Modelo para varios artículos yModelo para varios artículos con

restricciones

Ana Da Silva Len Oliveros

Caracas, Noviembre 2014

Modelo para varios artículos

Hasta ahora se han tratado solo modelos que consideran un solo articulo, pero en la practica la situación mas común es que se mantengan varios artículos en inventario. Se tomata como prototipo el Modelo Básico 1.

I Reposición Instantánea

II Demanda Determinística uniforme a un régimen r

III Política ( t , qi ) ó ( ti , qi )

IV Número de Ordenes m = 1

V Número de Artículos i = n

VI Costos Asociados k ó ki, hi

VII Beneficios o Ingresos No existe

VIII Escasez No existe

IX Costos cargados A: Inventario promedio

X Número de Restricciones No existe

XI Descuentos en los precios

No existe

XII Tiempo de Entrega No existe

XIII Inventario de Seguridad No existe

Características

Representación gráfica

Trata de varios Modelos Básico 1 (uno para cada articulo) con el mismo tiempo de ciclo t , lo que varia es la cantidad a ordenar (q0 ) y el régimen de demanda (ri) . En caso de no ser el mismo t existirá un (ki) para cada articulo y un ti diferente.

Articulo 2 Articulo n

t t

q2 qnr2 rn

t

q1r1

Articulo 1

TIEMPO

Se trabaja con el mismo régimen de demanda tanto para el articulo 1 compara el n-esimo, siempre y cuando se mantenga constante el ciclo de tiempo t.

Función Objetivo

Se enfatiza en la formulación del Modelo Básico 1 es por ello que se simplifica el planteamiento, para considerar la influencia de varios artículos, se usa la suma desde 1 hasta n , lo cual simboliza el numero de artículos.

Derivando Parcialmente a qi se obtiene:

 

t0 i =

 

Tiempo Optimo

 

q0 i =

 Cantidad a ordenar

Ejemplo:

En este caso de omite el ejemplo, es como si en el Modelo Básico 1 se tuviesen n artículos.

Considere que el régimen de la demanda de un producto es 1600kgs/mes, el costo unitario de posesión es de 5Bs/kgs-mes, el costo fijo de ordenamiento es igual a 20 Bs/orden y durante el periodo se emite una sola orden. Se desea determinar: a) La política optima de inventario. b) El costo total optimo por Unidad de tiempo. c) El tamaño optimo del lote si el producto se embala en envases de 50 Kgrs

Solución: Es importante recalcar que en este ejercicio no se necesita realizar conversiones de unidades porque las mismas son homogéneas. r = 1600 Kgrs/ mes k = 20 Bs/orden h= 5 Bs/kgrs-mes m = 1 orden

a) La Política optima es : q0 = t0 =    q0 = = 113,137 kilos t0 = = 0,07 meses Cada 0,07 meses deben ordenarse 113,137 segundos.  

b) Costo total optimo por Unidad de tiempo:  

Ct 0/t = = = 565,69 Bs/mes

 

 

c) El tamaño optimo del lote si el producto se embala en envases de 50 Kgrs :

El producto se embala en paquetes de 50 kilos. Por tanto la unidad de paquetes, pues se requerirá 1 , 2 , 3 o n paquetes cada uno de 50 kilos, en este caso hablando de kilos, el optimo será un múltiplo entero positivo de 50.   q 0 < q 0  q 0 = 100 → 100 (100 – 50) ≤ 12.800 ≤ 100 (100 + 50) 5000 ≤ 12.800 ≤ 15.000 → Se cumple q 0 = 100

Se sabe que cualquier múltiplo entero de 50 mayor a 100 violara el acotamiento a la izquierda, por lo tanto no se prueba con esos valores. Esos cálculos se simplifican bajo la hipótesis de que el optimo discreto va a estar en los vecinos del optimo continuo y que es muy probable que sea el vecino mas cercano , de acuerdo a lo anterior el optimo continuo es 113,117 kilos, es decir, usaremos el múltiplo de 100 puesto que es el mas cercano. Cabe destacar que lo mismo pasaría en el caso de n artículos.

Modelo para varios artículos con restricciones

Modelo para varios artículos con restricciones

Se trata de un modelo que toma como prototipo el Modelo Básico 1, teniendo presente que se está en condiciones de poder formular cualquier otra situación.

I Reposición Instantánea

II Demanda Determinística uniforme a un régimen r

III Política ( t , qi )órdenes conjuntas

IV Número de Ordenes m = 1

V Número de Artículos i = n

VI Costos Asociados D, ci, k

VII Beneficios o Ingresos No existe

VIII Escasez No existe

IX Costos cargados A: Inventario promedio

X Número de Restricciones 1 presupuestaria (cantidad disponible: A Bs.)

XI Descuentos en los precios

No existe

XII Tiempo de Entrega No existe

XIII Inventario de Seguridad No existe

Características

Representación gráfica

Debido a las restricciones el q óptimo sujeto a las restricciones va a ser menor o igual al q° óptimo sin restricciones.

Niv

el

de

inve

nta

rio

Capacidad monetaria para laAdquisición del articulo i

q0 i

t

ri

Tiempo

La recta representa la restricción, es decir, la capacidad monetaria de adquisición del articulo i . El régimen de demanda es determinístico y constante. La recta mas larga representa el q optimo cuando no hay restricción. En este caso hablamos del modelo básico1. El tiempo es como un basico1, Ocurre reposición y demanda , nunca habrá escases.

Función Objetivo

Será la misma que en el “Modelo para varios artículos”, excepto que en este modelo

Modelo para varios artículos:

Modelo para varios artículos con Restricciones:

Cuya finalidad es minimizar el Costo total.

Restricción

Se impide que el costo del inventario promedio por unidad de tiempo exceda a una cantidad de A unidades monetarias (Bs.)

: Inventario promedio por unidad de tiempo

: Costo del Inventario promedio por unidad de tiempo

Donde:

Pueden considerarse R restricciones de cualquier tipo

Metodología de Cálculo

Generalmente se plantea como una función de Lagrange. La misma está constituida por la función objetivo del problema, mas las restricciones considerando para cada una de ellas un multiplicador de lagrange .

Seguidamente se deriva parcialmente con respecto de y λ para encontrar los valores de la política óptima. Realizando los despejes y sustituciones correspondientes, donde se obtiene que:

• La cantidad a ordenar, viene expresada por:

• El multiplicador de Lagrange, viene expresado por:

Ejemplo:

Un sistema de inventario consta de tres artículos, para lo cual se emite una orden conjunta incurriendo en un costo fijo k=180 Bs/orden, se han estimado un costo porcentual de posesión d=0.10 constante para los tres (3) artículos. Además se conoce:

Artículo Ci (Bs)ri

(kgs/semana)

1 2,00 100

2 3,00 60

3 4,00 80

Existe una disponibilidad presupuestaria de 1000 Bs., que como máximo debe ser invertida en el inventario promedio.

Se desea determinar: q1, q2, q3, λ

Articulo            

1 2 100 200 50 7,07 14,14

2 3 60 180 20 4,47 13,42

3 4 80 320 20 4,47 17,89

Total =∑     700   16,01 45,45

       

Completando la tabla de información suministrada

 

Solución: Aplicando los resultados del modelo se obtiene

Cantidad que debe pedirse semanalmente del articulo.