AM2

Revisoes R2

Integraisduplos

Definicao

Areas e volumes

Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Integrais DuplosAnalise Matematica II – Calculo II

Sandra Gaspar Martins

2o Semestre 2013/14

Versao de 9 de Maio de 2014

sandra.martins@adm.isel.pt

1/42

AM2

Revisoes R2

Integraisduplos

Definicao

Areas e volumes

Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Revisoes de R2

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Integraisduplos

Definicao

Areas e volumes

Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Rectas

y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem

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Areas e volumes

Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Parabolas

y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R

zeros: x =−b ±

√b2 − 4ac

2aa > 0 ∪a < 0 ∩

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Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Circunferencias

(x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R

(a, b) centror raio

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Areas e volumes

Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Elipses

(x − a

c

)2

+

(y − b

d

)2

= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0

(a, b) centroc , d semi-eixos

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Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Hiperboles

(x − a

c

)2

−(

y − b

d

)2

= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0

(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos

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Propriedades

Fubini

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

x3

y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c , d ∈ R

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Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Modulo

y = |x |

|x | =

{x se x ≥ 0−x se x < 0

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Propriedades

Fubini

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Raiz

y =√

x

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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1x

y =1

x

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Propriedades

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Exponenciais

y = ax , a ∈ R+

a > 1 a < 1

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Logaritmos

y = loga(x), a ∈ R+

a > 1 a < 1

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Seno

y = sin(x)

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Mudanca devariaveis

Polares

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Coseno

y = cos(x)

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Polares

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Tangente

y = tan(x)

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Arco-seno

y = arcsin(x)

D = [−1, 1] CD =[−π

2 ,π2

]

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Arco-coseno

y = arccos(x)

D = [−1, 1]CD = [0, π]

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Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Arco-tangente

y = arctan(x)

D = RCD =

[−π

2 ,π2

]

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Propriedades

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Integrais Duplos

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Propriedades

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Revisao de integrais simples

∫ b

af (t) dt = lim

n→+∞

n∑i=1

f (xi )∆xi

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Integral duplo de Riemann

1

∫∫R

f (x , y) dx dy = limn,m→+∞

n∑i=1

m∑j=1

f (xi , yj)∆xi∆yj

1http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/

Sec15-1fig8.html 22/42

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Propriedades

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Areas e volumes usando integraisduplos

Seja V ={

(x , y , z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x , y), (x , y) ∈ D}

entao

volume de V =

∫∫D

f dA

Seja D uma regiao limitada de R2 entao

area de D =

∫∫D1 dA

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Propriedades

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Propriedades

Sejam D1 e D2 duas regioes de R2: int(D1) ∩ int(D2) = ∅e D = D1 ∪ D2 entao∫∫

Df dA =

∫∫D1

f dA +

∫∫D2

f dA

Se f (x , y) ≤ g(x , y), ∀(x , y) ∈ D entao∫∫D

f dA ≤∫∫

Dg dA

Se f (x , y) ≥ 0, ∀(x , y) ∈ D entao∫∫

D f dA ≥ 0

Seja λ ∈ R entao∫∫D

f + λg dA =

∫∫D

f dA + λ

∫∫D

g dA

∣∣∣∣∫∫D

f dA

∣∣∣∣ ≤ ∫∫D|f | dA

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Teorema de Fubini: 2

Suponhamos que f uma funcao que admite descontinuidadesde 1a especie num conjunto de area nula em D.Se

D ={

(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

entao ∫∫D

f (x , y)dxdy =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f (x , y)dydx .

Se

D ={

(x , y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

entao ∫∫D

f (x , y)dxdy =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)f (x , y)dxdy .

2http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/

Sec15.2.1-2.html25/42

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Exercıcios

Indique∫∫

R f (x , y) dydx e∫∫

R f (x , y) dxdy onde

1

R ={

(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2}

2

R ={

(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}

3

R ={

(x , y) ∈ R2 : x ≤ 1, y ≤ 1, y ≥ −x + 1}

Calcule e interprete os resultados no caso def (x , y) = x + y , f (x , y) = x2 + 3y 2 e f (x , y) = 1.

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

ExercıciosIndique

∫∫R f (x , y) dydx e

∫∫R f (x , y) dxdy sendo:

1

R ={

(x , y) ∈ R2 : y ≤ 2x , y ≤ x2}

2

R ={

(x , y) ∈ R2 : x ≤ √y , x ≥ y 2}

3

R ={

(x , y) ∈ R2 : y ≤ 2, y ≥ x + 1, y ≥ −x + 1}

4

R ={

(x , y) ∈ R2 : y ≥ ln(x), y ≤ 2, y ≥ 0, x ≥ 0}

5

R =

{(x , y) ∈ R2 : y ≥ 1

2x , y ≤

√x , x ≥ 2

}27/42

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Definicao

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Propriedades

Fubini

Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

ExercıciosIndique

∫∫R f (x , y) dydx e

∫∫R f (x , y) dxdy sendo:

1

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4}

2

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ 0}

3

R ={

(x , y) ∈ R2 : (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 9, x ≤ 2}

4

R =

{(x , y) ∈ R2 : 1 ≤

(x + 5

4

)2

+ (y + 1)2 ≤ 4, x ≥ −5

}

(trabalhoso)

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Polares

Polares gener.

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Exercıcios

Inverta a ordem de integracao de:

1

∫ 1

0

∫ ex

1f (x , y)dydx

2

∫ 1

0

∫ −x+2

xf (x , y)dydx

3

∫ 0

−1

∫ x+1

x2−1f (x , y)dydx

4

∫ 1

0

∫ 1

y−2f (x , y)dxdy +

∫ 2

1

∫ −y+2

y−2f (x , y)dxdy

5 *

∫ 1

0

∫ 1

x2−2f (x , y)dydx

6 *

∫ 1

−1

∫ 1

−√

1−x2

f (x , y)dydx

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Polares

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Aplicacoes

Sendo ρ(x , y) a funcao que indica a densidade em cada pontode uma placa com a forma da regiao R.

A massa de uma placa com a forma da regiao R e dadapor ∫∫

Rρ(x , y) dA

O centro de massa de uma regiao R e (x , y) onde

x =

∫∫R xρ(x , y) dA∫∫R ρ(x , y) dA

y =

∫∫R yρ(x , y) dA∫∫R ρ(x , y) dA

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Polares

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Exercıcios

1 Calcule a massa e o centro de massa da regiao

D ={

(x , y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}

sabendo que a funcao densidade e dada por

ρ(x , y) = 2x + 3y .

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Mudanca de variaveis

Para mudar das coordenadas (x , y) para (u, v), usando afuncao bijectiva ϕ : R2 −→ R2,

(x , y) = ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v))

para a qual enquanto (x , y) percorre D, (u, v) percorre T , ouseja, T = ϕ−1(D).

Supondo que ϕ ∈(C 1 (T )

)2; o Jacobiano de ϕ: J 6= 0; e f e

integravel em D, entao a funcao f ◦ ϕ e integravel em T ,tendo-se∫∫

Df (x , y) dx dy =

∫∫T

f (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v)). |detJ| du dv

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Polares

Polares gener.

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Coordenadas polares

Teorema (Coordenadas polares R2 −→ R2)

Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas (x , y)e polares (ρ, θ){

x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ)

, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+

J = ρ{ρ =

√x2 + y 2

θ = arctan( yx

)

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Nota:

ρ e a distancia entre o ponto e o polo (a origem: (0,0)).

θ e o angulo entre duas semirretas: e o angulo que comeca nasemirreta que e a parte positiva do eixo dos xx e termina nasemirreta que une o ponto ao polo (no sentido anti-horario).

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Polares

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Exercıcios IUsando coordenadas polares calcule:

1∫∫

R x2 + y 2 dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 0, x ≥ 0}

2∫∫

R x dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 9, y ≤ 0, x ≤ 0}

3∫∫

R1

x2+y2 dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 25, y ≤ x}

4∫∫

R 1dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16, y ≤ 0, x ≤ 0}

5∫∫

R x2 + y 2dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 0}

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Coordenadas polares generalizadas

Teorema (Coordenadas polares generalizadas R2 −→ R2)

Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas (x , y)e polares generalizadas (ρ, θ){ x−a

c = ρ cos(θ)y−bd = ρ sin(θ)

, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+.

J = cdρ

ρ =

√(x−ac

)2+(y−bd

)2

θ = arctan(

(y−b)c(x−a)d

)

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Nota:

ρ e a distancia entre o ponto e o polo (o ponto (a,b)).

θ e o angulo entre duas semirretas: e o angulo que comeca nasemirreta formada pelos pontos (x , b) para x ≥ a e termina nasemirreta que une o ponto ao polo (no sentido anti-horario).

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Polares

Polares gener.

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Exercıcios I

Usando coordenadas polares (indique quais) indique o integralque lhe permitiria calcular:

1∫∫

R x + y dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 1}

2∫∫

R x dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + (y + 2)2 ≤ 4, y ≤ −x − 2}

3∫∫

R x + 2y dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : (x + 1)2 + (y − 2)2 ≤ 25, y ≥ x + 3}

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Polares

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Exercıcios II

4∫∫

R 1 dxdy onde

R =

{(x , y) ∈ R2 :

(x

3

)2+(y

2

)2≤ 1, x ≤ 0

}5∫∫

R x + y dxdy onde

R =

{(x , y) ∈ R2 : 1 ≤

(x

2

)2+(y

5

)2≤ 4, y ≤ 0

}6∫∫

R x + 2y dxdy onde

R =

{(x , y) ∈ R2 :

(x − 1

3

)2

+

(y − 3

4

)2

≤ 1, y ≤ 3

}

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Exercıcios III7∫∫

R 5x + 2y dxdy onde

R =

{(x , y) ∈ R2 : 1 ≤

(x + 5

4

)2

+ (y + 1)2 ≤ 4, x ≥ −5

}8 *

∫∫R x + y dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : y ≤ −x + 1, x ≥ 0, y ≥ 0}

9 *∫∫

R x dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x + 2}

10 *∫∫

R x + 2y dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 4, y ≤ −x2 + 4}

11∫∫

R x2 dxdy onde

R ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ −x2}

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Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

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Confirme os seus resultados usando os applets:

http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/

doubint/double_integrals.html

(ao introduzir um integral duplo mostra a regiao de integracao)

http://www.wolframalpha.com/widgets/gallery/

?category=math

procure por ”double integral calculator”(calcula o valor de um integral duplo)

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Areas e volumes

Propriedades

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Aplicacoes

Mudanca devariaveis

Polares

Polares gener.

Applets

Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

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