Embed Size (px)
Citation preview
Η 4η ταυτότητα…. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητες2.gsp ,
στην σελ 2 ακολουθήστε τις οδηγίες και συμπληρώστε το φύλλο εργασίας βάσει των ενεργειών σας…
Μετά ανοίξτε την σελ 3 και συνεχίστε να συμπληρώνετε το φύλλο εργασίας σας…
Η 4η ταυτότητα…. (ανάπτυγμα κύβου του αθροίσματος)
• Έχουμε λοιπόν ανακαλύψει την 4η ταυτότητα που είναι:
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
(α+β)3 = (α+β)(α+β)2 = = (α+β) (α2 + 2αβ + β2 )= = α3 + 2α2β + αβ2+βα2 +2αβ2 +β3 = =α3 + 3α2β + 3αβ2 +β3
Η 5η ταυτότητα…. (ανάπτυγμα κύβου της διαφοράς)
(α - β)3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Στην ταυτότητα:
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
Θέτουμε όπου β το –β όποτε έχουμε
(α - β)3 = α3 + 3α2(-β) + 3α(-β)2 +(- β)3
= α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3
προσοχή!!!• ΔΕΝ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΠΟΤΕ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ
(α + β)3 = α3 + β3 ή
(α – β)3 = α3 – β3
είναι ΛΑΘΟΣπ.χ (3+2)3 = 53 = 125 ενώ 33 + 23 = 27 + 8 = 35
Η 6η ταυτότητα…
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: Ανοίξτε το αρχείο..ταυτοτητες1.gsp ,
στην σελ 4 ακολουθήστε τις οδηγίες και συμπληρώστε το φύλλο εργασίας βάσει των ενεργειών σας…
Η 6η ταυτότητα…(διαφορά κύβων)
• Έχουμε λοιπόν ανακαλύψει την 6η ταυτότητα που είναι:
α3 – β3 = (α -β)(α2 + αβ + β2)
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
(α -β)(α2 + αβ + β2)=
= α3 + α2β + αβ2 - βα2 - αβ2 – β3 =
= α3 - β3
Η 7η ταυτότητα…(άθροισμα κύβων)
• Έχουμε τέλος την 7η ταυτότητα που είναι:
α3 + β3 = (α +β)(α2 - αβ + β2)
που προκύπτει από την προηγούμενη ταυτότητα αν βάλουμε όπου β το -β
Άλλες ταυτότητες…
• (α+β+γ) 2 = α2 +β2 +γ2 +2αβ +2αγ + 2βγ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:• (2χ-3ψ)3 =……………………………………• (χ2+2)3 = ………………………………………• (χ2 – 2χ)3=……………………………………• 8χ3-27=………………………………
ΛΥΣΗ
• (2χ-3ψ)3 = 8χ3 – 36χ2ψ + 54χψ2 - 27ψ3
• (χ2+2)3 = χ6 + 6χ4 + 12χ2 + 8
• (χ2 – 2χ)3= χ6 – 6χ5 + 12χ4 – 8χ3
• 8χ3- 27= (2χ)3 – 33 = (2χ-3)(4χ2 + 6χ + 9)
2. Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες:• (χ … ….)3 = ….. - …… + …… - 27
• (3χ -….)(…. +….+ 4ψ2) = …. – 8ψ3
• (….. + …..)3 = χ6 + 9χ4ψ + ……. +…..
• ω3 - ……. +……. - …… = (…. … 2φ)3
Λύση
• (χ - 3)3 = χ3 – 9χ2 + 27χ - 27
• (3χ -2ψ)(9χ2+ 6χψ+ 4ψ2) = 27χ3 – 8ψ3
• (χ2 + 3ψ)3 = χ6 + 9χ4ψ + 27χ2ψ2 + 27ψ3
• ω3 - 6ω2φ + 12ωφ2- 8φ3 = (ω - 2φ)3
ΛΥΣΗ
• (χ - 4)2 = χ2 – 8χ + 16
• (3χ – 4ψ)(3χ + 4ψ) = 9 χ2 – 16ψ2
• (5 χ2 + 2)2 = 25χ2 + 20χ + 4
• ω2 - 4ωφ + 4φ2 = (ω - 2φ)2
ΝΑ ΘΥΜΑΣΤΕ ΠΑΝΤΑ…
ΤΕΛΟΣ
