Transformada Laplace Directa Laplace Ejercicios Resueltos

UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.Ejercicios Resueltos de Transformada Directa de Laplace. 1 / 23

Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA DIRECTA DELAPLACE

INTRODUCCION.

A continuación se desarrollan una serie de ejercicios de Transformada Directa de Laplace con elobjeto de establecer una metodología básica para la solución de esta clase de transformación.

Se inicia, con ejercicios muy simples para utilización directa de la tabla de pares de transformadade Laplace, incrementandose posteriormente y de manera gradual el nivel de dificultad a objeto de utilizarla tabla de propiedades de la transformada en conjunto con la regla de la cadena, para finalmente aplicarla tabla de pares de transformada y establecer la solución al problema planteado.

En relación al párrafo anterior, el último problema es desarrollado por dos métodos distintos haobjeto de demostrar la importancia de la correcta selección de las propiedades ha aplicar al momento deiniciar la solución de problema (precedencia en las propiedades). Esto con el objeto de tomar el caminomás “económico” desde el punto de vista del esfuerzo al momento de resolver el problema.

Por otra parte, se han tomado algunos de los problemas mas representativos desde el punto de vistaconceptual para mostrar gráficamente el significado, y valores característicos, de la transformación de lavariable “tiempo” a la variable compleja “S” por la utilización de gráficas en 2D y 3D.

Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están adisposición del publico en otro apartado, para que el interesado en el área experimente y modifique losparámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.

Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TDLE01, el cualsignifica: Transformada Directa de Laplace Ejercicio 01, de manera tal de no perder el enlace entre elejercicio resuelto y la codificación en Matlab.


( )

( ){ } { } { }

( ){ } ( )( )

{ }

f t tSolución

f t t t

f tS S S

F s

tS

Parn

=

= =

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= =+

=

=

=

+

7

7 7

1 7 70

77

61

1 1 2 2

2

:

!

L L L

L

L

7

Ejercicio: TDLE01

Obtenga la Transformada Directa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L f t F s=de tablas y propiedades.



( )

( ){ } { } { }

( ){ } ( ) ( )

{ } ( )

f tSolución

f t

f tS S

F s

S

e

e e

e

t

t tPar

t

=

= =

=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=+

=

=+

−

− −=

−

5

5 5

51

35

3

55

3

3

3 37

3

3

:

L L L

L

L

σ

Ejercicio: TDLE02




( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

f t sen tSolución

f t sen t sen t

f tS S

F s

sen tS

Par

=

= =

=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=+

=

=+

=

2 4

2 4 2 4

24

48

16

2 48

4

94

2 2 2

2 2

:

L L L

L

L

ω

Ejercicio: TDLE03




( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

f t tSolución

f t t t

f tS

SS

SF s

tS

S

Par

=

= =

=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=+

=

=+

=

3 5

3 5 3 5

35

325

3 53

5

105

2 2 2

2 2

cos:

cos cos

cos

L L L

L

L

ω

Ejercicio: TDLE04




( ) ( )

( ){ } ( ){ } { }

( ){ } { } { } { } { } ( )

( ){ } { } { } { } ( ){ }

( ){ }

( ){ }

f t tSolución

f t t t t t

f t t t t

f t t t t u t

f tS S S S

f t

propiedad

Por Definiciónu t

Parn n n

= +

= + = + + +

= + + +

= + + +

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+ ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

=

= = =

+ + +

2

2 6 12 8

6 12 8 1

6 12 8

36

212

18

1

6

3

3 3 21

3 21

3 26

3 2 1

3 1 2 1 1 1

:

! ! !

L L L

L L L L L

L L L L L

L

L

( ){ }

S S S S

tS S S S

4 3 2

34 3 2

12 12 8

26 12 12 8

+ + +

+ = + + +L

Ejercicio: TDLE05



( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( )

( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } { }

( ){ } ( )

( ){ }

f t t u tSolución

f t t u t t u t

f t g t a g t t

f tS S

F s

t u tS

propiedadg t t

a

aSParne

=

= =

= + = =

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= =

=

==

−=

+

4

4 4

4 4 1 4

43 24

424

3

3 34

3

0

36

3

3 1 4

34

:

!

L L L

L L L L

L

L

Ejercicio: TDLE06



( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } { }

( ){ } ( )

f t t u tSolución

f t t u t t u t

f t g t G S f t

g t t u t

g t h t u t b h t b h t t

g tS S

G s

regresando en

e

e e

e

e

t

t tpropiedad

g t t u ta

at

propiedadh t t

b

bSParn

=

= =

= = + =

=

= − = + = =

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= =

−

− −=

=

−

==

−=

+

6

6 6

6 6 5

1

2 2

2 5

2 5 2 55

2

5

24

2

0

26

2

2 1 3

:

!

*

L L L

L L L

L L

L L L L L

L

( ) ( )( )

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

la regla de la cadena

G sS

G SS

f tS S

t u tS

e t

:

= ⇒ + =+

=+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+

=+

−

25

25

62

512

5

612

5

3 3

3 3

2 53

L

L

Ejercicio: TDLE07





( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

f t sen t u tSolución

f t sen t u t

f t g t u t g t sen t

f t h t H S f t

h t sen t

h tS

H s

regresando en la regla de la cadena

H sS

H

e

e

e

e

t

tpropiedad

g t e t sen ta

tpropiedad

h t sen tb

bt

Par

=

=

= = =

= = + =

=

=+

=

=+

⇒

−

−= −

=

−=

=

−

=

10 20

10 20

10 10 10 20

10 10 5

20

2020

2020

5

54

5 200

55

205

920

2 2

2 2

:

*

L L

L L L L

L L L

L L

L

ω

( )( )[ ]

( ){ }( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ){ }( )[ ]

SS

f tS S

sen t u tS

e t

+ =+ +

=+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=+ +

=+ +

−

520

5 20

1020

5 202005 20

10 202005 20

2 2

2 2 2 2

52 2

L

L

Ejercicio: TDLE08





( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ){ }


f t sen t u t

f t g t u t g t

f t sen t sen t

f t sen t

f t h t

e

e

e e e

e e

e e e

t

tpropiedad

g t e t sen ta

t t

tpropiedad

h t sen tb

bt

= −

= −

= =

= − = −

= −

= =

− +

− += − + −

=

− + −

−= −

=

−

7 3 6

7 3 6

7 7

7 3 6 7 3 6

7 3 6

7 7

2 4

2 44

2 4 3 60

2 4 2 4

4 25

3 62

4 4

:

L L

L L LL L L

L L

L L ( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

H S f t

h t sen t

h t sen t t sen

h t sen t sen t

Descomposiciónpor ángulo

doble

propiedad

Pares y

+ =

= −

= −

= − =

2

3 6

3 6 3 6

6 3 6 3

1

9 103

L

L L

L L

L L L

cos cos

cos cos ω

Ejercicio: TDLE09



( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

L

L

L

h tS

senS

SH s


H sS

S senS

H SS

S senS

f tS sen

S

sen t u tS sen

S

e

e et

=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

=+

−⋅

+⇒ + =

+ +−

++ +

=− +

+ +

− =− +

+ +− +

cos

*

cos cos

cos

cos

63

36

9

3 69

69

23 6

2 92 62 9

7 3 6 2 62 3

7 3 67 3 6 2 6

2 3

2 2 2

2 2 2 2

4

2 2

2 44

2 2


( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( )[ ] ( )[ ]{ }

( ){ } [ ] [ ]{ }

( ){ }


f t sen t u t

f t g t u t a g t a

f t g t sen t

f t sen t

f t sen

e

e

e

e e e

e e

e e

t

tpropiedad

g t e t sen ta

aS

S S t

S t

S t

= − −

= − −

= − = +

= + = + −

= + −

=

− +

− += − + −

=

−

− − − + +

− − − +

− −

2 4

2 44

2 4 3 62

2 2 2 2 4

2 2 4 4

2 2

3 6 2

3 6 2

2 3 2 6

3 6 6

:

L L

L L L

L L L

L L

L L ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( )

3

2

3

39

53

2

2 2

93

2

t

f t h t H S f t

h t sen t

h tS

H s

propiedadh t sen t

b

S bt S

Par

e e e

==

− − −

=

= = + =

=

=+

=

L L L

L L

L

ω

Ejercicio: TDLE10 - A



( ) ( )( )[ ]

( ){ }( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ){ } ( )[ ]

* regresando en la regla de la cadena

H sS

H SS

f tS S

e sen t u tS

e e

e

SS

tS

=+

⇒ + =+ +

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+ +

− − =+ +

−−

− +−

33

2 32 3

32 3

32 3

3 6 2 32 3

3 2 2 2

22 2

2

2 2

2 42

2 2

L

L


( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( )( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( ){ }


f t sen t u t e e e

f t sen t u t

f t sen t u t

f t g t G s a

f t G s

g t sen t u t

e

e

e e

e e

e e ee

t

t identidad

t

tpropiedad

ag t sen t u t

at

x y x y

= − −

= − −

= − −

= − −

= = +

= +

= − −

− +

− += ⋅

−

−=

= − −

−

+

2 4

2 4

2 4

4 25

23 6 2

4 4

4

3 6 2

3 6 2

3 6 2

3 6 2

2

3 6 2

:

L L

L L

L L

L LL

L L

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( )( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]( ){ }

identidaddescomposición

ángulo doble

propiedad

propiedad b

h t sen tk t t

bS bS

S

g t sen t t sen u t

g t sen t u t sen t u t

g t h t u t b sen k t u t b

g t h t b sen k t b

g t h t sen k t

g t

e eee

L L

L L L

L L LL L LL L LL

= ⋅ − ⋅ −

= − − −

= − − −

= + − +

= + − +

=

==

− −

−

3 6 3 6 2

6 3 2 6 3 2

6 6

6 6

6 2 6 2

1

42

33

2

cos cos

cos cos

cos

cos

cos

cos

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ }[ ]− + − +2 6 3 2 6 3 2S sen t sen tcos cosL L

Ejercicio: TDLE10 - B



( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]

( ){ } ( ){ }

L L L

L L L

L L L L L

L L L

L L

g t sen t sen t

g t sen t t sen sen t sen t sen

g t sen t sen t sen t sen sen t

g t sen t sen sen t

g t sen t

e

e

e

e

e

Sidentidad

descomposición porángulo doble

S

S

S

S

= + − −

= − − −

= + − +

= +

=

−

−

−

−

−

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

6 3 6 6 3 6

6 3 6 3 6 6 3 6 3 6

6 3 6 6 3 6 6 3 6 3

6 3 6 3

3

cos cos

cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos

cos

cos ( ) ( )[ ][ ]( ) ( )

( ){ } ( ){ }[ ]

( ){ } ( )

( ){ } ( )

( ){ }( )

( ) ( ) ( )

6 6

3

33

33

2

32 3

32 3

32 3

2

1

29

22 2

2

2 2

4

42 2

2 2

4 4 2

2 2

2

2 2

2 2+

=

=+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= +

=+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=+ +

=+ +

+ =

−

−−

− +− − −

sen

g t sen t

g tS S

G s


f t G S

f tS

S S

identidadtrigonometrice

sen

Spar

SS

SS S

e

e e

e

e e e e e e

e

cos α α

L L

L

L

L

L ( ) ( ){ }( )[ ]

− +−

− − =+ +

2 42

2 23 6 2 3

2 3t

S

sen t u tS

e

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