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1Automatique
Correction des systèmes linéaires continus asservis
UV Automatique
ASI 3
Cours 6
2Automatique
Contenu
! Introduction" Problématique de l'asservissement
! Différentes méthodes de correction" Correction série, correction parallèle
" Correction par anticipation
! Eléments du cahier de charges
! Synthèse des correcteurs série usuels" Correcteur proportionnel P" Correcteurs I, PI, retard de phase
" Correcteurs PD, avance de phase
" Correcteur PID
3Automatique
Introduction (1)
! Problématique de l'asservissement" Caractéristiques du système piloté (entité non modifiable)
" Objectif de l'asservissement#Amener le système à suivre un comportement fixé par un
cahier de charges # Comment faire ? Utiliser un dispositif complémentaire : le
correcteur en boucle fermée
H(s)
G(s)
Ha(s) ys u
d
Capteur
Actionneur Système
y
# système mal amorti# système lent# système peu précis# système présentant une tendance
à la dérive# cas extrême : système instable
4Automatique
Introduction (2)
! Problématique de l'asservissement
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Entrée Sortie
0 2 4 6 8 10 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ConsigneSortie
Système à commander Comportement désiré
$ Réponse oscillatoire$ Réponse mal amortie$ Ecart avec l'entrée en
régime établi
$ Réponse oscillatoire$ Réponse bien amortie$ Erreur statique nulle
Pour corriger le comportement du système : un correcteur
5Automatique
H(s)
G(s)
Ha(s) ysuyc + - ε
y
d
++
F(s)
-+
C(s)
Méthodes de correction (1)! Correction série
! Correction parallèle
H(s)
G(s)
Ha(s) ysuyc +-
ε
C(s)
y
Correcteur
d
++
F(s)
Rôle du correcteur : élaborer le signal de commande u approprié à partir du signal d'erreur ε
6Automatique
H(s)
G(s)
Ha(s) ysuyc +-ε
y
d
++
F(s)
-+
C2(s)
C1(s)
Méthodes de correction (2)
! Correction série-parallèle
! Correction par anticipation
H(s)
G(s)
Ha(s) ysuyc +- ε
y
d
++
F(s)
+
Wc(s)
C(s)
Wd (s)
−−−− −−−−
7Automatique
Méthodes de correction (3)! Remarques
% La correction série est la plus couramment utilisée % Pour la correction série, le schéma d'asservissement est
transformé en un asservissement à retour unitaire
H(s)
G(s)
Ha(s) ysuyc +-
ε
C(s) y
d
++
F(s)
)()()()( sGsHsCsH BOC =
)(1)()(sH
sHsHBOC
BOCBF +
=
)()()( sYsGsY s=
En général, λ=)(sGavec λ une constante
y et yc sont alors de même nature
)()()( sHsHsH sa=
)()()( sGsHsH BONC =
8Automatique
Exigences de l'asservissement (1)! Cahier de charges
! Elements du cahier de charges
1. Stabilité# On analyse la stabilité par les critères de Routh et de Nyquist
2. Marges de stabilité# Si marges de stabilité faibles ⇒ système proche de l'instabilité
en BF, réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement
# On règlera les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes suivantes :
Les exigences sont exprimées sous la forme d'un cahier de charges. La synthèse du correcteur doit permettre de satisfaire au mieux ces exigences.
dBmm g 10 ,45 ≥°≥ϕ
9Automatique
Exigences de l'asservissement (2)! Eléments du cahier de charges
3. Forme de la réponse indicielle en BF# Apériodique (HBF doit avoir des pôles réels)# Oscillatoire (HBF doit avoir des pôles complexes conjugués)
4. Précision en régime permanentPour avoir une bonne précision, deux solutions :# augmenter le gain en basses fréquences du système non bouclé
# introduire des intégrateurs (si nécessaire)
Mais, risque de rendre le système instable en BF!!
5. RapiditéPour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir sa bande passante en BF. Augmenter la BP en BF ⇔ augmenter la pulsation de coupure à 0dB ωco de HBOC(s) = C(s)H(s)G(s)
10Automatique
Exigences de l'asservissement (3)Système du 1er ordre en BF
000,, 1 cnBFn K ωωω ≈+=
42 , << mBFn tωBF
BFc T1
, =ω, 2,
, π
ω BFcf BFc =
35.0, ≈BFcfmt
ωlog
G (dB)
0dB HBF(s)
HBOC(s)
ωco
Bande passante en BF ωc, BF
Pente −1
Relation temps de montée-BP
0, cBFc ωω ≈
Système du 2e ordre en BF
ωlog
G (dB)
0dB
HBOC(s)Pente −1
HBF(s)Pente −2
BP en BF
ωn, BF
8.02.0 << BFξPour
On a
11Automatique
Correcteurs série usuels
! Correcteurs qui modifient le gain " Correcteur proportionnel (P)" Correcteur intégral (I)" Correcteurs proportionnel-intégral (PI), à retard de phase
! Correcteurs qui modifient la marge de phase" Correcteur proportionnel dérivé (PD)" Correcteur à avance de phase
! Correcteur réalisant les deux actions" Correcteur proportionnel-intégral-dérivateur (PID)
Il y a des correcteurs qui modifient le gain du système en BO (précision), d'autres qui agissent sur la marge de phase (stabilité, rapidité).
12Automatique
Correcteur proportionnel P (1)
! Correcteur P
! Effets du correcteur
cKsC =)(Le correcteur est un gain Kc :
Commande du système : )()( tKtu c ε=
# Modification du gain du système en BO
# Si Kc > 1 (amplification)
% amélioration de la précision du système en BF
# Si Kc < 1 (atténuation)
% diminution de la précision du système en BF
Le correcteur P ne permet pas de régler indépendamment la rapidité, la précision et les marges de stabilité
En effet …⇒
13Automatique
Correcteur proportionnel P (2)
! Effets du correcteur
10 -2 10-1 10 0 101 102 103-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Kc=1 Kc >1
Kc <1 ωc0 ωc0 ωc0
10 -2 10-1 10 0 101 102 103-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20
0
mϕ mϕ
mϕ
# Si Kc > 1% translation du diagramme de gain
de Bode vers le haut
% augmentation de ωco ⇒augmentation de la rapidité
% diminution de la marge de phase (dégradation de la stabilité en BF)
# Si Kc < 1% translation du diagramme de gain
de Bode vers le bas
% diminution de ωco ⇒ diminution de la rapidité
% Augmentation de la marge de phase (amélioration stabilité)
HBOC(s) Amplitude (dB)
Phase (°)
14Automatique
Correcteur intégral I (1)! FT du correcteur
! Effets en fréquentiel du correcteur
sTsC
i
1)( =
Ti : constante d'intégration
Commande du système
∫= t
id
Ttu 0 )(1)( ττε
1 0 -2 10 -1 10 0 101 1 02 10 3
-27 0
-18 0
-9 0
0
H B O C (s) H B O N C (s)
m ϕ
m ϕ
10 -2 1 0 -1 10 0 1 01 102 1 0 3-1 50
-1 00
-50
0
5 0
10 0 H B O C (s)
H B O N C (s) 0
-1
-2
-1
-3
-2 ωc0
ωc 0
Augmentation des pentes de +20dB/décade
Translation du diagramme de phase de 90° vers le bas
Amplitude (dB) Phase (°)
15Automatique
Correcteur intégral I (2)
! Effets du correcteur" Introduction d'un intégrateur ⇒ amélioration précision
# annulation de l'erreur statique, diminution de l'erreur de vitesse (si le système non corrigé est de classe 0)
# rejet asymptotique des perturbations constantes
" Diminution de la pulsation de coupure à 0dB ωco
# diminution de la rapidité du système en BF
# l'effet intégrateur provoque un ralentissement du système
" Réduction de la marge de phase ⇒ dégradation de la stabilité voire instabilité
Le correcteur I n'améliore que la précision ; les autres performances sont dégradées
16Automatique
Correcteur PI (1)! FT du correcteur
sTsTK
sTKKsC
i
ic
i
cc
+=+= 1)(
Commande du système
∫+= t
i
cc d
TKtKtu 0 )()()( ττεε
Plus Ti est grande, plus l'action intégrale est faible
PI : combinaison des correcteurs P et I
t
ε
t
u PI
I
P
Correcteur utilisé en industrie
17Automatique
Correcteur PI (2)! Réponse fréquentielle
0000 10 -2 10 -1 10 1 10 20
10
20
30
40
50 Amplitude (dB)
iT1
Kc=1
−−−−1
10 -2 10 -1 10 1 10 2-100
-80
-60
-40
-20
0
iT1
Phase (°)
! Effets du correcteurs% Introduction d'un intégrateur% Gain en basses fréquences (ω<<1/Ti) infini ⇒ erreur statique nulle (système de classe 0)
% Le gain du système corrigé ne sera pas modifié en hautes fréquences si ⇒ ωco
(⇒ rapidité) non modifiée
% La phase du système corrigé n'est modifiée qu'en basses fréquences (au contraire de I)
% La marge de phase n'est pas modifiée si 0
1c
iTω<<
01
ciT
ω<<
18Automatique
Correcteur à "retard de phase" (1)
! FT du correcteur
! Contraintes pouvant être satisfaites
Le correcteur à retard de phase est une forme approchée du correcteur PI. Il réalise une action intégrale (augmentation du gain en basses fréquences) sans introduire d'intégrateur
bTsTsKsC c +
+=11)( avec b > 1
En pratique, on choisit Kc= b
% Erreur permanente imposée% Marge de phase imposée% Rapidité imposée
19Automatique
Correcteur à "retard de phase" (2)! Réponse fréquentielle du correcteur
10 -2
10 -1
102
10 3 0
5
10
15
Amplitude (dB)
bT1
0
−1
0
T1
Tb1
10 -2
10 -1
102
10 3 -90
-30
0
bT1
T1
Phase (°)
min,cϕ
% Introduction d'un déphasage négatif d'où le nom de correcteur à retard de phase
% Déphasage minimum
% Pulsation correspondante
b10log20
radbb
c +−=
11arcsinmin,ϕ
bTc1
min, =ω
0min, <cϕ
20Automatique
Correcteur à "retard de phase" (3)! Effets du correcteur
! Eléments de réglage du correcteur
% Augmentation du gain en basses fréquences de 20log10b⇒ effet intégral ⇒ diminution de l'erreur statique en BF (système de classe 0 en BO)
% Diminution de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système moins rapide en BF (augmentation de tm ou de tr,5%)
% Introduire dans le correcteur un gain K'c qu'on calcule pour
avoir la marge de phase désirée
% Calculer Kc=b pour obtenir la précision imposée
% Choisir la constante de temps T telle que ( ) pour ne pas modifier la marge de phase et les performances dynamiques
01
cTω<< 01.01
cTω≤
21Automatique
Correcteur proportionnel dérivé PD (1)! FT du correcteur
( )sTKsC dc += 1)(
Commande du système
dttdTKtKtu dcc)()()( εε +=
Plus Td est grande, plus l'action dérivée est importante
PD : combinaison des correcteurs P et D
t
ε
La commande est proportionnelle à l'erreur et à la variation de l'erreur (dérivée)
Td : constante de dérivation
t
u
PDD
P
22Automatique
Correcteur PD (2)! Réponse fréquentielle
10 -2 10-1
101
102
0
10
20
30
40
50
0
Amplitude (dB)
dT1
Kc=1
+1
10 -2 10-1
101
102
0
30
60
90
dT1
Phase (°)
! Effets du correcteurs% Avance de phase maximale de
90° pour ω>>10/Td ⇒ amélioration de la stabilité (marge de phase)
% Augmentation de la pulsation ωco ⇒amélioration de la rapidité (tr,5% , tm↓ )
% Amplification en hautes fréquences (pour ω > 1/Td)⇒ élargissement de la BP du système en BF ⇒sensibilité aux bruits
% Diminution de l'erreur permanente
! Réglages% Régler Kc pour avoir ωco imposé% Régler Td pour avoir mϕ imposée% Vérifier a posteriori ωco et mϕ
23Automatique
Correcteur à avance de phase (1)! FT du correcteur
! Contraintes pouvant être satisfaites"Augmentation de la marge de phase (comme l'indique le
nom du correcteur)
"Augmentation de la bande passante (augmentation de la rapidité càd diminution de tr)
" Erreurs en régime permanent imposées
Le correcteur à avance de phase est une forme approchée du correcteur PD qui est physiquement irréalisable (condition de causalité non vérifiée)
TsaTsKsC c +
+=1
1)( avec a > 1
24Automatique
Correcteur à avance de phase (2)! Réponse fréquentielle du correcteur
10 -2
10-1
102
1030
5
10
15
20 Amplitude (dB)
aT1
0
+1
0
T1
Kc=1
10 -2
10-1
102
1030
30
90
aT1
T1
Phase (°)
max,cϕ
aT1
% Introduction d'un déphasage positif d'où le nom de correcteur à avance de phase
% Avance de phase maximale (la cloche)
% Pulsation correspondante
radaa
c 11arcsinmax, +
−=ϕ
aTc1
max, =ω
0max, >cϕ
a10log20
25Automatique
Correcteur à avance de phase (3)! Effets du correcteur
! Eléments de réglage du correcteur
% Augmentation de la marge de stabilité ⇒ effet dérivateur
% Augmentation de la bande passante à 0dB ωco ⇒ système plus rapide en BF (diminution de tm ou de tr,5%)
% Sensibilité aux bruits à cause de l'élargissement de la BP
% Calculer a pour avoir l'avance de phase désirée
% Calculer T de façon à placer la cloche à la pulsation ωco désirée càd
% Le gain fréquentiel est augmenté de 20log10a à partir de ω=10/T. Ceci décale la pulsation ωco du système corrigé en BO
% Calculer Kc pour ramener ωco à la bonne valeur
11arcsinmax, +
−=aa
cϕ
01
max, caTc ωω ==
26Automatique
Correcteur à avance de phase (4)
)1()(
ssKsH BONC τ+
=TsaTsKsC c +
+=1
1)( )()()( sCsHsH BONCBOC =
10 -2 10-1
10 0 102
103
-100
-50
0
50
100
0cω
HBONC
C
Amplitude (dB)
10 -2
10-1
10 0
102
103-200
-150
-100
-50
0
50
0cω
Phase (°)
mϕϕϕϕ
ϕϕϕϕc,,,,max
10-2
10-1
100
101
102
10 3 -100
-50
0
50
100
HBOC
Amplitude (dB)
10-2
10-1
100
101
102
10 3 -180
-160
-140
-120
-100
-80
mϕϕϕϕ
Phase (°)
27Automatique
Correcteur PID théorique (1)! FT du correcteur
sTsTsTTKsT
sTKsC
i
idicd
ic
111)(2 ++=
++=
PID : combinaison des correcteurs P, I et D
Td : constante de dérivation
Ti : constante d'intégration
Factorisation de C(s)
% Si Ti > 4Td ,
% Si Ti < 4Td ,
sTsTsTKsC
ic
)1)(1()( 21 ++= avec
==+
di
iTTTTTTT
21
21
sTTssTKsC
ic
12)(22 ++= ξ avec
==
di
iTTT
TT2
2ξZéros réels
Zéros complexes conjugués
1<ξ
Commande du système
dttdTKd
TKtKtu dc
t
i
cc
)()()()( 0εττεε ++= ∫
28Automatique
Correcteur PID théorique (2)! Réponse fréquentielle
10 -2 10 0 102
1030
10
20
30
40 Amplitude (dB)
−1 0
1
1T
+1
2
1T
10 -2
10 0
102
103-100
-50
0
50
100
1
1T 2
1T
Phase (°)
! Effets du correcteurs% Avance de phase en hautes
fréquences % Amplification en hautes
fréquences
% Gain infini en basses fréquences% Retard de phase en basses
fréquences
% Fréquences moyennes : peu d'influence du correcteur
Effet PD en hautes fréquences
Effet PI en basses fréquences
29Automatique
Correcteur PID (1)! Caractéristiques du PID
" Correcteur utilisé industriellement avec les caractéristiques# Bp : bande proportionnelle
# Taux de répétition par minute
# Constante de temps de dérivation Td
" Le PID théorique est physiquement irréalisable
! PID réel : PID théorique filtré
cP K
B 100=
ir T
60=τ
+
++=
NT
sTsT
KsCd
di
c1
11)(
Le PID théorique a l'inconvénient du PD càd une amplification en hautes fréquences ⇒ sensibilité aux bruits. Pour éviter cela, on introduit un filtre passe-bas en hautes fréquences
+++=
NTsT
sTKsC
d
d
ic
1
11)(ou avec N≥10
1 2
30Automatique
Correcteur PID (2)! Réponse fréquentielle PID réel
+
++
=
NT
sTsT
KsCd
di
c1
11)(
Filtrage des hautes fréquences
1
10 -2
103 0
5
10
15
20 Amplitude (dB)
−1 0
1
1T
+1
2
1T
0
dT10
10 -2
100
103 -100
-50
0
50
100
1
1T 2
1T
Phase (°)
dT10
31Automatique
Stratégie de synthèse des correcteurs1. Analyse du système (identification,
performances dynamiques, réponse fréquentielle)
2. Analyse du cahier de charges (traduction en termes d'erreur, de rapidité, de marge de phase, de pulsation ωco)
3. Choix de la structure du correcteur compte tenu du cahier des charges et des caractéristiques du système
4. Calcul des paramètres du correcteur
5. Vérification des performances du système corrigé. Si le cahier des charges n'est pas satisfait, retour à 3
6. Réalisation de l'asservissement et tests
Réglage des paramètres plus difficile
Très utilisé en industrieAction PI + PD
PID
Sensibilité du système aux bruits
Amélioration stabilité et rapidité
Avance de phase
Système parfois lent en BF
SimplicitéErreur statique nulle
PI
Risque d'instabilité si Kc >> 1
SimplicitéMeilleure précision
P
InconvénientsAvantagesCorrecteurs