Задачи к лекции № 5

I. Основные задачи

1. Представьте рациональное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби: а) 27 ; б) 14

15 ;в) 28

9 .

2. Переведите бесконечную периодическую десятичную дробь в несократимую обыкновенную дробь:а) 2,(5); б) 0,12(3).

3. Является ли число 0,12345678910111213141516 . . . рациональным?

4. Сравните числа: а)√5 и 2; б) 0,(12) и 1

8 ; в) π2 и 10.

5. Вычислите значение выражения(a+ b)(a4 − b4)

a2 − b2+

2ab(a3 + b3)

a2 − ab+ b2

при a = −29 , b = 2,(2).

6. Найдите десятичную запись числа√3 с точностью до двух знаков после запятой. Докажите, что

это число иррационально.

7. Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых является рациональнымчислом.

II. Дополнительные и творческие задачи

8. Докажите, что иррациональность чисел: а)√2 +

√3; б) 1

2√3; в)

√2 +

√2.

9. Может ли число√4n+ 3 быть рациональным при некотором натуральном n?

10. Число 17112011 обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стерли первую цифру после запятой

и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?

11. Докажите, что при x = 2 +√3 число x3 − 15x рационально. Чему оно равно?

12. Рациональные числа p и q таковы, что число √p+

√q рационально. Докажите, что числа √

p−√q

и √pq также рациональны.