Cálculo I (Derivada propriedades e regras)each.uspnet.usp.br/acsouzafilho/calLCN20131/aula21-24CLCN.pdf · Assunto Cálculo de derivadas Aplicação de derivadas regras de derivação

AssuntoClculo de derivadas

Aplicao de derivadasregras de derivao

Derivada da Funo Exponencial

Clculo I (Derivada propriedades e regras)

Antnio Calixto de Souza Filho

Escola de Artes, Cincias e HumanidadesUniversidade de So Paulo

27 de maio de 2013

A. C Souza Filho Clculo para LCN

1 Clculo de derivadasPropriedades da derivada

2 Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada

3 regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia

4 Derivada da Funo Exponencial

Propriedades da derivada

subject

Vejamos que a derivada de qxp ser obtida da mesma forma

que xn, quando n N.Vimos ser suficiente a fatorao(x x0)n = (x x0)(xn1 + + xnmxm10 + + x

n10 ) e

a derivada a imagem dexn1 + + xnmxm10 + + x

n10 em x0.

Para este clculo, basta observar que cada somando daforma xnm0 x

m10 = x

n10 e h n somandos.

Usaremos este resultado duas vezes, para(( qx)q1 + + ( q

x)qm( qx0)m1 + + ( q

x0)q1)e para( qx)p1 + + ( q

x)pm( q

)x0m1 + + ( q

)x0p1),

como descrito a seguir.

n10 ) e

n10 em x0.

m10 = x

n10 e h n somandos.

x)qm( qx0)m1 + + ( q

x)pm( q

)x0m1 + + ( q

)x0p1),

n10 ) e

n10 em x0.

m10 = x

n10 e h n somandos.

x)qm( qx0)m1 + + ( q

x)pm( q

)x0m1 + + ( q

)x0p1),

n10 ) e

n10 em x0.

m10 = x

n10 e h n somandos.

x)qm( qx0)m1 + + ( q

x)pm( q

)x0m1 + + ( q

)x0p1),

Para fixar, inicialmente vamos calcular (x) pelo limite

limxx0

xx0xx0 , usando a igualdade a seguir:

x x0 = (x)2 (x0)2 = (

x x0)(

x +x0).

Assim, (x) em x0 ser limxx0

xx0

(

xx0)(

x+x0)que a

imagem de 1(

x+x0)em x0, isto , 12x0 .

Portanto (x) = 12x , ou (

x) = (x 12 ) = 12x

121 = 12x

12 .

A derivada ( 4x3) pelo limite limxx0

4x3 4

x30xx0 , se calculada

de modo semelhante, necessita de duas passagens, como aseguir.

limxx0

x x0 = (x)2 (x0)2 = (

x x0)(

x +x0).

xx0

(

xx0)(

x+x0)que a

imagem de 1(

x) = (x 12 ) = 12x

121 = 12x

12 .

4x3 4

limxx0

x x0 = (x)2 (x0)2 = (

x x0)(

x +x0).

xx0

(

xx0)(

x+x0)que a

imagem de 1(

x) = (x 12 ) = 12x

121 = 12x

12 .

4x3 4

limxx0

x x0 = (x)2 (x0)2 = (

x x0)(

x +x0).

xx0

(

xx0)(

x+x0)que a

imagem de 1(

x) = (x 12 ) = 12x

121 = 12x

12 .

4x3 4

Temos limxx04x3 4

x30xx0 . Usamos a igualdade a seguir:

x x0 = ( 4x)4 ( 4x0)4 =

( 4x 4x0) (( 4

x)3 + ( 4

x)2 4x0 + 4

x( 4x0)2 + ( 4

x0)3).Assim, serlimxx0

(4x3)4( 4

x30 )

4

( 4

x 4x0)(( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3)

A indeterminao permanece e temos que fatorar o termo(

4x3) ( 4x30 ) = ( 4

x)3 ( 4x0)3 e substituir no limite

( 4x)3( 4x0)3 = ( 4

x 4x0)(( 4

x)2+( 4

x) 4x0+( 4

x0)2).limxx0

( 4

x 4x0)(( 4

x)2+( 4

x) 4x0+( 4x0)2)

( 4

x 4x0)(( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3

)

Temos limxx04x3 4

x30xx0 . Usamos a igualdade a seguir:

x x0 = ( 4x)4 ( 4x0)4 =

( 4x 4x0) (( 4

x)3 + ( 4

x)2 4x0 + 4

x( 4x0)2 + ( 4

x0)3).Assim, serlimxx0

(4x3)4( 4

x30 )

4

( 4

x 4x0)(( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3)

A indeterminao permanece e temos que fatorar o termo(

4x3) ( 4x30 ) = ( 4

x)3 ( 4x0)3 e substituir no limite

( 4x)3( 4x0)3 = ( 4

x 4x0)(( 4

x)2+( 4

x) 4x0+( 4

x0)2).limxx0

( 4

x 4x0)(( 4

x)2+( 4

x) 4x0+( 4x0)2)

( 4

x 4x0)(( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3

)

O limite acima ser a imagem de x0 em( 4

x)2+ 4

x 4x0+( 4x0)2

( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3

=

=3( 4x0)24( 4x0)3 =

34x

24

34

0 =34x 140

A derivada de 4x3 em x0 ser 34x

140 ou 34 4x0 .

Observe que vale, neste caso a frmula (xn) = nxn1, de fato(

4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x

140

Assim, prova-se que (xn) = nxn1 quando n Q de modoanlogo ao acima.

x)2+ 4

x 4x0+( 4x0)2

( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3

=

=3( 4x0)24( 4x0)3 =

34x

24

34

0 =34x 140

140 ou 34 4x0 .

4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x

140

x)2+ 4

x 4x0+( 4x0)2

( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3

=

=3( 4x0)24( 4x0)3 =

34x

24

34

0 =34x 140

140 ou 34 4x0 .

4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x

140

x)2+ 4

x 4x0+( 4x0)2

( 4

x)3+( 4

x)2 4x0+ 4

x( 4x0)2+( 4x0)3

=

=3( 4x0)24( 4x0)3 =

34x

24

34

0 =34x 140

140 ou 34 4x0 .

4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x

140

Esboo do clculo de xpq : na definio de limites, teremos o

quociente de duas expresses como no caso anterior. Apsremover a indeterminao, no numerador teremos p q

xp10 e no

denominador q qxp10 , assim

pq x

p1q

q1q

0 =pq x

p1q+1q

0 =pq x

pq1

0 o limite procurado e pq x

pq1 a funo derivada de x

pq .

TeoremaSeja n R, se f (x) = xn, ento f (x) = nxn1

Por exemplo (x

2) =2x

21

PropriedadeSejam u e v funes derivveis em todo seu domnio, isto , soconhecidas as funes u e v .

(Multiplicao por constante K ) (K u) = K u, isto , aderivada de 5x3 (5x3) = 5(x3) = 5 3x31 = 15x2

(regra da soma) (u+ v) = u+ v , isto , (3x4 10 5x2) ser

(3x4) + (10x 52 ) = 12x3 + (10 25x251) = 12x3 45x3

(Multiplicao por constante K ) (K u) = K u, isto , aderivada de 5x3 (5x3) = 5(x3) = 5 3x31 = 15x2

(regra da soma) (u+ v) = u+ v , isto , (3x4 10 5x2) ser

(3x4) + (10x 52 ) = 12x3 + (10 25x251) = 12x3 45x3

Vimos ento que (xn) = nxn1;Se f (x) = anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x + x0, entof (x) = n anxn1 + (n 1) an1xn2 + + 2 a2x + a1,que a derivada de um polinmio.Isto , se f (x) = 3x4 5x2 + 2x 1, entof (x) = 12x3 10x + 2

Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada

subject

Vimos que h determinados limites que surgem naturalmente. Umdestes casos o clculo da taxa instantnea de variao.

Definio

Seja f uma funo. O limite limxx0f (x)f (x0)

xx0 , quando existe definido como a derivada da funo f (x) no ponto x0. Tal limiteser denotado por f (x0), isto

f (x0) = limxx0f (x) f (x0)

x x0.

Assim, f (x0) a derivada de f no ponto x0 e dizemos que f derivvel em x0

Lembremos que o processo acima equivale a calcular a taxainstantnea de variao no ponto x0. Assim, a derivada tambmo coeficiente angular da reta tangente a uma curva.

Aplicao terica: estudo do crescimento ou decrescimentolocal de funes contnuas.Aplicao prtica: aproximao local de funes contnuaspela equao da reta tangente.

Seja a funo f (x) = x2 2x + 3. Vimos que para esta funo, acoordenada xv = 1 do vrtice determina que:na regio x < 1 a funo decrescente, enquanto que:na regio 1 < x , f crescente.Veremos que o mesmo ocorre para funes contnuas, ou seja,podemos calcular regies em que f crescente ou decrescente.Para isso, inicialmente vamos estudar o que ocorre com relao aocrescimento de uma funo prximo de um valor fixado x0.

Seja f (x) = 2x3 3x + 4, prximo a um ponto x0 = 2 possvelafirmar que esta funo seja crescente ou decrescente? Primeiro,devemos entender o termo prximo a 2. Este significa um intervalodo tipo [2 , 2+ ], ou seja valores que estejam dentro de umintervalo centrado em 2, podendo este intervalo ser aberto oufechado.

Usando o conceito de derivada como coeficiente angular da retatangente r , isto , r(x) = f (x0)x + b, lembrando que esta reta crescente quando seu coeficiente angular positivo, ento se f (x0)for positivo a reta tangente ao grfico de f em x0 ser crescente.Ora, mas a reta tangente, para valores prximos de x0 tambmmuito prxima funo f , assim a funo tem comportamentosemelhante reta r , ou seja:

f CRESCENTE LOCALMENTE EM x0, se f (x0) > 0, ef DECRESCENTE LOCALMENTE EM x0, se f (x0) < 0.

ExemploVoltamos ao exemplo f (x) = 2x3 3x + 4, f (x) = 6x 3, logof (2) = 9 > 0, ento f crecente prximo a x0 = 2. Se ocorrer def representar a massa de bactrias, em uma certa cultura emfuno do tempo, f (2) d uma estimativa da velocidade decrescimento da quantidade (expressa pela massa) de bactrias,alm disso, prximo a x0 = 2, esta velocidade ser crescente.

ExemploSe f (x) = 4x3 6x2 + 20 prximo a x0 = 1 ocorre que f tem umcomportamento diferente esquerda ou a direita de 1. Isso ocorreporque f (x) = 12x2 12x e deste modo f (1) = 0, ora isso podeter a mesma propriedade do vrtice da parbola, cuja parte esquerda do xv tem crescimento oposta ao da direita. Veremos queser necessrio estudar outro conceito para definir ocomportamento nestes casos particulares.

ExemploSeja m(t) = 8

t + 12t + 5 a funo que representa o crescimento

em miligramas de uma certa cultura em funo do tempo t emdias. Sanbendo-se que esta funo est definida no intervalo[ 124 , 2]. Determine o instante em t0 que o crescimento destacultura nulo, bem como a quantidade da cultura neste instante.Avalie 18h aps este instante a velocidade e explique se est iraumentar ou diminuir prximo a este instante.Soluo: vimos que m(t) = 4t

12t2 a velocidade de

crescimento. Assim 4t 1

2t2 = 0 o instante de crescimento nulo.Resolvemos a equao 8t2

t

2t2

t = 0, ento 8t2 =t e 64t4 = t,

sendo t 6= 0, t3 = 164 e t =14 de dia ou 6h. Assim no instante 6h a

velocidade da cultura ser nula. A quantidade desta cultura nesteinstante 8

14 +

112+ 5 = 4+ 2+ 5 = 11 miligramas.

continuao do exemplo

Assim 18h aps o instante 6h de velocidade nula ser 24h ou 1dia. No instante t = 1 a derivada m(t) = 4t

12t2 ser

m(1) = 41 1

2(12) = 4 0, 5 isto 2, 5 miligramas por dia. Comom(1) > 0 indica que prximo a 1 dia o crescimento da culturadeve ser crescente.

Vimos que para uma funao f , f (x0) o coeficiente angular dareta tangente r ao grfico de f em x0. Nestes casos, sempre soconhecidos o coeficiente angular da reta e um ponto da reta, que o ponto de tangncia. Por exemplo:

ExemploSeja f (x) = 2x3 7x2 5x + 3, a reta tangente ao grfico de fem x0 = 2 tem coeficiente angular f (2) e passa pelo ponto(2, f (2)). Podemos calcular estes valores:f (x) = 6x2 14x 5, logo f (2) = 24+ 28 5 = 1 ocoeficiente angular e (2, 1) um ponto da reta, poisf (2) = 16 28+ 10+ 3 = 1. Podemos determinar a equao dareta r(x) = x + b, sendo r(2) = 1 (0 ponto de coordenadas(2, 1)), calculamos r(2) = (1) (2) + b = 1 e obtemosb = 1. Logo r(x) = x 1

Seja f uma funo derivvel em x0. A equao da reta tangente r:

r(x) = f (x0)x f (x0)x0 + f (x0)

Podemos ver isso do seguinte modo, r(x) = ax + b, sendof (x0) = a e (x0, f (x0)) um ponto da reta, temos a equaor(x0) = f (x0) x0 + b, e determinamos b = r(x0) f (x0) x0,mas r(x0) = f (x0), pois ((x0, f (x0)) um ponto da reta), assimb = f (x0) f (x0) x0. Substituindo na equao, obtemosr(x) = f (x0)x f (x0) x0 + f (x0).

Exemplo (Clculo da reta tangente a uma curva)Seja f (x) =

x. Qual a equao da reta tangente curva no

ponto x0 = 4? Inicialmente calculamos f (4). Vimos, utilizando aspropriedades de derivada que f (x) = 12x , logo f

(4) = 0, 25.Assim, obtemos a taxa instantnea de variao em x0 = 4, querepresenta o coeficiente angular da reta r . Assim,r(x) = 0.25x + b. Como conhecemos um ponto de r (O PONTOONDE r TANGENCIA O GRFICO DE f ), temosr(4) = f (4) =

4 = 2 = 0.25 4+ b, logo b = 1 e

r(x) = 0.25x + 1 a equao da reta tangente.

Suponha que queremos calcular um valor aproximado de37 que

seja um nmero racional. Para tanto, podemos utilizar o conceitode reta tangente como aproximao local. Neste caso,consideramos f (x) =

x e x0 = 36, o nmero mais prximo de 36

que um quadrado. Assim, a equao da reta tangente serr(x) = f (36)x + b, calculamos f (36) = 1236 =

112 e o ponto de

tangncia (36, 6). Assim 6 = 112 36+ b, logo b = 3 er(x) = 112 x + 3, ora como aproximao, r(37) =

37, da,

37 = 3712 + 3 =7312

Podemos agora considerar x0 = 732

122 , um racional prximo de37 e

repetir o processo acima. f (x0) = 12146 , o ponto de tangncia (73

2

122 ,7312) e b =

7312

12146

732122 =

7312

7324 =

7324 . A equao da reta

ser r(x) = 12146x +7324 e37 = r(37) = 106571752 , esta ltima

aproximao tem preciso de 107, ou seja, a reta r umaaproximao, local, de f em 37.

Calcule um valor racional aproximado de 101200.

soluo: Inicialmente devemos obter uma soluo inteira, que umracional conhecido, prxima a 10

1200. Ou seja procuramos x0

prximo a 1200, tal que 10x0 = n, sendo n um nmero inteiro.Assim x0 = n10 e procuramos uma potncia de 10 prxima a 1200.Uma boa aproximao x0 = 1024 = 210. Consideramosf (x) = 10

x e a soluo aproximada pela reta tangente de f em

x0 = 1024. Calculamos f (x) = 110x1101 = 110x

910 assim

f (x0) = f (1024) = 1101024910 = 110( 10

x)9 =

11029 , assim

f (1024) = 15120 e o ponto de tangncia (1024, 2). Pelo quevimos r(x) = x5120 + b, r(1024) = f (1024) = 2 ento2 = r(1024) = 10245120 + b e b = 2

15 =

95 . Determinamos

r(x) = x5120 +95 e

101200 = r(1200) = 12005120 +95 =

1564 +

95 =

75+576645 =

651320 ,

chegamos a aproximao 101200 = 651320 .

Resumo da aplicao de derivadas

As aplicaes de derivadas so extensas nas mais diversasreas.Podemos nos perguntar, para que calcular a reta tangente uma curva?Observando, geometricamente a curva do exemplo anterior ea reta tangente no ponto x0 = 2, vemos que, para valoresprximos de x0, os dois grficos ficam prximos, mas o queisso significa?A reta tangente uma boa aproximao local da funo f .Podemos, assim, calcular

3, 8, aproximando pela reta

tangente f (x) =x com x0 = 2. Assim

r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que

3, 8 = 1.9493589 (com o uso de calculadora).A. C Souza Filho Clculo para LCN

r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que

Propriedades da derivadaA regra da cadeia

subject

A seguir veremos mais regras que permitem clculo de derivadas oproduto de funes ou mesmo para funes que so composio deoutras funes.

(regra do produto) (u v) = u v + u v

(regra da diviso)Para todo x0, tal que, v(x0) 6= 0,(uv ) = u

vuv v2

(regra do produto) (u v) = u v + u v

(regra da diviso)Para todo x0, tal que, v(x0) 6= 0,(uv ) = u

vuv v2

Exemplos

Se f (x) = (3x3 + 1) (x + 1), entof (x) = (9x2) (x + 1) + (3x3 + 1) (1) =9x3 + 9x2 3x3 1 = 12x3 + 9x2 1Veja que se estamos interessando em calcular f (1) podemosusar a expresso f (x) = (9x2)(x + 1) + (3x3 + 1)(1) queresulta em 9 2+ (2 (1)) = 20Se f (x) = x2+x+1x3+2x1 , ento f

obtida observando que f = uv ,u(x) = x2 + x + 1, v(x) = x3 + 2x 1, cujas derivadas sou(x) = 2x + 1 e v (x) = 3x2 + 2, assimf (x) = (2x+1)(x

3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2

f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1

Exemplos

3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2

f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1

Exemplos

3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2

f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1

No exemplo acima, podemos determinar os polinmios usando apropriedade distributiva do produto e obter:f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1 . Mas nem sempre estamosinteressados em simplificar as operaes. Por exemplo, para afuno f (x) = x2+x+1x3+2x1 podemos querer saber se prximo ax0 = 2, f uma funo crescente ou decrescente. Assim,estamos interessados em calcular f (2) e isso pode ser feito naforma f (x) = (2x+1)(x

3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2 , calculamos cada

um dos fatores da expresso, por exemplo 2x + 1 ser2 (2) + 1 = 3. Procedendo deste modo obtemosf (x) = 3(13)(314)

(13)2 =3169 , assim f

(2) um nmeronegativo e a funo decrescente prximo a x = 2.

Utilizando a regra do produto acima, podemos mostrar de outromodo o resultado que vimos de (xn), quando n um nmeronatural. A seguir temos uma prova por induo deste fato.

ExemploSe f (x) = xn, podemos calcular f (x) = n xn1 por induofinita. De fato, se n = 1, f (x) = x, vimos que f (x) = 1(lembremderivada o coeficiente angular da reta tangente), se f (x) = x2,f (x) = 2x. Supomos por hiptese que se f (x) = xk1f (x) = (k 1)xk2. Usando a hiptese de induo podemoscalcular a derivada de xk , isto , (xk). Para isso consideramos asfunes u(x) = x e v(x) = xk1, cujas derivadas so conhecidas:u(x) = 1 e v (x) = (k 1)xk2 (por hiptese de induo). Ora,f (x) = xk = x xk1 = u(x) v(x). Podemos aplicar a regra doproduto: f = u v + u v , assimf (x) = u(x) v(x) + u(x) v (x) = 1 xk1 + x (k 1)xk2 =xk1 (1+ k 1) = k xk1, que exatamente a expresso dadapela frmula (xn) = n xn1 com n = k, ou seja, a induo valepara o sucessor de k 1.

Suponha que desejamos saber se quando a derivada da funof (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula? Ou mesmo qual aderivada da funo u(x) = (x2 3x + 2)6? A seguir, veremos que possvel calcular derivadas desta natureza, pelo fato de seru(x) = (x2 3x + 2)6 a composio das funes f (x) = x6 eg(x) = x2 3x + 2)6, isto , f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)

Sejam f , g funes derivveis. Se f g est definida, ento(f g)(x0) = (f (g(x0))) =

a derivada da funo composta, denominada regra dacadeia.A regra da cadeia tem aplicaes no clculo de derivadas defunes que so expressas, de modo mais natural, pelacomposio de funes. Por exemplo, a funoSe u(x) = (x2 3x + 2)6 e queremos u(x), incialmenteidentificamos as composies f (x) = x6 e g(x) = x2 3x + 2,cujas derivadas so f (x) = 6x5 e g (x) = 2x 3Vemos que u(x) a composio das funes, isto ,f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)Assim u(x) = f (g(x)) g (x), a composiof (g(x)) = 6(g(x))5 = 6(x2 3x + 2)5, portantou(x) = 6(x2 3x + 2)5(2x 3)

Podemos calcular os valores de x para os quais a derivada def (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula.Inicialmente calculamos ((x 1)8(x 2)6(x + 3)) que oproduto das funes u(x) = (x 1)8 e v(x) = (x 2)6(x +3).Pelo que vimos acima, pela regra da cadeia:((x 1)8) = 8(x 1)7 e ((x 2)6) = 6(x 2)5.Pela regra do produto f = uv + uv , falta apenas calcularv (x) = 6(x 2)5(x + 3) + (x 2)6, podemos simplificarv (x) = (x 2)5(6(x + 3) + x 2) = (x 2)5(7x + 16)Da,f (x) = 8(x 1)7 (x 2)6(x +3)+(x 1)8(x 2)5(7x +16).E podemos resolver a equao f (x) = 0. Mas para omomento, apenas calculamos f .

A funo u(x) =x2 + 1 a composio da funo f (x) =

x

com a funo g(x) = x2 + 1. Desse modo, u(x) = f (g(x)) e(x2 + 1) = u(x) = (f (g(x)) = f (g(x)) g (x), de modo que

calculamos f (x) = 12x e g(x) = 2x , e as composies

determinam f (x) = 12x2+1 2x que simplificando resultaf (x) = xx2+1

Aplicao da Regra da Cadeia

Uma das aplicaes da regra da cadeia o clculo da derivadade funes inversas (f 1), a partir da funo f e sua derivadaf .Tal aplicao tambm est relacionada com o conceito defuno implcita, que veremos mais frente.Seja f uma funo invertvel cuja inversa f 1. Entof 1(f (x)) = f (f 1(x)) = x .Por um lado, deve ser evidente que (f (f 1(x))) = (x) = 1,pois (x) = 1 (o coeficiente angular da reta tangente).

Vimos que a derivada da funo xpq , q 6= 0 e p, q Z pode ser

calculada diretamente pela definio. A seguir, mostramos comocalcular esta derivada pela regra da cadeia.

Por outro lado, (f (f 1(x))) a derivada de uma funocomposta, onde u = f e v = f 1. Aplicando a regra dacadeia (f (f 1(x))) = (u(v(x))) = u(v(x)) v (x) =f (f 1(x)) (f 1(x)), mas esta derivada 1, entof (f 1(x)) (f 1(x)) = 1, logo, obtemos:

(f 1(x)) = 1f (f 1(x)) .

Ou seja, (f 1(x0)) a imagem da derivada da funo inversaem x0 o inverso da imagem da derivada da funo f emf 1(x0).

Por outro lado, (f (f 1(x))) a derivada de uma funocomposta, onde u = f e v = f 1. Aplicando a regra dacadeia (f (f 1(x))) = (u(v(x))) = u(v(x)) v (x) =f (f 1(x)) (f 1(x)), mas esta derivada 1, entof (f 1(x)) (f 1(x)) = 1, logo, obtemos:

(f 1(x)) = 1f (f 1(x)) .

Ou seja, (f 1(x0)) a imagem da derivada da funo inversaem x0 o inverso da imagem da derivada da funo f emf 1(x0).

ExemploSabemos que f 1(x) =

x a inversa da funo f (x) = x2.

Podemos calcular (x) = 1f (f 1(x)) .

Ora f (x) = 2x, assim f (f 1(x)) = f (x) = 2

x. Invertendo,

obtemos(x) = 12

x .

ExerccioCalcule a derivada da funo 3

x, sabendo-se que sua inversa a

funo x3.

Vamos calcular (xn), quando n = pq Q.

Escrevendo f (x) = xpq = qxp, podemos calcular esta

derivada em dois passos.Primeiro, calculamos a derivada da funo x

1q , isto , a

funo qx , acima nos fizemos este clculos para q = 3.

Em seguida, utilizamos a regra da cadeia para a funof (x) = x

pq = qxp, sendo u(x) = q

x e v(x) = xp, cuja

derivada v (x) = p xp1 e a derivada de u calculamos aseguir.

1q , isto , a

x e v(x) = xp, cuja

1q , isto , a

x e v(x) = xp, cuja

1q , isto , a

x e v(x) = xp, cuja

Clculo de ( q

x)

A funo qx a inversa da funo xq.

Assim f (x) = xq e f 1(x) = qx . Claramente

f (x) = q xq1.Calculamos f (f 1(x)) = f ( q

x) = q ( q

x)q1 = q q

xq1

Assim ( qx) = 1

q q

xq1

Observe que 1q q

xq1= 1q x

1q1, ou seja (xn) = n xn1,

vlida quando n = 1q

Clculo de ( q

x)

x) = q ( q

x)q1 = q q

xq1

Assim ( qx) = 1

q q

xq1

Observe que 1q q

xq1= 1q x

vlida quando n = 1q

Clculo de ( q

x)

x) = q ( q

x)q1 = q q

xq1

Assim ( qx) = 1

q q

xq1

Observe que 1q q

xq1= 1q x

vlida quando n = 1q

Clculo de ( q

x)

x) = q ( q

x)q1 = q q

xq1

Assim ( qx) = 1

q q

xq1

Observe que 1q q

xq1= 1q x

vlida quando n = 1q

Clculo de ( q

x)

x) = q ( q

x)q1 = q q

xq1

Assim ( qx) = 1

q q

xq1

Observe que 1q q

xq1= 1q x

vlida quando n = 1q

Podemos agora calcular (xpq ), a partir de u(v(x)), com

u(x) = xp, v(x) = qx , u(x) = p xp1 e v (x) = 1

q q

xq1

(xpq ) = (u(v(x)) = u(v(x))v (x), falta apenas calcular

u(v(x)) = u( qx) = p( q

x)p1 = p q

xp1.

Como vimos, a derivada ser p qxp1 1

q q

xq1o quociente

entre p qxp1 e q q

xq1, que resulta em pq x

pq1.

q q

xq1

u(v(x)) = u( qx) = p( q

x)p1 = p q

xp1.

q q

xq1o quociente

entre p qxp1 e q q

pq1.

q q

xq1

u(v(x)) = u( qx) = p( q

x)p1 = p q

xp1.

q q

xq1o quociente

entre p qxp1 e q q

pq1.

subject

Assunto para a prxima aula

AssuntoClculo de derivadasPropriedades da derivada

Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada

regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia

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Cálculo I (Derivada propriedades e regras)each.uspnet.usp.br/acsouzafilho/calLCN20131/aula21-24CLCN.pdf · Assunto Cálculo de derivadas Aplicação de derivadas regras de derivação