Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «МЕХАНИКА»

К И Н Е М А Т И К А ТВЕРДОГО ТЕЛА

Данное пособие входит в серию электронных учебных по-собий по теоретической механике, разрабатываемых на кафед-ре механики СамГТУ.

В пособии излагаются две темы из раздела «Кинематика твердого тела»: 1) поступательное движение твердого тела, 2) вращательное движение твердого тела.

Пособие предназначено для студентов всех специально-стей и всех форм обучения, изучающих теоретическую механику.

Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов. Самара – 2008.

1. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательным называется такое движение твердого тела, при кото-

ром любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается параллельно са-мой себе.

Основное свойство: при поступательном движении все точки тела дви-жутся одинаково, т.е. описывают одинаковые траектории и имеют геометри-чески равные скорости и ускорения.

Поступательное движение характеризуется движением любой его точ-ки, поэтому для определения кинематических характеристик поступательно-го движения достаточно определить соответствующие характеристики одной из его точек. Пример. Точка А кривошипа движется со скоростью VA = 0,8 м/с. ОА =0,4 м. Опре-делить траекторию, скорость и ускорение точки М. Решение.

Движение треугольной пластины ABM, соединенной шарнирно с кривоши-пами ОА и СВ, является поступательным, поэтому его можно характеризовать дви-жением точки А. Точка описывает окруж-ность радиуса ОА, скорость точки направ-лена по касательной к этой окружности, т.е. перпендикулярно ОА.

Скорости всех точек пластины одина-ковы и равны скорости точки А.

VМ = VD = VA. Точка А движется с постоянной ско-

ростью, поэтому она имеет нормальное ускорение, направленное по криво-шипу к точке О.

)/6,1(4,0

64,0 22

cмR

VаА ===

Ускорения всех точек пластины одинаковы и равны ускорению точки А: аМ = аВ = aA.

2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором две принадлежащие телу точки остаются непод-вижными.

О С

А В

VМ

VB

аМ

VA

аА aВ

М

Рис.1

Прямая, проходящая через эти неподвижные точки, называется осью враще-ния.

2.1. Угловая скорость и угловое ускорение вращающегося твердого тела При движении твердого тела, закрепленного в двух неподвижных точках А и В (рис.1), все точки, расположенные на прямой АВ, остаются неподвижными. Проведем через ось вращения неподвижную плоскость 1 и плоскость П, жестко связанную с телом. Положение подвижной плоскости относительно неподвижной определяется углом поворота φ. Угол φ измеряется в радианах и считается положительным при условии, что он отсчитывается в направлении против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения Аz.

Зависимость угла поворота от време-ни называется законом вращательного движения:

Угловой скоростью вращательного

движения называется производная от угла поворота по времени:

Знак ω определяет направление вращения: если ω > 0 вращение происходит против часовой стрелки, если ω < 0, то тело вращает-ся по часовой стрелке. Если угол поворота измеряется в радианах, а время - в секундах, то единицей угловой скорости будет

[ ] ./1 1−== сексекω В технике угловую скорость определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину как n об/мин. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту определяется по формуле:

30602 nn ππω == 1/cек.

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением. Угловым ускорением называется производная от угловой скорости по времени:

.ϕϕω &==dtd

)(tϕϕ =

.dtdωε =

τa

С h

φ

П

M

MO C h

φ

a

na

V

φ MO

М

ω

τa

1

A

B

Рис.1

Учтем, что dtdϕω = , тогда 2

2

dtd

dtd ϕωε == , или ϕωε &&& == .

Единица измерения углового ускорения: [ε] = 1/c2 = с-2 .

Вращение будет ускоренным, если угловая скорость и угловое ускорение будут иметь одинаковые знаки: ω > 0, ε > 0 или ω < 0, ε < 0.

Вращение будет замедленным, если: ω > 0, ε < 0 или ω < 0, ε > 0. 2.2. Скорости точек при вращательном движении

Все точки вращающегося твердого тела описывают окружности, плос-кости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

В самом деле, в силу неизменяемости расстояний точки М от неподвижных точек А и В, точка М должна постоянно оставаться как на поверхности сферы, описанной из точки А радиусом АМ, так и на поверхности сферы, описанной их точки В радиусом ВМ. Следовательно, точка М остается на линии пересечения обеих сфер, т.е. на окружности, плоскость которой перпендикулярна к прямой АВ, центр лежит на этой прямой, а радиус равен расстоянию точки до оси вра-щения. Положение точки М, находящейся на окружности радиуса h (рис. 1), в соот-ветствии с естественным способом задания, определяется длиной дуги окружно-сти, отсчитываемой от начального положения МО, находящегося на неподвиж-ной плоскости:

ϕhMMS O == . Скорость точки М, движущейся по окружности радиуса h, определяется по формуле

ωϕ hdtdh

dtdSV ===

Скорость точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на ее радиус вращения

ωhV = Вектор скорости лежит в плоскости, перпендику-лярной оси вращения и направлен по касательной к описываемой точкой окружности в направлении

С V

Рис.2

вращения. Так как угловая скорость ω для всех точек тела имеет в данный момент одно и то же значение, то скорости точек вращающегося твердого тела пропорциональ-ны радиусам вращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.2.

2.3. Передача вращательного движения от одного тела к другому осуществля-ется непосредственным контактом (зубчатые и фрикционные зацепления см. рис .6 и рис.7) или при помощи ременной передачи (рис.8).

При внешнем зацеплении (рис. 6) и скрещивающейся ременной передаче (рис.9) вращение колес противоположно по направлению, при внутреннем зацеплении (рис. 7) и нескрещивающейся ременной передаче (рис.8) направления вращения колес совпадают.

При отсутствии проскальзывания пути, проходимые за одинаковый промежуток времени точками, расположенными на ободах сцепленных колес для всех видов сцепления, равны:

S1 = S2. 222111 , ϕϕ RSRS == , где φ1 и φ2 - углы, на которые опираются дуги окружностей, описываемые контактирующими точками.

V1 V2

R1 R2

Рис.8

φ1 φ2 V1

V2

R1 R2

Рис.9

φ1

φ2

Рис.6

R2

K1

K2

R1 φ1

V1

φ2 V2

Рис.7

V1

R1

R2

K

φ1

φ2

V2

2211 ϕϕ RR = .

Полученное равенство связывают углы поворота контактирующих тел. Скорости точек, лежащих на соединенных ободах обоих тел для всех видов сцепления равны:

dt

dSdt

dS 21 = , .21 VV =

,22

11 dt

dR

dtd

Rϕϕ

= 2211 RR ωω = .

Угловые скорости тел, находящихся в зацеплении, обратно пропорциональ-ны их радиусам.

1

2

2

1

RR

=ωω .

2.4. Ускорения точек вращающегося тела.

Ускорение точки, движущейся по окружности, раскладывается на нормальную и касательную составляющие:

naaa += τ

. Эти составляющие вычисляются по формулам,

определяемым естественным способом задания:

.;2

ρτ Va

dtdVa n ==

Подставим в эти формулы значение скорости точки вращающегося тела hV ω= и, учитывая, что ρ = h, получим:

.

;)(

222

hhh

a

hdtdhh

dtda

n ωω

εωωτ

==

===

Окончательно касательное и нормальное ускорения определяются по формулам:

.; 2 haha n ωετ == Касательное ускорение (рис.10) направлено перпендикулярно радиусу враще-ния и совпадает с вектором скорости, если вращение тела является уско-ренным; касательное ускорение противоположно вектору скорости при замедленном вращении. Нормальное ускорение всегда направлено по радиусу к центру вращения.

naa ⊥τ

τ

a

Рис.10

О М h

na

a μ

Модуль полного ускорения точки М (рис. 10):

2422 )()( εωτ +=+= haaa n .

Вектор полного ускорения образует с радиусом h угол μ, определяемый соотношением (рис.3):

22 ωε

ωε

μτ

===h

haatg n

В данный момент времени значения ε и ω для всех точек одинаковы, следовательно, угол μ также одинаков для всех точек, а моду-ли ускорений точек пропорциональны радиусам вращения. Поле ускорений показано на рис. 11.

5*. Векторные формулы

Угловую скорость можно представить в виде вектора ω . Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно против часовой стрелки (рис.5), а его модуль равен ω . Угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора

dtdωε = .

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, если тело вращается ускоренно (рис.12), и эти векторы про-тивоположны по направлению, если вращение тела – замедленное. Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведе-нию вектора угловой скорости тела на радиус – вектор, проведенный из любой точки, взятой на оси вращения, в данную точку.

rV ×=ω

Доказательство. Два вектора равны, если они равны по величине и одинаковы по направлению.

Модуль векторного произведения: Vhrr ==⋅=× ωαωω sin .

Векторное произведение r×ω на-правлено по перпендикуляру к плоскости

a

О

μ

Рис.11

Рис.12

О

V r

ω x r

M α

h С

ω

ω

ε

Рис.12

треугольника ОМС, где лежат перемножаемые векторы, в сторону, откуда со-вмещение вектора угловой скорости с радиусом - вектором на меньший угол видно против часовой стрелки. Вектор скорости V лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и направлен по касательной к окружности в сторону вращения тела (перпендику-лярен радиусу h).Следовательно, направления векторов r×ω и V совпадают, значит rV ×=ω .

Аналогично докажем, что вектор касательного ускорения выражается в виде векторного произведения:

ra ×= ετ . Действительно: τεαεε ahrr ==⋅=× sin .

Вектор r×ε направлен (рис.13) по касательной к окружности, по которой движется точка и совпада-ет по направлению с вектором скорости точки, если векторы ω и ε направлены в одну сторону, что со-ответствует ускоренному вращению тела. Вектор

r×ε направлен противоположно вектору скорости, если вращение тела является замедленным, т.е. век-торы ω и ε противоположны по направлению.

Вектор нормального ускорения точки также можно представить в виде векторного произведе-ния:

Va n ×= ω

Действительно nahhVV ====× 2090sin ωωωωω .

Векторное произведение V×ω перпендику-лярно векторам ω и V и направлено по этому пер-пендикуляру так, чтобы с его конца совмещение вектора ω с вектором V на меньший угол было видно против часовой стрелки. В соответствии с этим правилом вектор V×ω направлен по радиу-су вращения точки к центру окружности (рис.15),

т.е. совпадает с вектором na .

Полное ускорение равно сумме касательного и нормального ускорений, следо-вательно

Vra ×+×= ωε .

ω

О

aτ

r

Рис.13

M

α

h С

ε

V

ε x r

Рис.15

M h

С

ω

an

ω

V

ω x r

6. Основные определения и формулы В этом пункте дана сводка основных определений и формул.

1. Вращательным называется такое движение твердого тела, при

котором две его точки остаются неподвижными. 2. Осью вращения называется прямая, проходящая через неподвиж-

ные точки. 3. Углом поворота φ называется угол между двумя проведенными че-

рез ось вращения плоскостями: неподвижной плоскостью и плоскостью, же-стко связанной с телом.

4. Уравнением вращательного движения называется зависимость уг-ла поворота от времени )(tϕϕ =

5. Угловой скоростью называется производная от угла поворота по времени

ϕϕω &==dtd

6. Угловым ускорением называется производная от угловой скорости по времени

.dtdωε =

Вращательное движение будет ускоренным, если ω и ε имеют оди-наковые знаки, вращение – замедленное, если ω и ε имеют разные знаки.

7. Траекторией любой точки вращающегося твердого тела является

окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а радиус h которой равен кратчайшему расстоянию до оси вращения и называется радиусом вращения точки.

8. Скорость точки направлена по касательной к окружности

(перпендикулярно радиусу вращения) hV ⊥

8. Модуль скорости точки равен произведению угловой скорости те-ла на радиус вращения точки. hV ω= 9. Скорости точек пропорциональны их радиусам вращения.

B

A

B

A

hh

VV

=

10. Ускорение раскладывается на нормальную и касательную состав-

ляющие naaa += τ

11. Вектор касательного ускорения совпадает с вектором скорости,

если вращение тела ускоренное, и противоположен вектору скорости, если вращение замедленное, но всегда ha ⊥τ

12. Касательное ускорение равно

ha ετ =

13. Нормальное ускорение направлено по радиусу вращения к центру и равно .2 han ω=

14.Модуль полного ускорения:

24 εω += ha .

16.Ускорения точек пропорциональны радиусам вращения:

B

A

B

A

B

A

B

A

hh

aa

aa

aa

=== τ

τ

τ

τ

7. Пример на определение скоростей и ускорений точек вращаю-щихся тел. Две одинаковые круглые пластины радиуса R вращаются, как показано на рис.16 и рис.17, с одинаковыми угловыми скоростями ω и одинаковыми угло-выми ускорениями ε. Определить скорость точки М, расположенной на каждой пластине, как показано на рисунках.

Решение. Значения скорости, нормального и касательного ускорений точки определяются по формулам: hV ω= , han 2ω= , ha ετ = . Так как в обоих случаях угловые скорости и угловые ускорения заданы, то для определения всех характеристик необходимо определить радиусы вращения точек в обоих случаях. В первом случае (рис.16) ось вращения пластинки, проходит через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, радиус вращения h точки М, определяе-мый как перпендикуляр, опущенный из точки М на ось вращения, равен отрезку ОМ. Треугольник ОСМ является равнобедренным, углы при основании равны α = 22,50.

С

М

450

Рис.17

О

С

М

450

Рис.16

h = OM =2 DM = 2 CM cosα = 2R cos22,50. Скорость точки М перпендикулярна радиусу вращения и направлена в

сторону вращения. V = ω h = ω 2R cos 22,5. При ускоренном вращении касательное ускорение совпадает по направ-

лению со скоростью точки и равно ha ετ = = ε 2R cos22,50

Нормальное ускорение точки направлено по радиусу вращения к центру и равно

han 2ω= = ω22R cos22,50. Во втором случае (рис.17) радиус вращения точки равен отрезку ОМ.

Из треугольника СОМ: ОМ =R cos 450. Скорость точки М лежит в плоскости окружности, которая перпендику-

лярна оси вращения и направлена перпендикулярно радиусу вращения в сто-рону вращения пластинки, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа.

V = ω h = ω R cos45. Касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью точки и

равно ha ετ = = ε R cos450. Нормальное ускорение направлено по радиусу вращения h к точке О и

равно han 2ω= = ω2R cos450.

С

М

aτ О

V

an

450

ω ε

Рис.19

О

С

М

V

an 450

aτ

Рис.18

α D

8. Пример решения задачи на вращательное движение.

Груз 1 опускается вниз со скоростью V1=4t. Определить скорость и ускорение точки С подъемного механизма при t = 1 c,

если радиусы тел 2 и 3 соответст-венно равны: r2 = 0,2 м R2=0,4 м, r3 =0,5 м, R3 = 0,75 м.

Решение. Скорость груза рав-на скорости точки А шкива 2: VA =V1.

Скорость точки В определяет-ся из пропорции:

2

2

Rr

VV

A

B = .

Откуда

)/(25,0 12

2 cмtVRrVV AB === .

Скорости точек B и D равны, так как они связаны нерастяжи-мой нитью. Скорость точки С находится из пропорции:

75,05,0

3

3 ==Rr

VV

C

D =>

VC =1,5 VD = 3 t м/c. При t = 1c, VC = 3 м/c.

Угловая скорость тела 3 равна: 3

3 RVC=ω =4t (1/c), при t = 1c, ω3=4 1/c

Угловое ускорение тела 3: )/1(4)4( 233 ct

dtd

dtd

===ωε .

Ускорение точки С складывается из нормальной и касательной состав-ляющих:

τC

nCC aaa += .

Нормальное ускорение точки С 323 Ran

C ω= =12 м/c2. Касательное ускорение точки С 33 RaC ετ = = 3 м/c2. Модуль полного ускорения равен

22 )()( τC

nCC aaa += =12,3 м/c2..

VA

2

А

V1

3

VC

С

aτС

VD

VB

O2

O3

D

anC

aС

B

Рис.1

1

2

А

3 С

O2

O3

D

B

Рис.1

9. Варианты заданий для самостоятельной работы. По заданной величине, указанной в таблице, определить скорости всех

отмеченных на схеме точках, угловые скорости вращающихся тел и ускоре-ние точки В при t = 1 c, если известны радиусы: r2 = 0,24 м, R2 = 0,36 м, r3 = 0,32 м, R3 = 0,4 м. Перемещение тела 1 - х1 измеряется в метрах, скорости то-чек – м/c, угол поворота вращающихся тел - рад.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

х1=4t2 VA=2t VB=4t ω2=8t VC=3t ω3=6t ω4=4t VD=6t VE=5t φ2=2t2

А

Е

D

B

C

O2

O3

2

3

4

Рис. 2.0

O4

D

А

Е

B

C

О3

O2

2

3

4

1

Рис. 2.1

О4

D

1

O3

O4

O2

2

А

Е C

D B

Рис. 2.2

4

3

А

А

B

C O4

Е O2

2 4

Рис. 2.3

D

O3

В

3 1

1

Е

C

D

B

Рис. 2.4

4

O3

3

O2

2

А O4

O2 2

А

Е

C

D

B

Рис. 2.5

4

3

1

O3

O4

Рис. 2.6

O2

А

Е

1

C

D

B

4

3

O3

O4

2

А

Е

B

О3

O2

2

3

4

1

Рис. 2.7

C

О4

D

1

O3

2

А

C

D B

Рис. 2.8

4

3

O2

Е O4

О3

3

А

Е

O2 2

1

Рис. 2.9

C

D B

4

О4

10. Контрольные вопросы 1.Какое движение твердого тела называется поступательным?

Основное свойство поступательного движения. 2.Какое движение твердого тела называется вращательным? 3. Какую траекторию описывает точка твердого тела при вращательном движении? 4. Что называется осью вращения? 5.Что называется углом поворота? 6.Как направлена скорость точки при вращательном движении? 7. Что называется угловой скоростью вращательного движения? 8. Как направлен вектор угловой скорости тела? 9. Что называется угловым ускорением? 10. В каких единицах измеряется угол поворота, угловая скорость и уг ловое ускорение? 11. Формула скорости точки при вращательном движении тела. 12. В каких единицах измеряется скорость и ускорение точки? 13. Как относятся скорости двух точек вращающегося тела? 14. Как направлено и чему равно нормальное ускорение точки? 15. Как направлено и чему равно касательное ускорение точки? 16. Какое ускорение имеет точка при равномерном вращении тела во круг оси? 17.Чему равен модуль полного ускорения точки? 18.Как осуществляется передача вращательного движения при внешнем зацеплении? 19.Как осуществляется передача вращательного движения при внутрен нем зацеплении? 20. Как связаны угловые скорости двух вращающихся тел, находящихся в зацеплении, внешнем и внутреннем? 21. Как связаны угловые скорости вращающихся тел, связанных ремен ной передачей?