1Automatique
Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système (formes canoniques de la représentation d'état)
UV Automatique
ASI 3
Cours 10
2Automatique
Contenu
! Introduction
! Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Passage modèle d'état " fonction de transfert# Cas d'un système monovariable
# Cas d'un système multivariable
! Passage fonction de transfert " modèle d'état#Forme canonique de commandabilité
#Forme canonique d'observabilité
#Forme modale
3Automatique
Introduction! Exemple : système mécanique (masse en translation)
! Equation différentielle ! FT
! Représentation d'état
Etats du système
m F
z
Fr=f z .Entrée : u(t) = F
Sortie : y(t) = z(t)
γrr
mF =∑ zfzmF &&& +=)(
1)()()( fmsssF
sZsH +==
)()(1 tztx = )()(2 tztx &=
)1()()()( 21 txtztx == &&
zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += &
)2()()( 22 txmf
mFtx −=&
[ ]
=
+
−=
)(
)(01)(
10
)(
)(0
10
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tx
txty
Fmtx
tx
mf
tx
tx&
&
(Système d'ordre 2)
! Remarques
$ De l'équation différentielle, on passe aisément à la FT
$ De l'équation différentielle, on passe à la représentation d'état
Question : Peut-on passer de la FT à la représentation d'état et inversement ?
4Automatique
Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Descriptions d'un système# Equation différentielle
# Réponse impulsionnelle
# Fonction (ou matrice) de transfert H(s)
# Représentations d'état (A, B, C, D)
! Liens entre les descriptions Fonction de transfert
H(s)
Représentation d’état
(A, B, C, D)
Réponse impulsionnelle
h(t)
Equation différentielle
ububyayay 0101 +=++ &&&&
5Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Forme générale
# TL de l'équation d'état
# TL de l'équation de sortie
Fonction de transfert ou matrice de transfert
+=
+=
)()()(
)()(
tDUtCXtY
tBUtAXX&
Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0
( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()( sBUsAXssX +=
( ) )()( 1 sBUAsIsX n−−=
In : matrice identité d'ordre n
nnA ×∈ R
mnB ×∈ R
npC ×∈ R
mpD ×∈ R
ntX R∈)(mtU R∈)(ptY R∈)(
( ))()()( tDUtCXtY +=L )()()( sDUsCXsY +=
( )( ) )()( 1 sUDBAsICsY n +−= −
( ) DBAsICsH n +−= −1)(
6Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Remarques
# Calcul de l'inverse de (sIn−A)
# Nouvelle écriture de H(s)
( ) DBAsICsH n +−= −1)(
)det())(()( 1
AsIAsIcomAsI
n
Tn
n −−=− −
)( AsIcomM n −=
matrice des cofacteurs
][ , jimM = avec jiji
ji Mm ,, det)1( +−=Mi,j : matrice extraite de (sIn−A) en supprimant la ième ligne et la jème colonne
DAsIBAsIcomCsH
n
Tn +−
−= )det())(()( )det(
)det())(()( AsIDAsIBAsIcomCsH
nn
Tn
−−+−=
Les pôles du système sont les racines de l'équation 0)det( =− AsIn
Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique 0)det( =− AInλLes pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
7Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie R
u(t)
i(t)
c Vc(t)
L Entrée : u(t)
Sortie : )()( tVty c=
=
+
−−=
Xy
uL
XLRL
cX
]01[1
0
1
10&
Etats du système
)()(1 tVtx c= )()(2 titx =T
c titVtX ])()([)( =
Modèle d'état (voir cours 8)
Fonction de transfert
−−−
=−
LRL
csAsI
1
10
10
012
+
−=−
LRsL
csAsI
1
12 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=−
LcRcssLcAsI 1)det(
22
++=−
−+=−
sc
LLRsAsIcom
1
1)( 2
−+=− LsL
cLRsBAsIcomC T/10
11]01[))(( 2
LcBAsIcomC T 1))(( 2 =−)det())(()(
22
AsIBAsIcomCsH
T
−−= 1
1)( 2 ++=
RcssLcsH
8Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie
−=
−−+
−
−−=
XY
UXX
21
0112
30
11
23& avec
=
)(
)()(
2
1
tx
txtX
=
)(
)()(
2
1
tu
tutU
=
)(
)()(
2
1
ty
tytY
−
−−−
=−
11
23
10
012 sAsI
+−
+=−
11
232
s
sAsI
Calcul de la matrice de transfert
+−
+=−
32
11)( 2
s
sAsIcom
54)det( 22 ++=− ssAsI
−−
+−+
−=− 1230
3121
2101))(( 2 s
sBAsIcomC T
−−
+−−−+=− 12
30)4(21
21))(( 2 sssBAsIcomC T
+++=− )1(5)4(4
534))(( 2 sssBAsIcomC T
9Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 2
! Exemple 2 (suite)
)det())(()(
22
AsIBAsIcomCsH
T
−−=
+++
+++
+++
++=
54)1(5
54)4(4
5453
544
)(
22
22
sss
sss
sss
sssH
Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.
Signification des éléments de la matrice de transferts de l'exemple
=
)()(
)()()(
2221
1211
sHsH
sHsHsH
)()()(
11
11 sUsYsH = )(
)()(21
12 sUsYsH =
)()()(
12
21 sUsYsH = )(
)()(22
22 sUsYsH =
=
=
)(
)()(
)(
)()(
2
1
2
1
sU
sUsH
sY
sYsY
)()()()()( 2121111 sUsHsUsHsY +=
)()()()()( 2221212 sUsHsUsHsY +=
10Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT)
! Remarques# Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le
quadruplet (A, B, C, D)
# Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifieest appelée une réalisation de H(s)
# Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n
# Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros)
( ) DBAsICsH n +−= −1)(
11Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Position du problème
! Forme canonique de commandabilité# Cas simple : m=0 et b0=1
A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation
nmasasas
bsbsbsbsUsYsH n
nn
mm
mm <
++++++++== −
−
−− ,)(
)()(01
11
011
1L
L ?),,,( DCBA
On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent quelques formes remarquable exposées ci-après
01
1)()()(
asassUsYsH n +++
==L
)()()()()( 011
1 sUsYassYasYsasYs nn
n =++++ −− L
)()()()()( 0)1(
1)1(
1)( tutyatyatyaty n
nn =++++ −
− LEquation différentielle
)()()()()( 0)1(
1)1(
1)( tutyatyatyaty n
nn +−−−−= −
− L
12Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas simplePosons
)()()()(
)()()()(
)1(
)2(1
)1(2
1
tytxtytx
tytxtytx
nn
nn
−
−−
=
=
=
=
M
)()()()(
)()()()(
)(
)1(1
)2(2
)1(1
tytxtytx
tytxtytx
nn
nn
=
=
==
−−
&
&
M
&
&
Dérivation Equations d'état
)()()()()()()(
)()()()(
12110
1
32
21
tutxatxatxatxtxtx
txtxtxtx
nnn
nn+−−−−=
=
==
−
−L&
&M
&
&
Forme canonique de commandabilité
)(
10
00
1000
001000010
1
21
1210
1
21
tu
xx
xx
aaaaxx
xx
nn
nnnn
+
−−−−
=
−
−−
−
MM
LL
OOMMOOM
LLL
&
&M
&
&
[ ]
=−n
nx
x
xx
ty1
21
0001)( ML
Remarques
$ Chaque variable d'état xi, i=2,…,n−1 est la dérivée de la variable précédente. On parle de variables de phase
$ A cause de cette dépendance, en faisant varier la commande u, tous les états sont modifiés : le système est commandable
13Automatique
Passage FT """" représentation d'état! Forme canonique de commandabilité
# cas simple : schéma de simulation
# Cas général : m<n et b0≠0
uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&
nx& nx 1−nx
1−na
++
+ u
2−na
++
3−na
+ +
2−nx
1a
++
2x 1x
0a
y−
∫ ∫ ∫ ∫
1,,2pour )()( 1 −== + nitxtx ii L& ∫ += )()( 1 txtx ii
011
1
011
1)()()(
asasasbsbsbsb
sUsYsH n
nn
mm
mm
++++++++== −
−
−−
L
L
Soit v une variable intermédiaire telle que )(
)()()()( sU
sVsVsYsH =
01
1)()(
asassUsV
n +++=
L
011
1)()( bsbsbsbsV
sY mm
mm ++++= −
− L
(I)
(II)
14Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général$ Equation (I)
Elle correspond au cas précédent
)1(
)2(1
)1(2
1
−
−−
==
==
nn
nn
vxvx
vxvx
M
uxax
xx
xxxx
ni iin
nn
+−=
=
==
∑ −= +
−10 1
1
32
21
&
&M
&
&
$ Equation (II)
011
1)()( bsbsbsbsV
sY mm
mm ++++= −
− L
)()()( 01 sVbsbsbsY mm +++= L
)()()()( 0)1(
1)( tvbtvbtvbty m
m +++= L
)()()()( 10211 txbtxbtxbty mm +++= + L
Représentation d'état
)(
10
00
1000
001000010
1
21
1210
1
21
tu
xx
xx
aaaaxx
xx
nn
nnnn
+
−−−−
=
−
−−
−
MM
LL
OOMMOOM
LLL
&
&M
&
&
[ ]
=++
n
mmm
x
xx
xx
bbbty
M
MLL
21
21
10 00)(
Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état
15Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&
1,,2pour 1 −== + nixx ii L& ∫ += 1ii xx
10211 xbxbxby mm +++= + L
nx& nx 1−nx
1−na
++
+u
2−na
++
3−na
++
2−nx
++
y
−
b0
+b1
+bm
+
xm+1
+ +
a0a1
x2∫ ∫ ∫ ∫ x1
Schéma de simulation
Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc être commandés et modifiés
16Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme canonique d'observabilité
nmasasas
bsbsbsUsYsH n
nn
mm <
+++++++== −
−,)(
)()(01
11
01L
L
)()()()()()()( 10011
1 sUsbssUbsUbsYassYasYsasYs mm
nn
n +++=++++ −− LL
)()())()(())()(())()(()(
11
11
1100
sYsasYsasYasUbssYasUbssYasUbsYs
nn
mm
mmmn
−−
++ −−−
−++−+−=L
L
Divisons cette équation par sn
ssYa
ssYa
ssYasUb
ssYasUb
ssYasUbsY n
mnm
mnmm
nn)()()()()()()()()( 1
11
11100 −
−−+
−− −−−−++−+−= LL
Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
17Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Modèle d'état
+ +
u
− y
b0
a0
b1
+
a1
−
+
b2
+
a2
−
+
bm
+
am
−
+
an-1
−1x& 1x x2
xn−1.
xn−1 xnxn.xm+1
.xm+11
s 1s
1s
1s
1s
x3.
x2.
Schéma de simulation
n
nnnn
nmmm
mnmmm
n
n
xyxaxx
xaxxubxaxx
ubxaxxubxax
=−=
−=
+−=
+−=
+−=
−−
+++
+
11
112
1
1112
001
&
M
&
&
M
&
&
)(
0
0
1000100
0010001000
10
1
321
12
210
1
3
2
1
tub
bb
xx
xxx
aa
aaa
xx
xxx
m
nn
nn
n
n
+
−−
−−−
=
−
−−− M
M
M
LLL
MMOOMLLLLL
&
&M
&
&
&
[ ]
=
nx
xx
tyM
L 21
100)(Connaissant y=xn, on peut déduire les autres états par dérivation et différence : c'est l'observabilité.
18Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Remarques
! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité
$ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique de commandabilité
$ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée
$ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne dépendent pas de la réalisation
Soit ),,,( cccc DCBA : la réalisation canonique de commandabilité
Soit ),,,( oooo DCBA : la réalisation canonique d'observabilité
On constate que ),,,(),,,( oTo
To
Tocccc DBCADCBA =
19Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale# Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels
% Décomposition en éléments simple
% Choix des états
011
1
01)(asasas
bsbsbsH nn
n
mm
+++++++= −
− L
L
))(())(()(121
01λλλλ −−−−
+++=− ssss
bsbsbsHnn
mm
LL
∑ = −== ni
ii
ssUsYsH 1 )()()()( λ
µ ∑ = −= ni
ii s
sUsY 1 )()()( λµ
)()()(i
i ssUsX λ−= )()()( sUsXssX iii += λ
)()()( tutxtx iii += λ&
ni ,...,1=pour∑ == n
i ii txty 1 )()( µ
)(1
11
000
000
21
21
21
tu
x
xx
x
xx
nnn
+
=
MML
OOMMO
L
&M
&
&
λ
λλ
[ ]
=
n
n
x
xx
tyM
L 21
21)( µµµ
nii ,,1L=λ
20Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale# Remarques sur le cas 1
$ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système
$ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt
$ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi, A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que
ATTAm1−= CTCm =
BTBm1−= DDm =
=
n
mA
λ
λλ
000
000
21
LOOM
MOL
avec
u+
y
∫
λ1
µ1
∫
λn
µn +
+
++
++
xn xn
x1 x1
Schéma de simulation
T : matrice des vecteurs propres de A
Chaque état xi est indépendant des autres
21Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale# Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes
% Décomposition en éléments simples
% Choix des états
Soit et les pôles complexes conjugués du systèmeωσλ j+=1 ωσλ j−=2
)()()(1 ωσ js
sUsX +−= )()()()( 11 sUsXjssX ++= ωσ
)()()(2 ωσ js
sUsX −−= )()()()( 22 sUsXjssX +−= ωσ
∑ = −+−−−++−
+= ni i
isjs
jbajs
jbasH 3 )()()()( λµ
ωσωσ
∑ = −+−−−++−+= ni i
i ssU
jssUjbajs
sUjbasY 3 )()(
)()()()(
)()()( λµωσωσ
On obtient des états à coefficients complexes qui ne signifient rien physiquement !!
uxjx ++= 11 )( ωσ&
uxjx +−= 22 )( ωσ&
)()()( tutxtx iii += λ&
ni ,...,3=pourPas de problème pour les pôles réels
22Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués% Transformation linéaire sur les états complexes
))()(()()()()(
21'
21'
2
1ssXssXjssX
ssXssXssX−=
+=)( 21
'21
'
2
1xxjx
xxx−=
+=)()()(
)(2)()()('''
'''
212
211
sXsXssX
sUsXsXssX
σω
ωσ
+−=
++=
∑ =+−++= ni ii sXsXjbasXjbasY 321 )()()()()()( µ
uxxx 2'''1 21 ++= ωσ&
'''2 21 xxx σω +−=&
Sortie
∑ =++= ni ii sXsbXsaXsY 3
'' )()()()( 21 µ ∑ =++= ni ii xbxaxy 3
''21 µ
)(
1
102
00000
000000
3
'
'
33
'
'
2
1
2
1
tu
x
xxx
x
xxx
nn
n
+
−
=
MML
OMMMO
LL
&M
&
&
λ
λσωωσ
[ ]
=
n
n
x
xxx
baty
M
L3
'
'
32
1
)( µµ
Couplage entre les états correspondants aux pôles complexes conjugués
23Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles multiples
% Décomposition en éléments simples
% Choix des états
Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples
)()()()(
11
01
nkk
mm
sssbsbsbsH
λλλ −−−+++=
+ L
L ∑ +=− −+−+−
+−
= nki i
ikkk ssss
sH 1111
2
1
1)()()()(
)( λµ
λµ
λµ
λµ
L
∑ +=− −+−+−
+−
= nki i
ikkk s
sUs
sUs
sUs
sUsY 1111
2
1
1)()(
)()(
)()(
)()()( λ
µλ
µλ
µλ
µL
nkissUsX
ssUsX
ssUsX
ssUsX
ssUsX
ii
k
k
k
k
,,1,)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
1
21
1
11
2
11
L
M
+=−=
−=
−=
−=
−=
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
nkissUsX
ssUsX
ssXsX
ssXsX
ssXsX
ii
k
kk
,,1,)()()(
)()()(
)()(
)()()(
)()()(
1
11
13
2
12
1
L
M
+=−=
−=
−=
−=
−=
−
λ
λ
λ
λ
λ
nkiuxxuxx
xxx
xxxxxx
iii
kk
kkk
,,1,1
111
3212
2111
L&
&
&
M
&
&
+=+=
+=
+=
+=+=
−−
λλ
λ
λλ
∑ == ni ii txty 1 )()( µ
24Automatique
Passage FT """" représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles multiples
nkiuxxuxx
xxx
xxxxxx
iii
kk
kkk
,,1,1
111
3212
2111
L&
&
&
M
&
&
+=+=
+=
+=
+=+=
−−
λλ
λ
λλ
∑ == ni ii txty 1 )()( µ
)(
1
110
0
0
001
0001
1
1
1
11
1
1
1
1
1
tu
x
xx
x
x
x
xx
x
x
n
kk
k
n
k
n
kk
k
+
=
+
−
++
−
M
M
M
M
O
LOM
MOOL
&M
&
&
&M
&
λ
λλ
λ
λ
[ ]
=
nn
x
xty ML
11)( µµ
Bloc de Jordan
D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est
=
)(000
)(000)(
2
1
2
1
rk
k
k
rJ
JJ
A
λ
λλ
LOOM
MO
L
avec
=
i
ii
ikiJ
λ
λλ
λ00
10
001
)(
LOOM
MO iii
kkikJ ×∈ R)(λ
Bloc de Jordan
25Automatique
Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 1
−−−
=−
LRL
csAsI
1
10
10
012
+
−=−
LRsL
csAsI
1
12
LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− LcRcssLcAsI 1)det(
22
++=−
−+=−
sc
LLRsAsIcom
1
1)( 2
−
+=−
LsL
cLRsBAsICcom T
/1
0
1
1]01[)( 2 LcBAsICcom T 1)( 2 =−
)det()()(
22
AsIBAsICcomsH
T
−−= 1
1)( 2 ++=
RcssLcsH
26Automatique
∫= tc dictV 0 )(1)( ττ )(1)( tictVc =&
)()()()( tutVdttdiLtRi c =++ )(1)()(1)( tuLtiL
RtVLdttdi
c +−−=
Modélisation