04 preliminares. transformada de laplace

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 4: LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE.

PRELIMINARES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 4. La transformada de Laplace. Preliminares.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática IV (Ecuaciones diferenciales)

para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática IV en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



4.1.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Definición de la transformada de Laplace.

T

ts tdtfetfL0

)()}({ limT

)}({)( tfLsF

Linealidad de la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una operación lineal, esto es, para funciones dadas )(tf y

)(tg para las cuales la transformada de Laplace existe y constantes dadas a y b, se tiene

)}({)}({)}()({ tgLbtfLatgbtfaL

En los problemas siguientes, use la definición para encontrar )}({ tfL .

f (t) dada en forma explícita.

1. taetf )( 2.

7)( tetf 3. 52)( tetf

4. ttf )( 5. tettf 4)( 6.

tettf 32)(

7. )(sen)( ttf 8*. )(cos)( ttf 9. tetf tsen )(

10. tetf t cos)( 11. tttf cos)( 12. tttf sen )(

f (t) dada mediante una función ramificada.

13.

2,0

20,4)(

t

ttf

14.

1,1

10,1)(

t

ttf

15.

4,0

40,)(

t

tttf

16.

1,0

10,12)(

t

tttf

17.

1,1

10,)(

t

tttf

18.

20,1

2,2)(

tt

tttf

19.

1,2

10,)(

tt

tttf

20*.

30,2

3,)(

2

tt

tttf

21.

4,0

42,1

20,0

)(

t

t

t

tf 22.

t

tttf

,0

0,sen )(



23.

2

2

,cos

0,0)(

tt

ttf

24.

t

tttf

0,2

,cos)(

25.

te

t

t

tft 10

1050

502

)(4

26.

0,3cos2cos

0,0)(

ttt

ttf

f (t) dada mediante una gráfica.

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)



(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

Funciones elementales y sus transformadas de Laplace (Teoremas).

)(tf )}({ tfL )(tf )}({ tfL )(tf )}({ tfL

1 1 s

1 9 tcos

22 s

s 17 tcosh

22 s

s

2 t 2

1

s 10 tsen

22

s 18 tsenh

22

s

3 2t 3

!2

s 11 tt cos

222

22

)(

s

s 19 tt cosh

222

22

)(

s

s

4 nt (n = 1,

2,…) 1

!ns

n 12 tt sen

222 )(

2

s

s 20 tt senh

222 )(

2

s

s

5 at (a > 0) 1

)1(

as

a 13 te ta cos 22)(

as

as 21 te ta cosh 22)(

as

as

6 tae as

1 14 te ta sen 22)(

as 22 te ta senh 22)(

as

7 taet 2)(

1

as 15 tet ta cos 222

22

])[(

)(

as

as

23 tet ta cosh 222

22

])[(

)(

as

as

8 tanet 1)(

! nas

n 16 tet ta sen 222 ])[(

)(2

as

as24 tet ta senh 222 ])[(

)(2

as

as



En los problemas siguientes, use los teoremas para encontrar )}({ tfL .

41. 5)( ttf 42.

42)( ttf 43. 23)( ttf

44. 104)( ttf 45. 3)( ttf 46. 37)( ttf

47. 36)( 2 tttf 48. 9164)( 2 tttf 49. 22 )1()( ttf

50. 23 52)( tttf 51. 8117)( 3 tttf 52.

34 43)( tttf

53. 236 632)( ttttf 54.

3)1()( ttf 55. 3)12()( ttf

56. 22 )364()( tttf 57.

32 )944()( tttf 58. tetf 41)(

59. tt eetf 64)( 3 60.

tt eetf 362)( 61. ttt eeetf 2)(

62. 697)( 35 tt eetf 63. tettf 3)( 64. 5)( 92 tettf

65. 22 )1()( tetf 66.

23 )1()( tetf 67. 2)()( tt eetf

68. ttf 2sen 4)( 69. ttf 6sen 5)( 70. ttf 5cos2)(

71. tttf 5sen4 3sen 2)( 72. tttf 7cos5 3sen 4)( 73. tttf 3sen 54)( 2

74. tttf 2sen 5cos)( 75. 2)3cos 3sen ()( tttf 76. )(sen)( tettttf

77. tktf senh )( 78. ttf 3senh )( 79. tetf tsenh )(

80. tktf cosh)( 81. ttf 2cosh3)( 82. tttf 2cosh13)(

83. )3(senh8)( 2 ttf 84. tetf t cosh)( 85. tttf 2cos2sen)(

86. ttf 2cos)( 87. tttf 2coscos)( 88. tttf 2sen sen )(

89. sen)( 3ttf 90. ttttf 3cos2sen sen )(

4.2.- LA TRANSFORMADA INVERSA.

La transformada inversa.

)(tf es la transformada inversa de Laplace de )(sF : )}({)( 1 sFLtf



Linealidad de la transformada inversa de Laplace.

La transformada inversa de Laplace es una operación lineal, esto es, para funciones dadas

)(sF y )(sG para las cuales la transformada inversa de Laplace existe y constantes dadas

a y b, se tiene:

)}({)}({)}()({ 111 sGLbsFLasGbsFaL

)()()}()({1 tgbtfasGbsFaL

Condición necesaria para que una función F (s) sea la transformada de Laplace de

una función )(tf .

0)(lim

sFs

.

Si 0)(lim

sFs

, entonces )}({1 sFL no existe.

Tabla de algunas transformadas inversas de Laplace.

)(sF )(tf

1 ns

1

)!1(

1

n

t n

2 s

1

t

1

3 23

1

s

t

2

4 as

1

)(

1

a

t a

5 nas )(

1

tan et

n

1

)!1(

1

6 kas )(

1

tak et

k

1

)(

1

7 )()(

1

bsas tbta e

abe

ba )(

1

)(

1

8 )()( bsas

s

tbta e

ab

be

ba

a

)()(

9 2)(

1

as

taet



10 2)( as

s

taeta )1(

11 2)()(

1

bsas

tbta eba

t

bae

ba

)()(

1

)(

122

12 2)()( bsas

s

tbta eba

tb

ba

ae

ba

a

)()()( 22

13 2

2

)()( bsas

s

tbta eba

tb

ba

b

ba

bae

ba

a

)()()(

2

22

14 )()()(

1

csbsas tctbta e

bcace

cbabe

caba )()(

1

)()(

1

)()(

1

15 )()()( csbsas

s

tctbta e

bcac

ce

cbab

be

caba

a

)()()()()()(

16 )()()(

2

csbsas

s

tctbta e

bcac

ce

cbab

be

caba

a

)()()()()()(

222

17 22 s

s )(cos t

18 22

1

s t)(sen

1

19 )(

122 ss

)cos1(1

2t

20 )()(

122 ss

tte t

sen cos1

22

21 )()( 22 ss

s )sen cos(

122

tte ta

22 )()( 22

2

ss

s )sen cos(

1 22

22tte t

23 )()()(

122 sss

tωt

ee tt sen )(cos)(

)()(

11 2

22222222

24 )()()( 22 sss

s ]sen )( cos)[(

)()(

11 2

22222222tωt

ee tt

25 )()()( 22

2

sss

s ]sen )( cos)([

)()(

11 22

222222

2

22

2

tωtee tt

26 )()()( 22

3

sss

s ]sen )( cos)([

)()(

11 322

222222

3

22

3

tωtee tt



27 )(

1222 ss

)sen (1

3tt

28 )()(

1222 ss

222

2222

)(

sen )(cos2]2)([

ttet t

29 )()( 222 ss

s

222

222222

)(

sen 2cos)()]()([

ttet t

30 )()( 222

2

ss

s

222

2222222

)(

sen )( cos2]2)([

ttet t

31 )()( 222

3

ss

s

222

3222222223

)(

sen 2cos)()]3()([

ttet t

32 222 )(

1

s )cossen(

2

13

ttt

33 222 )( s

s t

t

sen

2

34 222

2

)( s

s )cossen(

2

1ttt

35 222

3

)( s

s ttt sen cos

21

36 )()(

12222 bsas

)sen sen ()(

122

tbatabbaba

37 )()( 2222 bsas

s

)coscos(

122

tbtaba

38 )()( 2222

2

bsas

s

)sen sen (

122

tbbtaaba

39 )()( 2222

3

bsas

s

)coscos(

1 22

22tbbtaa

ba

40 44 4

1

s )cossenh sen (cosh

4

13

tttt

41 44 4s

s )cossenh sen (cosh

2

1tttt

42 44

2

4s

s tt

sen senh

2

12

43 44

3

4s

s tt coscosh



En los problemas siguientes, utilice los teoremas para determinar la transformada inversa

dada.

1.

3

1 1

sL 2.

4

1 1

sL 3.

2

1 36

s

sL

4.

3

21 )2(

s

sL

5.

4

31 )1(

s

sL 6.

14

11

sL

7.

25

11

sL

8.

52

1 481

ssL 9.

2

1112

1

sssL

10.

8

1645

1

sssL

11.

2

3

1 12

ssL 12.

9

32

1

s

sL

13.

16

102

1

s

sL 14.

49

52

1

sL 15.

14

42

1

s

sL

16.

14

12

1

sL

17.

9

622

1

s

sL

18.

2

12

1

s

sL

19.

4

3

4

1062

1

ss

sL

Fracciones simples.

La separación en fracciones simples resulta útil para determinar la transformada inversa de

Laplace.

Descomposición de )(

)(

sD

sN en fracciones simples.

El procedimiento siguiente es aplicable sólo a fracciones racionales propias [esto es, si el

grado de )(sD es mayor que el de )(sN ].

Descomponer completamente )(sD en factores de la forma nqsp )( , nas )( 22 y

nabs ])[( 22 .



Esquema para resolver la ecuación fundamental.

Factores lineales.

1. Sustituir en s las raíces de los distintos factores lineales que aparecen en la ecuación

fundamental.

2.- Si hay factores lineales repetidos, usar los coeficientes ya determinados en la parte 1

para reescribir la ecuación fundamental. A continuación sustituir en s otros valores.

Factores cuadráticos.

1. Desarrollar la ecuación fundamental.

2. Agrupar términos según las potencias de s.

3. Igualar los coeficientes de las potencias correspondientes de s, obteniendo así un sistema

de ecuaciones lineales (Aplicación del Método de los Coeficientes Indeterminados).

4. Resolver el sistema lineal.

Nota: Pueden utilizarse números complejos para descomponer factores cuadráticos y

obtener las constantes mediante sustitución, como en el caso de factores lineales.

Factores lineales que no se repiten.

Por cada factor de la forma ii qsp la descomposición en fracciones simples ha de incluir

la siguiente suma de n fracciones:

nn

n

nn qsp

A

qsp

A

qsp

A

qspqspqsp

sN

22

2

11

1

2211

1

)()()(

)(

En los problemas siguientes, utilice la separación en fracciones parciales y los teoremas

para determinar la transformada inversa dada.

20.

)3()1(

111

ss

sL

21.

)2.0()1.0(

9.01

ss

sL

22.

)3()3(

31

ss

sL 23.

)6()3()2(

1

sss

sL

24.

)2()1()1(

121

ssss

sL 25.

16

12

1

sL



26.

25

102

1

s

sL

27.

ssL

3

12

1

28.

ss

sL

4

12

1

29.

322

1

ss

sL

30.

20

12

1

ssL

31.

652

1

ss

sL

32.

)34()2(

422

1

sss

sL

33.

)3()2(

112

1

sss

sL

34.

)5()4(

12

1

sss

sL

Factores cuadráticos que no se repiten.

Por cada factor de la forma 22

ias y 22)( ii abs la descomposición en fracciones

simples ha de incluir la suma de las siguientes fracciones:

222

2

2

22

2

1

2

11

222

2

22

1

2

1

)()()(

)(

n

nn

n as

CsB

as

CsB

as

CsB

asasas

sN

222

2

2

2

222

2

1

2

1

111

222

2

2

2

2

1

2

1

1

)(

)(

)(

)(

)(

)(

])[(])[(])[(

)(

nn

nnn

nn abs

CbsB

abs

CbsB

abs

CbsB

absabsabs

sN

En los problemas siguientes, determinar la transformada inversa dada.

35.

)4(

122

1

ssL 26.

)1(

122

1

ss

sL 37.

)(

1222

1

ssL

38.

)2()4( 2

1

ss

sL

39.

)4()1(

122

1

ssL

40.

)4()1(

3622

1

ss

sL

41.

)3()4(

122

1

ssL

42.

9

14

1

sL

43.

)1(

12

1

sss

sL

Factores cuadráticos que se repiten.

Por cada factor de la forma nas )( 22 y nabs ])[( 22 la descomposición en fracciones

simples ha de incluir la suma de las siguientes fracciones:



n

nn

n as

CsB

as

CsB

as

CsB

as

sN

)()()(

)(22222

22

22

11

22

1

n

nn

n abs

CbsB

abs

CbsB

abs

CbsB

abs

sN

])[(

)(

])[(

)(

)(

)(

])[(

)(22222

22

22

11

22

1


44.

22

21

)1(

)1(

s

sL 45.

96

324

21

ss

ssL

46.

222

21

)2(

22

ss

ssL

47.

24

31

)1(s

sL

4.3.- PROPIEDADES OPERACIONALES.

Teoremas de traslación.

Primer teorema de traslación.

Si )}({)( tfLsF y a es cualquier número real,

)()}({ asFtfeL ta ass

ta tfLtfeL )}({)}({

Escalamiento.

a

sF

atafL

1)}({

En los problemas siguientes, encuentre )(sF .

1. }{ 10tetL

2. }{ 6 tetL

3. }{ 23 tetL

4. }{ 710 tetL

5. }3sen { teL t

6. }4cos{ 2 teL t

7. }3senh { 5 teL t

8.

te

tL

cosh

9. }52{ 224 tetL t

10. })({ 22 tt eetL 11. })1({ 22 teL t

12. }sen{ 2teL t

13. }3cos{ 2 teL t

En los problemas siguientes, encuentre )(tf .



Inmediatas.

14.

3

1

)2(

1

sL 15.

4

1

)1(

1

sL

Completación de cuadrados.

16.

106

12

1

ssL

17.

52

12

1

ssL

18.

542

1

ss

sL

19.

346

522

1

ss

sL

20.

1

122

1

ss

sL

21.

544

122

1

ss

sL

Factores lineales que se repiten.

Por cada factor de la forma nqxp )( la descomposición en fracciones simples ha de

incluir la siguiente suma de n fracciones:

n

n

n qsp

A

qsp

A

qsp

A

qsp

xN

)()()(

)(2

211


22.

2

1

)1(s

sL 23.

2

1

)2(

5

s

sL 24.

2)2()1(

25

ss

s

25. )1()3(

533452

2

ss

ss

26.

22

1

)1(

1

ssL

27.

32

1

)1(

12

ss

sL

28.

)2(

63273

231

ss

sssL 29.

4

21

)2(

)1(

s

sL

La función escalón unitaria.

La función )( atU se define como sigue

at

atatU

,1

0,0)(

Funciones ramificadas en función de escalones unitarios.

atth

attgtf

),(

0),()(

)()]()([)()( atUtgthtgtf



)()()]()0([)()( atUthatUtUtgtf

bttj

btath

attg

tf

),(

),(

0),(

)(

)()]()([)()]()([)()( btUthtjatUtgthtgtf

)()()]()([)()]()0([)()( btUtjbtUatUthatUtUtgtf

En los problemas siguientes, escriba la función dada en términos de funciones escalón

unitaria. Encuentre la transformada de Laplace de cada función.

30.

10,1

1,2)(

t

ttf 31.

3,2

30,2)(

t

ttf

32.

2,0

20,)(

t

tttf

33.

1,

10,0)(

2 tt

ttf

34.

30,2

3,)(

2

tt

tttf

35.

2,0

20,sen )(

t

tttf

36.

20,cos

2,0)(

tt

ttf

37.

23

23

,sen

0,0)(

tt

ttf

38.

5,1

54,0

40,1

)(

t

t

t

tf

Segundo teorema de traslación.

Si )}({)( tfLsF y a > 0, entonces )()}()({ sFeatUatfL sa

Forma alternativa: )}({)}()({ atfLeatUtfL sa

Fórmula útil para la transformada inversa con exponenciales en función de “s”:

)()}({})({ 11 atUsFLesFL att

sa

En los problemas siguientes, encuentre la transformada de Laplace de cada función.

39. })1()1({ tHtL 40. })1()1({ 13 tHetL t



41. })1()22({ 2 tHttL 42. })2({ 2 tHeL t

43. })2({ tHtL 44. })3()13({ tHtL

45. })2({ 2 tHtL 46. })3()94({ 2 tHttL

47. })(sen {2tHtL

48. })(2cos{ tHtL

49. })3()2({ tHetHeL tt

50. })5({ 5 tHetL t

En los problemas siguientes, encuentre )(tf .

51.

3

21

s

eL

s

52.

12

1

s

eL

s

53.

42

12

s

esL

s

54.

2

)1( 221

s

eL

s

55.

)1(

1

ss

eL

s

56.

)1(2

21

ss

eL

s

57*.

842

1

ss

eL

s

Teorema del valor final.

58. Dado que )2()1(

610)(

2

2

sss

sssF

evalúe si existen )0(f y )(f .

Determine los valores inicial y final de )(tf si existen:

59. 64

3)(

23

2

ss

ssF

60. )42()2(

12)(

2

2

sss

sssF

61. Aplicando el teorema del valor final, encontrar el valor final de )(tf cuya

transformada de Laplace se obtiene mediante

)1(

10)(

sssF

Verifique este resultado tomando la transformada inversa de Laplace de )(sF y

suponiendo que t .

62. Sea )3()2(

)1(5)(

ss

ssF



a) Utilice los teoremas de valor inicial y final para encontrar )0(f y )(f .

b) Verifique su respuesta del inciso (a) calcule )(tf utilizando fracciones parciales.

Diferenciación de transformadas de Laplace.

)()}({ sFtftL )()}({ sFsd

dtftL

Si )}({)( tfLsF y n = 1, 2, 3, …, entonces n

nnn

sd

sFdtftL

)()1()}({

En los problemas siguientes, encuentre )(sF .

63. }2cos{ ttL

64. }3senh{ ttL

65. }cos{ 2 ttL

66. }senh { 2 ttL 67. } 6sen { 2 tetL t

68. } 3cos{ 3 tetL t

La transformada inversa de Laplace aplicando diferenciación.

)}({1

)}({ 11 sFLt

sFL

)(1

)}({ 11 sFsd

dL

tsFL

En los problemas siguientes, encuentre )(tF .

69.

22

1

)1(s

sL

70.

22

1

)22(

1

ss

sL

En los ejercicios siguientes, use n

nnn

sd

sFdtftL

)()1()}({ en la forma

( 1n )

)(1

)( 1 sFsd

dL

ttf para calcular las transformadas inversas de Laplace que se

indican.

71.

1

3ln1

s

sL 72.

4

1ln

2

21

s

sL

73.

2tan

2

11 sL

74.

ssL

4cot

1 11

Demuestre que



75. t

e

sL

t

111ln1 76.

t

tsL

sen }tan{ 11

Transformada de una derivada.

Primera derivada.

)0()}({)}({ ftfLstfL )0()()}({ ysYstfL

)0()}({ yYstfL

Segunda derivada.

)0()}({)}({ ftfLstfL )0()]0([)}({ yyYsstfL

)0()0()}({ 2 yysYstfL

Tercera derivada.

)0()}({)}({ ftfLstfL )0()]0()0([)}({ 2 yyysYsstfL

)0()0()0()}({ 23 yysysYstfL

77. Sea

0

01)(

tSit

tSitf . Encuentre })({ tfL y })({ tfL y verifique si se cumple

que )0(})({})({ ftfLstfL .

Transformada de Laplace de una integral.

)}({1

})({0

tfLs

dfLt

)(1

})({0

sFs

dfLt

t

dfsFs

L0

1 )()(1

En los ejercicios siguientes, determine la transformada de Laplace dada.

78. } cos{0

t

deL 79. }sen {

0t

dL

80. } {0

-t

t

deL 81. })(cossen {

0 t

dtL

82. }sen {0t

dtL 83. }{0

t

detL

84. }sen {0

22

tt deeL



Teorema de convolución.

t

dtgftgtf0

)()()(*)( )}({)}({})()({0

tgLtfLdtgfLt

)()(})()({0

sGsFdtgfLt

t

dtgfsGsFL0

1 )()()}()({

En los ejercicios siguientes, determine la transformada de Laplace dada.

85. }1{ 3tL 86. }1{ 2 teL 87. }{ 42 ttL

88. }{ 2 tettL 89. }sen { 2 teL t 90. }cos{ teeL tt

En los ejercicios siguientes, determine la transformada inversa de Laplace dada.

91.

)1(

11

ssL 92.

)2()1(

11

ssL 93.

2

1

)1(

1

sL

94.

)1(

12

1

ssL 95.

22

1

)4(s

sL 96.

22

1

)54(

1

ssL

Transformada de una función periódica.

La transformada de Laplace de una función periódica continua f (t) de periodo T es:

tts

Tstdtfe

etfL

0)(

1

1)}({

En los problemas siguientes, encontrar la transformada de Laplace de la función periódica

que se indica.

(97) Función serpentina (98) Onda cuadrada



(99) Función sierra (100) Onda triangular

(101) (102)

(103) (104)



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

4.1.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Definición básica.

f (t) dada en forma explícita.

1. as

1

2.

1

7

s

e

3. 2

5

s

e

4.

2

1

s

5.

2)4(

1

s

6.

3)3(

2

s

7.

22

s 8*.

22 s

s

9. 22

1

ss

10. 22

12

ss

s

11.

22

2

)1(

1

s

s

12.

22 )1(

2

s

s

f (t) dada mediante una función ramificada.

13.

sess

244

14. s

es

s 12

15.

ss es

ess

44

22

411

16. ss es

esss

3212

22

17. sess

22

11

18. ss e

se

sss

3111 2

22

19. sess

22

21

20*. sss e

se

se

ss

33

2

3

32

3422

21. ss es

es

42 11

22. sess

1

1

1

122

23. s

es

2

1

12

24. ss e

s

se

ss

1

222

25. )4(105

4

122

ss e

sse

s 26.

22

21

22

21

25

s

s

s

s

f (t) dada mediante una gráfica.

27. )1(1 ses

28. )(1 2 ss ees

29. ss es

ess

32 132

30. )1(1

2

ss eses



31. )1(1

2

sess

32. ss es

ess

4

22

111

33. ses

2

1

34. se

ss

2

12

35. sess

222

36. ss e

se

ss

2

222

121

37. ss es

ess

6

2

25

2

2

215

2

5

38. ases

2

1

39. )1(1

2

Tses

40.

)1(124

23

2

1sasa

es

es

a

a

Teoremas.

41. 6

120

s 42.

5

48

s

43. ss

232

44.

ss

1042

45. ss

312 46.

ss

372

47. sss

36223 48.

sss

916823

49. sss

142435 50.

34

1012

ss

51. sss

8114224 52.

45

2472

ss

53. 347

12181440

sss

54.

ssss

1366234

55. ssss

161248234 56.

sssss

936242883842345

57. sssssss

7299722540!3800!4240!5192!664234567

58. 4

11

ss 59.

1

6

3

4

ss

60. 3

6

1

2

ss 61.

2

1

1

1

1

1

sss

62. sss

6

3

9

5

7

63.

1

1312

sss

64. sss

5

9

113

65. 4

1

2

21

sss



66. 6

1

3

21

sss 67.

2

12

2

1

sss

68. 4

82

s

69. 36

302 s

70. 25

22

s

s

s 71.

25

20

9

622

ss

72. 49

5

9

1222

s

s

s 73.

9

15823

ss

74. 4

2

25 22

ss

s

75.

36

612

ss

76. 322 )1(

1

)1(

2

ss

s

77. 22 ks

k

78. 9

32 s

79. 1)1(

12 s

80. 22 ks

s

81.

4

32 s

s

82. 4

21322

s

s

ss 83.

ss

s 4

36

42

84. 1)1(

12

s

s

85. 16

22 s

86.

4

1

2

12s

s

s

87.

192

122 s

s

s

s

88.

912

122 s

s

s

s

89. 9

3

1 22

43

ss

90.

ss

s

s

s

s

s 1

361644

1222

4.2.- LA TRANSFORMADA INVERSA.

1. 2

21 t 2. 3

61 t

3. t36 4. 2241 tt

5. 3

612

2331 ttt

6.

te 4

1

41

7.t

e 5

2

51

8. 42tt

9. tet 21 10. tet 84

414

11.

ttt 45

12013

32

12. t3cos3

13.

t4cos10

14. t7sen75

15. )(cos

21 t

16. )(sen

21

21 t



17. tt 3sen 23cos2 18. )2(sen )2(cos2

1 tt

19. tett 432sen 52cos6 20. tt ee 323 21. tt ee 2.01.0 6.03.0 22. )3(senh 3)3(cosh tt

23. ttt eee 2

216

213 24. ttt eee 2

65

31

21

25. t4senh 41

26. t5cosh10

27. te 3

31

31

28. tt 3sen 23cos2

29. tt ee 3

43

41

30. tt ee 5

914

91

31. tt ee 32 32 32. ttt eee 3

512

158

31

33. ttt eee 32 23

34. tt ee 5

4544

365

151

35. tt 2sen

81

41

36. ttt sen cos1

37. )sen(1

3tt

38. tte t 2sen 2cos

41

412

41

39. tt 2sen sen 31

31

40. tttt 2sen 2cos2sen cos2

21

41. )3(sen 2sen 3

121 tt

42.

tteet

3

312

13

312

1

36

1 )3(sen

43. )(sen )(cos12

3

3

12

3 2

1

2

1

tetett

44. tttt sen sen cos

45. )3(cos)3(sen 61

36

7 tt

46. )2(sen )2(sen )2(cos22

1

22

121

21

21 ttttt

47. ttetet tt sen 81

161

161

4.3.- PROPIEDADES OPERACIONALES.

Teoremas de traslación.

Primer teorema de traslación.

1. 2)10(

1

s

2. 2)6(

1

s

3. 4)2(

6

s

4. 11)7(

!10

s

5. 9)1(

32 s

6. 16)2(

22

s

s

7. 9)5(

32 s

8. 1)1(

12

s

s

9. 35

102

)2(

24

sss

10.

222 )4(

1

)3(

2

)2(

1

sss

11. 2

1

)2(

2

)2(

223

sss

12.

4)1(

1

1

1

2

12s

s

s



13.

36)1(

1

1

1

2

12s

s

s Inmediatas.

14. tet 22

21 15. tet 3

61

Completación de cuadrados.

16. te tsen 3

17. te t 2sen 21

18. tete tt sen 2cos 22 19. tete tt 5sen 5cos2 3

513

20. )(sen )(cos22

3

5

42

32

1

2

1

tetett

21. tetettsen cos 2

1

2

1

21

21

Factores lineales que se repiten.

22. tt ete 23. tt ete 22 105 24. ttt etee 22 833 25. ttt eete 623

26. tt etet 22 27. ttt etetet 2

23455

28. tet 22

23 61 29. ttt etetet 23

61222

La función escalón unitaria.

30. )1(1)( tHtf , sess

sF 11

)(

31. )3(42)( tHtf , sess

sF 342)(

32. )2(2)2()2()2()( tHtHtttHtttf , ss es

ess

sF 22

22

211)(

33. )1()1()1(2)1()1()1()( 22 tHtHttHttHttf ,

sss es

es

es

sF 122

)(23

34. )3()2(2)( 2 tHttttf , ses

sF 3

2

2)(

35. )2(sen sen )( tHtttf , sess

sF 2

22 1

1

1

1)(

36. )2(coscos)( tHtttf , ses

s

s

ssF 2

22 11)(

37. )(sen )(23 tHttf ,

se

s

ssF

2

3

1)(

2

38. )5()4(1)( tHtHtf , ss es

ess

sF 54 111)(

Segundo teorema de traslación.

39. ses

2

1 40. se

s

4)1(

!3



41. sess

123

42. se

s

2

1

1

43. sess

2

2

21

44. se

ss

3

2

103

45. sesss

2

23

442

46. sesss

2

23

622

47. s

es

s 2

1

12

48 se

s

s

42

49. ss es

es

3322

1

1

1

1

50. ss e

se

s

5

2

5

)1(

1

1

5

51. )2()2( 2

21 tHt 52. )(sen tHt

53. )( )2(cos21 tHtt 54. )4()2(2 )4(2)2(22 tHetHee ttt

55. )1(]1[ )1( tHe t

56. )2()4( 2 tHet t

57*. )( )2(sen )(2

21 tHte t

Teorema del valor final.

58. 0 y 3. 59. 5 y 0

60. 1 y ∞. 61. 10

62. a) 5 y 0; b) 5 y 0.

Derivada de una transformada.

63. 22

2

)4(

4

s

s

64. 22 )9(

6

s

s

65. 32

3

)1(

62

s

ss 66.

32

2

)1(

26

s

s

67. 22 ]36)2[(

2412

s

s

68. 22

2

]9)3[(

)3(9

s

s

69. tt sen

21 70. tet tsen

21

71. t

ee tt 3

72.

t

tt cos22cos2

73. t

t2sen

74. 1

2

2sen

t

t

Transformada de una derivada.

Transformada de una integral.

78. ]1)1[(

12

ss

s

79. 22 )1(

2

s

80. )1(

12 ss

81. 22 )1( s

s



82. 222

2

)1(

13

ss

s

83. 22 )1(

12

ss

s

84. )1()2(

22 ss

s

Teorema de convolución.

85. 5

6

s 86.

)2(

1

ss

87. 8

48

s 88.

23 )1(

2

ss

89. )2()1(

12 ss

90. ]1)1[()1(

12

ss

s

91. te1 92. tt ee 2

31

31

93. tet

94. tcos1 95. tt 2sen

41

96. )cossen (2

21 ttte t

Transformada de una función periódica.

97. )1(

1

)1(

)1(2

2

sa

sa

sa

sa

es

e

es

e

98.

)1(

1saes

99.

1

111saesas

100. )1(

12 s

s

es

e

101. 1

)2/(coth2 s

s 102.

)1()1(

12 ses

103. 1

12 s

104. 12 s

s

Education

04 preliminares. transformada de laplace