Solução 1
Exemplo
Se , onde e encontre .
Solução:
Exemplo
Seja , calcule .Solução:
Exemplo
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto .
Solução:
eq. da reta tangente
Graficamente
