ГЛАВА 8

ЕЛАСТИЧНА ЛИНИЯ

8.1. ДЕФИНИРАНЕ НА ПРОВИСВАНЕ И ЗАВЪРТАНЕ НА НАПРЕЧНО СЕЧЕНИЕ НА ГРЕДА

Разглежда се права греда, натоварена с външни сили, разположени в една от главните й централни инерционни равнини. Това е случаят на специално огъване. Тогава след деформирането на гредата оста й лежи в тази равнина.

На Фиг. 8.1 е показана конзолна греда, натоварена с концентрирана сила в свободния си край. Означени са две положения на оста на гредата – преди и след деформирането й. В мястото на запъването е въведена декартова координатна система. Оста съвпада с оста на гредата, а оста е насочена надолу. Осите и са главни централни инерционни оси на напречното сечение.

Фиг. 8.1: Конзолна греда преди и след деформирането

Разглежда се произволно напречно сечение от гредата, дефинирано с абсциса . Центърът на тежестта му след деформирането на гредата заема положение . Поради това, че дължината на отсечката е малка спрямо дължината , то може да се приеме, че отсечката

е перпендикулярна на хоризонталата. Пренебрегва се преместването на точката по направление на оста .

По дефиниция провисване на произволно напречно сечение от гредата е преместването на центъра на тежестта на това сечение. Това преместване е перпендикулярно на оста

на гредата. Означава се с буквата .Ако във всички сечения на гредата определим тези провисвания, то ще бъде известно

нейното ново положение. Оста на гредата след деформирането се нарича еластична линия.При това специално огъване се приема, че е в сила хипотезата на Jacob Bernoulli (1654-

1705). Съгласно с нея всяко равнинно сечение, перпендикулярно на оста на гредата, остава равнинно и перпендикулярно на деформираната й ос. На Фиг. 8.1 са показани двете положения на произволното напречно сечение с абсциса . Означен е и ъгълът между тях.

l0

x

C

C’

F

α(x)

α(x)

w(x)|

x

z

F

y

По дефиниция ъгъл на завъртане на произволно напречно сечение е ъгълът между равнината на това сечение преди и след деформирането.

В повечето задачи от практиката при изследване на огъване на прави греди освен темата за възникващите напрежения се дискутира и тази за коравината на гредата. Необходимо е гредата да не се деформира повече от допустимото. В противен случай големите премествания ще окажат неблагоприятен ефект не само върху нея, а и върху съседните конструктивни елементи. В реалните конструкции провисванията на гредите са значително по-малки от техния отвор. Максимално допустимото провисване се определя като част от дължината на гредата , например .

Положението на оста на гредата след деформацията е напълно познато, ако се определят провисването и ъгълът на завъртане на произволно напречно сечение от гредата. Тези две величини зависят от координатата на това сечение. На Фиг. 8.1 се вижда, че ъгълът на завъртане е равен на ъгъла, който тангентата в точка сключва с оста . Ъгловият коефициент в точка на оста на гредата след деформирането е . Поради това, че ъгълът на завъртане е малък, може да се приеме, че . Оттук следва и важната зависимост между функцията на провисванията и функцията на завъртанията :

. (8.1)Тогава може да се направи изводът, че положението на оста на гредата след

деформирането е напълно познато, ако се определи функцията .

8.2. ИЗВОД НА ДИФЕРЕНЦИАЛНОТО УРАВНЕНИЕ НА ЕЛАСТИЧНАТА ЛИНИЯ НА ПРАВА ГРЕДА

Разглежда се греда, натоварена във вертикалната равнина , например гредата на Фиг.8.1. Тогава огъващият момент има направление на оста . В главата за специално огъване на прави греди с постоянно напречно сечение е показано, че при действие на огъващ момент

спрямо главната централна инерционна ос гредата се огъва и кривината на огъване е

. (8.2)

С е означен модулът на линейна деформация на материала. е радиусът на кривината на оста на гредата след деформирането, а е главният централен инерционен момент за оста . Величината е коравината на огъване.

Ако върху гредата действат и напречни сили, то оста й няма да се огъне по дъга от окръжност. При изводите се допуска, че уравнение (8.2) е в сила за всяко сечение от гредата с момент . Видно е, че за греда с постоянна коравина на огъване , ако огъващият момент

се мени, то ще се променя и радиусът на кривината . Оста на фиг. 8.1 е насочена надолу. Това е удобно, защото при повечето практически

задачи натоварванията са такива, че предизвикват вертикални премествания, насочени надолу.

Кривината на еластичната линия в точка от фиг. 8.1 се изразява чрез функцията по известната формула от математиката:

. (8.3)

След приравняване на десните страни на уравнения (8.2) и (8.3) се получава точното уравнение на еластичната линия.

. (8.4)

Това диференциално уравнение е нелинейно. То се интегрира трудно и затова в този вид не се прилага в инженерната практика. Уравнението се преобразува, като се вземе пред вид, че в повечето практически задачи реалните премествания са доста малки спрямо отвора на

гредата и завъртанията са от порядъка от 0,001 до 0,01 rad. Тогава стойността на

в знаменателя ще бъде също малка спрямо единица и с достатъчна точност уравнение

(8.4) може да се напише в следния вид:

. (8.5)

Трябва да се прецени кой от знаците в лявата част на това уравнение е меродавен. На Фиг. 8.2 са показани деформирани елементи от гредата при действие на положителен и съответно на отрицателен огъващ момент .

Фиг. 8.2: Деформирани елементи от гредата под действие на

От математиката е известно, че втората производна на една функция е положителна, ако в положителната посока на ординатната ос кривата е вдлъбната, и е отрицателна – при изпъкналост на кривата.

Тогава от показаното на Фиг. 8.2 може да се направи заключението, че функциите и винаги са с противни знаци.

Приближеното диференциално уравнение (8.5) на еластичната линия приема вида:.

(8.6)Съществуват различни методи за определяне на напречните премествания в греди.

Изборът на метода зависи от това дали се търси еластичната линия или преместванията само в конкретни сечения от гредата.

8.3. МЕТОД НА НЕПОСРЕДСТВЕНОТО ИНТЕГРИРАНЕ НА ДИФЕРЕН-ЦИАЛНОТО УРАВНЕНИЕ НА ЕЛАСТИЧНАТА ЛИНИЯ

w”(x) > 0w”(x) < 0

x

My > 0 My > 0My < 0 My < 0

x

z z

Този метод е подходящ, когато се търси еластичната линия, а не само напречно преместване в някое сечение на гредата.

8.3.1. ГРЕДИ С ПОСТОЯННО НАПРЕЧНО СЕЧЕНИЕВ този случай коравината на огъване е постоянна по дължината на гредата. В

уравнение (8.6) от зависят само и . Това уравнение може да се интегрира лесно и от него се получава функцията на напречните на оста на гредата премествания, а също и функцията на завъртанията на напречните сечения. Интегрирането може да се покаже най-общо, както следва:

; (8.7)

. (8.8)

Интеграционните константи и се определят от кинематични (геометрични) гранични условия. Те отразяват начина на подпиране на гредата и се отнасят за напречното преместване и за завъртането .

а) проста греда, натоварена с два равни по големина и с обратна посока моменти в двата края.

Фиг. 8.3: Проста греда, натоварена с два момента в краищата

При това натоварване огъващият момент е постоянен и е в сила . Тогава диференциалното уравнение (8.6) приема вида:

. (8.9)

След интегриране се получават изразите за функциите и ; (8.10)

. (8.11)

За определяне на интеграционните константи и се използват кинематичните гранични условия. В двата края на гредата вертикалните премествания са равни на нула, т.е.

. (8.12)За интеграционните константи се получават следните стойности:

. (8.13)Тогава изразите за функциите и приемат вида:

; (8.14)

. (8.15)

x

l

x

z

x

x

z

MyM M M

Vz

N

б) проста греда, натоварена напречно на оста с равномерно разпределен товар

Фиг. 8.4: Проста греда, натоварена с равномерно разпределен товар

Функцията на огъващия момент се представя в следния вид:

(8.16)

Тогава диференциалното уравнение (8.6) за еластичната линия е.

(8.17)От него след интегриране се получават функцията на завъртанията и функцията на

напречните на оста на гредата премествания :

;

(8.18)

. (8.19)

След отразяване на граничните условия, както в предния пример, т.е. (8.12), се намират интеграционните константи:

. (8.20)

Тогава изрази (8.18) и (8.19) приемат вида:

;

(8.21)

. (8.22)

в) конзолна греда, натоварена с вертикална сила в свободния край

Фиг. 8.5: Конзолна греда, натоварена с вертикална сила в свободния край

xl

x

z

x

x

z

Myq

0,5ql 0,5ql 0,5ql VzN

x/2

x

qx

x

l

x

z

x

x

z

MyF

F F

FlFl

Vz

N

B

В този случай изразът за огъващия момент е (8.23)

и следователно . (8.24)

Функциите на завъртанията и на вертикалните премествания на напречните сечения на гредата са:

; (8.25)

. (8.26)

Кинематичните гранични условия отразяват факта, че преместването и завъртането в мястото на запъването са равни на нула, т.е.

. (8.27)

От тях се получават нулеви интеграционни константи. (8.28)

Изрази (8.25) и (8.26) приемат вида:

; (8.29)

.

(8.30)

Верикалното преместване в свободния край на гредата, т.е. при е .

г) конзолна греда, натоварена напречно на оста с равномерно разпределен товар

Фиг. 8.6: Конзолна греда, натоварена с равномерно разпределен товар

Огъващият момент в сечение с абсциса е

. (8.31)

Тогава диференциалното уравнение на еластичната линия приема вида:.

(8.32)След последователно интегриране два пъти се получава:

; (8.33)

xl

x

z

x

x

z

My

ql

25.0 qlq

25.0 ql

ql

q

VzNB

. (8.34)

Кинематичните гранични условия за определяне на интеграционните константи са като (8.27). Затова и при тази конзолна греда .

Функцията на напречните премествания и тази на завъртанията на напречните сечения имат вида:

; (8.35)

. (8.36)

В свободния край вертикалното преместване е .

д) греда, състояща се от два или повече участъка с различни закони за изменение на огъващите моменти

В този случай за всеки от участъците изразите за функцията на вертикалните премествания и за тази на завъртанията са различни. Ако участъците са на брой, то броят на търсените интеграционни константи е . За тяхното определяне освен кинематичните гранични условия в местата на опорите трябва да се запишат и кинематични условия на границите на участъците. В Таблица 8.1 са показани различни видове такива условия.

Таблица 8.1

След определяне на всички интеграционни константи се записват изразите за функциите и за всички участъци. Така се получава еластичната линия на цялата греда.

Задача 8.3.1: Показаната на Фиг. 8.7 греда има постоянна коравина на огъване . Дължините на двата участъка са функция на даден параметър . Гредата е натоварена със силата . Да се определят с метода на непосредственото интегриране функциите на напречните премествания и тази на завъртанията за двата участъка.

С

С

С

Фиг. 8.7: Проста греда, натоварена с вертикална сила За всеки от двата участъка се определя изразът за момента , замества се в уравнение

(8.6) и то се интегрира два пъти.

Участък АС:

; ;

; .

Участък СВ:

; ;

; .

За определяне на четирите интеграционни константи се записват кинематични гранични условия. Първите две отразяват факта, че в местата на двете опори вертикалните премествания са възпрепятствани, т.е.

; .

F

С

A B

x

y

zx x

a 3a3F/4F/4

3F/4

A

x

N

Qz

My

F/4

B

3a-x

N

Qz

My

Другите две условия се отнасят за сеченията, намиращи се безкрайно близо вляво и вдясно от сечение С, което е на границата на двата участъка. Там вертикалните премествания и завъртанията са равни, т.е.

; .Получават се следните уравнения за интеграционните константи:

;

;

;

.

От тях се получават ; ; ; .

Така търсените функции на вертикалните премествания и на завъртанията на сеченията в двата участъка добиват вида:

; ;

; .

8.3.2. ГРЕДИ С ПРОМЕНЛИВО НАПРЕЧНО СЕЧЕНИЕПри тези греди напречното сечение се изменя по дължината на гредата или плавно, или

стъпаловидно. Тогава инерционният момент не е постоянен по дължината на гредата, а е функция на .

Диференциалното уравнение (8.6) за напречните премествания има следния вид:.

(8.37)a) плавно изменение на напречното сечение по дължината на гредатаСлед интегриране на уравнение (8.37) за функцията на завъртанията и за функцията

на напречните премествания се получават следните изрази:

; (8.38)

. (8.39)

Процедурата на решение е като указаната по-горе за греда с постоянно напречно

сечение. Ако и са интегруеми функции, то за функциите и могат

да се получат аналитични изрази. В противен случай трябва да се приложи графичен или числен метод за приблизително интегриране.

Задача 8.3.2.1: Показаната на фиг. 8.8 конзолна греда с дължина е натоварена с вертикална сила в свободния край. Даден е модулът на линейна деформация на материала на гредата . Известен е инерционният момент в сечение А. По дължината на гредата

инерционният момент се мени по закона .

Фиг.8.8: Греда с плавно изменящо се напречно сечение по дължината й

В този случай диференциалното уравнение за еластичната линия е от вида (8.37). Видно е, че огъващият момент в произволно напречно сечение, определено от координатата , е

. Уравнение (8.37) приема вида:

или .

Двете страни на това уравнение се умножават с и се извършва интегриране от А до В.

. Интегралът в лявата страна на това равенство се интегрира по

части и се получава

.

Извършват се следните преобразования:

. Взима се пред вид, че координатата , а и в

мястото на запъването . Тогава се получава .

Окончателно .

б) стъпаловидно изменение на напречното сечение по дължината на гредаРазглежда се греда с на брой участъка, имащи различни инерционии моменти

. В този случай инерционният момент на един участък от гредата, например се избира за основен. Търси се - кратната стойност на напречните премествания за

всеки участък.За участъка с инерционен момент се интегрира диференциалното уравнение

. (8.40)

За произволен -ти участък от останалите диференциалното уравнение е

, . (8.41)Задача 8.3.2.2: Показаната на Фиг. 8.9 греда има два участъка. Дължините им са

функция на даден параметър . Материалът на гредата е с даден модул на линейна деформация

l

x

x

zy

F

AB

. Известен е инерционният момент в участък АВ и отношението . С метода на непосредственото интегриране да се определят функциите и в двата участъка.

Фиг.8.9: Греда със стъпаловидно изменящо се дължината й напречно сечение

Приема се мащабен инерционен момент .Участък АВ:

; ;

; .

Участък ВС:

;

;

; .

Кинематичните гранични условия за определяне на интеграционните константи са:

; ;

F

A B C

1I 2Ia 2a

y

z

x

x x

F

A

x

N

Vz

My

F

A

a

N

Vz

My

x

; ;

; ;

; .

Получават се ; ; ; .

Тогава за двата участъка изразите за -кратните стойности на функциите и имат вида:

; ;

; .

8.4. МЕТОД НА Clebsch ЗА ПОЛУЧАВАНЕ НА ОБОБЩЕНОТО УРАВНЕНИЕ НА ЕЛАСТИЧНАТА ЛИНИЯ

Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833-1872) е немски математик, професор в Политехниката в Karlsruhe, Giessen и Goettingen.

Трудоемкостта на метода на непосредственото интегриране се състои в големия брой интеграционни константи, които трябва да се определят при повече участъци на гредата.

С метода на Clebsch при всички случаи на натоварване търсените интеграционни константи са само две.

Разгледана е греда, натоварена най-общо със сили , концентрирани

моменти , равномерно разпределени товари с интензивност и

разпределени товари slxql ,...2,1,1 . Гредата е с постоянен инерционен момент по цялата си дължина.

За простота при извода от всеки вид товари е нанесен само един.Координатата за произволно напречно сечение в даден участък се измерва винаги от

левия край на гредата. Частично равномерно разпределеният товар се допълва по същия закон до края на гредата. За да няма промяна, се добавя и такъв допълнителен товар с обратна посока. При извода за огъващия момент се разглежда винаги отрязаната лява част на гредата.

Фиг.8.10: Различни видове товари, действащи върху греда

За произволно сечение на всеки участък, дефинирано с координатата , се записва изразът за огъващия момент . След това този израз се замества в диференциалното уравнение на еластичната линия . Долният индекс за огъващия момент не е написан, а се подразбира. Уравнението се интегрира два пъти и така се получават изразите за функцията на напречните премествания и за функцията на завъртанията във всеки участък. Участък 1:

; ;

; 111 DxCEIw . (8.42)

Участък 2:

;;

1 2 3 4 5 6

ixix

kxklx

qdx

iF

jx

jM

qlx

kq 1kq

d

x

x

x

x

x

x

; . (8.43)

Участък 3:

;

;

; . (8.44)

Участък 4:

;

;

;

. (8.45)

Участък 5:

;

;

;

. (8.46)

Участък 6:

;

С е означен моментът, който разпределеният по произволен закон товар дава за мястото на сечението. За определянето му се разглежда частта от този товар, действаща върху участък с дължина . Товарите върху него могат да се представят чрез равнодействащата . Извършва се суперпозиция на всички тези сили и така се определя

.

Тогава

;

;

(8.47)

С се означава вертикалното преместване на лявото сечение на гредата, а с - съответното му завъртане. След заместване в изразите за функицята и на се получават следните константи

; .За определяне на зависимостите между всички интеграционни константи се прилага

условието за непрекъснатост на фунциите на напречните премествания и на границите на участъците.

Записано за границата на участък 1 и участък 2, това условие дава:; .

Оттук се получават ; . (8.48)По аналогичен начин след приравняване на напречните премествания и на завъртанията

на границата на участък 2 и участък 3 се достига до зависимостите и . Този подход се прилага за всички граници на участъците. Така се стига до изводa, че

; . (8.49)Двете интеграционни константи се определят от условията на подпиране на гредата, т.е.

от кинематични гранични условия.Тогава изразът за EI-кратната стойност на функцията на напречните премествания

най-общо се представя така:

. (8.50)

Тази зависимост може да се запише и във вида:

. (8.51)

Ако върху гредата действат на брой сили, на брой моменти, на брой равномерно разпределени товари и на брой разпределени по произволен закон товари, то на базата на суперпозицията се получава следното:

. (8.52)

Това е общо (универсално) уравнение на еластичната линия. То дава - кратната стойност на функцията за напречните премествания . За всеки участък се отчита влиянието само на онези товари, които се намират от лявата страна на разглежданото сечение.

Предимствата на метода на Clebsch спрямо метода на непосредственото интегриране са универсалният израз за функцията , валиден за всеки участък, а също и това, че се определят само две интеграционни константи. Недостатъкът на метода на Clebsch е, че изводът е валиден само за греди с постоянно напречно сечение. При греди с променливо напречно сечение прилагането на подхода е свързано с допълнителни усложнения.

Задача 8.4.1: Показаната греда на чертежа е с дадена коравина на огъване . Натоварена е с момент . Да се определи функцията на напречните премествания в двата участъка на гредата.

Фиг.8.11: Проста греда с два участъка

За двата участъка се записват изразите за -кратните стойности на функциите на напречните премествания според изведената обща формула по метода на Clebsch.

Участък 1:

.

Участък 2:

.

За определяне на и се използват кинематичните гранични условия в местата на опорите: . Получават се следните две уравнения:

;

.

От тях се получават ; .

Тогава изразите за и са:

;

.

8.5. МЕТОД НА АНАЛОГИЯТА НА Mohr

z

y

xM

a 2a

1 2

xx

A=M/(3a)B=M/(3a)

BА

Методът на непосредственото интегриране, а също и методът на Clebsch са подходящи за приложение, когато се търси еластичната линия на натоварената греда. В случай на греда с много участъци и сложен товар приложението им е доста тромаво. От друга страна, при решаване на редица практически задачи се търсят преместването или завъртането в конкретно сечение. В този случай е удобно да се прилага методът на аналогията на Mohr.

Christian Otto Mohr (1835-1918) е немски строителен инженер, професор по механика в Политехниката в Stuttgart и Dresden.

Същността на метода на аналогията на Mohr се състои в следното: Записва се диференциалното уравнение за еластичната линия

. Под реалната греда се изобразява втора греда, наречена фиктивна. Тя има същата дължина като тази на реалната. Натоварена е с неизвестен разпределен “товар” с интензивност . Този товар има вида на моментовата диаграма . Ако моментовата диаграма в участък на реалната греда има положителни стойности, то съответният фиктивен товар е с посока като тази на оста . Ако моментовата диаграма в участък на реалната греда е с отрицателни стойности, то съответният фиктивен товар е с посока, обратна на оста . Опорните устройства на тази фиктивна греда са също неопределени. Може да се отбележи, че те трябва да бъдат такива, че опорните реакции на фиктивните опори да уравновесяват товара .

За всяко напречно сечение на тази фиктивна греда може да се определи големината на огъващия момент . В сила е познатата диференциална зависимост

. Тя се съпоставя с диференциалното уравнение на еластичната линия и се приема . Тогава се достига до следната

зависимост . След интегрирането й и приравняване на

интеграционните константи в двете страни се получава . Диференцира се това равенство и се отчитат зависимостите и . От това следва, че

.В резултат на преобразованията се получават следните формули за напречното

преместване и завъртането в сечение от оста на реалната греда:

; . (8.53)

Провисването в сечение на реалната греда е равно на момента в същото сечение на фиктивната греда, разделен на коравината на огъване на реалната греда. Ъгълът на завъртане в сечение на реалната греда е равен на срязващата сила в същото сечение на фиктивната греда, разделен на коравината на огъване на реалната греда.

От тези зависимости могат да се направят следните изводи:- Ако в сечение на реалната греда преместването е равно на нула, то в същото

сечение на фиктивната греда огъващият момент трябва да е нула.- Ако в сечение на реалната греда ъгълът на завъртане е равен на нула, то в същото

сечение на фиктивната греда срязващата сила трябва да е нула.- Ако в сечение на реалната греда преместването и ъгълът на завъртане са

различни от нула, то в същото сечение на фиктивната греда огъващият момент и срязващата сила трябва да са различни от нула.Съответствията между опорите на реалната и тези на фиктивната греда са отразени в

следната таблица:

Реална греда

Фиктивна греда

Таблица 8.2

Може да се отбележи, че на статически определима реална греда винаги съответства статически определима фиктивна греда.

Методът на аналогията на Mohr е подходящ при търсене на напречно преместване или завъртане на конкретно сечение от реална греда. Определянето им става след изпълнение на следните етапи:- Построява се моментовата диаграма на реалната греда.- На базата на съответствията на опорите от горната таблица се начертава фиктивната

греда.- Моментовата диаграма на реалната греда се поставя като разпределен товар върху

фиктивната греда. Правилото за посоката му е дадено по-горе. Товарът има размерност .

- Определят се опорните реакции на фиктивната греда.- Ако се търси напречно преместване в сечение К на реалната греда, то в същото

сечение на фиктивната греда се определя големината на огъващия момент . Той е

с размерност . Тогава напречното преместване .

- Ако се търси завъртане в сечение К на реалната греда, то в същото сечение на фиктивната греда се определя големината на срязващата сила . Тя е с размерност

. Тогава завъртането .

СС

СС

Задача 8.5.1: Дадена е конзолна греда с дължина , коравина на огъване и вертикална сила в свободния край.. Да се определят вертикалното преместване и завъртането с метода на аналогията на Mohr.

Фиг.8.12: Конзолна греда, натоварена с вертикална сила

Най-напред е построена моментовата диаграма на реалната греда. След това е начертана натоварената фиктивна греда . За определяне на разрезните усилия и в сечение А на фиктивната греда е разгледано равновесието на отрязаната лява част. За нея е записано

условието . От него се получава . Според аналогията на Мор е в сила

. Тогава за завъртането на сечение А се получава . От равновесното

условие се определя огъващият момент 3

3FlМ А . След отразяване на съответствието

се получава вертикалното преместване .

Задача 8.5.2: Дадена е конзолна греда с дължина и коравина на огъване . Натоварена е с равномерно разпределен товар, насочен надолу и имащ интензивност q . Да се определят вертикалното преместване и завъртането с метода на аналогията на Mohr.

x

z

F

F

Fl

Fl

l

M

l/32l/3

2/2lF

2/2lF

3/3lF 3/3lF

2/2lF

АМАV

0

EIy

А

А А

y

Фиг.8.12: Конзолна греда, натоварена с вертикален равномерно разпределен товар

Построява се моментовата диаграма и с нея, разглеждана като товар, се товари фиктивната греда. За определяне на разрезните усилия в сечение С се избира лявата част.

Разпределеният товар е с по-сложна форма. Удобно е той да се разложи по начина, показан по-долу. Определят се равнодействащите по следния начин:

.

Всички величини, отнасящи се за фиктивната греда, се означават с горна черта.

x

z

M

2/2lq

2/2lq

EIy

l/2

C

l/2

q

ql

2/2lq8/2lq

8/2lq

y

След това се записват условията за равновесие на разглежданата част от гредата.

; ; ; .

; ; .

Прилага се аналогията и . Тогава за вертикалното преместване

в сечение С се получава , а за завъртането - .

l/22/2lq

8/2lq

C

CV

CМ

2/2lq1R

l/6

l/6

2Rl/4

3R

8/2lq

l/2

C

CV

CМ

1R

l/6 l/6

3R

2R

l/4

В случай, че изследваната греда се състои от участъци с различни инерционни моменти, то приложението на графоаналитичния метод на Mohr е свързано с въвеждане на мащабен множител.

Инерционният момент за един от участъците, например за първия, се приема за основен, т.е. .

За всеки от останалите участъци фиктивната греда се товари със стойностите от моментовата диаграма, умножени с отношението на основния инерционен момент към инерционния момент на участъка. Може да се запише най-общо за -тия участък, че

разпределеният товар върху фиктивната греда е .

При разлагане на този товар стрелката на параболата се пресмята по следната формула:

. С е означен инерционният момент в участъка, за който при разлаганато на

фиктивния товар има парабола.

При греда с променливо по дължината си напречно сечение, т.е. при инерционен момент , с се означава инерционният момент в конкретно сечение. Тогава фиктивният товар се

определя по следната формула: . Моментът и срязващата сила в произволно

сечение на фиктивната греда са свързани с напречното преместване и завъртането в същото сечение на реалната греда така:

; .

Задача 8.5.3: Дадена е стоманената греда, показана на чертежа. Инерционният момент на сечението в участък АВ е , а за участък ВС - . Модулът на линейна деформация на материала на гредата е . Да се определят завъртането

в сечение А и напречното преместване в сечение В с метода на аналогията на Mohr.

Построена е моментовата диаграма на разглежданата герберова греда. Под нея е начертана фиктивната греда. В участъка АВ с инерционен момент на напречното сечение

тя е натоварена с разпределен товар, имащ формата на моментовата диаграма и съответните ординати. В участъка ВС ординатите са умножени с отношението

т.е. в този участък е в сила .

Фиг.8.13: Геберова греда

След това диаграмите, действащи върху фиктивната греда в двата участъка, се разлагат на по-прости по вид фигури, за които лесно се определят равнодействащите.

30 kNm 50 kNm20 kN/m

C

B

А

1I 2I6 m 2,1

65,5 kNm

55 kN

65 kN

30 65,5

50 75,625

M

30

75,625 105,650

138,402

+

-

АB

C

105,650

138,402

30 2 m

1R

3 3

2R1,4 0,7

0,7 1,4

3R

4R

Тези равнодействащи се изчисляват по формулите:

.

Записват се равновесните условия за фиктивната греда и от тях се определят фиктивните опорни реакции.

; ;

; ; ; ;

; ; ;

Проверка: ; ;

.

В задачата се търси вертикалното преместване . Съгласно с аналогията на Mohr е в сила . От това следва, че трябва да се определи моментът в сечение В на фиктивната греда. Прави се разрез и се разглежда лявата отрязана част от фиктивната греда.

2 m

B C

А

3

6 2,1

0,71,4

901 R3602 R 932,1103 R

322,1454 R

0HA

966,140VA 644,94B

30

АB

2

3 m 3

BN

BV

BM

АB

BN

BM

BV

3602 R901 R

966,140

; ; .

. ;

.

В задачата се търси и завъртането в сечение А. От зависимостта следва, че трябва да се определи срязващата сила във фиктивната греда.

Прави се разрез безкрайно близо до точка А и се разглежда лявата част. Записва се условието .

; .

От аналогията на Mohr следва, че .Тогава за завъртането в сечение А се получава

.

8.6. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМИ ГРЕДИВъншно статически неопределими задачи са тези, при които броят на неизвестните

статически величини (опорни реакции) е по-голям от броя на уравненията на статиката, които могат да се запишат.

Затова при търсенето на еластичната линия на тези греди освен кинематични начални параметри има и неизвестни статически такива. За определянето им трябва да се напишат кинематични и динамични гранични условия. Последните се отнасят за огъващите моменти и срязващите сили.

Задача 8.6.1: Показаната греда е с дадена дължина и коравина на огъване . Натоварена е със сила . Да се определи -кратната стойност на функциите на напречните премествания в двата участъка.

ААN

АM

АV966,140

0

Фиг.8.14: Статически неопределима греда

Тази греда има 4 опорни реакции, а броят на статическите условия за равновесие е 3. Затова гредата е 4-3 = 1 път статически неопределима.

Силата разделя гредата на два участъка. За всеки от тях с е означена променливата координата. Началото й и за двата участъка е в левия край на гредата.

Записват се следните смесени кинематични и динамично гранични условия:; ; ; .

За двата участъка се записва универсалното уравнение за еластичната линия:

;

.

С цел удовлетворяване на условие 2) се извършва следното диференциране:

.

За условие 4) е необходимо да се намери изразът на момента . Това става след прилагане на диференциалното уравнение на еластичната линия за втори участък, а именно

.От него се получава

.

Най-напред се удовлетворяват кинематичните условия 1) и 2):

1) ;

2) .

От тях се получават и .След отразяване на тези стойности изразът за придобива вида:

.

Тогава се удовлетворяват условия 3) и 4):

3) ;

4) .

BA

Bl/2l/2

F

VAHA

AM

EI x

x

x

От получената система уравнения се определят опорните реакции .

Така функциите, дефиниращи еластичната линия в двата участъка, са изразени вече с дадените величини:

;

.

След това се прилагат диференциалните зависимости и и се построяват диаграмите на огъващия

момент и на срязващата сила .Прилагането на този метод за греда с един отвор дава възможност да се извърши общо

решение на задачата без значение дали е статически определима или статически неопределима. При повече от два участъка такъв подход не е подходящ поради голямата изчислителна работа.

8.7. ДИФЕРЕНЦИАЛНО УРАВНЕНИЕ НА ЕЛАСТИЧНАТА ЛИНИЯ ПРИ ОТЧИТАНЕ И НА СРЯЗВАЩАТА СИЛА

Диференциалното уравнение е валидно за случая на чисто специално огъване. При наличие и на срязваща сила това уравнение ще се промени. За извеждането на новата зависимост се прилага принципът на суперпозицията .

Разглежда се деформирането на диференциално малък участък с дължина от гредата под действие само на срязващи сили в двете напречни сечения. Това е познатото натоварване, когато се търси приносът на срязващите сили. При него силите предизвикват премествания на сеченията в две успоредни равнини. При това дясното сечение ще се премести надолу спрямо лявото. За извода е полезно да се начертае положението на елемента след деформацията, като се приеме лявото сечение за неподвижно.

Фиг. 8.15: Чисто срязване на елемент от гредата

При чисто срязване механизмът на деформацията е такъв, че всички точки от дясното напречно сечение имат равни вертикални премествания . Те са много малки и могат да се разглеждат като дъги от окръжност. Тогава се изразяват по следния начин:

xd

zV

zV

xzxz

xz

xz

xzQwd

Qwd

Qwd

x

z

. (8.54)Съгласно с простия закон на Хук за тангенциалните напрежения в сила е връзката

, където е модулът на ъгловите деформации. (8.55)От друга страна, тангенциалните напрежения, породени от , могат да се представят

така

, (8.56)

където е коефициент, различен от 1, за отчитане на неравномерното разпределение на тангенциалните напрежения . е лицето на напречното сечение.

След приравняване на десните страни на изразите (8.55) и (8.56) за ъгловата деформация се получава следният израз:

. (8.57)

Тогава диференциалното вертикално преместване се изразява чрез срязващата сила така

. (8.58)

Оттук се определя . То се диференцира и се получава

. (8.59)

Отразява се диференциалното уравнение за разрезното усилие , където е

интензивността на напречния разпределен товар.Тогава се получава .

(8.60)Ако в конкретна задача се търси влиянието само на срязвашата линия, то се интегрира

диференциалното уравнение . Получава се

, където е интеграционна константа. Тя се определя от

кинематично гранично условие.

Отразява се диференциалната зависимост и се получава следният израз за

напречното преместване

. (8.61)

От (8.61) е видно, че еластичната линия само от срязващата сила има същия вид като диаграмата на огъващите моменти .

При чисто специално огъване диференциалното уравнение на еластичната линия има вида:

.Отчитането на срязващата сила става чрез прилагане на принципа на суперпозицията и

добавяне на събираемото в дясната част на горния израз.

Така диференциалното уравнение на еластичната линия при специално огъване, комбинирано със срязване, има следния вид:

. (8.62)От него след интегриране се получава функцията на напречните премествания на гредата

при този вид натоварване. В Глава 11 от учебника е определен коефициентът , участвуващ в израза (8.62) . Предствен е в следния вид:

. (8.63)

Видно е, че при определянето на този коефициент се използват само геометрични характеристики на напречното сечение: - лице на напречното сечение; - инерционен момент на сечението спрямо оста ; - ширина на напречното сечение на нивото на произволно надлъжно влакно от гредата; - статичен момент за оста на частта от сечението, намираща се под или над това надлъжно влакно. За някои често срещани сечения стойностите му са:

- за правоъгълно сечение;- за кръгово сеченеи;- за високи двойно Т профили и за ниски двойно Т профили.След определянето на коефициента по (8.63) диференциалното уравнение за

еластичната линия (8.62) се интегрира лесно.Може да се отбележи, че за греда с размери на напречното сечение, сравними с

дължината й, напречните премествания, породени от срязването, стават значителни и трябва да се отчитат.

Задача 8.7.1: За гредата, показана на Фиг. 8.4, да се определи преместването в средното й сечение, като се отчете и влиянието на срязването. Сечението на гредата е правоъгълно с размери и , а коефициентът на Poisson .

Simeon-Denis Poisson (1781-1840) е френски математик и физик.

За търсеното напречно преместване се прилага принципът на суперпозицията, като се самостоятелно се отчита влиянието на огъващия момент и на срязващата сила , т.е.

.

От функцията (8.22) се определя .

За отразяване на влиянието на срязващата сила се използва изразът (8.61), като от кинематичното гранично условие интеграционната константа . След заместване в (8.61) на израза за момента за напречното преместване в средното сечение на гредата се получава

.

След суперпозицията се определя . Този израз може да се

представи в следния вид: , където .

От зависимостта следва, че .

Тогава окончателният вид за напречното преместване в средното сечение на гредата е

.

От този израз е видно, че ако отношението е равно на 10, то влиянието на срязващата

сила върху това напречно преместване е 2,4%. При напречни сечения с по-голяма стойност на коефициента , например за за ниски

двойно Т профили с , това влияние е по-голямо и трябва да се отчете.

8.8. ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ЕЛАСТИЧНАТА ЛИНИЯ В СЛУЧАЯ НА ОБЩО ОГЪВАНЕ

Това става доста по-сложно, отколкото при случая на специално огъване.При натоварване на общо огъване също е в сила хипотезата на Bernoulli. Съгласно с нея

всяко сечение се завърта спрямо нулевата линия, а произволно надлъжно влакно след деформирането е в равнина, перпендикулярна на нулевата линия.

В този случай на натоварване различни от нула са моментите спрямо двете главни инерционни оси на напречното сечение и . Нормалните напрежения се определят по формулата

. (8.64)

Уравнението на нулевата линия е . (8.65)

От (8.65) се вижда, че в общия случай на натоварване в равнините и или за греда с променливо напречно сечение по дължината си изразът пред не е постоянен. Затова в този случай нулевата линия не съвпада с оста . За различните сечения от оста на гредата тази линия мени своето положение спрямо координатната система на главните централни инерционни оси

и . Тогава произволно надлъжно влакно ще се деформира за всяко сечение по различен начин. От това следва, че деформираната ос нa гредата е крива, която не лежи в дадена равнина, а е пространствена. За нейното определяне трябва да се намерят функциите на преместванията и . С е означена функцията на преместванията по направление на оста . Прилага се принципът на суперпозицията.

Най-напред се разглеждат силите, които действат в равнината . Те предизвикват момент . За определяне на функцията на преместванията се интегрира познатото диференциално уравнение (8.6).

След това се разглеждат само товарите в равнината . Те водят до премествния по направление на оста , а огъващият момент е . В този случай може да се изведе аналогично диференциално уравнение за . Разглежда се кривината на еластичната линия, породена само от . За да се прецени какъв да бъде знакът в дясната страна на полученото уравнение, се начертават следните два случая на на деформиране:

Фиг.8.16: Деформирани елементи от гредата под действие на

В този случай и са с един същ знак. Тогава диференциалното уравнение за функцията ще има вида:

. (8.66)

Това диференциално уравнение се интегрира. Накрая се извършва суперпозиция. Ако се търси преместването в точка М с

координата от гредата, то след решаване на диференциалните уравнения (8.6) и (8.66) се

определят и . Понеже те са върху две взаимно перпендикулярни оси, то

преместването .

v”(x) < 0v”(x) > 0

x

Mz > 0 Mz > 0Mz < 0 Mz < 0

x

y y