06 modelo reciproco

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 4: REGRESIÓN POR

MÍNIMOS CUADRADOS.

LINEALIZACIÓN. MODELO

RECÍPROCO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 96

4.8.- MODELO RECÍPROCO.

Un cuarto ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de modelo recíproco

xbay

144 (4.35)

donde 4a y 4b son coeficientes constantes. También representa una relación no lineal entre

y y x

1 (Figura 4.31).

Figura 4.31. Diagrama de dispersión para el modelo recíproco.

La ecuación (3.39) ya está linealizada.

De esta forma, una gráfica de y contra x

1 será lineal, con pendiente 4b y una intersección

con el eje de las ordenadas 4a (Figura 4.32).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25

y

x



Figura 4.32. Gráfica de y contra x

1 para el modelo recíproco.

Este modelo puede accederse en la calculadora CASIO fx-570 ES en el menú

MODE 3 8

Modificando apropiadamente las ecuaciones (4.4) y (4.5):

2

11

2

1111

2

4

)]/1([)/1(

)/1()/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.36)

2

11

2

111

4

)]/1([)/1(

)/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

b (4.37)

El coeficiente de correlación se determina aplicando la modificación apropiada de la

ecuación (3.33).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.00000000.05000000.10000000.15000000.20000000.25000000.30000000.35000000.40000000.4500000

y

1/x



2

1

22

11

2

111

)(])/1([)/1(

)/1()/1(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r (4.38)

En sus formas transformadas, estos modelos pueden usar la regresión lineal para

poder evaluar los coeficientes constantes. Después, regresarse a su estado original y usarse

para fines predictivos.

Ejemplo 4.7.

[CC] Use los datos de presión – volumen dados abajo para encontrar las mejores constantes

viriales posibles ( 1A y 2A ) para la ecuación de estado que se muestra abajo.

l.KmL.atm/gmo 05.82R .

2

211V

A

V

A

TR

VP

(atm)P 0.969 1.090 1.341 1.606

(K) T 298 298 298 298

(mL) V 25000 22200 18000 15000

Solución.

Linealización de la ecuación dada:

2

211V

A

V

A

TR

VP

2

211V

A

V

A

TR

VP

V

AA

TR

VPV 2

11

VAA

TR

VPV

11 21

La ecuación anterior es de la forma

xAAy 21 , en la cual

1

TR

VPVy y

Vx

1



Al graficar

1

TR

VPVy versus

Vx

1 se obtiene una recta cuya pendiente es 2A y

cuya ordenada en el origen es 1A .

En la tabla siguiente se muestran los resultados a graficar.

i ix iy

1 4×10–5 –230.9730930

2 4.5045045×10–5

–229.6185416

3 5.5555556×10–5

–230.3473492

4 6.6666667×10–5

–221.4028931

Para encontrar la recta de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos, extendemos la

tabla y sumamos las columnas como se muestra en las tres últimas columnas de la tabla

i ix iy 2

ix ii yx 2

iy

1 4×10–5 –230.9730930 1.6×10–9 –0.0092389 53348.5696969

2 4.5045045×10–5 –229.6185416 2.0290561×10–9 –0.0103432 52724.6746689

3 5.5555556×10–5 –230.3473492 3.0864198×10–9 –0.0127971 53059.9012730

4 6.6666667×10–5 –221.4028931 4.4444444×10–9 –0.0147602 49019.2410930

2.0726727×10–4 –912.3418770 1.1159920×10–8 –0.0471394 208152.3867318

Al sustituir en las ecuaciones (4.4) y (4.5), obtenemos:

2

11

2

1111

2

0

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xxn

xyxyx

a (4.4)

248

48

0)100726727.2(101159920.14

100726727.2)0471394.0()3418770.912(101159920.1

a

7244.7724400 a

2

11

2

111

1

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a (4.5)

248

4

1)100726727.2(101159920.14

)3418770.912()100726727.2()0471394.0(4

a



8322037.7521 a

La mejor ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es:

xy 8322037.7527244.772440

Luego:

7244.7724401 A y 8322037.7522 A , por lo tanto la ecuación virial se expresa como:

2

7528.3220377724407.2441

VVTR

VP

Ejercicios propuestos.

Ingeniería Química / Bioingeniería.

57. Un método de obtención de los pesos moleculares exactos es el de las densidades

límites. Este método que da excelentes resultados, está basado en el hecho de que cuando la

presión tiende a cero la ley de los gases ideales es exacta en cualquier caso. Las densidades

de un gas o vapor se determina a una temperatura dada y a la presión atmosférica y otras

menores. La relación se grafica contra P. Si el vapor o gas son ideales, esta relación debería

ser la misma a todas las presiones

TRM

P

y

constanteTR

M

P

Sin embargo, como esta conclusión no es válida para los gases reales, la relación P

se

modifica con la disminución de la presión. Afortunadamente la gráfica es casi lineal en la

práctica y puede extrapolarse a cero sin dificultad y entonces tenemos la relación P

límite

correspondiente a la ley de los gases ideales.

RT

M

PP

lim

0



P

TRMP

lim

0

a) [IL] Se ha medido la densidad de una amina gaseosa a 0ºC en función de la presión,

obteniendo los valores:

/atmP 0.2000 0.5000 0.8000

)g/L/( 0.2796 0.7080 1.1476

Calcule el valor exacto del peso molecular.

b) [SM] Las densidades del CH4 a 0ºC fueron medidas a diversas presiones obteniéndose

los resultados siguientes:

/atmP 0.25 0.5 0.75

)g/L/( 0.17893 0.35808 0.53745

Hallar el peso molecular exacto del CH4.

c) [FD] La relación entre la densidad del cloruro de etilo y la presión en atmósferas, a

diferentes presiones, a 0ºC, es la siguiente: 2.9002 g/L×atm a 760 mmHg, 2.8919 a 475

mmHg, 2.8863 a 285 mmHg. Calcular el peso molecular del cloruro de etilo.

58. [IL] Para 1.0000 mol de N2 gaseoso a 0.00ºC, se miden los siguientes volúmenes en

función de la presión.

atm/P 1.0000 3.0000 5.0000 3cm/V 22405 7461.4 4473.1

Calcule y represente Tn

VP frente a P para estos tres puntos y calcule R.

Tn

VPR

Plim

0

59. a) [IL] Algunos datos de mV frente a P para el CH4(g) a –50ºC son:

/atmP 5 10 20 40 60

)/molcm/( 3

mV 3577 1745 828 365 206

Para la ecuación del virial



32

)()()(1

mmm

mV

TD

V

TC

V

TBTRVP

despreciando los términos posteriores a C, determine los valores de B y C que minimizan la

suma de los cuadrados de las desviaciones entre las presiones calculadas y las observadas.

b) Calcular el segundo y tercer coeficiente virial para el hidrógeno a 0ºC partiendo del

hecho de que los volúmenes molares a 50, 100, 200 y 300 atm son 0.4624, 0.2386, 0.1271 y

0.09004 litro/mol respectivamente.

60. a) [IL] La ecuación de Van´t Hoff es 2

00ln

TR

H

Td

Kd p , la cual se puede escribir en la

forma R

H

Td

Kd p00

)/1(

ln . La pendiente de una gráfica de

0ln pK frente a T/1 para una

temperatura dada es igual a R

H 0 a esta temperatura. Si 0H permanece esencialmente

constante en el intervalo de temperaturas de la gráfica, la representación de 0ln pK frente a

T/1 es una línea recta.

Para la reacción (g)Cl(g)ClP(g)ClP 255 , las constantes de equilibrio observadas en

función de T (a partir de medidas de mezclas en equilibrio a presiones bajas) son:

0

pK 0.245 1.99 4.96 9.35

K/T 485 534 556 574

i) Utilizando exclusivamente estos datos, calcule 0H a 534 K para esta reacción. ii)

Repita los cálculos a 574K.

b) [FD] Los siguientes datos se aplican a la reacción (g)Br 2(g)Br2 :

K,T 1123 1173 1223 1273 0

pK 0.403×10–3

1.40×10–3

3.28×10–3

7.1×10–3

Determinar el cambio de entalpía cuando 1 mol de Br2 se disocia completamente a 1200 K.



61. [SM] Efecto de la temperatura en la velocidad de reacción. Arrhenius fue el primero en

señalar que la variación de las constantes de velocidad con la temperatura se representa por

una ecuación análoga a la usada para las constantes de equilibrio, es decir,

2

ln

TR

E

Td

kd a

En esta ecuación de Arrhenius, k es la constante de velocidad de la reacción, T es la

temperatura absoluta, R es la constante de los gases en calorías, y aE es una cantidad

característica de la reacción con dimensiones de energía y conocida como energía de

activación.

a) En la tabla siguiente se señalan las constantes de velocidad específica k en la

descomposición del N2O5 a diversas temperaturas:

C)(º t 0 25 35 45 55 65

)(s 1k 7.87×10–7

3.46×10–5

1.35×10–4

4.98×10–4

1.50×10–3

4.87×10–3

Hallar la energía de activación, y encontrar la constante de velocidad específica a 50ºC.

b) [RC] La variación de la constante de velocidad con la temperatura para la reacción de

primer orden

(g)O(g)ON2(g)ON2 24252

está dada en la siguiente tabla. Determine la energía de activación para la reacción.

(K) t 298 308 318 328 338

)(s 1k 1.74×10–5

6.61×10–5

2.51×10–4

7.59×10–4

2.40×10–3

c) [FD] La velocidad de transposición del 1-etil-propenil-alil-malonitrilo a 1-etil-2-metil 4

pentenilden-malonitrilo, se puede seguir midiendo el índice de refracción. Se obtuvieron las

siguientes constantes de primer orden.

Cº Temp., 120.0 130.0 140.0

)(s 1k 4.02×10–4

9.12×10–4

19.83×10–4

¿Cuál es la energía de activación?

62. [IL] La ecuación de Clausius – Clapeyron es 2

ln

TR

H

Td

Pd m (Fíje el parecido con la

ecuación de Van´t Hoff y con la ecuación de Arrhenius), la cual se puede reescribir en la



forma R

H

Td

Pd m

)/1(

ln. A partir de una representación de Pln frente a T/1 tiene una

pendiente R

H m . A la temperatura T, por lo que la medida de esta pendiente a varias

temperaturas permite determinar el valor de mH de vaporización o sublimación a cada

temperatura.

a) [FD] El alcohol n-propílico tiene las siguientes presiones de vapor:

Cº, t 40 60 80 100

mmHg,P 50.2 147.0 376 842.5

Calcular i) el valor de vaporización y ii) el punto de ebullición a 760 mmHg (punto de

ebullición normal)

b) [IL] Algunos valores de la presión de vapor del Hg líquido son:

C /ºt 80.0 100.0 120.0 140.0

Torr/P 0.08880 0.2729 0.7457 1.845

i) Calcule el valor promedio de mH de vaporización en este intervalo de temperatura. ii)

Calcule la presión de vapor a 160ºC. iii) Estime el punto de ebullición normal del mercurio.

c) [FD] El propeno tiene las siguientes presiones de vapor:

K, t 150 200 250 300

mmHg,P 3.82 198.0 2074 10040

De estos datos, calcular i) el calor de vaporización y b) la presión de vapor a 225 K.

d) [IL] Algunos valores de la presión de vapor del CO2 sólido son:

C /ºt –120.0 –110.0 –100.0 –90.0

/TorrP 9.81 34.63 104.81 279.5

i) Calcule el valor promedio de mH de sublimación en este intervalo de temperatura. ii)

Calcule la presión de vapor a –75ºC.

63. [FD] La variación del coeficiente de viscosidad con la temperatura puede representarse

por TREeA / , donde E es la energía de activación de la viscosidad.

Tomando en consideración los siguientes datos, calcular la viscosidad del mercurio a 50ºC.

Cº,t 0 20 35 98 203



0.01661 0.01547 0.01476 0.01263 0.01079

64. [RF] La velocidad a la cual una sustancia atraviesa una membrana semipermeable se

deermina por la difusividad D (cm2/s) del gas. D varía con la temperatura de la membrana T

(K) según la ecuación de Arrhenius:

TR

E

eDD

0

donde 0D = factor preexponencial.

E = energía de activación por difusión.

R = 1.987 cam/(mol.K).

Se miden, a diversas temperaturas, las difusividades del SO2 en un tubo de hule de

fluorosilicona, y se obtienen los siguientes resultados:

(K) T 347.0 374.2 396.2 420.7 447.7 471.2

)/s(cm 2D 1.34×10–6

2.50×10–6

4.55×10–6

8.52×10–6

14.07×10–6

19.99×10–6

a) ¿Cómo se deben graficar los datos para obtener una recta en coordenadas rectangulares?

b) Grafique los datos como se indica en el inciso a) y determine 0D y E a partir de la línea

resultante.

65. [CC] La sangre humana se comporta como un fluido newtoniano (véase el problema

23) en la región de rapidez de corte elevada, donde 100 . En la región de baja rapidez

de corte, donde 50 , los glóbulos rojos tienden a acumularse en lo que se llaman

rouleaux (rodillos), lo que hace al fluido dejar de ser newtoniano. A esta región de baja

rapidez de corte se le llama región de Casson, y, además, hay una región de transición entre

estas distintas regiones del fluido. En la región de Casson, la rapidez de corte se aproxima a

cero, el esfuerzo cortante tiende a un valor finito, similar a un plástico de Bingham, llamado

la tensión de acceso y , y debe sobrepasarse esta tensión para que inicie el flujo en sangre

estancada. El flujo en la región de Casson se grafica normalmente como la raíz cuadrada de

la rapidez de corte contra la raíz cuadrada del esfuerzo cortante, y cuando se grafica de esta

manera se tiene una relación lineal. La relación de Casson es

cy K



donde cK = índice de consistencia. En la tabla siguiente se dan valores medidos

experimentalmente para y , a partir de una muestra de sangre se obtienen en las

regiones de flujo de Casson y Newtoniana.

Región , 1/s , N/m2

Casson

0.91 0.059

3.3 0.15

4.1 0.19

6.3 0.27

9.6 0.39

23 0.87

36 1.33

Transición 49 1.65

65 2.11

Newtoniano

105 3.44

126 4.12

215 7.02

315 10.21

402 13.01

Usando regresión lineal encuentre los valores de cK y y en la región de Casson,

encuentre utilizando regresión lineal en la región newtoniana. Encuentre también el

coeficiente de correlación para cada análisis de regresión. Trace las dos líneas de regresión

en una gráfica de Casson ( contra ) y extienda las líneas de regresión como líneas

punteadas a las regiones adjuntas; incluya también en la gráfica los puntos que se tienen

como datos. Limite la región de rapidez de corte a 150 .

66. [BF] En un artículo que trata de la eficiencia de la utilización de la energía de la larva

de una mariposa nocturna Modest Sphinx (Pachusphinx modesta), L. Schroeder usó los

datos siguientes para determinar una relación entre W, el peso viviente de la larva en

gramos, y R, el consumo de oxígeno de la larva en mL/h. Por razones biológicas, se supone

que existe una relación entre W y R que tiene la forma de la ecuación aWbR .

a) Encuentre el polinomio de mínimos cuadrados lineal logarítmico usando

WabR lnlnln .



b) Calcule el error asociado con la aproximación en a)

37

1

2)(i

a

ii WbRE .

c) Modifique la ecuación logarítmica de mínimos cuadrados en a) agregando el término

cuadrático 2)(ln iWc y determine el polinomio logarítmico cuadrático de mínimos

cuadrados.

d) Determine la fórmula y calcule el error asociado con la aproximación en c).

W R W R W R W R W R

0.017 0.154 0.025 0.23 0.020 0.181 0.020 0.180 0.025 0.234

0.087 0.296 0.111 0.357 0.085 0.260 0.119 0.299 0.233 0.537

0.174 0.363 0.211 0.366 0.171 0.334 0.210 0.428 0.783 1.47

1.11 0.531 0.999 0.771 1.29 0.87 1.32 1.15 1.35 2.48

1.74 2.23 3.02 2.01 3.04 3.59 3.34 2.83 1.69 1.44

4.09 3.58 4.28 3.28 4.29 3.40 5.48 4.15 2.75 1.84

5.45 3.52 4.58 2.96 5.30 3.88 4.83 4.66

5.96 2.40 4.68 5.10 5.53 6.94

67. [CC] El peso molecular de un polímero se determina a partir de su viscosidad mediante

la siguiente relación.

a

vMK][

donde ][ es la viscosidad intrínseca del polímero, vM es el peso molecular promediado de

la viscosidad, mientras que K y a son constantes específicas del polímero. La viscosidad

intrínseca se determina experimentalmente considerando el tiempo de flujo o el tiempo que

tarda la solución del polímero en fluir entre dos líneas marcadas en un viscosímetro capilar

a varias concentraciones diferentes del polímero diluido y extrapolando a dilución infinita.

Una gráfica de

c

t

t1

0

contra c

dará una línea recta con una intersección en el eje y

c

t

t1

0

en c = 0



igual a ][ . La concentración del polímero es c, t es el tiempo de flujo de la solución de

polímero y 0t es el tiempo de flujo del solvente sin polímero.

a) [FD] Una muestra de poliestireno fue disuelta en tolueno, y se obtuvieron los siguientes

tiempos de flujo en un viscosímetro de Ostwald a 25ºC para estas diferentes

concentraciones:

Concentración, g/100 mL 0 0.1 0.3 0.6 0.9

Tiempo en seg 86.0 99.5 132 194 301

Si las constantes para este polímero son 4107.3 K y 62.0a calcular su peso

molecular.

b) Usando los siguientes datos de tiempos de flujo para soluciones diluidas de poliestireno

en metil etil cetona (acetona) a 25ºC y las constantes 4109.3 K y 58.0a . Encuentre

el peso molecular de la muestra de poliestireno.

Concentración de

polímero, g/dL 0 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.20

Tiempo de flujo, s 83.0 88.9 95.1 104.0 113.5 125.5 138.9 154.6 191.2

68. [SM] La explicación propuesta a los tipos de isotermas II y III (Problemas 53 y 55) es

que la adsorción es en capas multimoleculares, es decir, lleva apareada la formación de

muchas capas moleculares sobre la superficie en lugar de ser una sola. En base a este

postulado Brunauer, Emmett y Teller derivaron para este tipo de isotermas

00

11

)( P

P

cv

c

cvPPv

P

mm

En esta ecuación v es el volumen, reducido a las condiciones estándar, del gas adsorbido a

la presión P y la temperatura T, 0P es la presión de vapor saturado del absorbato a la

misma T, mv es el volumen del gas, reducido a las condiciones estándar, adsorbido cuando

la superficie se cubre de una capa monomolecular, y c es una constante a una temperatura

dada.



La ecuación se comprueba al graficar )( 0 PPv

P

contra

0P

P. La gráfica debe ser

una línea recta con una pendiente igual a cv

c

m

1 y una intersección

cvm

1. A partir de estos

datos es posible hallar mv y c.

a) [SM] En la adsorción del N2, a 90.1 K sobre cierto sólido, se encontró que los siguientes

volúmenes de gas, reducidos a las condiciones estándar, eran adsorbidos por gramo de

sólido a las presiones relativas indicadas.

0/ PP 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

cc)(en v 51.3 58.8 64.0 68.9 74.2

Demostrar, a partir de estos datos, que siguen una isoterma tipo II, y evaluar las constantes

mv y c.

b) [IL] Para el N2 adsorbido sobre cierta muestra de polvo de ZnO a 77 K, los volúmenes

adsorbidos (calculados a 0ºC y 1 atm) por gramo de ZnO en función de la presión de N2

son:

Torr/P 56 95 145 183 223 287

/g)(cm/ 3v 0.798 0.871 0.978 1.06 1.16 1.33

El punto de ebullición normal del N2 es 77 K. Calcule el volumen mv , necesario para

formar una monocapa; calcule también la otra constante de la isoterma.

69. [IL] La isoterma de Temkin para la adsorción de gases sobre sólidos (problema 52, 54 y

69) es Psrv ln , donde r y s son constantes. a) ¿Qué magnitudes habría que representar

para obtener una línea recta si se cumpliera la isoterma de Temkin? b) Ajuste los datos del

problema 53 a) a la isoterma de Temkin y calcule r y s.

70. [SM] Variación de la conductancia con la concentración. Tanto la conductancia

específica ( sL ) como la equivalente ( ) de una solución varían con la concentración (C).

Kohlrausch fue el primero en señalar que cuando para electrolitos fuertes se grafica

contra C (la curva obtenida se aproxima a la línea recta en soluciones diluidas, es decir,

que Cb 0 donde b es una constante.



a) [SM] A 25ºC las conductancias equivalentes de las soluciones diluidas de NaI son las

siguientes:

Molaridad 0.0005 0.0010 0.0050

125.36 124.25 121.25

Encontrar 0 de NaI a 25ºC.

b) [FD] Determinar el valor de 0 para el cloruro de litio deduciéndolo de los siguientes

datos a 25ºC:

Equivalentes por litro 0.05 0.01 0.005 0.001 0.0005

Conductancia equivalente 100.11 107.32 109.40 112.40 113.15

71. [RC] Una reacción de segundo orden es una reacción cuya velocidad depende de la

concentración del reactivo elevada a la segunda potencia, o de la concentración de dos

reactivos diferentes, cada uno elevado a la primera potencia. En una reacción de segundo

orden

tkAA

0][

1

][

1 , donde 0][A y ][A son las concentraciones de A a los tiempos 0t y

tt , respectivamente y k es la constante de velocidad.

El óxido de cloro (ClO), que tiene un papel importante en la disminución de la capa de

ozono, se descompone rápidamente a temperatura ambiente, de acuerdo con la ecuación:

(g)O(g)ClClO(g)2 22

A partir de los siguientes datos, determine el orden de la velocidad para la reacción y

calcule la constante de velocidad para la reacción.

Tiempo (min) 0.12×10–3

0.96×10–3

2.24×10–3

3.20×10–3

4.00×10–3

[ClO], (M) 8.49×10–6

7.10×10–6

5.79×10–6

5.20×10–6

4.77×10–6

72. [RF] Dos variables P y t, se relacionan por la ecuación

rtmP

2

1

1

Se tienen los siguientes datos:

P 0.279 0.194 0.168 0.120 0.083

t 1.0 2.0 3.0 5.0 10.0



Calcule m y r por el método de los mínimos cuadrados.

73. [RF] Un tanque de almacenamiento se carga con una solución que contiene desechos

peligrosos y ésta se somete a un tratamiento químico para descomponer los desechos en

productos inofensivos. Se ha visto que la concentración del desecho que se descompone, C,

varía con el tiempo de acuerdo con la fórmula

tbaC

1

Como ha transcurrido el tiempo suficiente para que la concentración descienda a 0.01 g/L,

el contenido del tanque se descarga en un río que pasa junto a la planta.

Se obtienen los siguientes datos para C y t:

(h)t 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

(g/L)C 1.43 1.02 0.73 0.53 0.38

a) Si la fórmula que se indica es correcta, ¿qué gráfica daría una recta que le permitierta

determinar los parámetros a y b?

b) Calcule a y b empleando el método de mínimos cuadrados. Determine la precisión del

ajuste generando una gráfica de C contra t que muestre tanto los valores medidos de C

como los predichos.

c) Empleando los resultados del inciso b), estime la concentración inicial de desecho en el

tanque y el tiempo necesario para que C alcance el nivel de descarga.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

Ingeniería Química / Bioingeniería.

57. a) PP

0.06083331.3857500

, 0.0002041/ xyS , 0.99993752 r , 0.9999687r .

La masa molar es 31.06001971.385750015.273082057.0 M .

b) PP

0.00176000.7152800

, 0/ xyS , 0000000.12 r , 0000000.1r . La masa

molar es 0321926.617152800.015.273082057.0 M .

c) PP

0.02223162.8779789

, 0.0000324/ xyS , 0.99998922 r , 0.9999946r . La

masa molar es 5066436.648779789.215.273082057.0 M .

58. PTn

VP0.036152382.0593996 , de donde .atm/mol.Kcm 82.0593996 3R ,

0.0031386/ xyS , 0.99905872 r , 0.9995293r .

59. a) m

mm

VTR

VPV

843749.2195484.10581621

ó

2

843749.2195484.10581621

mm

mVV

TRVP ; 0.3275832/ xyS , 0.99578962 r ,

0.9978926r .

b) m

mm

VTR

VPV

0.00808720.12267601

ó

2

0.00808720.12267601

mm

mVV

TRVP ;

0.0190827/ xyS , 0.80884432 r , 0.8993577r .

60. a) 09411405.99280

R

H, de donde kcal/mol 6637077.220 H ,

0.0391090/ xyS , 0.99959652 r , 0.9997983r .

b) 93227127.73750

R

H, de donde kcal/mol 9028146.530 H , 0.1212889/ xyS ,

0.99351042 r , 0.9967499r .

61. a) 57212388.0830R

Ea , de donde kcal/mol 24.6151210aE , 0.0319134/ xyS ,

0.99991612 r , 0.9999581r .

b) 11012392.4170R


0.99974432 r , 0.9998721r .



c) 52312961.4027R


0.99999892 r , 0.9999995r .

62. a) i) 225499.17115

R

Hm , de donde kcal/mol 10.9268531 mH ,

0.0171935/ xyS , 0.99986672 r , 0.9999334r , ii) Cº 897.0680664bT

b) i) 227377.52620

R

Hm , de donde kcal/mol 14.6591446 mH , 0.0019682/ xyS ,

0.99999852 r , 0.9999992r , ii) Torr 4.2138183P , iii) Cº 126.269184bT .

c) i) 342361.51805

R


0.99999712 r , 0.9999985r , ii) mmHg 8728.943349P .

d) i) 883131.96557

R


0.99999132 r , 0.9999957r , ii) Torr 11023.77628P .

63. Te8276.837208

0.00601585 . 0.0032084/ xyS , 0.99974292 r , 0.9998714r . A

Cº50T : 70.01416934 .

64. a) Se debe graficar Dln versus T

1.

b)

TeD

223665.96325

50.04904191

-16.00

-14.00

-12.00

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

0.002 0.0021 0.0022 0.0023 0.0024 0.0025 0.0026 0.0027 0.0028 0.0029 0.003

ln D

1/T



65. En la región de Casson: 0.18092220.0658177 , de donde

0.00433200.0658177)( 2 y y 0.1809222c K . 0.0043250/ xyS , 0.99984972 r ,

0.9999248r .

En la región Newtoniana: 0.03221110.0677012 , de donde 0.0322111 .

0.0175310/ xyS , 0.99998602 r , 0.9999930r .

66. a) WR ln0.57564260.2646476ln , 0.91390102 r , 0.9559817r ; b)

25.3018416E ; c) 2)(ln0.0669549ln0.70062920.0496202ln WWR ,

0.94176432 r , 0.9704454r ; d) 420.3041038E

67. a) cc

t

t

1.47348351.3559739

10

, de donde 1.3559739][ y 9743.560359vM ,

0.1330708/ xyS , 0.95750032 r , 0.9785194r .

b) cc

t

t

29.35371990.7016509

10

, de donde 7016509.0][ y 4454.409417vM ,

0.0704779/ xyS , 0.99826922 r , 0.9991342r .

68. a) 00

0.01734320.0001573)( P

P

PPv

P

, de donde 2555626.111c y

14122455.57mv , 0.0000022/ xyS , 0.99999802 r , 0.9999990r .

b) 00

1.16720920.0165459)( P

P

PPv

P

, de donde 5437117.71c y 8447693.0mv ,

0.0021773/ xyS , 0.99977522 r , 0.9998876r .

69. Prsrv lnln : Habría que graficar v versus Pln . Se obtiene una recta cuya

pendiente es r y cuya intersección es srv ln . Pv ln27.486953670.2147871 , de

donde 627.486953r y 8645680.12s , 4.5757859/ xyS , 0.97368662 r ,

0.9867556r .

70. a) C82.56956250127.051980 , de donde 0519800.1270 , 0.2481911/ xyS

, 0.99318702 r , 0.9965877r .

b) a) C64.33529051114.244314 , de donde 1114.2443140 , 0.4265722/ xyS ,

0.99501122 r , 0.9975025r .

71. 0][

191074223552697.37749117103.838

][

1

AA , de donde 3910742.35526972k ,

192367.66944/ xyS , 0.99699532 r , 0.9984965r .



72. 21

3.94457650.51533381

tP

, de donde 0.5153338r y 3.9445765m ,

0.2408959/ xyS , 0.99599152 r , 0.9979938r .

73. tC

0.47709570.08229841

, de donde 0.0822984a y 0.4770957b ,

0.1643177/ xyS , 0.96563692 r , 0.9826682r .

Education

06 modelo reciproco