i
PROFIL PCK (PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE)
CALON PENDIDIK TERKAIT BENTUK-BENTUK
REPRESENTASI DALAM PEMBELAJARAN INDUKSI
MATEMATIKA DI SMA STELLA DUCE 2 YOGYAKARTA
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
Ana Rosari Dian Sulistyarini
NIM : 151414003
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEPENDIDIKAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN MOTTO
4 kata yg bikin kita jauh dari SUKSES adalah what will people say. Ketika kita
melakukan sesuatu jangan pernah memikirkan what will people say. “I don't care
what people say, if you don't agree with me then walk you off way, I don't really
care”.-Deddy Corbuzier
Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will
live its whole life believing that it is stupid- Albert Einstein
Terasa sulit ketika aku merasa harus melakukan sesuatu, tetapi menjadi
mudah ketika aku menginginkannya – Annie Gottlier
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Ana Rosari Dian Sulistyarini. 2020. Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge)
Calon Pendidik Terkait Bentuk-Bentuk Representasi dalam Pembelajaran Induksi
Matematika di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penelitian dalam skripsi ini bertujuan untuk mengetahui PCK (Pedagogical Content
Knowledge) calon pendidik terkait bentuk-bentuk representasi, khususnya pada
materi induksi matematika.
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Subjek penelitian dibatasi dua orang
mahasiswa calon pendidik pada Prodi Pendidikan Matematika Angkatan 2016
Universitas Sanata Dharma. Penelitian dilaksanakan ketika subyek sedang
melaksanakan dan setelah melaksanakan kegiatan PLP-KP di SMA Stella Duce 2
Yogyakarta tahun ajaran 2019/2020. Kategori PCK yang akan diteliti adalah
pengetahuan guru mengenai bentuk representasi bahan ajar dan bagaimana bahan
ajar disampaikan. Pengumpulan data dilakukan dengan teknik observasi proses
pembelajaran, wawancara, dokumentasi dan analisis dokumen. Teknik analisis data
dalam penelitian ini adalah teknik analisis data interaktif yang terdiri dari reduksi
data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan serta verifikasi.
Hasil penelitian ini menunjukan bahwa profil PCK kedua subjek terkait bentuk-
bentuk representasi adalah sama yang ditinjau dari kejelasan PCK, pengetahuan
materi dalam konteks pedagogik, dan pengetahuan pedagogik dalam konteks materi
yaitu: Profil PCK kedua subjek pada aspek struktur matematika dan relasinya dan
pengetahuan kurikulum masih perlu ditingkatkan lagi karena belum memenuhi
indikator. Sedangkan strategi pembelajaran, kesesuaian dan kedetailan dalam
menyajikan konsep, sumber daya pengetahuan, tujuan pengetahuan isi,
pembangunan isi sebagai kunci komponen-komponen, pemahaman yang mendalam
mengenai dasar matematika, pengetahuan mengenai pelaksanaannya, metode-
metode pemecahan masalah, tujuan pembelajaran, mengambil dan memelihara
fokus siswa, teknik kelas, sudah baik karena sudah memenuhi indikator.
Kata kunci: PCK, calon pendidik, bentuk representasi, induksi matematika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Ana Rosari Dian Sulistyarini. 2020. The PCK (Pedagogical Content Knowledge)
Profile of Pre-service Teachers about the Representation Forms on Mathematical
Induction Learning in Stella Duce 2 Yogyakarta Senior High School. Thesis.
Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and
Natural Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata
Dharma University Yogyakarta.
The research in this thesis aims to the PCK (Pedagogical Content Knowledge)
Profile of pre-servise teachers about the forms of representation, especially on
mathematical induction learning.
This was a qualitative research. The subject of the study was limited to two pre-
servise teachers in the 2016 Class of Mathematics Education Study Program at
Sanata Dharma University. The research was conducted when the subjects were
carrying out and after PLP-KP activities at Stella Duce 2 Yogyakarta Senior High
School in the academic year 2019/2020. The PCK category examined was the
teacher's knowledge about the form of teaching material representation and how
the teaching material is delivered. Data collection was done by observation of the
learning processes, interviews, documentation and document analysis. This study
used interactive data analysis techniques consisting of data reduction, data
presentation, and drawing conclusions and verification.
The results of this study indicate that the profile PCK of the two subjects’ are
related to forms of representation in the same terms of PCK clarity, material
knowledge in the pedagogical context, and pedagogic knowledge in the material
context, namely: profile PCK of the first and second subjects on aspects of
mathematical structure and its relationships and curriculum knowledge still needs
to be increased because it doesn't meet the indicators. Where as learning strategies,
suitability and detail in presenting concepts, knowledge resources, content
knowledge objectives, content development as key components, deep understanding
of mathematical basis, knowledge of its implementation, methods of solving
problems, learning objectives, gaining and maintaining student focus, class
technique are good because it meets the indicators.
Keywords: PCK, preservise teachers, forms of representation, mathematical
induction
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur praktikan haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena
dengan rahmat-Nya peneliti dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Profil
PCK (Pedagogical Content Knowledge) Calon Pendidik Terkait Bentuk-
Bentuk Representasi dalam Pembelajaran Matematika SMA di Yogyakarta
Pada Materi Induksi Matematika” dengan lancar dan baik. Skripsi ini disusun
untuk memperoleh gelar sarjana Pendidikan Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Peneliti menyadari bahwa tanpa adanya dukungan dan bimbingan dari
beberapa pihak ketika peneliti melaksanakan penelitian, baik secara langsung
maupun tidak langsung, maka skripsi ini tidak akan berjalan dengan baik dan lancar.
Oleh karena itu, peneliti mengucapkan terimakasih kepada:
1. Ibu Niluh Sulistyani, M. Pd., selaku dosen pembimbing skripsi yang berkenan
membimbing peneliti dengan memberikan waktu, tenaga, dan ide atau
masukan yang sangat bermanfaat bagi keberhasilan peneliti.
2. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M. Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
3. Bapak Beni Utomo., M. Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika Universitas Sanata Dharma.
4. Ibu Cyrenia Novella Krisnamurti, M. Sc. Selaku Dosen Pembimbing
Akademik yang telah mendampingi peneliti selama berproses di Program Studi
Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
5. Segenap dosen dan karyawan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta,
khususnya Program Studi Pendidikan Matematika atas bimbingannya dan
bantuan selama berproses di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
6. Kepala Sekolah, Wakil Kepala Sekolah Bagian Kurikulum, guru-guru, dan
semua pihak sekolah SMA Stella Duce 2 Yogyakarta yang telah membatu
kelancaran dan keberhasilan penelitian.
7. Kedua Orangtua tercinta, kakak-kakak dan adik-adik peneliti yang selalu
memberikan doa, dukungan, dan motivasi pada peneliti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................ii
HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................iv
HALAMAN MOTTO .........................................................................................v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................vii
ABSTRAK ..........................................................................................................viii
ABSTRACT ........................................................................................................ix
KATA PENGANTAR ........................................................................................x
DAFTAR ISI .......................................................................................................xii
DAFTAR TABEL ...............................................................................................xiv
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xv
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................xvi
BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 5
C. Tujuan Penelitian ........................................................................................... 6
D. Pembatasan Masalah ...................................................................................... 6
E. Penjelasan Istilah ............................................................................................ 7
BAB II. KAJIAN TEORI ...................................................................................... 10
A. Pembelajaran Matematika .............................................................................. 10
B. Pedagogical Content Knowledge (PCK) ........................................................ 11
C. Pengetahuan Guru Mengenai Bentuk-Bentuk Representasi .......................... 14
D. Induksi Matematika ....................................................................................... 16
E. Penelitian yang Relevan ................................................................................. 20
F. Kerangka Berpikir .......................................................................................... 22
BAB III. METODE PENELITIAN....................................................................... 23
A. Jenis Penelitian .............................................................................................. 23
B. Subjek Penelitian ........................................................................................... 23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
C. Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................................ 24
D. Teknik Pengumpulan Data ............................................................................. 24
E. Instrumen Penelitian ....................................................................................... 26
F. Uji Kredibilitas Data ....................................................................................... 29
G. Analisis Data .................................................................................................. 30
H. Prosedur Penelitian ........................................................................................ 31
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................. 33
A. Proses Penelitian ............................................................................................ 33
B. Hasil Transkrip Video dan Observasi Subjek ................................................ 35
C. Hasil Wawancara Subjek ............................................................................... 74
D. Analisis dan Pembahasan PCK ...................................................................... 77
E. Keterbatasan Penelitian ................................................................................107
BAB V. PENUTUP .............................................................................................109
A. Kesimpulan ..................................................................................................109
B. Saran ............................................................................................................113
DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................114
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick ......................... 15
Tabel 3.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick ......................... 26
Tabel 3.2: Kisi-kisi Wawancara ......................................................................... 28
Tabel 4.1: Jadwal Pelaksanaan Penelitian .......................................................... 32
Tabel 4.2: PCK Subjek Pada Materi Induksi Matematika ................................101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1. Tabel pola penjumlahan ................................................................. 37
Gambar 4.2. Subjek 1 menjelaskan pola penjumlahan yang terbentuk ............. 38
Gambar 4.3. Subjek 1 membuktikan rumus Sn ................................................. 39
Gambar 4.4. Pembahasan soal ketika 𝑛 = 𝑘 + 1 .............................................. 42
Gambar 4.5. Subjek 1 memberikan contoh ∑ 2𝑘2𝑘=1 𝑑𝑎𝑛 ∑ 3𝑘 − 15
𝑘=2 ........... 42
Gambar 4.6. Peserta didik menyampaikan pekerjaannya di depan kelas .......... 50
Gambar 4.7. Subjek 1 mengoreksi penulisan pekerjaan peserta didik ............. 52
Gambar 4.8. Keterangan dari simbol notasi sigma ............................................ 56
Gambar 4.9. Sifat-sifat dari notasi sigma .......................................................... 57
Gambar 4.10. Subjek 2 sedang memaparkan langkah-langkah dari prinsip induksi
matematika ......................................................................................................... 62
Gambar 4.11. Subjek 2 mengoreksi pekerjaan peserta didik ............................. 66
Gambar 4.12. Subjek 2 menjelaskan istilah-istilah dalam keterbagian ............. 68
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Surat Ijin Penelitian dari Universitas .........................................116
Lampiran 2. Surat Keterangan dari Sekolah .....................................................117
Lampiran 3. Pedoman Observasi ......................................................................118
Lampiran 4. Lembar Validasi Instrumen ..........................................................122
Lampiran 5. Transkrip Wawancara ..................................................................126
Lampiran 6. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 1 ...................130
Lampiran 7. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 2 ...................170
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Pendidikan merupakan suatu hal yang penting dalam kehidupan manusia.
Menurut Shulman (dalam Rusman 2017:335) Pendidikan merupakan proses
membantu orang mengembangkan kapasitas untuk belajar bagaimana
menghubungkan kesulitan mereka dengan teka-teki yang berguna unttuk
membentuk masalah. Dalam proses membantu tersebut dibutuhkanlah
tenaga pengajar yang sering disebut pendidik. Pendidik merupakan ujung
tombak keberhasilan kegiatan pembelajaran yang terlibat langsung dalam
perencanaan dan pelaksanaan kegiatan pembelajaran. Kualitas kegiatan
pembelajaran yang dilakukan sangat bergantung pada perencanaan dan
pelaksanaan proses pembelajaran yang dilakukan pendidik. Tugas pendidik
bukan semata-mata mengajar, tetapi lebih pada membelajarkan peserta
didik.
Pendidik dituntut untuk lebih menguasai dan mengembangkan suatu
pembelajaran secara luas dengan memperhatikan karakteristik siwa dan
lingkungan sekolah masing-masing. Artinya, pendidik dituntut agar lebih
kreatif agar peserta didik tidak cenderung bosan dalam materi ajar. Seorang
pendidik seharusnya bisa mengembangkan materi yang diajarkan yang
bertujuan untuk menambah wawasan dan kepribadian peserta didik agar
menjadi sumber daya manusia yang berguna bagi negara dan masyarakat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Atas dasar pemahaman ini, sepantasnya seorang guru mempunyai suatu
pengetahuan tentang bagaimana mengajarkan suatu bahan ajar kepada
siswanya. Pembelajaran yang merupakan upaya mengarahkan siswa untuk
dapat menjangkau aspek konten, baik sintaktikal maupun substantif, tidak
akan tercapai tanpa dibarengi adanya pengetahuan strategi pengajaran yang
diterapkan dengan tepat oleh guru. Guru yang ingin mengajar sains secara
efektif harus lebih dari sekedar mengetahui tentang isi (konten) yang akan
diajarkan dan beberapa cara pengajarannya. Guru tersebut juga harus paham
dan mampu dalam mengintegrasikan pengetahuan konten ke dalam
pengetahuan tentang kurikulum, pembelajaran, mengajar dan siswa.
Pengetahuan-pengetahuan tersebut akhirnya dapat menuntun guru untuk
merangkai situasi pembelajaran pada kebutuhan individu dan kelompok
siswa. Pengetahuan seperti ini dinyatakan sebagai pedagogical content
knowledge (Yeni R., dkk, 2010:18).
Pada Undang-undang Republik Indonesia Nomor 14 Tahun 2005 tentang
Guru dan Dosen, pasal 1 ayat 2 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik
profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing,
mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada
pendidikan menengah. Dengan demikian, Guru yang berada pada semua
jenjang pendidikan formal adalah pendidik profesional yang telah dilatih
melalui pendidikan formal yang diprogramkan secara khusus. Namun pada
penelitian sebelumnya, ditunjukan bahwa sekalipun guru memiliki PCK dan
memenuhi kriteria yang baik sebagai dasar untuk pembelajaran fisika, akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
tetapi RPP (Rencana Program Pembelajaran) yang telah dibuat oleh guru
tidak diimplementasikan di dalam pembelajaran. Penyebabnya adalah
ketika RPP disusun, guru tidak terlalu yakin dengan adanya rencana yang di
buat sehingga ia tidak yakin untuk menerapkannya (Sarkim, 2015:11).
Hal ini sangat disayangkan, sebab ada dijelaskan di dalam UU tersebut
bahwa “Pendidik merupakan tenaga profesional yang bertugas
merencanakan dan melaksanakan proses pembelajaran, menilai hasil
pembelajaran, melakukan pembimbingan dan pelatihan, serta melakukan
penelitian dan pengabdian kepada masyarakat, terutama bagi pendidik pada
perguruan tinggi”. Pendidik profesional dapat diwujudkan salah satunya
dengan meningkatkan serta mengembangkan kualitas Pedagogical Content
Knowledge (PCK). Pedagogical Content Knowledge (PCK) dikenalkan
pertama kali oleh Lee Shulman. Menurut Shulman (1986) PCK merupakan
kombinasi dari dua jenis kompetensi, yaitu kompetensi pedagogis
(pedagogical knowledge) dan pengetahuan konten (content knowledge).
Pengetahuan pedagogis terkait dengan kompetensi pedagogis dan
pengetahuan konten terkait dengan kompetensi profesional.
Menurut Sarkim (2015:10) PCK dapat terbangun melalui upaya sadar
para calon pendidik di dalam mempelajari teori-teori pendidikan atau
pembelajaran. Hal ini lebih banyak dialami oleh mahasiswa calon guru, di
mana mereka secara khusus mempelajari berbagai teori yang berhubungan
dengan pembelajaran. Terbentuknya PCK adalah melalui pengalaman
mengajar. Namun demikian, pengalaman mengajar tidak dengan sendirinya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
menjadi pengetahuan yang bermakna bagi guru apabila pengalaman
tersebut tidak disertai refleksi. Penelitian yang dilakukan oleh Sarkim
(2015) menunjukkan bahwa guru dan dosen yang sudah berpengalaman
mengajar akan mengolah pengalamannya itu untuk membantu mereka
dalam mengambil keputusan yang tepat ketika merespon situasi di dalam
kelas. Pembelajaran yang dilakukan guru dan dosen tersebut dipengaruhi
pula oleh pengalaman yang pernah dialami oleh mereka. Hal ini sejalan
dengan penelitian yang dilakukan oleh Magnusson (1999) yang
menunjukkan bahwa para guru yang baru memulai karirnya dalam mengajar
mereka lebih banyak dipengaruhi oleh pengalaman selama kuliah dan
pengalaman masa lalunya menempuh pendidikan.
Secara umum menurut Shulman (1986:7) PCK memiliki 2 kategori
pengetahuan yaitu: pengetahuan mengenai berbagai bentuk representasi dan
bagaimana bahan ajar disampaikan, dan pengetahuan guru mengenai peserta
didik tentang peserta didik akan materi termasuk kesulitan topik ajar, pra-
konsepsi dan konsepsi siswa berbagai usia dan latar belakang. Selain itu
menurut Geddis, dkk (dalam Setianto, 2010:7-8) PCK diyakini sebagai
faktor penting yang mempengaruhi efektivitas pembelajaran karena dengan
pengetahuan inilah guru mentransformasikan pengetahuan tentang isi
materi pembelajaran ke dalam bentuk kegiatan pembelajaran.
Transformasi pengetahuan guru tentang bentuk representasi itu sendiri
adalah bagaimana kemampuan guru mengelola kelas mereka,
mengorganisir aktivitas peserta didik di dalam kelas, mengalokasikan waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
yang cukup, memberikan tugas-tugas terstruktur, merumuskan pertanyaan
yang sesuai dengan tingkat pemahaman mereka, membuat rencana
pembelajaran, dan mengevaluasi pemahaman peserta didik secara umum.
Maka dari itu, untuk membentuk guru yang profesional, penting
mengembangkan dan meningkatkan PCK para calon guru. PCK menjadi isu
sekaligus ide baru untuk memaksimalkan proses dan hasil pembelajaran,
khususnya dalam pembelajaran matematika. Sebab, menurut Suherman
(dalam Yakobus, 2010:6) dalam pembelajaran matematika peserta didik
harus berperan lebih aktif sebagai pembelajar dan peran guru sebagai
fasilitator.
Induksi matematika merupakan salah satu materi yang dipelajari pada
tingkat SMA/SMK/MA. Pemahaman konsep induksi matematika sangatlah
penting supaya peserta didik memiliki bekal untuk mencapai kemampuan
dasar yang lain seperti penalaran, komunikasi dan pemecahan masalah.
Oleh karena itu, peran guru sangat dibutuhkan supaya peserta didik dapat
memahami suatu konsep matematika khususnya konsep induksi
matematika.
Penelitian ini menganalisa komponen dari PCK khususnya terkait
dengan pengetahuan mengenai berbagai bentuk representasi guru
matematika. Hal ini penting, karena dengan mempelajari bentuk-bentuk
representasi guru matematika di kelas dapat meningkatkan pengetahuan kita
tentang bagaimana suatu materi ajar diajarkan oleh guru. Penelitian ini
melibatkan calon-calon pendidik yang adalah mahasiswa program studi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Pendidikan Matematika angkatan 2016 yang sedang melakukan kegiatan
PLP-KP, dengan harapan hasilnya bisa dijadikan bahan pertimbangan untuk
menyempurnakan kurikulum perguruan tinggi khususnya Program Studi
Pendidikan Matematika.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dikemukakan di atas, maka
dirumuskan masalah, yaitu “Bagaimana Profil PCK (Pedagogical Content
Knowledge) Calon Pendidik Terkait Bentuk-Bentuk Representasi dalam
Pembelajaran Induksi Matematika di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta?”
C. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk
mengetahui Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge) Calon Pendidik
Terkait Bentuk-Bentuk Representasi dalam Pembelajaran Induksi
Matematika di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta.
D. Pembatasan Masalah
Mengingat keterbatasan waktu, tenaga, biaya dan pengetahuan peneliti,
maka dalam penelitian ini perlu adanya pembatasan masalah. Pembatasan
masalah dilakukan hanya untuk menyederhanakan dan menyempitkan
lingkup masalah, akan tetapi tidak akan mengurangi sifat ilmiah dari suatu
pembahasan.
1. Subjek penelitian dibatasi dua orang mahasiswa calon pendidik pada
Prodi Pendidikan Matematika Angkatan 2016 Universitas Sanata
Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
2. Penelitian dilaksanakan ketika subyek sedang melaksanakan dan setelah
melaksanakan kegiatan PLP-KP di Sekolah Menengah Atas (SMA)
tahun ajaran 2019/2020.
3. Kategori PCK yang akan diteliti adalah pengetahuan guru mengenai
bentuk representasi bahan ajar dan bagaimana bahan ajar disampaikan.
4. Materi ajar yang akan dijelaskan subjek adalah materi ajar kelas XI
semester pertama Induksi Matematika
E. Penjelasan Istilah
1. Pembelajaran Matematika
Pengetahuan matematika tidak terbentuk dengan menerima atau
menghafal rumus-rumus dan prosedur-prosedur, tetapi dengan
membangun makna dari apa yang sedang dipelajari. Peserta didik aktif
mencari, menyelidiki, merumuskan, membuktikan, mengaplikasikan
apa yang dipelajari. Guru berperan sebagai fasilitator dan motivator.
Guru menumbuhkan motivasi dalam diri siswa untuk mempelajari dan
memahami matematika secara bermakna serta memberikan dorongan
dan fasilitas untuk belajar mandiri maupun kelompok. Proses
pembelajaran tidak hanya berfokus pada aspek kognitif, tetapi juga
intuisi dan kreativitas peserta didik.
2. Pedagogical Content Knowledge (PCK)
Pedagogical Content Knowledge (PCK) digunakan untuk merangkum
kecakapan pada materi ajar, pedagogi, dan kurikulum. PCK
dikelompokkan dalam dua kategori yaitu: pengetahuan mengenai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
berbagai bentuk representasi dan bagaimana bahan ajar disampaikan
serta pengetahuan guru mengenai peserta didik tentang pemahaman
peserta didik akan materi.
3. Pengetahuan Guru Mengenai Bentuk-Bentuk Representasi
Yang dimaksud bentuk representasi adalah bagaimana kemampuan
guru mengelola kelas mereka, mengorganisir aktivitas peserta didik di
dalam kelas, mengalokasikan waktu yang cukup, memberikan tugas-
tugas terstruktur, merumuskan pertanyaan yang sesuai dengan tingkat
pemahaman mereka, membuat rencana pembelajaran, dan
mengevaluasi pemahaman peserta didik secara umum.
4. Induksi Matematika
Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk
memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-
suku bilangan asli. Dalam pembahasan ini, kita akan menyatakan
Prinsip Induksi Matematika dan memberikan contoh-contoh untuk
mengilustrasikan bagaimana proses pembuktian dengan menggunakan
induksi matematika.
Induksi Matematika adalah cara dalam membuktikan bahwa sebuah
pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian
dengan cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:
a. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
b. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n,
maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
5. Pengenalan Lapangan Persekolahan Pengelolaan Pembelajaran
(PLP-KP)
PLP KP adalah praktik lapangan untuk berlatih melaksanakan kegiatan
pembelajaran dengan menggunakan berbagai ragam strategi dan media
pembelajaran, melaksanakan pengelolaan kelas, memanfaatkan IT, dan
melaksanakan penilaian dan evaluasi pembelajaran, serta melaksanakan
pendampingan dalam kegiatan ekstrakurikuler, melaksanakan
administrasi guru, dan menemukan persoalan di kelas yang dapat
ditindaklanjuti melalui kegiatan penelitian di sekolah, dengan alokasi
waktu 8 jam per minggu selama satu semester (setara dengan 120 jam).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Pembelajaran Matematika
Menurut Surya (dalam Yakobus, 2010: 6) pembelajaran adalah
suatu proses yang dilakukan oleh individu untuk memperoleh suatu
perubahan perilaku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil dari
pengalaman individu itu sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.
Pembelajaran juga mempunyai beberapa prinsip yang menjadi landasannya.
Salah satunya adalah proses pembelajaran terjadi karena adanya sesuatu
yang mendorong dan sesuatu tujuan yang akan dicapai. Pembelajaran
merupakan aktivitas untuk memenuhi kebutuhan dan mencapai tujuan.
Setiap peserta didik mempunyai kebutuhan untuk paham akan matematika
dan dapat menerapkan dalam pemecahan suatu masalah. Oleh karena itu,
peserta didik perlu proses pembelajaran matematika.
Dari paragraf di atas, menurut Suherman (dalam Yakobus, 2010:6)
dalam pembelajaran matematika peserta didik harus berperan lebih aktif
sebagai pembelajar dan peran guru sebagai fasilitator. Menurut Heris
Hendriana (2013: 14), pengetahuan matematika tidak terbentuk dengan
menerima atau menghafal rumus-rumus dan prosedur-prosedur, tetapi
dengan membangun makna dari apa yang sedang dipelajari. Peserta didik
aktif mencari, menyelidiki, merumuskan, membuktikan, mengaplikasikan
apa yang dipelajari. Guru berperan sebagai fasilitator dan motivator. Guru
menumbuhkan motivasi dalam diri siswa untuk mempelajari dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
memahami matematika secara bermakna serta memberikan dorongan dan
fasilitas untuk belajar mandiri maupun kelompok. Proses pembelajaran
tidak hanya berfokus pada aspek kognitif, tetapi juga intuisi dan kreativitas
peserta didik.
Sementara itu menurut Hudoyo (dalam Yakubus, 2010:6)
pembelajaran matematika dapat diartikan sebagai proses perubahan
perilaku peserta didik yang melibatkan guru dan peserta didik itu sendiri
untuk pengembangan berpikir dan belajar matematika. Oleh karena itu,
pengetahuan guru mengenai berbagai bentuk-bentuk representasi dan
bagaimana bahan ajar disampaikan serta pengetahuan mengenai peserta
didik tentang pemahaman peserta didik akan materi termasuk kesulian topik
ajar pra-konsepsi dan konsepsi peserta didik berbagai usia dan latar
belakang sangat penting. Pengetahuan yang merangkum tentang materi ajar,
pengetahuan guru akan pendidikan atau pembelajaran serta pengetahuan
guru mengenai peserta didik tersebut oleh Shulman (1986) disebut
Pedagogical Content Knowledge (PCK) yang merupakan hal kunci yang
penting dikuasai oleh guru calon guru.
B. Pedagogical Content Knowledge (PCK)
PCK diperkenalkan pertama kali oleh Lee Shulman pada tahun 1986
untuk merujuk pada pengetahuan yang merangkum kecakapan di bidang
materi, pedagogi dan kurikulum. Komponen utama pada PCK mencakup
bagaimana para guru mengatur kelas mereka, mengorganisir aktivitas,
mengalokasikan waktu yang cukup, tugas yang terstruktur, memberikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
pujian dan memperlihatkan kesalahan, merumuskan pertanyaan yang sesuai
dengan tingkat pemahaman mereka, membuat rencana pembelajaran dan
menilai pemahaman siswa secara umum.
Pada tahun 1987 Shulman (dalam Atsu, 2014: 1365) menyatakan
bahwa tujuh kategori yang diberikan di bawah ini merupakan basis profesi
guru, (1) Pengetahuan Konten; (2) Pengetahuan pedagogis umum termasuk
manajemen kelas dan organisasi kelas; (3) Pengetahuan kurikulum
termasuk bahan dan program; (4) Pengetahuan peserta didik dan
karakteristik mereka; (5) Pengetahuan tentang konteks pendidikan; (6)
Pengetahuan tentang tujuan pendidikan, tujuan, nilai-nilai dan landasan
filosofis dan historisnya; (7)Pengetahuan tentang pendidikan, tujuan, dan
nilai-nilai, serta landasan filosofis dan historisnya. PCK Shulman adalah
orang pertama yang membuktikan pedagogis pengetahuan konten sebagai
karakteristik yang perlu dimiliki guru. Shulman percaya bahwa hanya
memahami peserta didik dengan baik saja tidak cukup untuk mengajarkan
peserta didik. Bidang pendidikan sebagai badan besar penelitian yang
dilakukan dalam 20 tahun telah berfokus pada pengetahuan pedagogis guru
dan calon guru.
Peraturan Pemerintah Republik Indonesia Nomor 74 Tahun 2008 pasal
3 menyebutkan bahwa seorang guru wajib memiliki kompetensi pedagogik,
kompetensi profesional, kompetensi kepribadian, dan kompetensi sosial.
Kompetensi pedagogik merupakan kemampuan guru dalam pengelolaan
pembelajaran sedangkan kompetensi profesional merupakan kemampuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
guru dalam menguasai pengetahuan bidang ilmu pengetahuan yang
diampunya. Pengetahuan tentang materi diperlukan oleh seorang guru,
namun tidak cukup untuk menimbulkan pengajaran yang efektif. Untuk itu,
bukan hanya materi yang kuat yang diperlukan sebagai seorang guru,
bagaimana strategi seorang guru untuk mengajarkan materi tersebut juga
merupakan hal yang penting.
PCK mencakup pengetahuan bahan ajar tapi juga merangkum
pengetahuan pedagogi untuk membelajarkan materi atau bahan ajar
tersebut. Menurut Shulman (dalam Setianto, 2010) PCK dikelompokkan
dalam dua kategori:
1) Pengetahuan tentang bentuk-bentuk representasi dan bagaimana
bahan disampaikan dalam pembelajaran sehingga konsep yang
terkait dalam pembelajaran dapat dipahami dan diserap oleh
sebagian besar siswa. Ini mencangkup pengetahuan tentang model,
contoh, dan ilustrasi yang paling efektif terkait dengan bahan ajar
tertentu.
2) Pengetahuan tentang faktor yang mempengaruhi keberhasilan
belajar, termasuk pengetahuan tentang tingkat kesulitan suatu topik,
prekonsepsi dan konsepsi yang dibawa oleh peserta didik dari
berbagai tingkat usia dan latar belakang terkait materi ajar.
Menurut Geddis, dkk (dalam Setianto, 2010:7-8) PCK diyakini sebagai
faktor penting yang mempengaruhi efektivitas pembelajaran karena dengan
pengetahuan inilah guru mentransformasikan pengetahuan tentang isi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
materi pembelajaran ke dalam bentuk kegiatan pembelajaran. Pada proses
transformasi sangat diperlukan pengetahuan guru tentang bentuk-bentuk
representasi. Yang dimaksud bentuk representasi adalah bagaimana
kemampuan guru mengelola kelas mereka, mengorganisir aktivitas peserta
didik di dalam kelas, mengalokasikan waktu yang cukup, memberikan
tugas-tugas terstruktur, merumuskan pertanyaan yang sesuai dengan tingkat
pemahaman mereka, membuat rencana pembelajaran, dan mengevaluasi
pemahaman peserta didik secara umum.
C. Pengetahuan Guru Mengenai Bentuk-Bentuk Representasi
Baker & Chick (2006) menyatakan bahwa kemampuan representasi
guru juga mencangkup bagaimana strategi guru untuk membantu para
peserta didik mengorganisir kembali pemahaman mereka serta bagaimana
guru menyampaikan materi dan bagaimana cara-cara atau metode-metode
guru dalam pembelajaran matematika agar peserta didik memahami materi
yang diajarkan oleh guru. Selain itu penggunaan media gambar, alat peraga,
atau bercerita, atau melakukan pembelajaran matematika di luar kelas,
melaksanakan permainan matematika yang kreatif dan menantang yang
digunakan oleh guru juga merupakan bentuk-bentuk representasi guru
tersebut.
Untuk memahami pengetahuan guru tentang bentuk-bentuk
representasi maka dalam penelitian ini akan digunakan kerangka kerja dari
Baker & Chick (2006: 61) seperti terlihat pada tabel 2.1 yang digunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
sebagai kategorisasi data. Kerangka kerja ini dikelompokkan dalam tiga
komponen: pertama, kejelasan PCK yang di liputi aspek dimana kejelasan
suatu perpaduan isi dan ilmu mendidik. Kedua, pengetahuan isi di dalam
suatu konteks pendidikan yang meliputi aspek gambaran paling menarik
secara langsung dari isi. Ketiga, pengetahuan pendidikan di dalam suatu
konteks isi meliputi pengetahuan yang telah digambarkan paling menarik
secara langsung dari ilmu mendidik.
Tabel 2.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick (2006:61)
Komponen Kategori PCK Aktivitas Guru
Kejelasan PCK
Strategi
pembelajaran
Mendiskusikan atau menggunakan
strategi atau pendekatan untuk
pembelajaran suatu konsep matematika.
Kesesuaian dan
kedetailan dalam
menyajikan
konsep
Menguraikam atau mendemonstrasikan
suatu konsep (dapat meliputi diagram-
diagram atau material-material)
Sumber daya
pengetahuan
Menggunakan sumber daya yang
tersedia untuk mendukung
pembelajaran
Pengetahuan
kurikulum
Mendiskusikan berbagai topik
pembelajaran berkaitan dengan
kurikulum
Tujuan
pengetahuan isi
Mendiskusikan pertimbangan untuk isi
menjadi tercakup di kurikulum atau
bagaimana itu bisa digunakan
Pengetahuan
Materi di
dalam suatu
konteks
Pedagogik
Mendekonstruksi
konten sebagai
kunci komponen-
komponen
Mengidentifikasikan komponen
matematika yang kritis dalam suatu
konsep adalah pokok untuk penerapan
dan pemahaman suatu konsep
Pemahaman yang
mendalam
mengenai dasar
matematika
Menguasai konsep dasar matematika
secara mendalam
Struktur
matematika dan
relasinya
Membuat koneksi antara topik dan
konsep, mencakup saling
ketergantungan konsep
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Pengetahuan
mengenai
pelaksanaannya
Memperlihatkan keterampilan untuk
memecahkan permasalahan matematika
(pemahaman konseptual tidak perlu
jelas)
Metode-metode
pemecahan
masalah
Mendemonstrasikan suatu metode
untuk pemecahan suatu masalah
matematika
Pengetahuan
Pedagogik di
dalam suatu
konteks materi
Tujuan Pelajaran
Menguraikan suatu tujuan pelajaran
untuk para siswa dalam pelajaran
(mungkin atau tidak mungkin
berhubungan dengan isi matematika
yang spesifik)
Mengambil dan
memelihara fokus
siswa
Mendiskusikan strategi untuk
melibatkan para siswa
Teknik kelas Mendiskusikan praktek-praktek kelas
umum.
D. Induksi Matematika
Menurut Ni Nyoman Parwati (2014:7), induksi matematika adalah suatu
metode yang digunakan untuk memeriksa validasi (kebenaran) suatu
pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli atau bilangan
bulat positif. Prinsip induksi matematika sering digunakan sebagai suatu
cara untuk membuktikan berlakunya suatu hubungan atau suatu dalil.
Pembuktian matematika adalah sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas
rumus, teorema, ataupun pernyataan. Namun sebuah pembuktian dapat pula
terdiri atas pencarian posisi/pernyataan itu benar, dengan bantuan logika
matematika. Cara untuk membuktikan sebuah pernyataan ada beberapa
diantaranya sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
1. Pembuktian dengan induksi: orang membuktikan teorema itu benar di
suatu kejadian tertentu dan kemudian membuktikan kejadian
selanjutnya juga benar.
2. Pembuktian kontradiksi: seseorang menunjukkan bahwa jika
beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena
itu pernyataan harus benar.
3. Pembuktian langsung: seseorang membuktikan suatu implikasi (A
B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian
membuktikan kesimpulan B itu benar.
4. Kontransposisi: seseorang membuktikan sebuah implikasi (A B)
dengan asumsi pada kesimpulan B salah atau kemudian menentukan
hipotesis A itu juga salah.
Menurut Sukirman (2013: 5), induksi matematika merupakan salah satu
metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan maupun
dalam matematika lainnya. Penguasaan kemampuan-kemampuan tersebut
sangat penting bagi mereka yang akan mempelajari matematika, karena
banyak bahasan dalam matematika yang menggunakan prinsip-prinsip
tersebut untuk menurunkan teorema atau untuk pemecahan masalah.
Induksi matematika merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu
teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya
himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli.
Misalkan p(n) adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk setiap
bilangan asli n. Pembuktian kebenaran dari pernyataan ini dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
menggunakan induksi matematika mengikuti langkah-langkah sebagai
berikut.
Langkah 1: ditunjukkan bahwa p(1) benar
Langkah 2: diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli
k >1, dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.
Apabila kedua langkah tersebut berhasil, maka kita dapat menyimpulkan,
bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut basis
(dasar) induksi dan langkah 2 disebut langkah induksi.
Basis induksi tidak mesti diambil n = 1, tetapi diambil sesuai dengan
permasalahan yang dihadapi atau pernyataan yang ingin dibuktikan.
Misalkan akan dibuktikan bahwa p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli
n ≥ t. Maka langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika
sebagai berikut.
Langkah 1: ditunjukkan bahwa p(t) benar
Langkah 2: diasumsikan bahwa p(t) benar untuk suatu bilangan asli
t > 1, dan ditunjukkan bahwa p(t+1) benar
Apabila kedua langkah ini berhasil, maka kita dapat menyimpulkan bahwa
p(n) benar untuk setiap bilangan asli n ≥ t. Namun dalam pembelajaran
induksi matematika di SMA biasanya n ≥ t belum diterapkan. Dalam
pembuktian dengan induksi matematika, kita tidak boleh mengabaikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
langkah 1, yaitu basis induksi, sebab ada kemungkinan kita mendapat
kesimpulan yang salah.
Berikut contoh penyelesaian soal dengan menggunakan prinsip induksi
matematika:
Buktikan 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) untuk setiap 𝑛 bilangan asli!
Jawab: P(n) : 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar 2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar yaitu 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1), k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Dari asumsi : 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(k + 1)
= 𝑘(k + 1) + 2(k + 1 )
= (𝑘2 + 𝑘) + (2𝑘 + 2)
= 𝑘2 + 3𝑘 + 2
= (k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, P(k + 1) benar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk
setiap n bilangan asli.
E. Penelitian Relevan
1. Veronika Kania Anindita (2018)
Penelitian dengan judul “Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge)
Guru Matematika SMA BOPKRI 1 Yogyakarta Pada Topik Turunan”
ini merupakan penelitian kualitatif dengan subjek penelitian adalah dua
orang guru matematika SMA BOPKRI 1 Yogyakarta yang mengajarkan
topik turunan. pengumpulan data dengan teknik observasi proses
pembelajaran, wawancara, dan dokumentasi. Teknik analisis data dalam
penelitian ini adalah teknik analisis data interaktif yang terdiri dari
reduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan serta verifikasi.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa profil PCK guru matematika SMA
BOPKRI 1 Yogyakarta ditinjau dari PCK murni, pengetahuan materi
dalam konteks pedagogik, dan pengetahuan pedagogik dalam konteks
materi yaitu 1) Profil PCK Guru 1 pada aspek tuntutan kognitif dari
tugas, kesesuaian dan kedetailan dalam menyajikan konsep,
pengetahuan kurikulum, pemahaman yang mendalam mengenai dasar
matematika, struktur matematika dan koneksinya, serta tujuan
pembelajaran masih perlu ditingkatkan karena masih ada indikator yang
belum terpenuhi, sedangkan pada aspek strategi pembelajaran, cara
berpikir siswa, sumber daya pengetahuan, tujuan pengetahuan materi,
mendekonstruksi konten sebagai komponen-komponen, pengetahuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
mengenai prosedurnya, metode pemecahan masalah, mengambil dan
memelihara fokus siswa, serta teknik kelas sudah baik karena memenuh
indikator; 2) Profil PCK Guru 2 pada aspek cara berpikir skswa, tuntutan
kognitif dari tugas, pengetahuan kurikulum, mangambil dan memelihara
fokus siswa masih perlu ditingkatkan karena masih ada indikator yang
belum terpenuhi, pada aspek strategi pembelajaran, kesesuaian dan
kedetailan dalam menyajikan konsep, sumber daya pengetahuan, tujuan
pengetahuan materi, mendekonstruksi konten sebagai kunci komponen-
komponen, pemahaman yang mendalam megenai dasar matematika,
struktur matematika dan koneksinya, pengetahuan mengenai
prosedurnya, metode pemecahan masalah, tujuan pembelajaran, dan
teknik kelas sudah baik karena memenuhi indikator.
2. Yakubus Suwardoyo (2010)
Penelitian dengan judul “Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru
Matematika Khususnya Terkait Bentuk-Bentuk Representasi yang
digunakan oleh Guru Matematika di 2 SMA di Yogyakarta ini
merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Materi pokok yang
digunakan adalah menentukan luas daerah dengan proses limit,
menghitung Integral tentu dan Integral substitusi dan juga materi pokok
Median, Kuartil, Desil , Presentil. Hasil penelitian berupa PCK guru
khususnya terkait bentuk-bentuk represesntasi yang digunakan oleh
kedua guru dari masing-masing sekolah. Guru sama-sama
menggunakan ilustrasi dan gambar untuk menjelaskan materi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
matematika. Selain itu dua guru ini juga menggunakan grafik, gambar,
tabel, ceramah/penjelasan, demonstrasi dan presentasi. Bentuk-bentuk
representasi yang terlihat dari guru 1 adalah guru memilih menggunakan
metode diskusi dan presentasi dengan mengujicobakan di kelas dan
materi yang berbeda. Lalu bentuk-bentuk representasi guru 2 terlihat
karena guru tersebut memilih menggunakan pembelajaran LKS dengan
mengenali karakteristik siswa . guru membimbing dan menilai siswa
secara individu karena “permasalahan yang dihadapi oleh setiap anak
berbeda-beda, tingkat kesulitan yang dihadapi juga berbeda-beda”.
F. Kerangka Berfikir
Sebagai calon pendidik yang baik penting sekali untuk mempunyai
pemahaman dan kemampuan khusus untuk memadukan materi, kurikulum,
belajar, pengajaran, dan peserta didik, salah satunya adalah dengan
memiliki PCK (Pedagogical Content Knowledge) yang baik. Setiap calon
pendidik pasti memiliki PCK yang berbeda, karena PCK merupakan
keahlian khusus dengan keistimewaan setiap individu.
Induksi matematika merupakan salah satu materi pada pembelajaran
matematika yang wajib dipelajari pada tingkat SMA/SMK/MA.
Pemahaman konsep induksi matematika sangatlah penting, karena peserta
didik perlu memiliki bekal untuk mencapai kemampuan dasar yang lain
seperti penalaran, komunikasi, dan pemecahan masalah. Oleh karena itu,
peran dari pendidik sangatlah penting supaya peserta didik dapat memahami
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
suatu konsep yang ada pada matematika, khususnya konsep induksi
matematika.
Maka dari itu, peneliti ingin mengtahui Profil PCK calon pendidik yang
sedang melakukan praktik lapangan di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta
dengan materi Induksi matematika. Peneliti akan mengamati kegiatan
pembelajaran yang dilakukan oleh subjek dan melakukan wawancara untuk
menggali lebih dalam hasil observasi yang telah dilakukan. Penelitian ini
menggunakan metode kualitatif karena berdasarkan penelitian yang relevan,
peneliti melihat bahwa lebih efektif meneliti PCK calon pendidik dengan
menggunakan metode kualitatif. Hal ini juga dikarenakan kemampuan calon
pendidik dapat diuraikan secara jelas oleh peneliti. Selain itu, peneliti
membuat instrumen berdasarkan kategori PCK menurut Chick dan Barker
(2006) yang disesuaikan dengan bentuk-bentuk representasi milik Shulman
(1986).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Menurut Sugiyono
(2016:1), metode kualitatif adalah metode penelitian yang digunakan untuk
meneliti pada kondisi objek alamiah (sebagai lawannya eksperimen) dimana
peneliti adalah sebagai instrumen kunci, teknik pengumpulan data
dilakukan secara triangulasi, analisis data bersifat induktif dan hasil
penelitian lebih menekankan makna dari pada generalisasi. Penelitian
kualitatif di sini yaitu mengidentifikasi PCK mahasiswa sebagai calon
pendidik yang sedang melakukan praktek mengajar di sekolah atau PLP-KP
di SMA Stella Duce 2 di Yogyakarta terkait bentuk-bentuk representasi dan
bagaimana bahan ajar akan disampaikan dalam proses belajar mengajar di
kelas pada saat penelitian berlangsung. Bahan ajar dalam penelitian ini
adalah materi yang disampaikan subjek selama pengambilan data
dilakukan.
B. Subjek Penelitian
Subjek dalam penelitian ini adalah 2 orang mahasiswa angkatan 2016
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta. Bahan ajar yang diajarkan kedua subjek adalah sama yakni
materi mengenai induksi matematika. Subjek pertama mengajarkan bahan
ajar di kelas XI MIPA I dan subjek kedua mengajarkan bahan ajar di kelas
XI MIPA II.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
C. Waktu dan Tempat Penelitian
Waktu penelitian dilaksanakan pada bulan Juli sampai dengan bulan
Agustus, selama subjek melaksanakan PLP-KP di sekolah tersebut.
Pelaksanaan penelitian ini menuntut kehadiran peneliti di lokasi penelitian.
Kehadiran peneliti di tempat penelitian sangat diutamakan, karena
pengumpulan data harus dilakukan dalam situasi sesungguhnya. Oleh
karena itu, peneliti harus berusaha sebaik mungkin, selektif, dan hati-hati
dalam mengumpulkan dan menyeleksi data-data apa saja yang relevan dan
terjamin keabsahannya
D. Teknik Pengumpulan Data
Teknik pengumpulan data menurut Sugiyono (2016) merupakan
langkah yang paling strategis dalam penelitian karena tujuan utama dari
penelitian adalah mendapatkan data. Tanpa mengetahui teknik
pengumpulan data maka peneliti tidak akan mendapatkan data yang
memenuhi standar data yang ditetapkan. Teknik yang digunakan peneliti
untuk mengumpulkan data saat pelaksanaan penelitian adalah:
1) Observasi proses pembelajaran
Observasi yang dilakukan peneliti adalah observasi partisipasi pasif
dimana peneliti ikut masuk ke dalam kelas bersama subjek, tetapi tidak
ikut terlibat dalam kegiatan pembelajaran yang dilakukan subjek.
Observasi ini dilakukan untuk memperoleh data di lapangan terkait
bentuk-bentuk representasi yang dilakukan oleh subjek selama proses
pembelajaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
2) Wawancara.
Wawancara dilakukan sebagai data tambahan yang tidak muncul
dalam perekaman gambar pada saat penelitian dilakukan. Wawancara
yang dilakukan peneliti adalah wawancara tak berstruktur dimana
peneliti tidak menggunakan pedoman wawancara yang telah tersusun
secara sistematis dan lengkap. Pedoman wawancara yang digunakan
hanya berupa garis-garis besar permasalahan yang akan ditanyakan.
Selain itu, wawancara dilakukan sebagai penegasan dari data yang
muncul pada hasil observasi dan video rekaman guru mengajar.
Tujuannya adalah untuk menelusuri PCK guru terkait pengetahuan guru
akan bentuk-bentuk representasi dan bagaimana bahan ajar
disampaikan. Dalam penelitian ini, peneliti berperan sebagai
pewawancara sedangkan pihak yang diwawancarai masing-masing ada
mahasiswa yang sudah melakukan kegiatan PLP-KP.
3) Analisis Dokumen
Teknik pengumpulan data yang diperoleh dari dokumen-dokumen yang
ada atau catatan-catatan yang dimiliki oleh subjek. Dokumen yang
dimaksud adalah Rancangan Proses Pembelajaran (RPP), Silabus
maupun dokumen-dokumen dari sekolah yang mendukung penelitian
ini. Selain itu dokumen yang akan digunakan berupa video, perekaman
proses pembelajaran guru di kelas dilakukan dengan merekam seluruh
proses guru mengajar dalam pembelajaran saat penelitian berlangsung.
Perekaman proses mengajar guru ini akan di fokuskan untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
mengungkapkan kategori-kategori PCK terkait pengetahuan guru akan
bahan ajar termasuk pemahaman guru akan kesulitan-kesulitan yang
dihadapi peserta didik.
E. Instrumen Penelitian
Instrumen penelitian yang dipersiapkan oleh peneliti yaitu peneliti
sendrii sebagai instrumen utama dan instrumen bantu yang terdiri dari
pedoman observasi, pedoman wawancara, handycam, perekam suara,
dan RPP masing-masing mahasiswa.
1. Peneliti
Pada penelitian kualitatif, yang menjadi instrumen utama adalah
peneliti sendiri. Peneliti kualitatif sebagai human instrument
berfungsi menetapkan fokus penelitian, memilih informan sebagai
sumber data, melakukan pengumpulan data, menilai kualitas data,
alanisis data, menafsirkan data, dan membuat kesimpulan atas
temuannya (Sugiyono, 2016: 60).
2. Pedoman Observasi
Pedoman observasi digunakan untuk pedoman dalam
mengamati tindakan yang dilakukan oleh subjek, hal ini dikarenakan
berbagai aspek pembelajaran di kelas, pengelolaan kelas, hubungan
interaksi guru dengan siswa, suasana sekolah, dan kegiatan lainnya
yang dapat menggambarkan PCK guru. Peneliti membuat pedoman
observasi yang mengacu pada kerangka untuk menganalisis PCK
yang telah disusun oleh Backer & Chick (2006) dengan beberapa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
perubahan pada indikator yang disesuaikan dengan materi yang
diteliti. Berikut adalah kisi-kisi observasi yang akan dilakukan dapat
dilihat pada tabel 3.1..
Tabel 3.1: Kerangka kerja kategori PCK dari Backer & Chick (2006:61)
Kategori PCK Aktivitas Guru Indikator
Kejelasan PCK
Strategi
pembelajaran
Mendiskusikan atau
menggunakan strategi
atau pendekatan untuk
mencapai tujuan
pembelajaran suatu
konsep matematika.
1. Menggunakan strategi
pembelajaran atau pendekatan
umum untuk mengajarkan konsep
Induksi Matematika
2. Menggunakan strategi
pembelajaran khusus untuk
mengajar konsep Induksi
Matematika atau keterampilan
matematika tertentu.
Kesesuaian dan
kedetailan
dalam
menyajikan
konsep
Menguraikan atau
mendemonstrasikan
suatu konsep (dapat
meliputi diagram-
diagram, alat peraga,
ilustrasi atau gambar
yang sesuai dengan
materi)
Mendemonstrasikan gambaran atau
ilustrasi yang cocok dengan konsep
Induksi Matematika.
Sumber daya
pengetahuan
Menggunakan sumber
daya yang tersedia untuk
mendukung
pembelajaran
Menggunakan sumber daya yang
tersedia untuk mendukung
pembelajaran dalam hal ini adalah
media pembelajaran.
Pengetahuan
kurikulum
Mendiskusikan berbagai
topik pembelajaran
berkaitan dengan
kurikulum
Memfasilitasi peserta didik untuk
mencapai tujuan Kurikulum 2013
Tujuan
pengetahuan isi
Mendiskusikan
pertimbangan untuk isi
menjadi tercakup di
dalam kurikulum atau
bagaimana itu bisa
digunakan
Menjelaskan bagaimana konsep
Induksi Matematika digunakan
Pengetahuan Materi di dalam Konteks Pedagogik
Pembangunan
isi sebagai kunci
komponen-
komponen
Mengidentifikasikan
komponen matematika
yang kritis dalam suatu
konsep adalah pokok
Menentukan komponen-komponen
matematika yang kritis dalam konsep
Induksi Matematika yang merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Kategori PCK Aktivitas Guru Indikator
untuk penerapan dan
pemahaman suatu
konsep
dasar untuk penerapan dan
pemahaman konsep tersebut.
Pemahaman
yang mendalam
mengenai dasar
matematika
Menguasai konsep dasar
matematika secara
mendalam
Menunjukan pemahaman konsep yang
mendalam dan sempurna mengenai
aspek-aspek matematika
Struktur
matematika dan
relasinya
Membuat koneksi antara
topik dan konsep,
mencakup saling
ketergantungan konsep
Menunjukan hubungan antara konsep
Induksi Matematika dan topik lainnya.
Pengetahuan
mengenai
pelaksanaannya
Memperlihatkan
keterampilan untuk
memecahkan
permasalahan
matematika
Memperlihatkan keterampilan atau
mampu menerapkan konsep untuk
memecahkan permasalahan
matematika.
Metode-metode
pemecahan
masalah
Mendemonstrasikan
suatu metode untuk
pemecahan suatu
masalah matematika
Mendemonstrasikan suatu metode
untuk pemecahan suatu masalah
matematika.
Pengetahuan Pedagogik dalam Konteks Materi
Tujuan
Pembelajaran
Tujuan pembelajaran
dapat dilihat dari RPP
yang telah disusun oleh
guru
Menunjukan usaha guru dalam
mencapai tujuan pembelajaran
Mengambil dan
memelihara
fokus siswa
Melibatkan peserta didik
dalam proses
pembelajaran sehingga
aktif dengan suasana
yang kondusif
Menunjukan strategi untuk melibatkan
siswa dalam proses pembelajaran
Teknik kelas
Teknik kelas dapat
dilihat dari cara guru
menciptakan lingkungan
belajar yang kondusif
dan cara guru untuk
mengimplementasikan
suatu metode yang
digunakan.
Memperlihatkan cara untuk
mengimplementasikan metode yang
digunakan.
3. Pedoman Wawancara
Wawancara dilakukan dengan subjek yang bersangkutan untuk
menggali lebih dalam hasil observasi yang telah dilakukan dan
menambah informasi terkait aspek-aspek PCK guru yang belum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
terlihat pada proses pembelajaran. Wawancara dilaksanakan setelah
selesai melakukan observasi dan pengambilan video pada masing-
masing subjek. Pedoman wawancara dapat dilihat dari tabel 3.2.
Tabel 3.2: Kisi-kisi Wawancara
No. Indikator
1. Strategi pembelajaran atau pendekatan yang digunakan
selama pembelajaran berlangsung
2. Sumber daya atau media yang digunakan mendukung
pembelajaran atau tidak
3. Metode pembelajaran yang digunakan untuk menjelaskan
konsep
4. Selama pembelajaran mampu menerapkan konsep untuk
memecahkan masalah atau tidak
5. Pembelajaran menerapkan 4C (Comunication,
Collaboration, Critical Thinking, Creativity) atau tidak
6. Usaha selama pembelajaram sudah/belum mencapai tujuan
pembelajaran yang diinginkan
7. Selama pembelajaran selalu melibatkan peserta didik
dalam setiap kegiatan
8. Selama pembelajaran menggunakan teknik/metode sesuai
dengan perangkat yang dibuat
F. Uji Kredibilitas Data
Salah satu teknik untuk memperoleh data yang valid dalam penelitian
kualitatif adalah triangulasi. Triangulasi dalam uji kredibilitas ini diartikan
sebagai pengecekan data dari berbagai sumber dengan berbagai cara, dan
berbagai waktu. Triangulasi yang digunakan adalah triangulasi teknik.
Triangulasi teknik digunakan untuk menguji kredibilitas data yang
dilakukan dengan cara mengecek data pada sumber yang sama dengan
teknik yang berbeda yakni observasi, wawancara dan metode dokumentasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
G. Analisis Data
Analisis data dilakukan dengan cara mengorganisasikan data, memilah-
milahnya menjadi satuan yang dapat dikelola, mensintesisnya, mencari dan
menemukan pola, menemukan apa yang penting dan apa yang dipelajari,
dan memutuskan apa yang dapat diceritakan kepada orang lain (Moleong,
2012). Sedangkan menurut Miles & Huberman (dalam Sugiyono, 2016)
aktivitas dalam analisis data kualitatif dilakukan secara interaktif dan
berlangsung secara terus-menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah
jenuh. Aktivitas dalam analisis data dilakukan dengan cara sebagai berikut:
1. Reduksi Data
Mereduksi data berarti merangkum, memilih hal-hal yang pokok,
memfokuskan pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya.
Pada penelitian ini, peneliti memfokuskan pada bentuk-bentuk
representasi selama proses pembelajaran yang dilakukan subjek.
a. Hasil Observasi dan Transkip Video
Hasil observasi dan transkrip video direduksi sesuai aspek-aspek
PCK menurut Backer & Chick (2006) yang terdapat pada
pedoman observasi.
b. Transkrip Wawancara
Transkrip wawancara direduksi sesuai aspek-aspek PCK
menurut Backer & Chick (2006) yang terdapat pada pedoman
observasi, akan tetapi transkrip wawancara tersebut merupakan
validasi dari hasil observasi untuk menggali lebih dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
mengenai PCK guru yang bersangkutan dan menambahkan
informasi PCK guru yang belum terlihat ketika proses
pembelajaran.
c. Hasil Analisis Dokumen
Peneliti meminta Rancangan Proses Pembelajaran (RPP) yang
telah dibuat oleh masing-masing subjek. Komponen-komponen
RPP tersebut direduksi sesuai aspek-aspek PCK menurut Backer
& Chick (2006) yang terdapat pada pedoman observasi.
2. Penyajian Data
Peneliti menyajikan data dalam bentuk narasi dan deskripsi, yang
didapatkan dari proses reduksi data.
3. Menarik Kesimpulan dan Verifikasi
Peneliti melakukan verifikasi data-data yang telah diperoleh serta
telah dianalisis dengan mengecek kembali analisis dengan video dan
hasil rekaman. Setelah hasil analisis sudah terverifikasi, hasil
analisis tersebut dijadikan sebagai tolak ukur dalam menarik
kesimpulan.
H. Prosedur Penelitian
Penelitian ini dilakukan secara bertahap. Adapun tahap pelaksanaan
penelitian sebagai berikut:
1. Tahap Perencanaan
Tahap perencanaan meliputi penyusunan instrumen penelitian dan
mengajukan ijin penelitian ke sekolah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
2. Tahap Pelaksanaan
Pada tahap ini peneliti akan melaksanakan penelitian dengan metode
yang telah direncanakan. Peneliti melakukan observasi kegiatan
pembelajaran dan dokumentasi berup video pelaksanaan pembelajaran
tiap pertemuan serta merekan suara ketika wawancara.
3. Tahap Penyelesaian
Pada tahap ini peneliti melakukan proses analisis data dan penyusunan
laporan penelitian dari data-data yang telah diperoleh selama
pelaksanaan penelitian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai analisis data bagaimana PCK calon pendidik
matematika khususnya terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh
mahasiswa magang di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta yang akan tampak pada
deskripsi rekaman video pembelajaran dan wawancara guru. Kategorisasi data
menggunakan kerangka kerja Barker & Chick (2006:61). Kemudian akan
dilanjutkan dengan rangkuman hasil analisis bagaimana PCK calon pendidik
matematika terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh subjek di
sekolah.
A. Proses Penelitian
Penelitian ini dilakukan di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta pada tahun ajaran
2019/2020. Sebelum melakukan penelitian, pada hari Kamis, 13 Juni 2019
peneliti mengajukan surat untuk melakukan penelitian di sekolah yang
langsung diterima oleh bagian Tata Usaha sekolah. Pihak Tata Usaha sekolah
tersebut meminta peneliti untuk mengisi form penelitian yang sudah disediakan
oleh sekolah. Kemudian, pada hari Senin, 17 Juni 2019, peneliti bertemu
dengan Wakil Kepala Sekolah Bagian Kurikulum untuk meminta ijin,
menyampaikan tujuan penelitian, dan berkoordinasi mengenai prosedur
perijinan penelitian di sekolah tersebut. Beliau mengijinkan kegiatan penelitian
ini, dan meminta kepada peneliti bersama dengan kedua subjek untuk bertemu
dengan guru matematika kelas XI yang bersangkutan. Setelah berkoordinasi
dengan guru matematika kelas XI MIPA, peneliti diminta untuk memulai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
penelitian bersamaan dengan kegiatan mengajar subjek pada tanggal 23 Juli
2019.
Tabel 4.1: Jadwal Pelaksanaan Penelitian
No Kegiatan Waktu
Pelaksanaan Keterangan
1. Pengajuan surat
penelitian 13 Juni 2019
Mengajukan surat penelitian ke
bagian Tata Usaha sekolah
sekaligus mengisi form
penelitian dari sekolah.
2.
Bertemu Wakil
Kepala Sekolah
Bidang Kurikulum
untuk meminta ijin
penelitian
17 Juni 2019
Meminta ijin, menyampaikan
tujuan penelitian, dan
berkoordinasi mengenai
prosedur perijinan penelitian
di sekolah
3.
Bertemu Wakil
Kepala Sekolah
Bidang Kurikulum
dan Guru
matematika
15 Juli 2019
Peneliti berkoordinasi dengan
Wakil Kepala Sekolah Bidang
Kurikulum dan Guru matematika
kelas XI MIPA mengenai waktu
pengambilan data
4. Bertemu dengan
kedua subjek 19 Juli 2019
Peneliti berkoordinasi dengan
kedua subjek mengenai materi
yang telah diberikan oleh guru
pamong dan juga meminta untuk
setiap hari minggu selama proses
penelitian kedua subjek
mengirimkan berkas Rencana
Pelaksanaan Pembelajaran untuk
2 pertemuan kepada peneliti
5. Observasi 1 23 Juli 2019 Pertemuan 1 (Subjek 1)
6. Observasi 2
24 Juli 2019 Pertemuan 2 (Subjek 1)
Observasi 3 Pertemuan 1 (Subjek 2)
7. Observasi 4 25 Juli 2019 Pertemuan 2 (Subjek 2)
8. Observasi 5 30 Juli 2019 Pertemuan 3 (Subjek 1)
9. Observasi 6
31 Juli 2019 Pertemuan 4 (Subjek 1)
Observasi 7 Pertemuan 3 (Subjek 2)
10. Observasi 8 6 Agustus 2019 Pertemuan 5 (Subjek 1)
11. Observasi 9 7 Agustus 2019 Pertemuan 4 (Subjek 2)
12. Observasi 10 8 Agustus 2019 Pertemuan 5 (Subjek 2)
13. Wawancara subjek 9 Agustus 2019 Wawancara subjek 1 dan 2
14. Meminta surat
keterangan September 2019
Meminta surat keterangan telah
melaksanakan kegiatan
penelitian kepada bagian Tata
Usaha di sekolah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
B. Hasil Transkrip Video dan Observasi Subjek
Berikut ini adalah hasil reduksi dari transkrip video dan transkrip hasil
observasi yang peneliti lakukan. Hasil observasi dan transkrip video
direduksi sesuai aspek-aspek PCK menurut Backer & Chick (2006).
Berdasarkan hasil observasi dan transkrip video yang peneliti reduksi,
berikut merupakan kode data observasi dan transkrip video yang peneliti
gunakan. Kode diawali dengan huruf S dan diikuti dengan tiga angka.
Angka pertama merupakan kode untuk subjek, angka kedua merupakan
urutan untuk pertemuan dan angka yang ketiga merupakan urutan kegiatan
pembelajaran atau interaksi yang melibatkan percakapan atara subjek
dengan peserta didik. Contoh: S.1.2.1 berarti kode untuk kegiatan oleh
subjek pertama, pada pertemuan kedua dan kegiatan atau interaksi pertama.
1. Subjek 1
a. Pertemuan 1 (Selasa, 23 Juli 2019)
Subjek masuk kelas dan duduk di bangku guru menyiapkan laptop
dan proyektor, bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan
diri mengikuti pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan
memperkenalkan diri sebagai mahasiswa yang sedang melakukan
praktik mengajar di sekolah (PLP-KP). Setelah itu, subjek
memberikan waktu kepada peneliti untuk memperkenalkan diri dan
menyampaikan tujuan penelitian. Peneliti maju ke depan kelas
memperkenalkan diri dan menyampaikan tujuan penelitian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Sebentar kemudian, subjek mengajak peserta didik untuk berdiri di
samping meja kelas masing-masing untuk membangkitkan
semangat belajar dan melatih konsentrasi peserta didik dengan Ice
breaking sebelum memulai pembelajaran. Ice breaking yang akan
dimainkan adalah Dor Boom, permainan ini dimulai ketika subjek
menunjuk salah seorang peserta didik sambil mengatakan DOR, lalu
peserta didik yang ditunjuk tadi harus menjawab dengan BOOM
dengan ekspresi kaget. Subjek menunjuk beberapa orang peserta
didik untuk bermain dalam beberapa menit dan setelah selesai masih
ada beberapa peserta didik yang bercanda dalam permainan ini
sehingga subjek harus menghentikannya.
Setelah keadaan kelas mulai kondusif, subjek memulai
pembelajaran matematika dengan menyampaikan motivasi melalui
tujuan pembelajaran materi induksi matematika, berikut cuplikan
videonya: (S.1.1.1)
S1: Sebelum itu kalian tau ya kita mau belajar apa?
PD: matematika
S1: topiknya apa?
PD: induksi
S1: induksi apa?
PD: induksi matematika
S1: ya benar, induksi matematika. Indikator pembelajaran yang akan
kita capai pada hari ini adalah yang pertama kita membuat suatu pola
barisan bilangan, yang kedua kalian akan dijelaskan mengenai
prinsip induksi matematika. Ketiga, kalian akan membuktikan suatu
formula pada suatu pola barisan bilangan dengan prinsip induksi
matematika. Keempat, menerapkan prinsip induksi matematika
untuk membuktikan kebenaran suatu barisan bilangan. Terakhir,
menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu
kebenaran dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Sudah
siap? Sudah siap untuk belajar?
PD: belum
S1: harus siap dong. Oke, disini bapak punya satu kasus. Ada yang tahu ini
apa?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
PD: domino
S1: pernah main ya?
PD: pernah
S1: oke, disini sudah ada domino. Dimana ketika bapak menjatuhkan
domino yang pertama ke domino yang kedua. Apa yang akan terjadi pada
domino yang lainnya?
PD: jatuh
S1: alasanya apa? Coba ada yang mau jawab, silahkan angkat tangan.
PD: karena ketika domino yang pertama dijatuhkan maka yang lainnya ikut
terjatuh.
S1: oke benar, karena ketika domino yang pertama dijatuhkan maka
domino yang lainnya ikut terjatuh. Nah, sekarang bapak tanya apakah
domino ke 50 juga akan terjatuh jika bapak menjatuhkan domino yang
pertama?
PD: ya
S1: alasannya kenapa?
PD: karena jarak dari setiap domino sama
S1: ya benar, sekarang lihatlah video berikut (Subjek 1 memberikan video
pembelajaran yang berisi ilustrasi domino yang sedang dijatuhkan). Dari
ilustrasi tadi dapat kita bayangkan bahwa ketika domino yang pertama
dijatuhkan kearah domino lainnya pasti domino yang paling ujung juga terjatuh dengan catatan jarak antar domino adalah sama.
Selanjutnya subjek mengajak peserta didik untuk membentuk
kelompok belajar dengan menghitung dari 1 sampai dengan 5,
sehingga terbentuklah 5 kelompok dengan masing-masing berisi 5
orang. (S.1.1.2) Setelah peserta didik duduk bersama dengan
kelompoknya, subjek memberikan soal (masalah 1.2 yang ada di
buku siswa) yang akan diselesaikan oleh peserta didik dalam
kelompok. Subjek berkeliling kelas untuk memantau pekerjaan
setiap kelompok belajar peserta didik. Selanjutnya, subjek meminta
2 orang perwakilan dari salah satu kelompok untuk menuliskan dan
menjelaskan masalah yang diberikan di depan kelas. Berikut
cuplikan videonya: (S.1.1.3)
S1: silahkan kalian berdua menjelaskan kepada teman-teman disini.
PD1: jadi teman-teman, kita disini akan menjelaskan tentang pola dari ini
𝑛 = 7,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
12 + 22 + 32 + ⋯ + 62 + 72 =7×8×15
6 (sambil menunjuk pada pekerjaan
mereka di papan tulis). Jadi menurut kalian pola di depan ini, pola apa?
S1: ayo tebak pola di depan ini pola apa?
PD: tidak tahu pak. Kakak yang di depan tolong jelasinnya pelan-pelan
dong.
PD2: jadi disini kita punya 𝑛 = 7, kalian semua punya buku cetak kan?
PD: ada
PD2: di buku cetak di tulisnya jumlah n bilangan kuadrat yang pertama,
berarti 7-nya itu bilangan pertama.
S1: ya benar, trus
PD2: trus, di buku cetak kan sudah ada dari 1-6 (contoh kasusnya), diangka
paling belakang itu kalau contoh 12 itu 3, 22 itu 5, trus 32 itu 7, 42 itu 9.
Itu angka-angka apa?
PD: ganjil
PD1&2: Benar
S1: tepuk tangan dulu (semua peserta didik tepuk tangan)
PD2: berarti yang dibelakang-belakang ini angkanya akan ganjil (sambil
menunjuk angka 15 pada pekerjaan mereka 7×8×15
6 )
Gambar 4.1. Tabel pola penjumlahan
PD1: kan kalau di tabel di buku cetak itu 12 itu 1×2×3
6, 22 itu
2×3×5
6, trus 32
itu 3×4×7
6, jadi menyebabkan angka belakangnya itu angka ganjil.
PD: kenapa itu (sambil menunjuk ke arah papan tulis 7×8×15
6 ) per 6 (harus
dibagi dengan 6)?
PD2: karena pola yang di kasih udah kayak gitu.
S1: karena pola yang diberikan harus disesuaikan sampai pola ke-10.
PD2: karena kan jawabannya nanti jadi 540
6
S1: oke, nanti kalian hitung sendiri ya. Nah tadi itu kan pola dari 𝑛 = 7.
Bagaimana jika 𝑛 = 10? Apakah ada partisipan yang mau menjawab?
(2 orang mengangkat tangannya untuk menjadi partisipan)
S1: ketika 𝒏 = 𝟏𝟎 apakah polanya akan berubah dari 𝑛 = 7 ? oke
silahkan dijelaskan
PD: jadi untuk 𝑛 = 10 itu polanya sama tapi jawabannya beda 𝑛 = 10,
12 + 22 + 32 + ⋯ + 92 + 102 =10×11×21
6 (sambil menunjuk pada
pekerjaan mereka di papan tulis).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
S1: sampai sini apakah jawabannya sama dengan jawaban kalian?
PD: sama
S1: jadi jawabannya adalah benar. Sekarang gimana pola penjumlahan
kuadratnya kalau dari 12 ditambah sampai dengan 302? Ada yang mau
mencoba?
(tidak ada peserta didik yang mau mencoba)
S1: sekarang gini, kalau tadi jika 𝑛 = 10, maka polanya menjadi 10×11×21
6 .
sekarang kalau 302 polanya menjadi?
PD: 30×31×61
6
S1: ya benar. sekarang, gimana polanya jika 𝑛 = 50?
PD: 50×51×101
6
S1: ya benar. Lalu pertanyaannya yang c, bagaimana dengan penjumlahan
berurut bilangan kuadrat dari 12 sampai dengan 𝑛2? Ketika 𝒏 = 𝟏𝟎 maka
angka paling depan disini adalah 10 berarti 10 ini adalah 𝒏, kemudian
angka 11 disini sama dengan 𝒏 + 𝟏, kalau 21 disini berarti?
Gambar 4.2. Subjek 1 menjelaskan pola penjumlahan yang terbentuk
PD: 𝑛 + 𝑛 + 1
S1: kurang tepat, coba perhatikan dulu ketika 𝑛=10 maka 21 diperoleh dari
apa?
PD: 2𝑛 + 1
S1: ya, betul sekali. Sampai sini sudah paham?
PD: paham!
S1: sehingga pola yang kita peroleh disini adalah 𝑛 × (𝑛 + 1) × (2𝑛 + 1).
Katakan lagi apa polanya
PD: 𝑛 × (𝑛 + 1) × (2𝑛 + 1)
S1: ya, pintar sekali kalian. Sudah paham semua? Ada pertanyaan lagi?
PD: pak, gimana kalau 𝑛 = 11?
S1: berarti polanya adalah 11×12×23
6. Sudah paham semua kan, kalau gitu
kita lanjut definisi induksi matematika.
(S.1.1.4) Selanjutnya subjek membacakan definisi induksi
matematika yang sudah tertera di layar dengan memberikan contoh
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛. Subjek akan membentuk formula dari contoh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
dengan rumus Sn (deret) 𝑛(𝑛+1)
2 seperti pada gambar dibawah ini.
Subjek memberitahu kepada peserta didik bahwa belum tentu semua
pola barisan bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus deret
(Sn), seperti cuplikan video berikut:
Gambar 4.3. Subjek 1 membuktikan rumus Sn
S1: menurut kalian apakah rumus Sn ini dapat digunakan di semua pola
barisan bilangan?
PD: belum tentu
S1: ya, belum tentu. Maka dari itu, perlunya kita belajar induksi
matematika supaya kita bisa mengetahui apakah pernyataan ini benar,
untuk semua kasus di 𝑛 ∈ 𝑁 (bilangan asli).
Kemudian, subjek memberikan prinsip pembuktian induksi
matematika yakni (1) menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku
untuk 𝑛 = 1, (2)menunjukan bahwa jika pernyataan itu berlaku
untuk 𝑛 = 𝑘, maka pernyataan itu juga berlaku untuk 𝑛 = 𝑘 + 1.
Selanjutnya subjek membuktikan 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2
dengan menggunakan prinsip pembuktian induksi matematika.
Setelah dibuktikan, subjek memperlihatkan bahwa 1 + 2 + 3 + ⋯ +
𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2 berlaku untuk semua 𝑛 ∈ 𝑁 (bilangan asli). Tidak lupa
pula, subjek meminta peserta didik untuk mencatat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Setelah subjek yakin bahwa peserta didik di kelas sudah memahami
konsep induksi matematika, subjek meminta peserta didik untuk
mengerjakan 2 latihan soal dikerjakan bersama dengan kelompok
yang sudah dibentuk. Selama peserta didik mengerjakan soal, subjek
berkeliling membimbing satu per satu pekerjaan setiap kelompok
hingga waktu pelajaran habis. Sebelum keluar dari kelas dan
menutup pembelajaran hari ini, subjek meminta peserta didik untuk
mengumpulkan lembar jawab kelompok besok pagi di kantor.
b. Pertemuan 2 (Rabu, 24 Juli 2019)
Subjek memasuki ruangan dan mengucapkan salam kepada peserta
didik. Kemudian subjek menyiapkan laptop dan proyektor, pada saat
itu pula peserta didik menyiapkan buku dan alat tulisnya. Setelah itu,
subjek memberikan motivasi berupa mengajak peserta didik untuk
memilih pasangan dan berdiri di tempat duduknya masing-masing
untuk melakukan pemanasan sebelum pembelajaran dimulai (Ice
breaking). Subjek mengajak peneliti sebagai pasangannya untuk
bermain. Setelah permainan selesai, subjek meminta peserta didik
untuk duduk kembali. Kemudian subjek mengajak peserta didik
untuk mengingat kembali (me-review) materi pada pertemuan
sebelumnya. Subjek mengajukan beberapa pertanyaan untuk
membantu peserta didik, berikut cuplikan videonya: (S.1.2.1)
S1: kemarin kita belajar tentang apa?
PD: induksi matematika
S1: masih ingat prinsipnya?
PD: masih
S1: ada berapa langkah?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
PD: ada 2.
S1: langkah pertama kita buktikan?
PD: 𝑛 = 1
S1: dan langkah kedua kita buktikan?
PD: 𝑛 = 𝑘
S1: jika n=k maka?
PD: 𝑛 = 𝑘 + 1 benar
Kemudian subjek bertanya mengenai tugas pertemuan sebelumnya,
tetapi karena banyak dari peserta didik yang tidak mengerjakan tugas
maka subjek meminta untuk tugas dikumpulkan saat jam pulang
sekolah. Namun, karena masih banyaknya peserta didik yang belum
memahami soal yang ada pada tugas, maka subjek memutuskan
untuk membahasnya di kelas. Subjek kemudian mengambil salah
satu contoh soal, lalu mengaitkannya dengan pola penjumlahan
barisan. Setelah itu, subjek meminta 2 orang peserta didik untuk
maju dan mengerjakannya di depan kelas dan menerangkannya.
Ketika menunggu kedua peserta didik selesai menulis di papan tulis,
subjek berkeliling sambil menanyakan kesulitan soal pada peserta
didik lain. Beberapa saat kemudian, kedua peserta didik tersebut
selesai mengerjakan dan menerangkan hasil dari pekerjaan mereka.
Tidak lupa pula subjek memberikan ucapan terimakasih dan
apresiasi berupa tepuk tangan untuk kedua peserta didik tersebut.
Kemudian subjek menjelaskan ulang pembahasan soal tersebut,
seperti pada cuplikan berikut:
S1: tadi kan soalnya itu 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛2 + 𝑛. Lalu ketika 𝑛 = 1
maka 2 = 12 + 1 jadi pernyataan kalau 𝑛 = 1 adalah benar. Lalu untuk
𝑛 = 𝑘 jadinya akan seperti ini (sambil menunjuk pekerjaan peserta didik
yang sebelumnya) menjadi 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘2 + 𝑘. Trus ketika
𝑛 = 𝑘 + 1, jangan lupa kalau 2k yang ada di 𝑛 = 𝑘 itu ditulis lagi. Nah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
kalian tinggal menuliskan saja seperti ini (sambil menunjuk pekerjaan
peserta didik yang sebelumnya) menjadi 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 +1) = (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1). Sampai sini sudah paham?
PD: ya..
S1: oke, lanjutin ya. Sekarang bapak akan menunjukan bahwa ruas kiri itu
akan sama dengan ruas kanan. (subjek menuliskan pembahasan seperti
pada gambar berikut)
Gambar 4.4. Pembahasan soal ketika 𝒏 = 𝒌 + 𝟏
S1: sudah paham semua?
PD: paham
S1: nanti kalian jangan lupa untuk membaca di buku dan juga cari-cari di
internet supaya bisa tahu lebih banyak.
Selanjutnya subjek mereview sejenak mengenai materi notasi sigma
yang sudah pernah dipelajari oleh peserta didik. Subjek memberikan
contoh ∑ 2𝑘2𝑘=1 𝑑𝑎𝑛 ∑ 3𝑘 − 15
𝑘=2 (seperti pada gambar), peserta
didik menjawab dengan antusias.
Gambar 4.5. Subjek 1 memberikan contoh ∑ 𝟐𝒌𝟐
𝒌=𝟏 𝒅𝒂𝒏 ∑ 𝟑𝒌 − 𝟏𝟓𝒌=𝟐
Selanjutnya, subjek memberikan sebuah soal yang berkaitan dengan
materi notasi sigma yakni, ∑ 𝑘. 3𝑘 =(2𝑛−1) .3𝑛+1+3
4
𝑛𝑘=1 berlaku untuk
setiap n bilangan asli. Subjek meminta peserta didik untuk bersama-
sama membuktikan soal tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
dengan menggunakan sifat-sifat yang ada di induksi matematika,
berikut cuplikannya: (S.1.2.2)
S1: sekarang semua perhatikan ke depan, ketika 𝑛 = 1 maka 1. 31 sama
dengan?
PD: (2(1)−1) .31+1+3
4
S1: lalu 1 .9+3
4 sama dengan?
PD: 3
S1: jadi 𝑛 = 1 terbukti benar?
PD: benar
S1: sekarang biar kalian mudah menjawabnya n ini kita ganti jadi m, jadi
𝑛 = 𝑚 maka 𝑘. 3𝑘sama dengan? (subjek menggunakan n = m dikarenakan subjek tidak ingin peserta didik kebingungan jika ia menuliskan n = k.
Sebab dalam soal notasi sigma ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 sudah mengandung unsur k.)
PD: (2𝑚−1) .3𝑚+1+3
4
S1: sekarang kalau 𝑛 = 𝑘 + 1? Kan tadi kita sudah menempatkan k
sebagai indeks kan ya? Jadi ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 sama dengan?
PD: (2(𝑚+1)−1) .3(𝑚+1)+1+3
4
S1: lalu (2𝑚+1) .3𝑚+2+3
4. Sampai sini sudah mengerti?
PD: sudah
S1: bagian sebelah sini dihapus ya (subjek ingin menghapus bagian sebelah
kiri papan tulis)
PD: jangan, kami catat dulu pak
S1: baik. Bapak kasih waktu 2 menit ya. (sambil menunggu peserta didik
menulis, subjek duduk di kursi khusus guru) Sudah selesai? Bapak hapus
ya yang bagian sini.
PD: hapus pak
S1: oke sekarang kita lanjut. Karena tadi kita sudah punya (2𝑚+1) .3𝑚+2+3
4
di ruas kanan. Sekarang bapak akan buktikan yang ada di ruas kanan.
Berarti ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =
(2𝑚−1) .3𝑚+1+3
4+ (𝑚 + 1). 3𝑚+1 . kita samakan
penyebutnya dulu menjadi ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =
(2𝑚−1) .3𝑚+1+3+4(𝑚+1).3𝑚+1
4.
Sampai sini paham?
PD: paham
S1: kita lanjutkan ya, jadi hasilnya ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =
(2𝑚−1+4𝑚+4) .3𝑚+1+3
4
sama dengan ∑ 𝑘. 3𝑘𝑛𝑘=1 =
(6𝑚+3) .3𝑚+1+3
4. Sudah paham sampai sini?
PD: sudah
S1: kalau gitu kalian catat dulu bagian sini. (beberapa saat kemudian) tadi
kan kita punya yang di ruas kanan (2𝑚+1) .3𝑚+2+3
4 trus yang di ruas kiri kan
tadi kita punya (6𝑚+3) .3𝑚+1+3
4 kalau bapak sederhanakan menjadi
3 (2𝑚+1) .3𝑚+1+3
4 boleh tidak?
PD: boleh
S1: 3 yang di depan itu kan kalau kita beri pangkat nanti jadi 3 pangkat berapa?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
PD: satu
S1: ya 31 (2𝑚+1) .3𝑚+1+3
4 , jadi kalau bapak tulis seperti ini
31 (2𝑚+1) .3𝑚.31+3
4
kalian paham?
PD: paham
S1: maka bapak bisa menulis seperti ini (2𝑚+1) .3𝑚+2+3
4. Ada yang tahu
kenapa bapak tulis 2 disamping m?
PD: karena 31 dikali 31 jadi 32.
S1: ya benar. Sekarang dicatat dulu yang ini.
Selanjutnya subjek memberikan tugas rumah kepada peserta didik,
dikarenakan waktu untuk belajar telah habis. Setelah berdoa
bersama, subjek membereskan peralatan pembelajaran dan
mengucapkan salam kepada seluruh peserta didik.
c. Pertemuan 3 (Selasa, 30 Juli 2019)
Subjek memasuki ruangan dan mengucapkan salam kepada peserta
didik. Kemudian subjek menyiapkan laptop dan proyektor, pada saat
itu pula peserta didik menyiapkan buku dan alat tulisnya. Setelah itu,
subjek memberikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada
pertemuan hari itu kepada peserta didik.
Selanjutnya subjek memberikan motivasi kepada peserta didik
dengan memberikan potongan-potongan gambar tokoh-tokoh dunia
(Albert Einstein, Stephen Hawkin, B.J. Habibie). Hal ini dilakukan
untuk membawa peserta didik mengingat dan membangkitkan
semangat belajar peserta didik. Subjek memberikan sebuah
pertanyaan pancingan untuk mendorong peserta didik berfikir kritis
yakni, apa kesamaan dari ketiga tokoh-tokoh tersebut. Subjek
memberikan clue yakni 140, 160 dan 200. Setelah salah satu siswa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
menjawab jawaban yang benar yakni IQ (kecerdasan intelektual),
subjek memberikan apresiasi berupa tepuk tangan.
Kemudian subjek membawa peserta didik untuk mengenal lebih
mengenai penerapan induksi matematika pada keterbagian, seperti
pada cuplikan video berikut: (S.1.3.1)
S1: nah sekarang kita akan mempelajari mengenai penerapan induksi
matematika pada keterbagian. Tujuan kita adalah membuktikan
bahwa pernyataan tersebut benar tanpa membuktikan di ruas kiri
maupun di ruas kanan. Diingat-ingat ya, untuk keterbagian ini tidak ada
pembuktian di ruas kiri dan ruas kanan. Kalau barisan kemarin ada
pembuktian di ruas kiri dan ruas kanan, kalau di keterbagian tidak ada
tetapi akan dibuktikan benar atau tidak. Nah, pembuktiannya sama dengan
yang kemarin yakni dengan 2 langkah kemarin. Apa langkahnya kemarin?
PD:buktikan pernyataan 𝑛 = 1 benar dan jika 𝑛 = 𝑘 benar maka 𝑛 = 𝑘 +1 benar.
S1: ya, benar sekali. Nah sekarang kita masuk ke contohnya. Bilangan
habis dibagi bukan berarti hasil yang didapat dari pembagian
bilangan dan menghasilkan nol, tetapi hasil pembagiannya adalah bilangan bulat. Misalkan 10 dibagi 2 hasilnya berapa?
PD: lima
S1: sisanya berapa?
PD: lima
S1: bukan. Sisanya?
PD: tidak ada
S1: berarti nol ya. Nah berarti kita bisa menuliskan 10 habis dibagi 2 karena
hasil dari pembagian tersebut adalah bilangan bulat 5. Berbeda dengan 10
dibagi 3, hasilnya 3,33... jadi kita bisa menuliskan 10 tidak habis dibagi 3
karena 3,33... bukan merupakan bilangan bulat. Jadi kuncinya disini
adalah ketika ada bilangan yang habis dibagi maka jawabannya
adalah bilangan bulat. Masih ingat bilangan bulat?
PD: tidak
S1: bilangan bulat itu adalah bilangan yang tidak ada koma-komanya atau
per-pernya. Sampai sini semua paham?
PD: paham
Selanjutnya subjek meminta peserta didik untuk membentuk
kelompok berdua-dua untuk berdiskusi mengenai soal (pernyataan)
yang diberikan di slide ppt. Peserta didik diminta untuk menunjukan
bahwa 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 untuk n bilangan asli, dengan
menggunakan pembuktian induksi matematika. Setelah beberapa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
menit menunggu peserta didik mengerjakan soal tersebut, subjek
melihat adanya kesulitan yang dialami oleh sebagian besar peserta
didik. Sedemikian sehingga subjek mengajak peserta didik untuk
membahas bersama soal tersebut dengan menggunakan langkah-
langkah induksi matematika dan juga prinsip-prinsip keterbagian
berikut cuplikan videonya:
S1: langkah awal untuk 𝑛 = 1, 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 sama dengan 111 −6 habis dibagi 5 sama dengan 11 − 6 habis dibagi 5. Jadi apakah benar 5
habis dibagi 5?
PD: benar
S1: sekarang, kita asumsikan 𝑛 = 1, sehingga 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 sama
dengan 11𝑘 − 6 habis dibagi 5. Asumsi awal kita kalau 11𝑘 − 6 habis
dibagi 5 itu benar.
PD: kenapa gitu pak?
S1: karena asumsi itu kita misalkan pandangan, kayak pandangan kamu itu
bisa benar atau bisa salah. Tetapi untuk masalah yang ini kita asumsikan
pernyataan ini benar. Setelah itu barulah kita masuk ke step yang
selanjutnya yakni, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, sehingga 11𝑛 − 6 habis dibagi 5 sama
dengan 11(𝑘+1) − 6 habis dibagi 5, masih ingat tidak dengan 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 itu
sama dengan?
PD: 𝑎𝑚+𝑛
S1: jadi ketika ada soal 11(𝑘+1) sama saja dengan?
PD: 11𝑘 × 111
S1: sehingga 11(𝑘+1) − 6 habis dibagi 5 sama dengan 11𝑘 × 111 − 6 habis
dibagi 5, yang ini kita simpan dulu. Kembali lagi ke atas tadi, bapak tulis
di bawah sini ya. 11𝑘 − 6 habis dibagi 5 berarti kalau habis dibagi 5 bisa
dong kalau ditulis seperti ini 25 = 5 × sesuatu. Sesuatunya itu kan 5 lalu
20 = 5 × sesuatu, sesuatu yang dikalikan 5 sama dengan 20 adalah 4. Jadi
11𝑘 − 6 sama dengan 5 dikali n, dengan n adalah sesuatu yang dikalikan
dengan 5 hasilnya sama dengan 11𝑘 − 6. Sehingga 11𝑘 = 5𝑛 + 6, tadi kan
kita punya 11𝑘 × 111 − 6 lalu 11𝑘 kita ganti dengan 11𝑘 = 5𝑛 + 6, jadi
(5𝑛 + 6) × 11 − 6 sama dengan 55𝑛 + 66 − 6. Yang ini bisa kita
faktorkan, kan 55n habis dibagi 5 dan 66 dikurang 6 juga habis dibagi 5,
maka bisa dituliskan 5(11𝑛 + 12) habis dibagi 5. Kenapa ditulis habis
dibagi 5?
PD: kenapa?
S1: misalkan 5(2+3)
5 habiskan?
PD: iya
S1: karena 5 di 5(11𝑛 + 12) habis dibagi 5 maka pernyataan terbukti
benar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Setelah itu subjek meminta peserta didik untuk mencatat pada buku
catatan dengan rapi dan benar. Kemudian subjek memberikan lagi
soal (pernyataan) di papan tulis. Peserta didik diminta untuk
membuktikan bahwa 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖 𝑥 ≠ 𝑦, 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛
habis dibagi (𝑥 − 𝑦) dengan menggunakan langkah-langkah induksi
matematika. Subjek membahas soal tersebut bersa
ma dengan peserta didik dengan menggunakan langkah-langkah
seperti pada soal sebelumnya.
Setelah semua peserta didik paham dengan pembahasan yang
diberikan di papantulis, subjek memberi waktu kepada peserta didik
untuk mencatat. Selagi peserta didik mencatat, subjek berkeliling
kelas sambil mengecek dan melihat-lihat catatan peserta didik.
Kemudian subjek memberikan lagi soal latihan kepada peserta didik.
Peserta didik diminta untuk membuktikan pernyataan berikut, 𝑛2 −
𝑛 habis dibagi 6 untuk semua n bilangan asli. Beberapa peserta didik
terlihat antusias mengerjakan soal tersebut, ada pula dari mereka
maju ke meja guru untuk bertanya kepada subjek.
Saat waktu pengerjaan sudah selesai, subjek meminta salah satu
peserta didik untuk menuliskan hasil pengerjaannya di papantulis.
Ketika peserta didik tersebut selesai menuliskan di papan tulis,
subjek mulai memeriksa pekerjaannya. Namun, ada kesalahan dalam
penghitungan dan juga penulisan maka subjek membantu dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
memberikan penjelasan dengan benar kepada seluruh peserta didik,
seperti pada cuplikan video berikut:
S1: apakah jawabannya sama dengan milik kalian?
PD: beda
S1: jadi tadi dia (peserta didik yang maju) itu belum menuliskan jawaban
dengan benar, sehingga salah dibagian akhirnya. Seharusnya ditulis 𝑘3 +3𝑘2 + 2𝑘. Benar ga kalau begini?
PD: benar
S1: nah sekarang kita akan membuat 𝑘3 + 3𝑘2 + 2𝑘 menjadi seperti
(𝑘3 − 𝑘) + (3𝑘2 + 3𝑘) ini bapak cuma pisah dibagian (𝑘3 − 𝑘) dan 3𝑘
kalau 3𝑘 − 𝑘 = 2𝑘 jadi bapak pinjem – 𝑘 disini supaya sama bentuknya
seperti 𝑘3 + 3𝑘2 + 2𝑘. Barulah samai sini bisa bapak tuliskan (𝑘3 − 𝑘) +3𝑘(𝑘 + 1). Maka dari sini kita bisa lihat yang 𝑛 = 𝑘 dengan (𝑘3 − 𝑘)
habis dibagi 6. Sedangkan untuk 3𝑘(𝑘 + 1) jika 𝑘 = 1 maka 3.1(1 + 1) =3(2) = 6 dan 6 habis dibagi 6. Jika kalian tuliskan 3𝑘(𝑘 + 1) dengan 𝑘 =𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖 semuanya habis dibagi 6, sehingga bisa kita tuliskan
3𝑘(𝑘 + 1) habis dibagi 6. Karena (𝑘3 − 𝑘) + 3𝑘(𝑘 + 1) habis dibagi 6,
maka pernyataan terbukti benar.
PD: iya
Dikarenakan waktu pembelajaran hari itu sudah hampir selesai
sehingga subjek meminta untuk dijadikan tugas rumah secara
berkelompok untuk dikumpulkan pada hari selasa. Lalu subjek
memberikan tugas mandiri serta arahan pengerjaan tugas tersebut
kepada peserta didik dan meminta untuk dikumpulkan pada hari
selasa 2 minggu lagi. Setelah itu subjek membereskan peralatan
pembelajaran dan kemudian memberikan salam penutup kepada
seluruh peserta didik.
d. Pertemuan 4 (Rabu, 31 Juli 2019)
Tidak ada videonya
e. Pertemuan 5 (Selasa, 6 Agustus 2019)
Subjek memasuki ruangan dan mengucapkan salam kepada peserta
didik. Kemudian subjek menyiapkan laptop dan proyektor, pada saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
itu pula peserta didik menyiapkan buku dan alat tulisnya. Setelah itu,
subjek memberikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada
pertemuan hari itu kepada peserta didik. Setelah itu subjek
memotivasi peserta didik dengan melakukan ice breaking supaya
dapat semangat dalam belajar di kelas. Kemudian subjek meminta
seluruh peserta didik untuk membentuk kelompok diskusi yang baru
dengan menghitung dari 1 sampai dengan 5. Setelah semua peserta
didik mendapatkan kelompok, kemudian subjek memberikan soal
yang berkaitan dengan seluruh materi induksi matematika.
Selama peserta didik melakukan diskusi, subjek berkeliling kelas
untuk melakukan pemantauan dan membantu beberapa peserta didik
yang masih kesulitan dalam menjawab soal. Beberapa peserta didik
pun juga ada yang bertanya dengan menghampiri subjek di depan
meja guru. Setelah selesai, subjek meminta beberapa peserta didik
untuk maju ke depan untuk menuliskan di depan kelas tetapi hanya
dua orang saja yang mau menuliskan di depan kelas. Ketika kedua
peserta didik sudah selesai menulis, subjek memeriksa kebenaran
dari jawaban peserta didik tersebut. (S.1.5.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 4.6. Peserta didik menyampaikan hasil pekerjaannya di depan
kelas
Kemudian subjek meminta kedua peserta didik menjelaskan hasil
pekerjaannya di depan kelas. Peserta didik yang pertama
menjelaskan hasil pekerjaannya dengan detail dan baik, pembuktian
yang didapatkan pun terbukti benar. Kemudian peserta didik kedua
maju dan memaparkan hasil pembuktian yang pernyataannya
terbukti tidak benar di langkah awalnya. Namun, pada saat peserta
didik kedua selesai menjelaskan hasil pekerjaannya, subjek tiba-tiba
bertanya “apakah ada yang mau bertanya? Menurut kalian ini ada
yang salah atau tidak?”. Namun peserta didik yang masih di depan
tersebut kebingungan dan teman-temannya yang lain turut
membantu tetapi tidak ada yang dapat mengerti kesalahannya.
Kemudian setelah beberapa saat menunggu, akhirnya subjek
memberitahukan bahwa ada terdapat kesalahan dalam penulisan,
seperti pada cuplikan berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
PD2: untuk pernyataan 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛, langkah awalnya untuk
𝑛 = 1. Hasilnya itu 2 = 1. Karena hasilnya tidak sama di kedua sisi maka
pernyataan tersebut terbukti salah.
S1: untuk yang lain apakah ada yang mau bertanya? Menurut kalian ini ada
yang salah atau tidak?
PD3: emangnya ada yang salah pak?
S1: coba kalau kalian cek, ada yang salah tidak.
PD: (ribut)
S1: mau saya kasih tau atau kalian yang cari sendiri salahnya dimana
PD4: pak saya mau coba bantu
S1: silahkan
PD4: kurang penulisan pernyataan tersebut salah pak
S1: kurang tepat. Ada lagi yang tahu salahnya dimana?
PD: tidak pak
S1: yang kurang tepat itu ada di bagian (sambil menunjuk pada tanda sama
dengan) seharusnya sama dengan disini ditulis dengan tanda tidak sama
dengan (≠) karena kan 2 ≠ 1 betul tidak?
PD5: tapi kan cuma tanda gitu doang pak
S1: tetap saja kurang tepat karena kalau bapak tanya memangnya 2 sama
dengan 1?
PD: tidak pak
S1: nah, itu tahu.
Kemudian subjek meminta dua orang lagi untuk maju menuliskan
jawaban nomor 3 dan 4. Namun, hanya ada satu orang saja yang
ingin maju ke depan dan menuliskan pekerjaan nomor 3. Setelah itu,
subjek meminta peserta didik tersebut menjelaskan hasil pekerjaan
di depan kelas. Kemudian subjek mengoreksi penjelasan dari peserta
didik yang kurang tepat saat menjabarkannya. Lalu subjek
melanjutkan dengan membahas soal nomor 4 dan pembahasan soal
nomor 4 di tampilkan di ppt.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 4.7. Subjek 1 mengoreksi penulisan dari pekerjaan peserta didik
Setelah subjek menjelaskan dan membahas soal-soal yang diberikan,
subjek memberikan kesimpulan pembelajaran pada pertemuan kali
ini kepada seluruh peserta didik. Kemudian subjek memberikan
reward atau apresiasi kepada beberapa peserta didik yang aktif
dalam kelas selama proses pembelajaran lima pertemuan.
Selanjutnya subjek bertanya mengenai perasaan peserta didik selama
proses pembelajaran yang telah dilalui sepanjang lima pertemuan.
Setelah itu subjek mengingatkan peserta didik untuk belajar dan
mempersiapkan diri sebelum ulangan yang akan diadakan pada
pertemuan selanjutnya. Kemudian subjek membereskan laptop,
buku dan alat tulis, lalu menutup pertemuan pada hari itu dengan
salam dan semangat kepada peserta didik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
2. Subjek 2
a. Pertemuan 1 (Rabu, 24 Juli 2019)
Subjek masuk ke dalam kelas kemudian mengucapkan salam dan
menyiapkan bahan pembelajaran serta laptop dan proyektor,
bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan diri mengikuti
pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan
memperkenalkan diri sebagai mahasiswa yang sedang melakukan
praktik mengajar di sekolah (PLP-KP). Setelah itu, subjek
memberikan waktu kepada peneliti untuk memperkenalkan diri dan
menyampaikan tujuan penelitian. Peneliti maju ke depan kelas
memperkenalkan diri dan menyampaikan tujuan penelitian.
Kemudian subjek melanjutkan kegiatan dengan memberitahu
rencana pembelajaran, indikator ketercapaian dan sumber belajar
lain kepada peserta didik. Selanjutnya, subjek mengajak peserta
didik untuk membuat aturan atau tata tertib selama pembelajaran
matematika berlangsung. Subjek juga memberitahukan kepada
peserta didik untuk terlibat aktif selama pembelajaran, karena akan
diberikan poin nilai sikap jika mereka aktif bertanya maupun
menjawab soal di depan kelas.
Sebelum memulai materi, subjek meminta siswa untuk mengingat
kembali materi pada pertemuan sebelumnya dengan mengajukan
pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan materi ajar, berikut
cuplikan videonya:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
S2: apakah ada yang masih mengingat apa itu notasi sigma?
PD1: (mengangkat tangan dan menjawab pertanyaan) notasi sigma adalah
sebuah simbol yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan
suatu bilangan yang memiliki pola tertentu.
S2: ya benar, terimakasih. (mencatat keaktifan peserta didik di papan tulis)
apakah teman-teman ada yang punya pendapat lain?
PD: tidak
S2: nah sebenarnya notasi sigma itu dalam kehidupan sehari-hari
merupakan suatu simbol untuk menyatakan suatu penjumlahan. Disini kita
akan mempelajari tentang induksi matematika. Sekarang ada yang bisa
beritahu saya tidak, apa hubungan dari notasi sigma dengan induksi
matematika? Kenapa kita harus belajar notasi sigma dahulu? Ada yang
tahu tidak?
Dikarenakan peserta didik tidak ada yang mau atau berani untuk
menjawab pertanyaan maka subjek memberikan pilihan untuk
memberitahukan secara langsung alasannya, berikut cuplikan
videonya:
S2: jadi notasi sigma ini tadikan merupakan simbol penjumlahan ya.
Notasi sigma ini nanti bisa membantu kita untuk diterapkan dalam
induksi matematika di bagian barisan. Jadi notasi sigma ini akan
berguna untuk penulisan barisan, kita tidak perlu menuliskan barisan
secara panjang nanti bisa kita singkat dengan notasi sigma yang
kemarin sudah kita pelajari. Lalu disini, induksi matematika itu
semua itemnya ada disini, sebenarnya metode pembuktian tidak
hanya induksi matematika tetapi ada pembuktian langsung, tidak langsung dan kontradiksi. Ini semua berhubungan erat dengan logika,
jadi disini diharapkan teman-teman itu memiliki logika yang kuat dan juga
jangan bingung jika mendapatkan pernyataan-pernyataan yang sedikit
rumit. Karena, kalau logikanya sudah tidak jalan itu nanti teman-teman
akan kesusahan dan juga akan susah mengikuti pembelajaran yang
selanjutnya gitu.
Kemudian subjek mengajak peserta didik untuk membahas tugas
rumah (PR) mengenai barisan bersama-sama dan meminta beberapa
peserta didik untuk maju satu per satu menjawab PR di papan tulis.
Disela-sela menunggu peserta didik yang sedang menulis di depan,
subjek berkenalan dengan peserta didik satu persatu sesuai dengan
nomor absen mereka. Selesai berkenalan, subjek memeriksa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
jawaban peserta didik yang sudah dituliskan di papan tulis dan
meminta peserta didik yang maju tadi untuk menjelaskan kepada
teman-teman sekelas. Ketika memeriksa, sesekali subjek
menuliskan poin-poin keaktifan peserta didik di papan tulis, tidak
lupa pula subjek bertanya mengenai pembahasan soal yang
dituliskan peserta didik di papan tulis berikut cuplikan videonya:
S2: menurut soal yang dikerjakan kalian kemarin, ini kan soal tentang
barisan ya. Menurut kalian apa yang menjadi ciri-ciri sebuah barisan itu
menjadi bentuk dalam notasi sigma? Ada yang tau nggak? Ciri-cirinya itu
apa, misalkan barisan ini (menunjuk salah satu soal yang ada di papan
tulis) bisa diubah ke notasi sigma, ini juga bisa diubah, itu juga bisa diubah.
Itu kenapa sih? Ada yang tahu?
PD2: kelipatannya.
PD3: Ada kelipatannya.
PD4: Kelipatannya sama.
S2: ya benar kelipatannya sama. Selain kelipatan ada lagi?
PD5: selisih
S2: kelipatan ini yang dimaksud tadi itu kelipatan apa ya?
PD6: bedanya (di barisan) itu loh bu
S2: oh ya. Kalau yang selisih?
PD7: jadi selisih itu kayak antara angka yang pertama sama angka yang
kedua itu jika dikurangkan akan terlihat selisihnya.
S2: ya terimakasih. Untuk yang lain apakah ada pendapat lain? Apakah
kelipatan dan selisih ini perbedaannya apa? Apakah ini merupakan salah
satu hal yang sama?
PD: Sama. Beda. (menjawab dengan berebutan)
S2: yang menjawab berbeda coba angkat tangan. (beberapa peserta didik mengangkat tangan) ya silahkan kamu.
PD8: berbeda bu. Karena kalau kelipatan itu biasanya ada di perkalian trus
kalau selisih itu adanya di pengurangan kayak 5-3=2.
S2: ya, untuk tadi yang menjawab beda apakah ada yang jawabannya
sama? (tidak ada yang merespon) Jadi yang tadi jawabannya sama siapa?
(peserta didik ribut karena saling menyalahkan jawaban satu sama lain)
S2: oke, oke. Jadi sebenernya gini teman-teman, tadi benar apa yang
dikatakan bahwa kelipatan dan selisih itu berbeda tetapi kurang tepat. Jadi
dalam notasi sigma itu mereka (barisan) harus punya pola, pola itu kan bisa
mencangkup selisih bisa mencangkup kelipatan. Jadi sebenernya cirinya
itu yang paling tepat adalah pola. Nah disini (menunjuk salah satu soal)
apakah ini berpola?
PD: iya
S2: berpolanya selisih atau kelipatan?
PD: selisih
S2: ya selisih. Apakah rumus notasi sigmanya betul?
PD: iya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
S2: oke, sekarang ibu punya contoh. Dari pembahasan yang tadi coba
tuliskan notasi sigma dari barisan ini (subjek memberi sebuah contoh
barisan 3 + 6 + 8 + 14 + 19 + 25) ingat ciri-cirinya tadi ya.
PD9: bu, itu caranya sama kayak yang tadi?
S2: caranya sama, tapi ini bisa diubah jadi notasi sigma tidak? Kalau bisa
tuliskan, kalau tidak kenapa? Ada yang punya pendapat? Angkat tangan.
Angkat tangan. Saya kasih semenit ya. Bisa nggak sih barisan ini diubah
jadi notasi sigma? Udah?
PD10: tidak bisa bu. Karena barisannya tidak berpola bu.
S2: Ada yang lain?
PD11: kelipatan dan selisihnya tidak sama bu. Jadi nggak bisa.
S2: ya. Ada yang punya pendapat lagi? Oke, nggak ada. Jadi bener yang
tadi dikatakan sama teman-teman. Bahwa barisan ini tidak bisa diubah
menjadi notasi sigma, karena disini notasi sigma merupakan simbol untuk
menyatakan penjumlahan berurutan suatu bilangan yang memiliki pola
tertentu. Jadi seperti tadi kata teman-teman bahwa barisan tersebut tidak
berpola, kelipatan dan selisihnya tidak sama, bedanya jauh dan tidak
beraturan maka dia (barisan tersebut) tidak bisa diubah ke notasi sigma.
Adakah yang masih bingung mengenai notasi sigma?
PD: tidak, belum.
S2: berarti cukup ya. Nah ini simbolnya (Subjek menunjukan gambar berikut). Jadi n ini itu indeks atas, lalu i=1 itu indeks bawah dan Ui itu bisa
berisi angka ataupun rumus sigma. Sekarang kita lihat contoh yang
sebelumnya, bisa nggak sih kalau kita tulis ∑ 𝑛2 − 3𝑛𝑖=1 menjadi
∑ 𝑛2 − ∑ 3𝑛𝑖=1
𝑛𝑖=1 ?
Gambar 4.8. Keterangan dari simbol notasi sigma
PD: bisa bu.
S2: kenapa?
PD: karena biar gampang (mudah)
S2: coba alasannya diperbaiki biar lebih enak didengar
PD: karena ∑ 𝑛2 𝑛𝑖=1 itu huruf dan ∑ 3𝑛
𝑖=1 itu angka.
S2: ya, supaya kalian mudah memahaminya begini, kan kemarin kalian
sudah belajar kalau sigmanya bisa dipisah. Jadi notasi sigma itu memiliki
beberapa sifat. Nah, sifat-sifat disini (menunjuk ppt) ada banyak, jadi kalian
tidak perlu menghafal. Lalu tadi kan ∑ 𝑛2 − 3𝑛𝑖=1 itu masuk ke sifat yang
mana? Bisa diubah ke dalam sifat yang mana?
PD: itu bu yang paling atas.
S2: sebenernya yang benar adalah yang paling bawah (ditunjukan pada
gambar dengan kotak merah). Jadi ini sifat-sifat yang ada di notasi sigma,
nanti saya akan kirimkan ppt hari ini jadi nanti kalian catat sendiri di buku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
catatan ya. Nah, notasi sigma disini itu penting sebenernya, tetapi tidak
banyak digunakan dalam induksi matematika.
Gambar 4.9. Sifat-sifat dari notasi sigma
Selanjutnya, subjek mengajak peserta didik untuk masuk ke dalam
topik materi yang akan dipelajari yakni metode pembuktian
langsung dalam induksi matematika. Subjek mengawali dengan
memberikan pernyataan seperti berikut: “Jika x bilangan ganjil dan
y bilangan genap, maka X+Y adalah bilangan ganjil.” Kemudian
subjek meminta peserta didik untuk menyebutkan cara apa yang
dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan
tersebut. Namun, karena tidak ada yang bisa menjawab maka subjek
memberikan permisalan dengan menggunakan contoh, berikut
cuplikan videonya: (S.2.1.1)
S2: X itu bilangan ganjil, bilangan ganjil itu dapat ditulis dengan 2𝑎 + 1.
PD: kenapa bu? Kok bisa seperti itu?
S2: coba kalian misalkan (2 × 5) + 1 = 10 + 1 sama dengan?
PD: 11 (sebelas)
S2: terus kalau 𝑎 = 4 jadi?
PD: (2 × 4) + 1 = 8 + 1 = 9.
S2: ya 8 + 1 = 9. Jadi, rumusnya ini. Mudeng nggak? (mengerti tidak)
PD: ooww, ngerti bu.
PD12: jadi itu 𝑎 nya selalu bilangan genap?
S2: kan tadi kita sudah coba 2 × 5 nah 5 itu bilangan apa?
PD12: ganjil
PD13: jadi x nya akan selalu ganjil dong bu
S2: iya, kan kita tadi mau membuktikan rumus ini untuk x bilangan ganjil.
Jadi ini tu rumus umumnya untuk bilangan ganjil jadi kalau kita masukin
𝑎 nya bilangan genap pun akan tetap ganjil nanti hasil akhirnya bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
ganjil. Coba sekarang kalau 𝑎 = 2018. Jadi 2 × 2018 = 4036 terus
ditambah 1 sama dengan?
PD: 4037
S2: bilangan ganjil?
PD: ganjil
S2: nah, sekarang untuk bilangan genap. Ada yang mau nyoba? Angkat
tangan hayo.
PD13: saya bu (mengangkat tangan). Bilangan genapnya sama dengan 2𝑎.
S2: ya benar. Semuanya setuju?
PD: setuju
S2: lalu kita akan membuktikan 𝑥 + 𝑦. X adalah?
PD: bilangan ganjil
S2: tadi rumusnya gimana?
PD: 2𝑎 + 1.
S2: trus Y rumusnya gimana?
PD: 2𝑎.
S2: lalu, 𝑥 + 𝑦 jadi gimana rumusnya?
PD: (2𝑎 + 1) + 2𝑎 = 4𝑎 + 1.
S2: ini kenapa kok bisa jadi 4𝑎 + 1? Kan bilangan ganjil aja 2𝑎 + 1?
PD14: jadi, 4 itu kan kelipatan dari 2 jadi kalau 2𝑎, 4𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 6𝑎 ditambah
dengan 1 jadi bilangan ganjil.
S2: ada yang punya pendapat lain? Kenapa 4𝑎 + 1 itu bilangan ganjil? Ada
yang bisa membahasakan dengan baik? Gimana? Tidak ada? Oke, sudah
ngantuk ya sudah sore. Jadi ini ya, 4𝑎 nya bisa kita memecahnya kayak
dimisalkan 𝟐𝒂 𝐬𝐚𝐦𝐚 𝟐𝒃. Kan tadi 𝒚 = 𝟐𝒂 kalau kita ganti jadi 𝒚 =𝟐𝒃, maka 𝟐𝒂 + 𝟏 + 𝟐𝒃 = 𝟐(𝒂 + 𝒃) + 𝟏. Nah, kalau dimisalkan 𝒌 =𝒂 + 𝒃 maka 𝟐(𝒂 + 𝒃) + 𝟏 = 𝟐𝒌 + 𝟏. Nah, metode yang barusan kita
pakai tadi disebut metode pembuktian langsung. Sampai sini sudah
mengerti?
(berpindah ke slide selanjutnya)
S2: jadi metode pembuktian langsung itu memiliki alur maju dengan
syarat pernyataan sebelumnya harus benar, pokoknya pernyataannya
dari depan ke belakang itu harus benar. Jadi tadi kan kita ada pernyataan X
merupakan bilangan ganjil sehingga 𝑥 = 2𝑎 + 1. Lalu pernyataan
selanjutnya, Y merupakan bilangan genap 𝑦 = 2𝑎. Pernyataan ini sudah
benar atau belum?
PD: benar
S2: ya, pernyataannya benar. Karena dengan pembuktian yang telah
kita lakukan itu merupakan pembuktian langsung. Nah, kalau
misalkan saya ganti, X merupakan bilangan genap dan Y merupakan
bilangan ganjil. Lalu X+Y adalah bilangan genap. Pernyataan tersebut
benar atau salah?
PD: salah
S2: alasannya? Ada yang tahu tidak kenapa X+Y hasilnya bukan bilangan
genap?
PD15: karena, tadi kan sudah dibuktikan bu kalau 2𝑎 + 1 + 2𝑏 = 2𝑘 +1 itu bilangan ganjil jadi ya bukan bilangan genap.
S2: ya benar, karena tadi kita sudah buktikan bahwa penyataannya
benar maka X+Y itu hasilnya bilangan ganjil. Jadi kalau misalkan kita ubah X+Y hasilnya bilangan genap ya tidak bisa (kurang tepat).
Jadi kalau disini jangan susah-susah ya mikirnya kalau misalnya tau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
jawabannya langsung jawab aja tidak apa-apa, saya lebih senang kalian
aktif dibandingkan kalian diam saja.
Setelah itu, subjek memberikan soal yang lain, yakni “Bila n adalah
bilangan bulat dan 7n + 9 adalah bilangan genap, maka n adalah
bilangan ganjil.” Subjek membuktikan kepada peserta didik bahwa
pernyataan diatas dapat dibuktikan dengan metode pembuktian tidak
langsung di papan tulis, peserta didik mengamati dengan seksama.
Selanjutnya peserta didik diberikan sebuah pernyataan yakni,
“Pangkat tiga bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.”, dikarenakan
waktu belajar sudah selesai maka pernyataan tersebut dijadikan
tugas oleh subjek. Kemudian subjek meminta waktu kepada peserta
didik untuk membentuk kelompok belajar untuk pertemuan-
pertemuan selanjutnya. Setelah itu subjek membereskan perangkat
pembelajarannya dan mengucapkan salam kepada seluruh peserta
didik.
b. Pertemuan 2 (Kamis, 25 Juli 2019)
Subjek masuk ke dalam kelas kemudian mengucapkan salam dan
menyiapkan bahan pembelajaran serta laptop dan proyektor,
bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan diri mengikuti
pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan memberikan
gambaran atau indikator pembelajaran untuk hari ini. Selanjutnya
subjek memberikan apersepsi dengan memberikan pertanyaan-
pertanyaan yang berkaitan dengan pertemuan sebelumnya. Tidak
hanya itu, subjek juga memberikan konsep awal induksi matematika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
dengan menggunakan beberapa contoh seperti; domino, papan catur,
dan papan tromino.
Peserta didik dibawa untuk mengerti akan perbedaan jarak yang
sama antar domino, karena domino adalah salah satu contoh yang
paling dekat dengan konsep induksi matematika. Selain itu subjek
juga memberikan perumpamaan mengenai tempat duduk peserta
didik di ruang kelas. Selanjutnya subjek memberikan pengertian dari
induksi matematika serta langkah-langkahnya, seperti pada cuplikan
berikut:
S2: ini kalian masih pada bingung ya untuk langkah-langkah induksinya.
Kalau gitu ibu akan memberikan contoh, disini yang anak-anak asrama
yang mana ya, bisa maju kedepan. (8 orang anak asrama maju ke depan
kelas) nah sekarang dari pojok kanan itu orang pertama sampai pojok kiri
adalah orang kedelapan. A adalah anak asrama dan dia adalah orang
pertama, jadi 𝑛 = 1 bernilai benar. Kita itu ingin membuktikan bahwa
barisan di depan ini adalah barisan anak asrama. Nah, ketika 𝑛 = 𝑘, lalu
𝑘 = 7 berarti orang ke 7 adalah anak asrama. Lalu ketika 𝑛 = 𝑘 + 1 berarti
tadi kan 𝑘 = 7 jadi 𝑘 + 1 = 7 + 1 = 8, apakah orang ke 8 adalah anak
asrama?
PD: iya, benar
S2: berarti pernyataannya benar bahwa kedelapan orang anak yang didepan
ini adalah anak asrama mengerti tidak?
PD: oooww, iya.
S2: prinsipnya induksi itu seperti itu. Terimakasih dan tepuk tangan. Jadi
seperti tadi ya, jika langkah awalnya benar lalu langkah induksinya
benar maka pernyataannya benar. Tetapi jika langkah awalnya benar
lalu langkah induksinya pas dibagian k+1 nya salah maka pernyataan
tersebut dinyatakan salah.
Kemudian subjek memberikan kesempatan kepada peserta didik
yang memiliki pendapat lain atau contoh lain mengenai induksi
matematika. Namun, karena tidak ada yang mau berpendapat maka
subjek melanjutkan dengan penjelasan mengenai prinsip induksi
matematika. Selanjutnya subjek mengajak peserta didik untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
berfikir kritis dengan memberikan soal seperti pada cuplikan video
berikut:
S2: jika diketahui 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 untuk semua n
bilangan asli. Tadi langkah awalnya gimana?
PD: 𝑛 = 1 benar
S2: ya, akan dibuktikan 𝑛 = 1 benar. Nah kalau dalam pembuktian ini kita
langsung lihat rumusnya. Jadi kita tulis (2𝑛 − 1) = 𝑛2 untuk 𝑛 = 1 maka
(2(1) − 1) = 12 hasilnya?
PD: satu
S2: berarti 1= 1 bukan?
PD: iya
S2: berarti 𝑛 = 1 benar. Nah kalau dilangkah awal benar berarti kita bisa
lanjut?
PD: bisa
S2: oke, kita ke langkah kedua langkah induksi ya ini. Kalau langkah
induksi tadi yang harus kita asumsikan itu apa?
PD: 𝑛 = 𝑘
S2: 𝑛 = 𝑘 bernilai benar, maka kita mengganti rumus (2𝑛 − 1) = 𝑛2
dengan 𝑛 = 𝑘. Jadi 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2, akan dibuktikan 𝑛 =𝑘 + 1 adalah benar. Lalu kita ambil barisannya ini yang di ruas kiri dan
(2𝑛 − 1) untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 kita tambahkan dengan 1 + 3 + 5 + ⋯ +(2𝑘 − 1) sehingga 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2(𝑘 + 1) − 1). Jadi
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1). Mengerti tidak sampai sini?
PD: mengerti
S2: nah tadi kan kita punya 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2, jadi 1 + 3 +5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) terus dari 1 + 3 + 5 + ⋯ 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 (2𝑘 −1) itu kita ganti jadi 𝑘2, sehingga dapat ditulis 𝑘2 + (2𝑘 + 1). Lalu tadi
kan di ruas kanan kita punya 𝑛2 kalau 𝑛 = 𝑘 + 1 akan sama dengan
(𝑘 + 1)2 = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 udah sama belum sama ruas kirinya?
PD: sama
S2: jadi pernyataannya sudah benar atau belum?
PD: benar
PD1: bu itu kenapa kita harus pakai 𝑛 = 1?
S2: karena tadi kan semestanya itu bilangan asli atau bilangan bulat jadi
kalau semisal kamu mau membuktikan untuk 𝑛 lebih dari 5 ya nanti 𝑛-nya
mulai dari 5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Gambar 4.10. Subjek 2 sedang memaparkan langkah-langkah dari
prinsip induksi matematika
Setelah subjek menjelaskan ulang mengenai pembahasan soal diatas
dan meminta peserta didik untuk mencatat, subjek melanjutkan
dengan memberikan soal berikutnya. Peserta didik diminta untuk
membuktikan kebenaran dari soal 1 . 2 + 2 . 22 + 3 . 23 + ⋯ +
𝑛 . 2𝑛 = 2(1 + (𝑛 − 1)2𝑛) dengan menggunakan langkah-langkah
induksi yang telah diajarkan barusan. Namun, waktu pembelajaran
hari itu sudah hampir selesai sehingga subjek meminta untuk
dijadikan tugas rumah dan akan dibahas pada pertemuan berikutnya.
Kemudian subjek memberikan tugas rumah serta arahan pengerjaan
tugas tersebut kepada peserta didik dan meminta untuk dikumpulkan
pada hari sabtu. Setelah itu subjek membereskan peralatan
pembelajaran dan kemudian memberikan salam penutup kepada
seluruh peserta didik.
c. Pertemuan 3 (Rabu, 31 Juli 2019)
Subjek masuk ke dalam kelas kemudian mengucapkan salam dan
menyiapkan bahan pembelajaran serta laptop dan proyektor,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan diri mengikuti
pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan memberikan
gambaran atau indikator pembelajaran untuk hari ini, subjek juga
bertanya mengenai kehadiran peserta didik. Subjek memberitahukan
kepada peserta didik mengenai tujuan pembelajaran yang akan
dipelajari pada pertemuan hari itu. Subjek ingin mempelajari
mengenai penerapan-penerapan induksi matematika dan
menyelesaikan soal-soal yang ada. Selanjutnya subjek memberikan
apersepsi dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan yang
berkaitan dengan pertemuan sebelumnya, seperti pada cuplikan
berikut:
S2: sebelum kita lanjut ke pembelajaran, apa sih yang kita pelajari pada
pertemuan sebelumnya?
PD1: Induksi matematika
PD2:langkah-langkah pengerjaan induksi, ada langkah awal dan langkah
induksi
S2: menurut kalian langkah awal itu apa?
PD3: jika 𝑛 = 1 bernilai benar maka dapat diasumsikan bahwa 𝑛 = 𝑘
bernilai benar, lalu setelah itu harus dibuktikan bahwa 𝑛 = 𝑘 + 1 itu
bernilai benar.
S2: nah, kemarin itu banyak sekali yang mengasumsikan bahwa 𝑛 = 𝑘
benar. Itu sudah benar tapi kalau 𝑛 = 𝑘 + 1 itu diapakan?
PD4: dibuktikan
S2: ya benar, 𝑛 = 𝑘 + 1 itu dibuktikan bukan diasumsikan. Ini untuk yang
kemarin penulisannya masih diasumsikan itu salah ya, yang benar itu akan
dibuktikan.
Selanjutnya subjek mengajak peserta didik untuk masuk ke materi
selanjutnya dalam induksi matematika yakni penerapan-penerapan
matematika dalam barisan, keterbagian dan ketidaksamaan. Subjek
memberikan sebuah contoh barisan (2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, … ), lalu
subjek mengajak peserta didik untuk berfikir kritis dengan mencari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
hubungan antara suku-sukunya dengan formula dari barisan
tersebut. Subjek juga mengajak peserta didik untuk menerapkan
prinsip induksi matematika dengan formula barisan yang sudah
didapatkan, berikut cuplikannya:
S2: dari pola barisan ini kita bisa mengasumsikan formulanya seperti apa?
PD1: 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏
S2: ya, seperti yang sebelumnya itu kan. Kita anggap formulanya itu 𝑈𝑛 =𝑎𝑛 + 𝑏. Kemudian kita akan cari hubungan formula ini dengan barisan
yang sudah kita punya tadi. Kalau misalkan U1 sama dengan apa?
PD: a dikali 11 ditambah b sama dengan a+b=2
S2: lalu untuk U2 sama dengan?
PD: a dikali 2 ditambah b sama dengan 2a+b=9
S2: lalu harus kita apakan untuk dapat nilai a sama b nya?
PD2: itu bu di kurang-kurangin
S2: apa? Sini-sini tulis di depan. Bukan di kurang-kurangin ya tapi di
eliminasi
PD: iya yang itu bu.
S2: (menunggu peserta didik selesai menulis di papan tulis) nah ini a sama
b nya sudah diketahui, jadi a=7 dan b=-5. Jadi formulanya gimana?
PD: 𝑈𝑛 = 7𝑛 − 5
S2: ya sekarang ibu tuliskan 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, … , (7𝑛 − 5) sampai
sini paham?
PD3: bu itu kenapa nggak ditambah? Trus di samping sama dengannya
kenapa kosong bu?
S2: nah, pertanyaan yang bagus. Kenapa tidak ditambah itu karena ini
adalah barisan, kalau barisan itu tidak ditambahkan ya. Jadi kalau ada soal
seperti ini barisan lho pakai koma ya itu tidak bisa kita cari formula yang
disebelah kanan sama dengannya. Paham?
PD: paham
S2: nah sekarang kita masuk ke langkah awalnya. Apa yang harus ditulis?
PD: 𝑛 = 1
S2: disini kita akan menuliskan penyelesaian ya jadi kalau kita punya soal
seperti ini harus dituliskan secara lengkap ya. Untuk 𝑛 = 1 maka 𝑈1 =7. 1 − 5 = 2 terbukti benar. Lalu langkah induksi, asumsikan untuk 𝑛 = 𝑘
benar, maka kita tulis 𝑈𝑛 = 7𝑛 − 5 tulis rumus dasarnya. Karena diganti
k menjadi?
PD: 𝑈𝑘 = 7𝑘 − 5
S2: kan ini kita asumsikan benar maka akan dibuktikan bahwa 𝑛 = 𝑘 + 1
benar, maka disini jadinya 𝑈(𝑘+1) = 7(𝑘 + 1) − 5 sama dengan 7𝑘 + 7 −
5 sama dengan 7𝑘 + 2. Menurut kalian ini benar tidak?
PD: salah, eh benar
S2: lho kok beda jawabannya? Siapa yang jawab benar, siapa yang jawab
salah?
PD: (hening)
PD4: benar bu
S2: kenapa?
PD4: karena memenuhi untuk n bilangan asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
S2: ya jadi ini tu benar ya anak-anak. Kalau kita tuliskan lagi barisannya
maka 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, … , (7𝑘 − 5), 7𝑘 + 2. Sehingga hasil yang
didapat menunjukan bahwa ketika 𝑛 = 𝑘 + 1 bernilai benar, jadi terbukti
bahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk semua n bilangan asli.
Setelah membuktikan pernyataan di depan, subjek meminta peserta
didik untuk menulis di buku catatan. Ketika peserta didik sedang
menulis, subjek berkeliling kelas untuk memantau aktivitas peserta
didik. Subjek juga membantu peserta didik yang bertanya mengenai
materi. Setelah melihat banyak dari peserta didik yang telah selesai
menulis, subjek meminta beberapa peserta didik untuk menuliskan
hasil jawaban pekerjaan rumah (PR) di papan tulis.
Beberapa saat, setelah beberapa peserta didik tersebut selesai
menuliskan di papan tulis, subjek pun memeriksa perkerjaan mereka.
Namun, karena ada beberapa hal yang kurang tepat subjek kemudian
menjelaskan kembali pekerjaan peserta didik tadi, seperti pada
cuplikan berikut:
S2: menurut kalian sudah benar belum pekerjaan ini?
PD: sudah
S2: sudah? Coba diteliti lagi. Ini 𝑛 = 1 nya sudah benar atau belum?
PD: sudah
S2: terus ini 𝑛 = 𝑘 sudah benar belum?
PD: sudah
S2: terus 𝑛 = 𝑘 + 1 sudah benar?
PD: sudah
S2: ya memang sudah benar tetapi kurang tepat di bagian sini (menunjuk
pekerjaan siswa). Disini kan ditulisnya 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+ ⋯ +
1
(𝑘+1)(𝑘+2)=
𝑘
2(𝑘+2) terus untuk 𝑛 = 𝑘 kan kalian tulisnya hanya
𝑘
2(𝑘+2) sebaiknya
1
(𝑘+1)(𝑘+2)=
𝑘
2(𝑘+2) ditulis dari kiri ke kanan ya. Kalau perlu kita tulis
deretnya dari awal. Sebenernya ini bukan salah tetapi kurang tepat. Di soal
nomor 2 ini masih ada yang kesulitan tidak?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 4.11. Subjek 2 sedang mengoreksi pekerjaan peserta didik
PD5: sedikit bu.
S2: kalian kalau misalkan ada yang tidak mengerti bertanya saja ya. Jangan
hanya diam saja, biar kalian ngerti dan kita bisa maju bersama. Ini latihan
nomor 2 di bahas aja ya.
PD: iya bu
S2: untuk langkah awal 𝑘 = 1 sudah mengerti ya
PD: sudah
S2: kalo gitu kita lihat langkah induksinya ya. Kita akan mengasumsikan
bahwa 𝑛 = 𝑘 adalah benar. kemaren kan soalnya itu k lalu disini kita akan
membuktikan 𝑛 = 𝑘 maka kita akan mengganti 𝑘 = 𝑛, yang mengerjakan
soal ini tadi tu sudah bagus ya karena penulisannya sudah konsisten. Jadi
kalau kalian mau mengganti n sama dengan variabel apapun tetapi kalian
harus konsisten ya jangan berubah ubah variabelnya biar kalian tidak
bingung nantinya. Jadi ini pengansumsiannya menjadi 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+
⋯ +1
(𝑛+1)(𝑛+2)=
𝑛
2(𝑛+2) berarti yang akan dibuktikannya menjadi apakah
𝑘 = 𝑛 + 1 benar. jadi 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+ ⋯ +
1
((𝑛+1)+1)((𝑛+1)+2)=
(𝑛+1)
2((𝑛+1)+2)
lalu kita sederhanakan menjadi 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+ ⋯ +
1
(𝑛+2)(𝑛+3)=
𝑛+1
2(𝑛+3).
Sampai sini sudah mengerti? Ada yang sudah meng hitung sampe bawah-
bawahnya?
PD6: saya bu, tapi jawabannya tidak sama
S2: caranya sudah sama?
PD6: sudah bu
S2: kalau gitu pernyataan ini bernilai salah, karena apa?
PD: karena hasilnya tidak sama dengan 𝑘 = 𝑛 + 1 jadi pernyataan bernilai
salah.
S2: karena waktunya sudah habis, coba kalian kerjakan lagi soal ini bener
ga sih kalau pernyataannya salah. Besok pagi ibu tunggu ya, kalau tidak
ada yang maju nanti soal ini dijadikan kuis ya.
PD: jangan bu.
Kemudian subjek memberikan tugas rumah serta arahan pengerjaan
tugas tersebut kepada peserta didik dan meminta untuk dikumpulkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
pada esok hari. Setelah itu subjek membereskan peralatan
pembelajaran dan kemudian memberikan salam penutup kepada
seluruh peserta didik.
d. Pertemuan 4 (Rabu, 7 Agustus 2019)
Subjek masuk ke dalam kelas kemudian mengucapkan salam dan
menyiapkan bahan pembelajaran serta laptop dan proyektor,
bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan diri mengikuti
pelajaran.
Kemudian subjek mengucapkan salam dan memberikan gambaran
atau indikator pembelajaran untuk hari ini. Selanjutnya subjek
memberikan apersepsi dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan
yang berkaitan dengan pertemuan sebelumnya. Subjek juga bertanya
mengenai tugas kelompok yang diberikan pada pertemuan
sebelumnya (S.2.4.1).
Selanjutnya subjek menunjuk beberapa peserta didik perwakilan
kelompok untuk maju membahas soal-soal tugas. Sembari
menunggu peserta didik menulis, subjek memberikan kisi-kisi
mengenai ulangan harian yang akan diselenggarakan minggu depan.
Subjek juga berkeliling kelas dan menanyakan kesulitan yang
dialami oleh peserta didik. Beberapa peserta didik terlihat antusias
untuk bertanya kepada subjek mengenai tugas yang dikerjakan.
Setelah itu subjek memulai dengan memberitahukan ciri-ciri suatu
bilangan yang habis dibagi dengan bilangan lainnya. Subjek ingin
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
peserta didik dapat menggunakan induksi matematika untuk
membuktikan prinsip keterbagian. Subjek memberikan beberapa
istilah dalam keterbagian untuk memudahkan peserta didik dalam
membaca soal maupun simbol (seperti dalam gambar). Istilah-
istilah yang digunakan oleh subjek adalah seperti habis dibagi, habis
membagi, salah satu faktor dan kelipatan, berikut cuplikan videonya:
Gambar 4.12. Subjek 2 sedang menjelaskan istilah-istilah dalam
keterbagian
S2: kalau misalnya 15 habis dibagi 3 itu penulisannya kan seperti ini
kan (15 = 3 × 5), 15 sama dengan 3 dikalikan dengan suatu bilangan
yakni 5, benar tidak?
PD: benar bu
S2: nah kalau semisal 4 habis dibagi 2 penulisannya seperti apa?
PD: 4 = 2 × 2
S2: berarti kan bilangan ini bergerak, tidak pasti, jadi kita bisa
memisalkannya dengan sebuah variabel apapun itu. Jadi kalau nulisnya
9 = 3 × 𝑚, 𝑚-nya bisa kita cari kan? Berarti 𝑚-nya sama dengan 9 dibagi
3 sama dengan 3. Nah itu untuk yang habis dibagi, lalu gimana kalau yang
habis membagi? Kalau 2 habis membagi 4 berarti 2 dikali dengan suatu
bilangan sama dengan 4. Mengerti?
PD: iya
S2: nah kalau salah satu faktor ini hampir sama dengan habis membagi,
jadi kalo misalkan 3 adalah salah satu faktor dari 9 penulisannya kayak
gimana?
PD: (hening)
S2: jadi penulisannya itu 3 faktor 9, 3 dikali sebuah bilangan sama dengan
9. Bilangannya apa?
PD: 3
S2: jadi kalau soal yang tadi itu tulisannya 3 faktor dari 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛
bisa ditulis jadi apa? Berarti 3 dikali dengan sesuatu, sesuatunya itu m ya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Jadi 3 × 𝑚 = 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛, sampai sini mengerti tidak? Gimana masih
bingung tidak?
PD: (hening)
S2: nah, disini kalau dia itu salah satu faktor atau kelipatan atau habis
membagi. jadi ini nilai dari m harus bilangan bulat. Kenapa m nya itu
bilangan bulat?
PD: (hening)
S2: gini-gini kita pelan-pelan ibu sederhanakan, kalau 3 faktor dari 9 itu
kan 3 × 3 = 9. Bilangan 3 ini kan bilangan bulat. Lalu kalau saya tulis 2
faktor 9 itu bener tidak?
PD: tidak, karena 9 tidak habis dibagi 2
S2: trus kalau 2 × 𝑚 = 9, nah m nya itu bilangan apa?
PD1: bilangan desimal
PD2: bukan bilangan bulat
S2: ya ini bukan bilangan bulat, berarti kalian sudah mengerti konsepnya
kan kalau habis membagi salah satu faktor itu kayak gitu. Nah sekarang
kembali lagi ke soal yang tadi, kalau tadi 𝑛3 + 3𝑛2 + 2𝑛 di substitusikan
n=1 maka hasilnya sama dengan 6. Lalu 6 = 3𝑚, jadi m disini sama
dengan?
PD: 𝑚 nya sama dengan 2
S2: ya benar. Oh iya besok kalau ujian ini langkah-langkahnya ditulis yang
lengkap ya. Oke ini langkah awalnya sudah benar ya, lalu kita lanjut ke
langkah induksi bisa kita lompati langkah asumsi?
PD: bisa bu
S2: ya kita masuk ke langkah induksi ya kita substitusi 𝑛 = 𝑘 + 1, setelah
tadi dihitung-hitung didapatkan 𝑘3 + 6𝑘2 + 11𝑘 + 6 dan ini jawabannya
sudah benar ya.
Kemudian subjek menjabarkan langkah induksi tersebut supaya bisa
seluruh peserta didik dapat mengerti akan prinsip keterbagian.
Subjek menjabarkan 𝑘3 + 6𝑘2 + 11𝑘 + 6 kedalam bentuk (𝑘3 +
3𝑘2 + 2𝑘) + (3𝑘2 + 9𝑘 + 6) sesuai dengan asumsi yang ada. Lalu
subjek memisalkan (𝑘3 + 3𝑘2 + 2𝑘) + (3𝑘2 + 9𝑘 + 6) dengan
3𝑚 + 3(𝑘2 + 3𝑘 + 2). Kemudian subjek memisalkan (𝑘2 + 3𝑘 +
2) dengan 𝑝, sehingga 3𝑚 + 3(𝑘2 + 3𝑘 + 2) sama dengan 3(𝑚 +
𝑝). Selanjutnya subjek memisalkan 3(𝑚 + 𝑝) dengan 3𝑗, dengan
begitu terbukti bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 𝑛3 +
3𝑛2 + 2𝑛 untuk semua n bilangan asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Setelah pembahasan soal selesai subjek memberikan waktu 5 menit
untuk seluruh peserta didik bertanya, mencatat atau minum. Subjek
juga mempersiapkan video dan speaker yang akan digunakan untuk
melakukan ice breaking bersama. Subjek mengajak peserta didik
untuk berdiri dan mengikuti gerakan-gerakan lucu yang ada di
dalam video. Hal ini dimaksudkan oleh subjek untuk
mengembalikan semangat belajar bagi seluruh peserta didik.
Setelah selesai melakukan ice breaking, subjek memberikan contoh
soal lagi mengenai keterbagian dalam induksi matematika kepada
peserta didik. Contoh soal yang diberikan oleh subjek adalah
“Apakah 5𝑛 − 1 habis dibagi 4?”. Subjek memberikan langkah
awal, langkah induksi dengan asumsi yang terbukti benar. Ketika
subjek telah selesai menjelaskan di depan, ada seorang peserta didik
yang meminta untuk dijelaskan kembali karena masih belum
mengerti. Namun ada seorang peserta didik lain yang mau
membantu temannya itu dengan menjelaskan kembali di tempat
duduknya. Kemudian subjek meminta peserta didik yang bisa
menjawab itu ke depan untuk menjelaskan kembali pembuktian yang
ada di depan kelas. Setelah semua peserta didik mengerti dengan apa
yang dijelaskan, subjek memberikan waktu kepada peserta didik
untuk mencatat dan juga bertanya jika memang ada yang ingin
ditanyakan kembali. Selanjutnya subjek memberikan tugas rumah
kepada peserta didik untuk dikumpulkan pada hari jumat. Kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
subjek bertanya mengenai apa saja yang dipelajari dan juga perasaan
peserta didik pada pertemuan ini. Subjek mengatakan bahwa ia akan
memberikan ppt yang selama 4 pertemuan ini diajarkan di grup dan
meminta kepada peserta didik untuk membaca terlebih dahulu
sebelum pertemuan terakhir besok. Subjek mengakhiri pertemuan
pada hari itu dengan memberitahu apa saja yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya kepada semua peserta didik dan juga salam
penutup.
e. Pertemuan 5 (Kamis, 8 Agustus 2019)
Subjek masuk ke dalam kelas kemudian mengucapkan salam dan
menyiapkan bahan pembelajaran serta laptop dan proyektor,
bersamaan dengan itu peserta didik mempersiapkan diri mengikuti
pelajaran. Kemudian subjek mengucapkan salam dan memberikan
gambaran atau indikator pembelajaran untuk hari ini. Selanjutnya
subjek mengajak peserta didik untuk masuk ke dalam materi
ketidaksamaan dalam induksi. Subjek langsung memberikan satu
contoh soal, dikarenakan pada pertemuan sebelumnya subjek sudah
memberikan ppt yang akan dipakai untuk hari ini dan meminta
peserta didik untuk membaca ppt sebelum kelas dimulai.
Subjek memberikan soal 12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 >n3
3 untuk semua
n bilangan asli dan melakukan pembuktian dengan langkah-langkah
induksi. Beberapa kali subjek meminta peserta didik untuk
membantu menyelesaikan langkah-langkah induksi tersebut. Subjek
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
juga ada mengaitkan dengan konsep sebelumnya yakni pemfaktoran
fungsi. Setelah melakukan pembuktian dari pernyataan tersebut,
subjek memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya
dan juga mencatat. Setelah menjawab pertanyaan dari peserta didik
dan sambil menunggu semua peserta didik mencatat, subjek
berkeliling kelas sambil melihat-lihat catatan peserta didik.
Kemudian, meminta seluruh peserta didik untuk masuk kedalam
kelompok yang sudah pernah dibentuk di pertemuan sebelumnya.
Lalu subjek memberikan soal latihan kepada peserta didik yakni
“Apakah 1
√1+
1
√2+
1
√3+ ⋯ +
1
√n> √n bernilai benar untuk semua
bilangan bulat positif n ≥ 2”. Peserta didik diberikan waktu 15
menit untuk berdiskusi di dalam kelompok (S.2.5.1).
Ketika waktu berdiskusi subjek memantau jalannya diskusi dengan
berkeliling ke setiap kelompok dan menjawab pertanyaan kelompok
jika ada yang bertanya. Setelah waktu berdiskusi telah habis, subjek
bertanya mengenai pembuktian soal tersebut, namun peserta didik
tidak ada yang bisa menyelesaikan pembuktian tersebut. Oleh karena
itu, subjek membantu peserta didik untuk membahas soal tersebut
hingga didapatkan hasil bahwa pernyataan tersebut bernilai benar.
Namun, setelah dijelaskan masih banyak peserta didik yang belum
mengerti. Sehingga subjek memutuskan untuk memberikan
pembahasannya di grup kelas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Setelah subjek menjelaskan dan membahas soal-soal yang diberikan,
subjek memberikan kesimpulan pembelajaran pada pertemuan kali
ini kepada seluruh peserta didik. Kemudian subjek memberikan
reward atau apresiasi kepada beberapa peserta didik yang aktif
dalam kelas selama proses pembelajaran lima pertemuan.
Selanjutnya subjek bertanya mengenai perasaan peserta didik selama
proses pembelajaran yang telah dilalui sepanjang lima pertemuan,
subjek juga memninta untuk menuliskan kritik dan saran untuk
subjek. Setelah itu subjek mengingatkan peserta didik untuk belajar
dan mempersiapkan diri sebelum ulangan yang akan diadakan pada
pertemuan selanjutnya. Kemudian subjek membereskan laptop,
buku dan alat tulis, lalu menutup pertemuan pada hari itu dengan
salam dan semangat kepada peserta didik.
C. Hasil Wawancara Subjek
Berikut merupakan hasil wawancara dari masing-masing subjek yang telah
direduksi sesuai aspek-aspek PCK menurut Backer & Chick (2006). Hasil
wawancara subjek berikut juga digunakan sebagai validasi untuk menggali
lebih dalam mengenai PCK subjek yang bersangkutan dan menambah
informasi terkait PCK subjek yang belum terlihat ketika proses
pembelajaran.
1. Subjek 1
Hasil wawancara dengan subjek 1 selaku calon pendidik yang mengajar
di kelas XI MIPA I mengatakan bahwa selama proses pembelajaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
berlangsung ia hanya mengikuti strategi pembelajaran seperti model,
pendekatan dan juga model pembelajaran seperti pada tertera di dalam
RPP yang ia buat. Hanya saja pendekatan kepada peserta didik saat
pertemuan pertama adalah ingin fokus kepada seluruh peserta didik dan
juga mengaktifkan peserta didik selama pembelajaran. Selama proses
pembelajaran pada pertemuan-pertemuan awal, subjek hanya
menggunakan ilustrasi atau gambar domino. Hal ini dimaksudkan
subjek supaya peserta didik tahu bahwa efek domino ada keterkaitannya
dengan konsep induksi matematika. Subjek juga mengatakan bahwa ia
tidak menggunakan media lain selain ppt dan buku, karena subjek ingin
mengutamakan kegiatan literasi terlebih dahulu baru media elektronik
seperti handphone dan internet. Namun subjek tidak melarang peserta
didik untuk membuka sumber-sumber lain yang berkaitan dengan
induksi matematika di internet.
Ketika ditanya mengenai pencapaian dalam tujuan kurikulum 2013,
subjek menjawab bahwa ia sudah mencapai tujuan kurikulum. Subjek
juga sudah mencapai 3 dari 4 kategori 4C (communication,
collaboration, critical thinking dan creativity) yang seharusnya
diterapkan dalam proses pembelajaran di kurikulum 2013. Subjek sudah
menerapkan communication, collaboration, dan critical thinking dalam
proses pembelajaran yang ia lakukan. Selama proses pembelajaran
subjek selalu berusaha untuk melibatkan seluruh peserta didik dalam
setiap kegiatan, hanya saja ada beberapa peserta didik yang masa bodoh,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
cuek dan tidak patuh jika diminta untuk menulis atau membaca bahkan
ada yang tertidur di kelas saat pembelajaran berlangsung. Selama proses
pembelajaran 5 pertemuan ini subjek juga menghadapi kesulitan dalam
mengajar salah satunya adalah ketika pertemuan pertama, subjek lupa
untuk mem-printscreen tabel sehingga saat diskusi subjek harus
berkeliling kelas dari meja ke meja untuk menjelaskan setiap peserta
didik.
2. Subjek 2
Hasil wawancara dengan subjek 2 selaku calon pendidik yang mengajar
di kelas XI MIPA II mengatakan bahwa selama proses pembelajaran
berlangsung ia menggunakan pendekatan saintifik. Namun, khusus pada
pertemuan pertama subjek memilih untuk fokus kepada mendekatkan
diri kepada peserta didik dan subjek ingin mereka merasa nyaman.
Subjek mengajak juga peserta didik untuk lebih aktif dan beruntungnya
peserta didik dapat dengan mudah berinteraksi dan beradaptasi sehingga
subjek juga merasa tidak terbebani dalam setiap proses pembelajaran.
Penggunaan gambar domino merupakan sebuah media yang digunakan
oleh subjek guna mempermudah ia untuk menjelaskan konsep dasar
induksi matematika. Subjek juga menggunakan gambaran-gambaran
tertentu yang dijelaskan secara lisan, tetapi sebagian besar peserta didik
dapat menangkap maksud dari gambaran-gambaran tersebut dengan
baik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Ketika subjek ditanya mengenai tujuan kurikulum 2013 ia menjawab
bahwa ia masih belum terlalu tau seperti apa tujuan kurikulum 2013 itu.
Namun, untuk tujuan pembelajaran yang sudah ia susun subjek merasa
sudah mencapai semua tujuan pembelajaran tersebut. Subjek
mengatakan bahwa ia sudah menerapkan communication kepada
seluruh peserta didik. Hanya saja dalam collaboration, ia belum bisa
menerapkannya, serta untuk critical thinking dan creativity, subjek
sudah berusaha untuk mengajak peserta didik untuk mengarah kesitu.
Selama proses pembelajaran subjek mengatakan bahwa ia sudah
menerapkan konsep untuk memecahkan masalah yang diberikan, ia juga
sudah mencoba menjelaskan konsep sesederhana mungkin. Hanya saja
pada pertemuan pertama dan ketiga ia mendapatkan kesulitan seperti
belum memberikan latihan soal dan juga kehabisan waktu dalam
memecahkan masalah. Selama pembelajaran juga subjek sudah
berusaha untuk melibatkan peserta didik dalam setiap kegiatan. Namun
subjek masih merasa bahwa yang bisa terlibat hanyalah sebagian dari
jumlah peserta didik. Dalam melaksanakan kegiatan pengajaran subjek
lebih banyak berimprovisasi tetapi tetap mengikuti materi yang sudah
disiapkan dalam RPP.
D. Analisis dan Pembahasan PCK
Berikut adalah analisis dan pembahasan PCK yang didapatkan dari hasil
transkrip video, hasil observasi, hasil wawancara, dan hasil analisis RPP dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
masing-masing subjek yang mengacu pada kerangka kerja Barker & Chick
(2006:61):
1. Subjek 1
a. Strategi Pembelajaran
Selama proses pembelajaran pada materi induksi matematika sudah
cukup baik. Menurut RPP yang telah dibuat, subjek menggunakan
model pembelajaran discovery based learning dengan pendekatan
scientific dan menerapkan metode tanya jawab, diskusi, ceramah dan
penugasan. Namun, pada pertemuan pertama, ketiga dan kelima,
subjek tidak menerapkan langkah-langkah dalam model discovery
based learning, subjek hanya menggunakan metode ceramah, tanya
jawab, diskusi dan juga presentasi. Subjek mengawali pembelajaran
dengan memotivasi peserta didik menggunakan ice breaking.
Kemudian memberikan indikator pembelajaran yang akan dicapai
pada pertemuan tersebut. Subjek juga beberapa kali memberikan
beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan materi pada pertemuan
tersebut (S.1.1.1 dan S.1.2.1). Selanjutnya subjek memberikan
penjelasan singkat mengenai materi dan kemudian membentuk
kelompok diskusi serta mempersilahkan peserta didik untuk
mempresentasikan hasil diskusi mereka (S.1.1.3 dan S.1.5.1).
Keadaan yang hampir sama juga diterapkan oleh subjek pada
pertemuan kedua, namun subjek hanya menggunakan metode
ceramah dan tanya jawab. Berdasarkan wawancara, subjek memang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
tidak menerapkan model discovery based learning karena kurangnya
waktu dan pendekatan pertama yang ingin difokuskan adalah
keaktifan peserta didik di dalam kelas. Subjek ingin peserta didik
secara aktif bertanya dan menjawab apa yang disampaikan subjek.
Oleh karena itu, subjek hanya menggunakan metode ceramah, tanya
jawab, diskusi kelas dan juga presentasi. Menurut Barker & Chick
(2006), PCK subjek terlihat pada strategi dan pendekatan yang
digunakan oleh subjek untuk mencapai tujuan pembelajaran suatu
konsep matematika. Walaupun subjek masih menggunakan metode
ceramah, namun peserta didik dapat mengikuti pembelajaran dan
memahamimateri dengan baik. Selain itu, menurut Barker & Chick
(2006), PCK subjek juga tampak ketika ia mengajar dengan
menggunakan strategi pembelajaran khusus untuk mengajarkan
konsep. Selama proses pembelajaran, subjek menggunakan strategi
khusus dalam mengenalkan konsep induksi matematika. Subjek
menggunakan prinsip domino yakni ketika domino pertama
dijatuhkan dengan jarak yang sama maka domino yang terakhir juga
akan jatuh (S.1.1.1). Hal ini menunjukan bahwa subjek mencoba
mengajak siswa untuk memahami konsep dasar induksi matematika
melalui masalah konstektual. Berdasarkan hasil observasi, subjek
juga mengajak peserta didik untuk mencari masalah-masalah
konstektual lainnya yang berhubungan dengan konsep induksi
matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek dalam aspek strategi
pembelajaran sudah baik. Subjek sudah menggunakan startegi
pembelajaran umum maupun khusus dalam mengajarkan konsep
induksi matematika kepada peserta didik.
b. Kesesuaian dan Kedetailan Dalam Menyajikan Konsep
Berdasarkan hasil observasi, kesesuaian dalam menyajikan konsep
tampak ketika subjek menggunakan gambar dan juga video untuk
memberikan gambaran konsep dasar induksi matematika. Subjek
juga memberikan contoh-contoh sederhana untuk menjelaskan
induksi matematika supaya peserta didik lebih memahami materi
tersebut. Pemberian contoh oleh subjek (S.1.1.2 dan S.1.3.1) untuk
memberikan gambaran konsep dasar induksi matematika dengan
melibatkan peserta didik melalui diskusi kelas dan juga presentasi.
Dimana subjek menuntun peserta didik dengan masalah-masalah
yang ada di buku dan berkaitan dengan konsep dasar induksi
matematika. Subjek juga membantu peserta didik untuk mengaitkan
materi induksi matematika dan pola barisan dengan menggunakan
contoh pembuktian rumus Sn yakni 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2
(S.1.1.4). Pembuktian rumus Sn= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2
memang cukup baik digunakan subjek untuk mengaitkan konsep
pola barisan dengan induksi matematika. Hal ini terbukti dengan
hampir sebagian besar peserta didik mengerti akan prinsip dasar
pembuktian induksi matematika yang dijelaskan oleh subjek. PCK
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
subjek terkait kesesuaian dan kedetailan dalam menyajikan konsep
sudah baik. Hal ini dikarenakan subjek sudah memenuhi indikator
yang diberikan yakni mendemonstrasikan gambaran atau ilustrasi
yang cocok dengan konsep induksi matematika.
c. Sumber Daya Pengetahuan
Selama proses pembelajaran berlangsung subjek lebih banyak
menggunakan ppt, buku dan papan tulis untuk menjelaskan materi,
memberikan contoh soal maupun tugas rumah kepada peserta didik.
Sebagian besar sumber materi yang dipakai oleh subjek berasal dari
buku acuan yakni buku Guru dan buku siswa. Berdasarkan
wawancara, subjek tidak ingin terlalu sering menggunakan google
ataupun handphone. Hal ini dikarenakan subjek ingin peserta didik
memanfaatkan buku untuk meningkatkan pengetahuan mereka
tentang materi induksi matematika. Subjek juga ingin ada kegiatan
literasi dari dari peserta didik sehingga subjek tidak menggunakan
media lain selain ppt dan buku. Namun subjek tidak melarang
peserta didik untuk membuka sumber-sumber lain yang berkaitan
dengan induksi matematika di internet. Pada pertemuan pertama,
ketiga dan kelima subjek meminta beberapa peserta didik untuk
menuliskan dan mempresentasikan jawaban dari hasil diskusi
mereka. Hal ini dimaksudkan subjek untuk menunjukan bahwa
sumber daya pengetahuan tidak hanya dari buku atau ppt yang
diberikan, melainkan teman-temannya juga dapat menjadi sumber
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
daya pengetahuan mereka. Selain itu, subjek juga memastikan
peserta didik lain dapat menangkap apa yang dijelaskan oleh peserta
didik tersebut dengan memberikan pertanyaan kepada peserta didik
yang melakukan presentasi di depan kelas.
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa PCK
subjek pada aspek sumber daya pengetahuan sudah baik. Subjek
sudah menggunakan sumber daya yang tersedia untuk mendukung
pembelajaran melalui ppt, buku dan peserta didik pada kelas
tersebut.
d. Pengetahuan Kurikulum
Subjek sudah menerapkan Kurikulum 2013 namun belum
seutuhnya. Hal ini terlihat pada proses pembelajaran, dimana subjek
masih menjelaskan materi dengan menggunakan metode ceramah
dan peserta didik yang aktif hanya ada beberapa saja. Seharusnya
pada Kurikulum 2013, subjek berperan sebagai fasilitator dalam
proses pembelajaran dan peserta didik berperan aktif dalam proses
pembelajaran. Kurikulum 2013 sangat berkaitan erat dengan 4C,
yaitu communication, collaboration, critical thinking, and
creativity. Upaya yang dilakukan subjek dalam mencapai
collaboration dan communication sudah tampak pada proses
pembelajaran. Collaboration dapat dilihat ketika subjek meminta
peserta didik berdiskusi untuk mengerjakan dan menyelesaikan
masalah-masalah yang diberikan oleh subjek. Sedangkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
communication tampak ketika subjek meminta beberapa peserta
didik untuk menuliskan dan mempresentasikan jawaban mereka di
papan tulis. Saat melakukan ice breaking pada pertemuan ketiga,
critical thinking yang diterapkan oleh subjek adalah mengajak
peserta didik untuk mencari kesamaan dari ketiga tokoh yang
ditampilkan. Pada proses pembelajaran, upaya subjek dalam
menggali creativity peserta didik belum tampak. Berdasarkan
wawancara, subjek menuturkan bahwa ia belum sepenuhnya
menerapkan 4C sebab metode pembelajaran yang digunakan pun
hanya ceramah.
Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek pengetahuan
kurikulum perlu ditingkatkan karena subjek belum berperan sebagai
fasilitator dan juga upaya subjek dalam menggali creativity kepada
peserta didik belum tampak. Namun upaya yang subjek lakukan
dalam mencapai collaboration dan communication sudah tampak.
e. Tujuan Pengetahuan Isi
PCK subjek pada aspek tujuan pengetahuan isi sudah baik, subjek
sudah dapat menjelaskan bagaimana konsep lain dapat digunakan
pada materi utama. Melalui pemahaman dengan menggunakan
konsep domino, secara tidak langsung subjek sudah menunjukan
tujuan pengetahuan dari materi induksi matematika (S.1.1.1). Sebab
konsep domino hampir sama dengan konsep dasar induksi
matematika yang dimana ketika domino yang pertama dijatuhkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
kearah domino lainnya pasti domino yang paling ujung juga terjatuh
dengan catatan jarak antar domino adalah sama.
f. Pembangunan Isi Sebagai Kunci Komponen-Komponen
PCK subjek dalam aspek pembangunan isi sebagai kunci komponen-
komponen, tampak pada proses pembelajaran. Subjek menggunakan
dan menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
suatu hubungan seperti induksi matematika dengan pola barisan
bilangan. Subjek mengajak peserta didik untuk mengenal pola
barisan bilangan dan dengan menggunakan pembuktian induksi
matematika yang sesuai, untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan. Selain itu subjek juga mengenalkan peserta didik dengan
keterbagian dan juga ketidaksamaan yang ada dalam materi induksi
matematika. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek
dalam aspek pembangunan isi sebagai kunci komponen-komponen
sudah baik.
g. Pemahaman yang Mendalam Mengenai Dasar Matematika
Berdasarkan observasi yang telah dilakukan, subjek dapat membawa
peserta didik untuk mengolah dan berpikir kritis mengenai suatu
permasalahan abstrak yakni penjumlahan berurut bilangan kuadrat
sampai dengan 𝑛2. Pada pertemuan pertama, (S.1.1.3) peserta didik
diminta untuk mencari penjumlahan berurut bilangan kuadrat seperti
yang ada di tabel yakni 𝑛 = 10. Awalnya peserta didik masih
banyak yang kebingungan tetapi kemudian ada peserta didik yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
bisa menjawab polanya 10×11×21
6 tetapi tidak tau kenapa pola
10×11×21
6 yang dianggap benar. Kemudian subjek membantu dengan
menggunakan penjumlahan berurut tetapi subjek menjelaskannya
secara langkah per langkah. Langkah yang pertama subjek
memberitahukan ketika 𝑛 = 10 maka angka paling depan disini
adalah 10 berarti 10 ini adalah 𝑛. Kemudian langkah kedua, pada
angka 11 disini sama dengan 10 + 1 = 𝑛 + 1. Lalu langkah ketika,
subjek meminta peserta didik untuk menjawab dan seluruh peserta
didik menjawab jika pada angka 21 berarti sama dengan 10 + 10 +
1 = 𝑛 + 𝑛 + 1 atau 2𝑛 + 1.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek terkait
pemahaman yang mendalam mengenai dasar matematika sudah
baik. Subjek sudah berhasil membawa peserta didik untuk berpikir
kritis dan mampu memahami konsep dasarnya.
h. Struktur Matematika dan Relasinya
Pada pertemuan pertama subjek mencoba mengaitkan konsep
domino dengan konsep dasar induksi matematika, hanya saja subjek
tidak membahas secara mendalam mengenai keterkaitan tersebut
sehingga masih ada beberapa peserta didik yang merasa bingung.
Subjek hanya mengatakan bahwa konsep domino hampir sama
dengan konsep dasar induksi matematika yang dimana ketika
domino yang pertama dijatuhkan kearah domino lainnya pasti
domino yang paling ujung juga terjatuh dengan catatan jarak antar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
domino adalah sama (S.1.1.1). Subjek juga tidak mengaitkan konsep
induksi matematika dengan konsep lain yang berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, PCK subjek dalam aspek
struktur matematika dan relasinya masih perlu ditingkatkan karena
pembangunan koneksi antara konsep domino dengan konsep induksi
matematika yang dilakukan oleh subjek masih belum terlihat dengan
jelas.
i. Pengetahuan Mengenai Pelaksanaannya
Keterampilan subjek dalam memecahkan masalah terlihat selama
proses pembelajaran berlangsung. Keterampilan tersebut tampak
saat subjek menjawab pertanyaan-pertanyaan dari peserta didik,
memancing peserta didik dengan pertanyaan-pertanyaan yang
mengarah ke pemahaman peserta didik mengenai materi. Subjek
juga menuntun peserta didik untuk menemukan jawaban dari
permasalahan yang sudah diberikan, subjek juga kadang mengoreksi
kesalahan penulisan maupun penjelasan yang dilakukan oleh peserta
didik. Subjek sudah mampu untuk memperlihatkan keterampilan
atau mampu menerapkan konsep untuk memecahkan permasalahan
matematika. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek
pada aspek pengetahuan mengenai pelaksanaannya sudah baik.
j. Metode-Metode Pemecahan Masalah
Berdasarkan observasi, subjek sudah baik dalam memperlihatkan
metode pemecahan masalah. Pada setiap pertemuan, subjek
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
membantu peserta didik untuk memecahkan masalah yang telah
diberikan. Subjek memberikan metode-metode pemecahan masalah
dengan baik, sehingga sebagian besar peserta didik mengerti dengan
apa yang diajarkan oleh subjek. Ketika pembahasan soal yang
dituliskan di papan tulis subjek juga menuliskannya secara
terstruktur dengan menggunakan prinsip induksi matematika.
Dimulai dari pernyataan yang diketahui, dan penyelesaian soal
dengan langkah-langkah pembuktian yang sesuai dan asumsi yang
jelas, sehingga didapatkan hasil akhir yang terbukti dan sesuai
dengan pernyataan. Subjek menuliskan kesimpulan disetiap
pernyataan yang ia buktikan, tidak lupa pula subjek selalu
mengingatkan seluruh peserta didik untuk menuliskan pernyataan,
langkah, asumsi dan juga kesimpulan dengan jelas.
Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek metode
pemecahan masalah sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan
pembahasan soal dengan baik dan terstruktur, hanya saja metode-
metode yang penting dalam pembuktian induksi matematika belum
dipaparkan.
k. Tujuan Pembelajaran
Berdasarkan RPP yang telah dibuat oleh subjek, tujuan pembelajaran
materi induksi matematika adalah peserta didik dapat menemukan
formula, menjelaskan prinsi, membuktikan formula dan menerapkan
induksi matematika pada barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Subjek membimbing peserta didik dalam menemukan formula untuk
suatu pola tertentu dengan tepat melalui pengamatan pada beberapa
pola bilangan yang disajikan. Subjek membimbing peserta didik
dalam membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi
matematika dengan baik melalui pengerjaan soal. Subjek juga
membimbing peserta didik dalam menerapkan induksi matematika
pada barisan bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan. Subjek juga
memberikan contoh soal dan pembahasannya serta tugas mengenai
induksi matematika. Subjek sudah melakukan usaha dan semua
tujuan pembelajaran sudah dicapai oleh subjek. oleh karena itu dapat
disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek tujuan pembelajaran
sudah baik.
l. Mengambil dan Memelihara Fokus Peserta Didik
Subjek beberapa kali mengambil fokus peserta didik dengan
menunjuk secara tiba-tiba peserta didik yang terlihat mengantuk atau
tidak memperhatikan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan
oleh subjek. subjek juga beberapa kali terlihat menegur peserta didik
yang membuat keibutan di kelas sehingga kelas menjadi tidak
kondusif. Subjek juga beberapa kali berkeliling kelas untuk
memantau aktivitas peserta didik. Subjek juga tidak hanya
berkeliling, namun subjek juga mendampingi dan membimbing
mereka satu per satu. Berdasarkan wawancara, selama proses
pembelajaran subjek selalu berusaha untuk melibatkan seluruh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
peserta didik dalam setiap kegiatan, hanya saja ada beberapa peserta
didik yang masa bodoh, cuek dan tidak patuh jika diminta untuk
menulis atau membaca bahkan ada yang tertidur di kelas saat
pembelajaran berlangsung. Berdasarkan observasi, upaya yang
dilakukan oleh subjek memang sudah membuat para peserta didik
fokus dan mengerjakan tugasnya, terutama beberapa peserta didik
yang memang serius untuk belajar. Subjek merasa sedikit kesulitan
untuk membuat peserta didiknya menjadi fokus. Salah satu
faktornya adalah karena kelas yang subjek ampu adalah kelas
homogen yang berisi peserta didik perempuan. Sehingga beberapa
kali subjek sering diejek maupun digoda oleh peserta didik karena
subjek adalah seorang laki-laki. Pada beberapa pertemuan, subjek
berhasil mengambil fokus peserta didik dengan memberikan
apresiasi berupa point tambahan bagi siswa yang yang aktif saat
dikelas. Melalui apresiasi tersebut, beberapa peserta didik berani
mencoba menjawab pertanyan-pertanyaan maupun soal-soal yang
diberikan oleh subjek.
Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek pada aspek mengambil dan
memelihara fokus peserta didik sudah baik karena strategi yang
subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu memancing keaktifan
peserta didik sehingga berani menyampaikan pendapat dan mencoba
menjawab soal-soal di depan kelas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
m. Teknik Kelas
Pada setiap pertemuan, sebelum subjek menyampaikan materi,
subjek memberikan motivasi kepada peserta didik berupa ice
breaking. Hal ini dilakukan supaya peserta didik tidak terlalu kaku
dalam proses pembelajaran. Beberapa kali juga subjek mengajak
peserta didik untuk bercanda. Subjek juga beberapa kali meminta
kepada kelompok diskusi atau peserta didik lain untuk melakukan
presentasi di depan kelas. Hal ini dimaksudkan supaya peserta didik
dapat percaya diri dan bangga dengan apa yang ia kerjakan.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek
teknik kelas sudah baik, karena subjek sudah mampu
memperlihatkan cara untuk mengimplementasikan metode yang
digunakan dalam proses pembelajaran.
2. Subjek 2
a. Strategi Pembelajaran
Selama proses pembelajaran pada materi induksi matematika sudah
cukup baik. Menurut RPP yang telah dibuat, subjek menggunakan
model pembelajaran discovery based learning, contextual learning,
dan cooperative learning dengan pendekatan scientific dan
menerapkan metode tanya jawab, diskusi, ceramah dan penugasan.
Pada pertemuan pertama dan kedua, subjek belum sepenuhnya
menerapkan langkah-langkah pada model contextual learning,
subjek hanya menggunakan metode cermah dan tanya jawab.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Kemudian pada pertemuan ketiga, subjek tidak menerapkan
langkah-langkah dalam model discovery based learning, subjek
hanya menggunakan metode ceramah, tanya jawab, diskusi dan juga
presentasi. Subjek mengawali pembelajaran dengan memberikan
indikator pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan tersebut.
Subjek juga beberapa kali memberikan beberapa pertanyaan yang
berkaitan dengan materi pada pertemuan tersebut. Selanjutnya
subjek memberikan penjelasan singkat mengenai materi. Keadaan
yang hampir sama juga diterapkan oleh subjek pada pertemuan
keempat dan juga kelima, subjek tidak menerapkan model
cooperative learning namun subjek hanya menggunakan metode
ceramah, diskusi dan tanya jawab (S.2.4.1 dan S.2.5.1). Berdasarkan
wawancara, subjek memang tidak terlalu banyak menerapkan
model-model tersebut karena kurangnya waktu dan pendekatan
pertama yang ingin difokuskan adalah keaktifan peserta didik di
dalam kelas. Subjek ingin peserta didik secara aktif bertanya dan
menjawab apa yang disampaikan subjek. Oleh karena itu, subjek
lebih banyak menggunakan metode ceramah, tanya jawab, diskusi
kelas dan juga sistem poin. Menurut Barker & Chick (2006), PCK
subjek terlihat pada strategi dan pendekatan yang digunakan oleh
subjek untuk mencapai tujuan pembelajaran suatu konsep
matematika. Walaupun subjek masih menggunakan metode
ceramah, namun peserta didik dapat mengikuti pembelajaran dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
memahamimateri dengan baik. Selain itu, menurut Barker & Chick
(2006), PCK subjek juga tampak ketika ia mengajar dengan
menggunakan strategi pembelajaran khusus untuk mengajarkan
konsep. Selama proses pembelajaran, subjek menggunakan strategi
khusus dalam mengenalkan konsep induksi matematika. Subjek
menggunakan prinsip domino yakni ketika domino pertama
dijatuhkan dengan jarak yang sama maka domino yang terakhir juga
akan jatuh. Hal ini menunjukan bahwa subjek mencoba mengajak
siswa untuk memahami konsep dasar induksi matematika melalui
masalah konstektual. Berdasarkan hasil observasi, subjek juga
memberikan contoh konkret dengan memilih 8 orang anak asrama.
Subjek menerapkan contoh ini kepada peserta didik karena hal
tersebut berhubungan dengan konsep induksi matematika.
Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek dalam aspek strategi
pembelajaran sudah baik. Subjek sudah menggunakan startegi
pembelajaran umum maupun khusus dalam mengajarkan konsep
induksi matematika kepada peserta didik.
b. Kesesuaian dan Kedetailan Dalam Menyajikan Konsep
Berdasarkan hasil observasi, kesesuaian dalam menyajikan konsep
tampak ketika subjek menggunakan gambar untuk memberikan
gambaran konsep dasar induksi matematika. Subjek juga
memberikan contoh-contoh sederhana untuk menjelaskan induksi
matematika supaya peserta didik lebih memahami materi tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Pemberian contoh oleh subjek (S.2.5.1) untuk memberikan
gambaran konsep dasar induksi matematika dengan melibatkan
peserta didik melalui diskusi kelas dan juga presentasi. Dimana
subjek menuntun peserta didik dengan masalah-masalah yang ada di
buku dan berkaitan dengan konsep dasar induksi matematika. Subjek
juga membantu peserta didik untuk mengaitkan materi induksi
matematika dan pola barisan dengan menggunakan contoh
pembuktian sebuah barisan 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+ ⋯ +
1
(𝑘+1)(𝑘+2)=
𝑘
2(𝑘+2).
Pembuktian barisan 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+ ⋯ +
1
(𝑘+1)(𝑘+2)=
𝑘
2(𝑘+2) memang
cukup baik digunakan subjek untuk mengaitkan konsep pola barisan
dengan induksi matematika. Hal ini terbukti dengan hampir sebagian
besar peserta didik mengerti akan prinsip dasar pembuktian induksi
matematika yang dijelaskan oleh subjek. PCK subjek terkait
kesesuaian dan kedetailan dalam menyajikan konsep sudah baik. Hal
ini dikarenakan subjek sudah memenuhi indikator yang diberikan
yakni mendemonstrasikan gambaran atau ilustrasi yang cocok
dengan konsep induksi matematika.
c. Sumber Daya Pengetahuan
Selama proses pembelajaran berlangsung subjek lebih banyak
menggunakan ppt, buku dan papan tulis untuk menjelaskan materi,
memberikan contoh soal maupun tugas rumah kepada peserta didik.
Sebagian besar sumber materi yang dipakai oleh subjek berasal dari
buku acuan yakni buku Guru dan buku siswa. Berdasarkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
wawancara, subjek mengatakan bahwa ia menggunakan gambar
domino yang merupakan sebuah media untuk mempermudah ia
untuk menjelaskan konsep dasar induksi matematika. Subjek juga
menggunakan gambaran-gambaran tertentu yang dijelaskan secara
lisan, tetapi sebagian besar peserta didik dapat menangkap maksud
dari gambaran-gambaran tersebut dengan baik. Subjek juga tidak
melarang peserta didik untuk membuka sumber-sumber lain yang
berkaitan dengan induksi matematika di internet saat belajar di
rumah. Pada pertemuan pertama, kedua dan ketiga subjek meminta
beberapa peserta didik untuk menuliskan dan mempresentasikan
jawaban dari hasil pekerjaan mereka. Hal ini dimaksudkan subjek
untuk menunjukan bahwa sumber daya pengetahuan tidak hanya dari
buku atau ppt yang diberikan, melainkan teman-temannya juga dapat
menjadi sumber daya pengetahuan mereka. Selain itu, subjek juga
memastikan peserta didik lain dapat menangkap apa yang dijelaskan
oleh peserta didik tersebut dengan memberikan pertanyaan kepada
peserta didik yang melakukan presentasi di depan kelas.
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa PCK
subjek pada aspek sumber daya pengetahuan sudah baik. Subjek
sudah menggunakan sumber daya yang tersedia untuk mendukung
pembelajaran melalui ppt, buku dan peserta didik pada kelas
tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
d. Pengetahuan Kurikulum
Subjek sudah menerapkan Kurikulum 2013 namun belum
seutuhnya. Hal ini terlihat pada proses pembelajaran, dimana subjek
masih menjelaskan materi dengan menggunakan metode ceramah
dan peserta didik yang aktif hanya ada beberapa saja. Seharusnya
pada Kurikulum 2013, subjek berperan sebagai fasilitator dalam
proses pembelajaran dan peserta didik berperan aktif dalam proses
pembelajaran. Kurikulum 2013 sangat berkaitan erat dengan 4C,
yaitu communication, collaboration, critical thinking, and
creativity. Upaya yang dilakukan subjek dalam mencapai
collaboration dan communication sudah tampak pada proses
pembelajaran. Collaboration dapat dilihat ketika subjek meminta
peserta didik berdiskusi untuk mengerjakan dan menyelesaikan
masalah-masalah yang diberikan oleh subjek. Sedangkan
communication tampak ketika subjek meminta beberapa peserta
didik untuk menuliskan dan memaparkan jawaban mereka di papan
tulis. Pada pertemuan ketiga, critical thinking yang diterapkan oleh
subjek adalah mengajak peserta didik untuk membuktikan lankah
induksi dari soal 1
2.3+
1
3.4+
1
4.5+ ⋯ +
1
(𝑘+1)(𝑘+2)=
𝑘
2(𝑘+2). Pada proses
pembelajaran, upaya subjek dalam menggali creativity peserta didik
belum tampak. Berdasarkan wawancara, subjek menuturkan bahwa
ia belum sepenuhnya menerapkan 4C sebab metode pembelajaran
yang digunakan pun hanya ceramah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek pengetahuan
kurikulum perlu ditingkatkan karena subjek belum berperan sebagai
fasilitator dan juga upaya subjek dalam menggali creativity kepada
peserta didik belum tampak. Namun upaya yang subjek lakukan
dalam mencapai collaboration, communication dan critical thinking
sudah tampak.
e. Tujuan Pengetahuan Isi
PCK subjek pada aspek tujuan pengetahuan isi sudah baik, subjek
sudah dapat menjelaskan bagaimana konsep lain dapat digunakan
pada materi utama. Melalui pemahaman dengan menggunakan
konsep domino, secara tidak langsung subjek sudah menunjukan
tujuan pengetahuan dari materi induksi matematika. Sebab konsep
domino hampir sama dengan konsep dasar induksi matematika yang
dimana ketika domino yang pertama dijatuhkan kearah domino
lainnya pasti domino yang paling ujung juga terjatuh dengan catatan
jarak antar domino adalah sama.
f. Pembangunan Isi Sebagai Kunci Komponen-Komponen
PCK subjek dalam aspek pembangunan isi sebagai kunci komponen-
komponen, tampak pada proses pembelajaran. Subjek menerapkan
prinsip induksi matematika untuk membuktikan suatu hubungan
seperti induksi matematika dengan pola barisan bilangan. Subjek
mengajak peserta didik untuk mengenal pola barisan bilangan dan
dengan menggunakan pembuktian induksi matematika yang sesuai,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Selain itu subjek juga
mengenalkan peserta didik dengan metode-metode pembuktian
dalam induksi matematika, keterbagian dan juga ketidaksamaan
yang ada dalam materi induksi matematika. Oleh karena itu, dapat
disimpulkan bahwa PCK subjek dalam aspek pembangunan isi
sebagai kunci komponen-komponen sudah baik.
g. Pemahaman yang Mendalam Mengenai Dasar Matematika
Berdasarkan observasi yang telah dilakukan, subjek sudah
memahami secara mendalam mengenai konsep dari induksi
matematika. Pemahaman yang mendalam mengenai dasar
matematika subjek sudah baik. Subjek sudah membawa peserta
didik untuk memahami permasalahan abstrak mengenai metode-
metode pembuktian salah satunya adalah metode pembuktian
langsung (S.2.1.1). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK
subjek terkait pemahaman yang mendalam mengenai dasar
matematika sudah baik karena subjek sudah mampu membawa
peserta didik untuk berfikir kritis sehingga peserta didik dapat
memahami konsep matematika.
h. Struktur Matematika dan Relasinya
Pada pertemuan kedua subjek mencoba mengaitkan konsep domino
dengan konsep dasar induksi matematika, hanya saja subjek tidak
membahas secara mendalam mengenai keterkaitan tersebut sehingga
masih ada beberapa peserta didik yang merasa bingung. Subjek
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
hanya mengatakan bahwa konsep domino hampir sama dengan
konsep dasar induksi matematika yang dimana ketika domino yang
pertama dijatuhkan kearah domino lainnya pasti domino yang paling
ujung juga terjatuh dengan catatan jarak antar domino adalah sama.
Subjek juga tidak mengaitkan konsep induksi matematika dengan
konsep lain yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Oleh
karena itu, PCK subjek dalam aspek struktur matematika dan
relasinya masih perlu ditingkatkan karena pembangunan koneksi
antara konsep domino dengan konsep induksi matematika yang
dilakukan oleh subjek masih belum terlihat dengan jelas.
i. Pengetahuan Mengenai Pelaksanaannya
Keterampilan subjek dalam memecahkan masalah terlihat selama
proses pembelajaran pada pertemuan pertama. Subjek ingin
membuktikan Jika x bilangan ganjil dan y bilangan genap, maka
X+Y adalah bilangan ganjil. Lalu subjek meminta peserta didik
untuk mengidentifikasi seperti apa rumus bilangan ganjil dan rumus
bilangan genap dan setelah itu peserta didik mampu memberikan
jawaban yang benar. Subjek sudah mampu untuk memperlihatkan
keterampilan atau mampu menerapkan konsep untuk memecahkan
permasalahan matematika. Keterampilan subjek dalam memecahkan
masalah terlihat selama proses pembelajaran berlangsung.
Keterampilan lain juga tampak saat subjek menjawab pertanyaan-
pertanyaan dari peserta didik, memancing peserta didik dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
pertanyaan-pertanyaan yang mengarah ke pemahaman peserta didik
mengenai materi. Subjek juga menuntun peserta didik untuk
menemukan jawaban dari permasalahan yang sudah diberikan,
subjek juga kadang mengoreksi kesalahan penulisan maupun
penjelasan yang dilakukan oleh peserta didik. Subjek sudah mampu
untuk memperlihatkan keterampilan atau mampu menerapkan
konsep untuk memecahkan permasalahan matematika. Oleh karena
itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek pengetahuan
mengenai pelaksanaannya sudah baik.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek
pengetahuan mengenai pelaksanaannya sudah baik.
j. Metode-Metode Pemecahan Masalah
Berdasarkan observasi, subjek sudah memperlihatkan metode
pemecahan masalah. Pada setiap pertemuan, subjek membantu
peserta didik untuk memecahkan masalah yang telah diberikan.
Subjek memberikan metode-metode pemecahan masalah dengan
baik, sehingga sebagian besar peserta didik mengerti dengan apa
yang diajarkan oleh subjek. Dalam RPP yang telah dibuat oleh
subjek, ia menuliskan metode-metode pembuktian dalam materi
induksi matematika seperti metode langsung, tidak langsung,
kontradiksi, dan metode induksi matematika. Kemudian, ketika
pembahasan soal yang dituliskan di papan tulis subjek
menuliskannya secara terstruktur dengan menggunakan prinsip
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
induksi matematika. Dimulai dari pernyataan yang diketahui, dan
penyelesaian soal dengan langkah-langkah pembuktian yang sesuai
dan asumsi yang jelas, sehingga didapatkan hasil akhir yang terbukti
dan sesuai dengan pernyataan. Subjek menuliskan kesimpulan
disetiap pernyataan yang ia buktikan, tidak lupa pula subjek selalu
mengingatkan seluruh peserta didik untuk menuliskan pernyataan,
langkah, asumsi dan juga kesimpulan dengan jelas.
Berdasarkan uraian di atas, PCK subjek pada aspek metode
pemecahan masalah sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan
pembahasan soal dengan baik dan terstruktur, dan juga sudah
metode-metode yang penting dalam pembuktian induksi
matematika.
k. Tujuan Pembelajaran
Berdasarkan RPP yang telah dibuat oleh subjek, tujuan pembelajaran
materi induksi matematika adalah peserta didik dapat menemukan
formula, menjelaskan prinsi, membuktikan formula dan menerapkan
induksi matematika pada barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.
Subjek membimbing peserta didik dalam menemukan formula untuk
suatu pola tertentu dengan tepat melalui pengamatan pada beberapa
pola bilangan yang disajikan. Subjek membimbing peserta didik
dalam membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi
matematika dengan baik melalui pengerjaan soal. Subjek sudah
membimbing peserta didik dalam membuktikan soal dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
menggunakan induksi matematika. Subjek juga membimbing
peserta didik dalam menerapkan induksi matematika pada barisan
bilangan, keterbagian dan ketidaksamaan. Subjek juga memberikan
contoh soal dan pembahasannya serta tugas mengenai induksi
matematika. Subjek sudah melakukan usaha dan semua tujuan
pembelajaran sudah dicapai oleh subjek. oleh karena itu dapat
disimpulkan bahwa PCK subjek pada aspek tujuan pembelajaran
sudah baik.
l. Mengambil dan Memelihara Fokus Peserta Didik
Subjek beberapa kali mengambil fokus peserta didik dengan
menunjuk secara tiba-tiba peserta didik yang terlihat mengantuk atau
tidak memperhatikan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan
oleh subjek. subjek juga beberapa kali terlihat menegur peserta didik
yang membuat keibutan di kelas sehingga kelas menjadi tidak
kondusif. Subjek juga beberapa kali berkeliling kelas untuk
memantau aktivitas peserta didik. Subjek juga tidak hanya
berkeliling, namun subjek juga mendampingi dan membimbing
mereka satu per satu. Berdasarkan hasil wawancara, subjek merasa
sedikit kesulitan untuk membuat peserta didiknya menjadi fokus.
Salah satu faktornya adalah karena kelas yang subjek ampu adalah
kelas homogen yang berisi peserta didik perempuan. Sehingga
beberapa kali subjek sering diejek maupun digoda oleh peserta didik
karena subjek adalah seorang laki-laki. Subjek juga mengatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
bahwa meskipun ia sudah mefokuskan peserta didik, namun masih
saja ada peserta didik yang bandel dan tidur di kelas. Berdasarkan
observasi, upaya yang dilakukan oleh subjek memang sudah
membuat para peserta didik fokus dan mengerjakan tugasnya,
terutama beberapa peserta didik yang memang serius untuk belajar.
Pada beberapa pertemuan, subjek berhasil mengambil fokus peserta
didik dengan memberikan apresiasi berupa point tambahan bagi
siswa yang yang aktif saat dikelas. Melalui apresiasi tersebut,
beberapa peserta didik berani mencoba menjawab pertanyan-
pertanyaan maupun soal-soal yang diberikan oleh subjek.
Berdasarkan uraian diatas, PCK subjek pada aspek mengambil dan
memelihara fokus peserta didik sudah baik karena strategi yang
subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu memancing keaktifan
peserta didik sehingga berani menyampaikan pendapat dan mencoba
menjawab soal-soal di depan kelas.
m. Teknik Kelas
Pada setiap pertemuan, sebelum subjek menyampaikan materi,
subjek selalu mengecek kehadiran peserta didik dan mengingatkan
kembali materi yang sudah dipelajari sebelumnya. Beberapa kali
juga subjek mengajak peserta didik untuk bercanda. Subjek juga
beberpa kali meminta kepada kelompok diskusi atau peserta didik
lain untuk melakukan presentasi di depan kelas. Hal ini dimaksudkan
supaya peserta didik dapat percaya diri dan bangga dengan apa yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
ia kerjakan. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa PCK subjek
pada aspek teknik kelas sudah baik, karena subjek sudah mampu
memperlihatkan cara untuk mengimplementasikan metode yang
digunakan dalam proses pembelajaran.
Pada bagian ini akan diuraikan profil PCK subjek SMA Stella Duce 2
Yogyakarta pada materi Induksi matematika yang dapat dilihat pada tabel
4.2.
Tabel 4.2: PCK Subjek Pada Materi Induksi Matematika
No. Aspek PCK Hasil
1. Strategi
pembelajaran
Subjek 1:
a. Subjek menggunakan metode ceramah,
tanya jawab, diskusi kelas dan juga
presentasi sebagai strategi umum. Subjek
sudah mampu memperlihatkan cara untuk
mengimplementasikan metode yang
digunakan dalam proses pembelajaran.
b. Subjek menggunakan strategi khusus
dalam mengenalkan konsep induksi
matematika. Subjek menggunakan prinsip
domino yakni ketika domino pertama
dijatuhkan dengan jarak yang sama maka
domino yang terakhir juga akan jatuh.
Subjek 2:
a. Subjek menggunakan metode ceramah,
tanya jawab, diskusi kelas dan juga
presentasi sebagai strategi umum. Subjek
sudah mampu memperlihatkan cara untuk
mengimplementasikan metode yang
digunakan dalam proses pembelajaran.
b. Subjek menggunakan strategi khusus
dalam mengenalkan konsep induksi
matematika. Subjek menggunakan prinsip
domino yakni ketika domino pertama
dijatuhkan dengan jarak yang sama maka
domino yang terakhir juga akan jatuh.
2.
Kesesuaian dan
kedetailan
dalam
menyajikan
konsep
Subjek 1:
Melalui video, gambar dan ilustrasi mengenai efek
domino, subjek sudah dapat menjelaskan
keterkaitannya dengan konsep dasar induksi
matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
No. Aspek PCK Hasil Subjek 2:
Melalui gambar dan ilustrasi mengenai efek
domino, serta gambaran-gambaran lainnya subjek
sudah dapat menjelaskan keterkaitannya dengan
konsep dasar induksi matematika.
3. Sumber daya
pengetahuan
Subjek 1:
Subjek sudah menggunakan sumber daya yang
tersedia untuk mendukung pembelajaran melalui
ppt, dan buku peserta didik pada kelas tersebut.
Subjek 2:
Subjek sudah menggunakan sumber daya yang
tersedia untuk mendukung pembelajaran melalui
ppt, dan buku peserta didik pada kelas tersebut.
4. Pengetahuan
kurikulum
Subjek 1:
Subjek belum sepenuhnya mencapai tujuan
kurikulum 2013, karena subjek belum berperan
sebagai fasilitator dan juga upaya subjek dalam
menggali creativity kepada peserta didik belum
tampak. Namun upaya yang subjek lakukan dalam
mencapai collaboration, critical thinking dan
communication sudah tampak.
Subjek 2:
Subjek belum sepenuhnya mencapai tujuan
kurikulum 2013, karena subjek belum berperan
sebagai fasilitator dan juga upaya subjek dalam
menggali creativity dan critical thinking kepada
peserta didik belum tampak. Namun upaya yang
subjek lakukan dalam mencapai collaboration dan
communication sudah tampak.
5. Tujuan
pengetahuan isi
Subjek 1:
Subjek sudah baik dalam tujuan pengetahuan isi
karena melalui pemahaman dengan menggunakan
konsep domino, secara tidak langsung subjek
sudah menunjukan tujuan pengetahuan dari materi
induksi matematika
Subjek 2:
Subjek sudah baik dalam tujuan pengetahuan isi
karena melalui pemahaman dengan menggunakan
konsep domino, secara tidak langsung subjek
sudah menunjukan tujuan pengetahuan dari materi
induksi matematika
6.
Pembangunan
isi sebagai kunci
komponen-
komponen
Subjek 1:
Pembangunan isi sebagai kunci komponen-
komponen subjek sudah diterapkan dengan baik.
Subjek menerapkan prinsip induksi matematika
untuk membuktikan suatu hubungan seperti
induksi matematika dengan pola barisan bilangan.
Subjek mengajak peserta didik untuk mengenal
notasi sigma dan pola barisan bilangan dan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
No. Aspek PCK Hasil menggunakan pembuktian induksi matematika
yang sesuai, untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan. Selain itu subjek juga mengenalkan
peserta didik dengan keterbagian dan juga
ketidaksamaan yang ada dalam materi induksi
matematika.
Subjek 2:
Pembangunan isi sebagai kunci komponen-
komponen subjek sudah diterapkan dengan baik.
Subjek menerapkan prinsip induksi matematika
untuk membuktikan suatu hubungan seperti
induksi matematika dengan menggunakan metode-
metode pembuktian. Subjek mengajak peserta
didik untuk mengenal notasi sigma dan pola
barisan bilangan dan dengan menggunakan
pembuktian induksi matematika yang sesuai, untuk
menyelesaikan masalah yang diberikan. Selain itu
subjek juga mengenalkan peserta didik dengan
keterbagian dan juga ketidaksamaan yang ada
dalam materi induksi matematika.
7.
Pemahaman
yang mendalam
mengenai dasar
matematika
Subjek 1:
Pemahaman yang mendalam mengenai dasar
matematika subjek sudah baik karena subjek sudah
memahami konsep dari induksi matematika.
Subjek sudah mampu menjelaskan dan
menunjukan kepada peserta didik keterampilan-
keterampilan yang terlihat ketika penyampaian
konsep penjumlahan berurut bilangan kuadrat.
Subjek 2:
Pemahaman yang mendalam mengenai dasar
matematika subjek sudah baik karena subjek sudah
memahami konsep dari induksi matematika.
Subjek sudah mampu menjelaskan dan
menunjukan kepada peserta didik keterampilan-
keterampilan yang terlihat ketika penyampaian
contoh metode pembuktian langsung.
8.
Struktur
matematika dan
relasinya
Subjek 1:
Struktur matematika dan relasinya masih perlu
ditingkatkan oleh subjek karena pembangunan
koneksi antara konsep domino dengan konsep
induksi matematika yang dilakukan oleh subjek
masih belum terlihat dengan jelas. Subjek juga
tidak mengaitkan konsep induksi matematika
dengan konsep lain yang berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari. Subjek 2:
Struktur matematika dan relasinya masih perlu
ditingkatkan oleh subjek karena pembangunan
koneksi antara konsep domino dengan konsep
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
No. Aspek PCK Hasil induksi matematika yang dilakukan oleh subjek
masih belum terlihat dengan jelas. Subjek juga
tidak mengaitkan konsep induksi matematika
dengan konsep lain yang berhubungan dengan
kehidupan sehari-hari.
9.
Pengetahuan
mengenai
pelaksanaannya
Subjek 1:
Pengetahuan subjek mengenai pelaksanaannya
sudah baik. Subjek sudah mampu untuk
memperlihatkan keterampilan atau mampu
menerapkan konsep untuk memecahkan
permasalahan matematika.
Subjek 2:
Pengetahuan subjek mengenai pelaksanaannya
sudah baik. Subjek sudah mampu untuk
memperlihatkan keterampilan atau mampu
menerapkan konsep untuk memecahkan
permasalahan matematika.
10.
Metode-metode
pemecahan
masalah
Subjek 1:
Metode pemecahan masalah yang subjek terapkan
sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan
pembahasan soal dengan baik dan terstruktur
dalam proses pembuktian induksi matematika yang
dipaparkan. Subjek juga sering membantu peserta
didik yang kesulitan terutama yang bertanya saat
pembahasan soal.
Subjek 2:
Metode pemecahan masalah yang subjek terapkan
sudah baik. Subjek sudah mampu melakukan
pembahasan soal dengan baik dan terstruktur
dalam proses pembuktian induksi matematika yang
dipaparkan. Subjek juga sering membantu peserta
didik yang kesulitan terutama yang bertanya saat
pembahasan soal.
11. Tujuan
Pembelajaran
Subjek 1:
Melalui proses pembelajaran, subjek sudah
menunjukan usaha untuk mencapai tujuan
pembelajaran.
Subjek 2:
Melalui proses pembelajaran, subjek sudah
menunjukan usaha untuk mencapai tujuan
pembelajaran.
12.
Mengambil dan
memelihara
fokus siswa
Subjek 1:
Ketika mengambil dan memelihara fokus peserta
didik, subjek dinilai sudah baik karena strategi
yang subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu
memancing keaktifan peserta didik sehingga berani
menyampaikan pendapat dan mencoba menjawab
soal-soal di depan kelas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
No. Aspek PCK Hasil Subjek 2:
Ketika mengambil dan memelihara fokus peserta
didik, subjek dinilai sudah baik karena strategi
yang subjek terapkan. Subjek juga sudah mampu
memancing keaktifan peserta didik sehingga berani
menyampaikan pendapat dan mencoba menjawab
soal-soal di depan kelas.
13. Teknik kelas
Subjek 1:
Teknik kelas yang diterapkan oleh subjek sudah
baik, karena dalam menyampaikan materi induksi
matematika yaitu dengan memfokuskan pada
keaktifan peserta didik di dalam kelas. Subjek
ingin peserta didik secara aktif bertanya dan
menjawab apa yang disampaikan subjek. subjek
juga terkadang mengajak peserta didik untuk
bercanda bersama.
Subjek 2:
Teknik kelas yang diterapkan oleh subjek sudah
baik, karena dalam menyampaikan materi induksi
matematika yaitu dengan memfokuskan pada
keaktifan peserta didik di dalam kelas. Subjek
menetapkan sistem point yang berguna untuk
mengaktifkan peserta didik supaya mau bertanya
dan menjawab pertanyaan yang diberikan.
E. Keterbatasan Penelitian
1. Kerusakan Video Dokumentasi
Adapun keterbatasan penelitian yang dialami peneliti adalah salah satu
video hasil proses pembelajaran hilang. Kejadian ini sungguh di luar
dugaan peneliti dan juga subjek. Kejadian tersebut terjadi dikarenakan
kesalahan sistem alat perekam, ketika peneliti sedang dalam proses
menyimpan data dokumentasi tiba-tiba saja handphone milik peneliti
mati dan baru bisa menyala sekitar 15 menit kemudian. Ketika sudah
bisa dinyalakan kembali peneliti langsung mengecek apakah rekaman
video pembelajaran masih bisa tersimpan, dan ternyata video tersebut
tidak ada. Peneliti memutuskan untuk bertanya kepada guru pamong
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
untuk mengijinkan subjek mengulang pertemuan pada hari itu, namun
sayangnya guru pamong tidak mengijinkan dikarenakan waktu yang
dimiliki subjek untuk mengajar sangat terbatas. Karena hal tersebut,
penyajian data yang peneliti sajikan masih memiliki kekurangan yakni
pada pertemuan keempat milik subjek pertama.
2. Tidak Memeriksa RPP dan PPT Subjek Secara Mendetail
Adapun keterbatasan penelitian yang dialami peneliti adalah peneliti
tidak memeriksa keseluruhan RPP dan PPT milik masing-masing subjek
dengan mendetail. Hal ini menyebabkan beberapa miskonsepsi yang
dilakukan oleh subjek kepada peserta didik selama proses pembelajaran.
Seperti pada PPT subjek pertama di pertemuan kedua, subjek
menuliskan rumus cepat yang bisa membuat peserta didik menjadi salah
paham dan tidak menggunakan langkah-langkah yang benar saat proses
pembuktian induksi matematika. Kemudian pada tugas mandiri online
nomor 2, subjek pertama menuliskan n ≥ 5. Padahal di bagian materi
RPP subjek tidak menuliskan langkah-langkah pembuktian ketika n ≥ 1
(induksi yang diperluas). Hal ini dapat menyebabkan ketidaksesuaian
topik induksi matematika yang seharusnya diajarkan di tingkat SMA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan terhadap proses pembelajaran
materi induksi matematika dan wawancara yang telah dilakukan oleh
peneliti, maka PCK subjek di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta, dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Kejelasan PCK
a. Strategi Pembelajaran
Kedua subjek sudah mampu menggunakan strategi umum dengan
mampu memperlihatkan cara untuk mengimplementasikan metode
yang digunakan dalam proses pembelajaran. Metode yang
digunakan kedua subjek ialah ceramah, diskusi, tanya jawab dan
presentasi. Kedua subjek juga menggunakan strategi khusus dalam
mengajarkan materi induksi matematika yakni menggunakan prinsip
domino sebagai awalan mempelajari konsep dasar induksi
matematika yakni ketika domino pertama dijatuhkan dengan jarak
yang sama maka domino yang terakhir juga akan jatuh.
b. Kesesuaian dan Kedetilan Dalam Menyajikan Konsep
Kedua subjek sudah mampu menggunakan gambar dan ilustrasi
untuk menjelaskan dan membantu peserta didik dalam mencari
keterkaitan konsep efek domino dengan konsep dasar induksi
matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
c. Sumber Daya Pengetahuan
Kedua Subjek sudah mampu menggunakan sumber daya yang
tersedia untuk mendukung pembelajaran melalui ppt, dan buku
peserta didik pada kelas masing-masing.
d. Pengetahuan Kurikulum
Subjek pertama belum sepenuhnya mencapai tujuan kurikulum
2013, karena subjek belum berperan sebagai fasilitator dan juga
upaya subjek dalam menggali creativity kepada peserta didik belum
tampak. Namun upaya yang subjek lakukan dalam mencapai
collaboration, critical thinking dan communication sudah tampak.
Subjek kedua belum sepenuhnya mencapai tujuan kurikulum 2013,
karena subjek belum berperan sebagai fasilitator dan juga upaya
subjek dalam menggali creativity dan critical thinking kepada
peserta didik belum tampak. Namun upaya yang subjek lakukan
dalam mencapai collaboration dan communication sudah tampak.
e. Tujuan Pengetahuan Isi
Kedua subjek sudah baik dalam tujuan pengetahuan isi karena
melalui pemahaman dengan menggunakan konsep domino, secara
tidak langsung subjek sudah menunjukan tujuan pengetahuan dari
materi induksi matematika. Dengan demikian kedua subjek sudah
bisa menjelaskan bagaimana konsep induksi matematika digunakan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
2. Pengetahuan Materi dalam Konteks Pedagogik
a. Pembangunan Isi Sebagai Kunci Komponen-Komponen
Kedua subjek sudah menerapkan pembangunan isi sebagai kunci
komponen-komponen dengan baik. Kedua subjek juga sudah bisa
menentukan komponen-komponen yang kritis dalam konsep induksi
matematika seperti menerapkan prinsip induksi matematika.
b. Pemahaman yang Mendalam Mengenai Dasar Matematika
Pemahaman yang mendalam mengenai dasar matematika dari kedua
subjek sudah baik karena kedua subjek sudah memahami secara
mendalam mengenai konsep dari induksi matematika. Kedua subjek
sudah membawa peserta didik untuk memahami permasalahan
abstrak mengenai metode-metode pembuktian langsung dan juga
penjumlahan berurut bilangan kuadrat sampai dengan 𝑛2
c. Struktur Matematika dan Relasinya
Struktur matematika dan relasinya masih perlu ditingkatkan oleh
kedua subjek karena pembangunan koneksi antara konsep domino
dengan konsep induksi matematika yang dilakukan oleh kedua
subjek masih belum terlihat dengan jelas. kedua subjek juga tidak
mengaitkan konsep induksi matematika dengan konsep lain yang
berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.
d. Pengetahuan Mengenai Pelaksanaannya
Pengetahuan subjek mengenai pelaksanaannya sudah baik. Kedua
subjek sudah mampu untuk memperlihatkan keterampilan atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
mampu menerapkan konsep untuk memecahkan permasalahan
matematika. Keterampilan tersebut tampak saat subjek menjawab
pertanyaan-pertanyaan dari peserta didik, memancing peserta didik
dengan pertanyaan-pertanyaan yang mengarah ke pemahaman
peserta didik mengenai materi.
e. Metode-Metode Pemecahan Masalah
Metode pemecahan masalah yang kedua subjek pertama terapkan
masih sudah baik. Keduanya selalu membantu peserta didik untuk
memecahkan masalah yang telah diberikan. Ketika pembahasan soal
yang dituliskan di papan tulis subjek juga menuliskannya secara
terstruktur dengan menggunakan prinsip induksi matematika.
3. Pengetahuan Pedagogik dalam Konteks Materi
a. Tujuan Pembelajaran
Melalui proses pembelajaran, kedua subjek sudah menunjukan
usaha untuk mencapai tujuan pembelajaran. Tujuan pembelajaran
yang sudah dicapai itu juga sudah sesuai dengan RPP yang mereka
buat. Kedua subjek juga konsisten dalam mengajarkan materi
kepada peserta didik.
b. Mengambil dan Memelihara Fokus Peserta Didik
Ketika mengambil dan memelihara fokus peserta didik, kedua
subjek dinilai sudah baik karena strategi yang terapkan masing-
masing subjek. Kedua subjek juga sudah mampu memancing
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
keaktifan peserta didik sehingga berani menyampaikan pendapat
dan mencoba menjawab soal-soal di depan kelas.
c. Teknik Kelas
Teknik kelas yang diterapkan oleh kedua subjek sudah baik, karena
dalam menyampaikan materi induksi matematika yaitu dengan
memfokuskan pada keaktifan peserta didik di dalam kelas. Kedua
subjek menerapkan sistem point supaya ada antusiasme dari peserta
didik.
B. Saran
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan,
peneliti memberikan saran sebagai berikut:
1. Bagi Guru
Guru diharapkan tidak hanya menerapkan materi saja atau pengetahuan
pedagogik saja, melainkan guru juga harus memadukan pengetahuan
materi dan pengetahuan pedagogik ke dalam kurikulum pada proses
pembelajaran sesuai dengan kebutuhan peserta didik secara individu
maupun kelompok
2. Bagi calon guru
Disarankan kepada calon guru untuk menggunakan berbagai bentuk
representasi yang digunakan dalam praktek pembelajaran matematika
oleh dua subjek di SMA Stella Duce 2 Yogyakarta di atas sebagai bahan
pertimbangan dalam pelaksanaan kegiatan pembelajaran matematika.
Dengan mempelajari bentuk-bentuk representasi dan pengalaman
langsung dari dua subjek di atas, diharapkan dapat meningkatkan PCK
calon guru matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
DAFTAR PUSTAKA
Aksu, Z., Metin, M., & Konyahoglu, A. (2014). Development of Pedagogical
Content Knowledge Scale for Pre-Service Teaschers: The Validity and
Realiability Study. Mediterranean Journal of Social Sciences MCSER
Publishing, Rome-Italy Vol 5 No 20 , 1365-1377.
Barker M., C. H. (2006). ASPECTS OF TEACHERS’ PEDAGOGICAL
CONTENT KNOWLEDGE FOR DECIMALS. Proceedings 30th
Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education, Vol. 2, 297-304.
Barker, M., & Chick, H. (2006). Pedagogical Content Knowledge for Teaching
Primary Mathematics: A Case Study of Two Teachers. 60-67.
Kania A., V. (2018). Profil PCK (Pedagogical Content Knowledge) Guru
Matematika di SMA BOPKRI 1 Yogyakarta Pada Topik Turunan.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Magnusson, S. (1999). Nature, Sources, and Development of Pedagogical Content
Knowledge Science Teaching. PCK and Science Education, 3-7.
Parwati, N. (2014). Teori Bilangan. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Rahmadhani, Y. (2016). Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru dalam
Pembelajaran Biologi SMA di Kota Cimahi. Prosiding Seminar
NasionalSainsdanPendidikanSains X (2016)Vol. 6 ISSN: 2087-0922, 17-24.
Rusman. (2017). Belajar dan Pembelajaran: Berorientasi Standar Proses
Pendidikan Edisi 1. Jakarta: KENCANA.
Sarkim, T. (2015). Pedagogical Content Knowledge: Sebuah Konstruk untuk
Memahami Kinerja Guru di Dalam Pembelajaran. Prosiding Pertemuan
Ilmiah XXIX HFI ISSN : 0853-0823 , 7-12.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Setianto, FX. Made. (2010). Identifikasi PCK Guru Matematika Terkait Bentuk-
Bentuk Representasi yang Digunakan Oleh 2 Guru Matematika SMA di
Yogyakarta. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Shulman, L. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching.
Educational Researcher, Vol. 15, No. 2, 4-14.
Sugiyono. (2016). Memahami Penelitian Kualitatif. Bandung: CV. Alfabeta.
Sukirman. (2013). Teori Bilangan. Yogyakarta: UNY Press.
Suwardoyo, Y. (2010). Identifikasi PCK Guru Matematika Khususnya Terkait
Bentuk-Bentuk Representasi yang Digunakan Oleh 2 Guru Matematika
SMA di Yogyakarta. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Lampiran 1. Surat Ijin Penelitian dari Universitas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Lampiran 2. Surat Keterangan dari Sekolah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Lampiran 3. Pedoman Observasi dan Wawancara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Lampiran 4. Lembar Validasi Instrumen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
Lampiran 5. Transkrip Wawancara
Transkrip Wawancara
Keterangan:
S1: Subjek 1
P: Peneliti
P: Strategi pembelajaran atau pendekatan seperti apa yang anda gunakan selama
pembelajaran berlangsung?
S1: Saya mah ngikutin yang ada di RPP tapi pendekatan yang pertama saya ingin
fokus ke mereka (peserta didik) dulu, mereka harus aktif selama pembelajaran jadi
bukan hanya saya saja yang aktif mengelola kelas tapi saya mau mereka juga secara
aktif bertanya dan menjawab apa yang saya sampaikan di depan.
P: Selama pembelajaran apakah anda menggunakan sumber daya atau media seperti
ilustrasi atau gambar tertentu? Sudah efektifkah sumber daya atau media yang anda
berikan?
S1: menurut saya sudah efektif, karena belajar induksi matematika itu kan kaitannya
sangat jelas dengan efek dari domino, jadi ketika saya hanya berikan gambar domino
saja pasti mereka sangat bingung. Karena jika hanya melihat gambar saja mereka
belum bisa berimajinasi seperti apa ketika domino terjatuh, maka dari itu saya
memberikan video yang berkaitan supaya mereka paham dengan konsep dari efek
domino dan keterkaitannya dengan konsep induksi matematika.
P: Lalu mengapa anda tidak meminta peserta didik untuk membuka google atau
sumber-sumber lain untuk dapat mengerti konsep induksi matematika ini?
S1: Untuk masuk ke prinsip itu kan lumayan pembahasannya, jadi saya ingin ada
kegiatan literasi dulu. Saya ingin mereka memanfaatkan buku untuk meningkatkan
pengetahuan mereka tentang teori induksi matematika ini. Kalau di buku kan ada
tabel, konsep dan gambaran sama pola-polanya. Jadi alasan saya tidak menggunakan
media lain seperti handphone dan google karena saya ingin ada kegiatan literasi dari
mereka sehingga saya tidak menggunakan media lain selain ppt dan buku, tetapi kalau
mereka mau cari di internet ya saya tidak larang asalkan bukan di sekolah.
P: Apakah pembelajaran yang anda lakukan sudah mencapai tujuan Kurikulum 2013?
S1: Saya merasa sudah mencapai tujuan kurikulum, untuk indikator yang pertama itu
kan tujuannya kan peserta didik diminta untuk menemukan formula dari suatu contoh
pola barisan dan kemarin pada pertemuan 1 dan 2 saya sudah mencapai itu dan peserta
didik juga sudah paham. Lalu tujuan kedua yaitu menemukan Sn dari suatu pola
barisan itu juga mereka sudah bisa. Kemudian mereka juga sudah bisa mengetahui
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
apakah suatu formula itu benar dan berlaku di semua n bilangan asli. Setelah itu juga
mereka bisa paham, tapi bagian ketidaksamaan itu memang yang agak kurang tapi
selebihnya bisa.
P: Menurut anda apakah anda sudah menerapkan 4C (communication, collaboration,
critical thinking dan creativity) selama proses pembelajaran?
S1: kalau communication sama collaboration sudah, eh tapi critical thinking
sepertinya juga sudah, hanya saja kalau creativity sih belum kayaknya.
P: Menurut anda apakah selama pembelajaran anda selalu melibatkan peserta didik
dalam setiap kegiatan?
S1: saya sudah berusaha untuk selalu melibatkan peserta didik, namun ada beberapa
yang mungkin tidak suka matematika apa gimana, ada yang cuek tapi selama proses
pembelajaran saya sudah berusaha melibatkan peserta diidk untuk aktif di
pembelajaran saya. Tetapi kalau di catatan saya memang ada beberapa peserta didik
yang masa bodoh dalam pembelajaran karena ketika saya minta untuk menulis
mereka tidak menulis, disuruh baca tapi tidak membaca, dan ketika saya berkeliling
untuk mengunjungi setiap meja ada yang tertidur dan beberapa masa bodoh (tidak
terlalu peduli).
P: Kesulitan apa yang anda hadapi selama proses pembelajaran yang anda lakukan?
S1: itu waktu di pertemuan yang pertama, saya lupa tidak mem-printscreen tabel
sehingga saat diskusi saya harus berkeliling kelas dari meja ke meja untuk
menjelaskan mereka satu-satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
Transkrip Wawancara
Keterangan:
S2: Subjek 2
P: Peneliti
P: Strategi pembelajaran atau pendekatan seperti apa yang anda gunakan selama
pembelajaran berlangsung?
S2: Strateginya kalau saya menggunakan pendekatan saintifik, disini saya mengarah
kepada peserta didik dan berpusat pada peserta didik, jadi saya disini merasa seperti
pembimbing mereka tidak yang benar-benar ngajarin gitu. Lalu strateginya ya itu
lebih mengarah kepada peserta didik, mengajak peserta didik menjadi lebih aktif.
Untuk pertemuan pertama saya belum menerapkan pendekatan apapun karena saya
ingin lebih fokus ke peserta didik dulu, saya ingin peserta didik merasa nyaman
dengan pembelajaran dan tidak tertekan. Untuk membuat mereka nyaman memang
susah tetapi saya mau fokus ke situ dulu, tetapi untuk selama 5 pertemuan ini mereka
bisa mengikuti pembelajaran saya. Interaksi dan adaptasi dengan mereka juga
mudah, mereka itu cepat untuk akrab dekat dengan orang lain.
P: Selama pembelajaran apakah anda menggunakan sumber daya atau media seperti
ilustrasi atau gambar tertentu? Sudah efektifkah sumber daya atau media yang anda
berikan?
S2: Karena pertemuan pertama saya mulai dari notasi, saya belum memakai ilustrasi
gambar atau video. Untuk pertemuan kedua saya menggunakan gambar domino dan
untuk selanjutnya saya hanya memakai gambaran-gambaran tertentu yang tidak bisa
dilukiskan secara jelas hanya lisan saja. Mungkin tidak terlalu mengarah ke
kehidupan sehari-hari tetapi itu cukup membuat mereka mengerti. Kalau menurut
saya sumber daya atau media yang saya gunakan sudah mendukung, kalau menurut
saya mereka kadang lumayan cepat bisa memahaminya dan itu merupakan point plus
dari mereka. Lalu untuk medianya saya tidak perlu kesulitan karena mereka mereka
mudah paham jadi saya kalau menggunakan media apapun mereka menjadi lebih bisa
memahami materi, jadi medianya tidak perlu yang neko-neko (macam-macam).
P: Apakah pembelajaran yang anda lakukan sudah mencapai tujuan Kurikulum
2013?
S2: sebernarnya saya kurang tahu tujuan kurikulum 2013 itu seperti apa, tetapi dari
pembelajaran yang kemarin itu tujuan pembelajaran saya sendiri sudah tercapai.
Mereka bisa menerima kehadiran saya terus untuk mereka aktif juga mereka sudah
mulai mau aktif, namun awalnya harus dipancing dahulu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
P: Menurut anda apakah anda sudah menerapkan 4C (communication, collaboration,
critical thinking dan creativity) selama proses pembelajaran?
S2: menurut saya, saya sudah berusaha untuk menerapkan itu. Kami, antara peserta
didik dan guru itu sudah mulai banyak komunikasi. Kolaborasinya mungkin masih
belum terlihat, tapi untuk kreatifitas dan berfikir kritisnya saya sudah mengajak
mereka untuk mengarah kesitu.
P: Menurut anda, apakah selama pembelajaran anda mampu menerapkan konsep
untuk memecahkan masalah?
S2: menurut saya konsepnya dapat untuk memecahkan masalah, jadi kemarin saya
mencoba menjelaskannya sesederhana mungkin. Namun karena kemarin waktunya
itu terbatas jadi mereka belum sempat melakukan latihan terutama di pertemuan
pertama. Untuk pertemuan kedua saya mencoba untuk memberikan latihan yang bisa
dikerjakan oleh peserta didik. Untungnya dalam memahami konsep awal induksi
matematika ini, peserta didik dapat mengikuti ritme pengajaran saya. Kalau untuk
pertemuan yang ketiga, pada soal latihan saya merasa peserta didik cukup
kebingungan dengan soal karena saya mengasumsikannya dengan 𝑘 = 𝑛.
P: Menurut anda apakah selama pembelajaran anda selalu melibatkan peserta didik
dalam setiap kegiatan?
S2: ya, saya selalu berusaha untuk melibatkan mereka. Namun yang masih kurang
adalah saya masih belum merata untuk seluruh peserta didik ikut terlibat dalam
pembelajaran.
P: Menurut anda, apakah selama pembelajaran anda menggunakan teknik atau metode
yang sesuai dengan perangkat yang anda buat?
S2: kalau saya merasa urutan-urutannya sudah sesuai, untuk metode dan teknik saya
lebih banyak berimprovisasi jadi pembawaannya tidak kaku begitu mengikuti
perangkat dan instrumen yang saya buat, jadi ya mengalir saja.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
Lampiran 6. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Sekolah : SMA Stella Duce 2 Yogyakarta
Pelajaran : Matematika Umum
Kelas/Semester : XI MIPA 1/1
Materi Pokok : Induksi Matematika
Alokasi Waktu : 4 JP/Minggu
A. Kompetensi Inti SMA kelas XI:
KI 1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya
KI 2 Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai),santun, responsif
dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektifn dengan
lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai
cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
KI 3 Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasaingin tahunya
tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humanipra
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan
bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4 Menunjukan keterampilan menalar, mengolah dan menyaji secara:
efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan
solutif dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan
dari yang dipelajarinya di sekolah serta mampu menggunakan metode
sesuai dengan kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya
Indikator :
1.1.1 Berdoa sebelum dan sesudah pembelajaran Induksi Matematika
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,
rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam
memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
Indikator :
2.1.1.Mampu bekerjasama dalam diskusi pembelajaran Konsep Induksi
Matematika
2.2.2.Mampu bersikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam
memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2.2.3.Mampu bersikap disiplin dalam pembelajaran Konsep Induksi
Matematika
3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika
Indikator :
3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi
matematika
3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi
matematika
3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan prinsip
induksi matematika
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji
pernyataan matematis berupa barisan, keterbagiaan, ketidaksaman
Indikator :
4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran
formula suatu barisan bilangan.
4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu
kebenaran formula.
4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
keterbagian bilangan.
4.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
ketidaksamaan bilangan.
C. Tujuan Pembelajaran
Melalui model pembelajaran Discovery Learning dengan pendekatan Scientific,
terdapat beberapa hal yang akan dikembangkan :
1. Siswa mampu mengembangkan sikap percaya diri dan komunikatif melalui
kegiatan diskusi kelompok dengan mantap.
2. Siswa mampu mengembangkan sikap cermat, kritis, dan kreatif saat
menyelesaikan soal-soal pada LKPD.
3. Siswa mampu menemukan formula untuk suatu pola tertentu dengan tepat
melalui pengamatan pada beberapa pola bilangan yang disajikan pada PPT.
4. Siswa mampu menjelaskan prinsip dari induksi matematika dengan benar
melalui kegiatan membaca.
5. Siswa membuktikan suatu formula dengan prinsip induksi matematika dengan
baik melalui pengerjaan soal pada LKPD.
6. Siswa mampu menerapkan induksi matematika pada barisan bilangan melalui
pengerjaan LKPD dan evaluasi pembelajaran dengan benar.
7. Siswa mampu menerapkan induksi matematika pada keterbagian melalui
pengerjaan LKPD dan evaluasi pembelajaran dengan tepat.
8. Siswa mampu menerapkan induksi matematika pada ketidaksamaan
(ketaksamaan) melalui pengerjaan LKPD dan evaluasi pembelajaran dengan
baik.
Sikap yang akan dikembangkan dalam pembelajaran kali ini :
1. Percaya diri
2. Komunikatif
3. Cermat
4. Kritis dan,
5. Kreatif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
D. Materi Pembelajaran
Fakta
1. Dalam induksi matematika 𝑛 dimisalkan sebagai bilangan asli
2. Penjumlahan bilangan mulai dari 1 hingga 𝑛, dengan 𝑛 bilangan asli
dituliskan sebagai berikut 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛
Konsep
1. Penalaran induksi merupakan penarikan kesimpulan dari berbagai kajian-
kajian atau fakta yang valid.
2. Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat yang dapat digunakan
membuktikan suatu jenis pernyataan matematis. dengan mengasumsikan
𝑃(𝑛) sebagai pernyataan bilanan asli yang benar
Prinsip
1. Misalkan 𝑃(𝑛) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan 𝑃(𝑛)
benar jika memenuhi langkah berikut ini:
a. Langkah awal (Basic Step): 𝑃(1) benar.
b. Langkah Induksi (Induction Step): Jika 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1)
benar, untuk setiap 𝑘 bilangan asli.
2. Jika salah satu dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi oleh suatu
pernyataan 𝑃(𝑛), maka 𝑃(𝑛) salah, untuk setiap 𝑛 bilangan asli.
Prosedur
1. Langkah – langkah merancang formula yang memenuhi pola bilangan
berhingga.
2. Langkah-langkah menemukan suatu konsep/prinsip/sifat yang berlaku
umum atas konsep/prinsip/sifat yang berlaku khusus. Pola seperti itu sering
disebut prinsip induksi matematika.
3. Langkah-langkah merancang suatu formula sedemikian sehingga formula
tersebut dapat menentukan semua suku-suku barisan bilangan tersebut.
4. Langkah-langkah menunjukkan bahwa suatu formula bilangan asli
memenuhi prinsip induksi matematika pada konsep keterbagian.
5. Langkah-langkah menunjukkan bahwa suatu formula bilangan asli
memenuhi prinsip induksi matematika pada konsep ketidaksamaan
(ketaksamaan).
E. Pendekatan, Model dan Metode Pembelajaran
Pendekatan pembelajaran : Scientifik
Model pembelajaran : Discovery Learning (Penemuan)
Metode Pembelajaran : Diskusi, tanya jawab, ceramah dan penugasan
F. Media dan Alat/Bahan
1. Media Pembelajaran :
a. LKPD
b. PPT
2. Alat Pembelajaran:
a. Spidol
b. Papan tulis
c. Proyektor
d. Layar LCD
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
G. Sumber Belajar
1. Buku guru : Matematika SMA kelas XI Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan Edisi Revisi 2017
2. Buku siswa : Matematika SMA kelas XI Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan Edisi Revisi 2017
H. Langkah-Langkah Pembelajaran
Pertemuan 1 (2 x 45 menit)
Indikator:
3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi
matematika
4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran
formula suatu barisan bilangan.
4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu
kebenaran formula.
Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
Pendahuluan 10 menit
Guru:
Orientasi Spiritual dan Sosial:
1. Memberi salam dan semangat untuk memulai pelajaran
2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan
perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku, peggaris,
pensil dan pulpen siswa.
3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali kegiatan
pembelajaran
Pemberian Acuan:
1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas pada
pembelajaran kali ini.
2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan hari ini.
3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran yang akan
dibahas pada pembelajaran kali ini.
Motivasi
1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk membangkitkan
semangat belajar
2. Guru memberi motivasi siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi Induksi Matematika dalam kehidupan sehari-hari dengan memberi
contoh.
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai yaitu
menjelaskan dan menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis
berupa barisan dengan induksi matematika
Apersepsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami Konsep
Induksi matematika
2. Guru memberikan beberapa pengantar tentang penalaran induksi dalam
kehidupan sehari, melalui kegiatan atau pengalaman siswa
yang menggunakan prinsip induksi matematika. Misalnya, ilustrasi
susunan n domino yang berukuran sama dan berjarak sama.
3. Siswa diajak berimajinasi tentang yang akan terjadi jika domino pertama
dijatuhkan ke arah domino kedua dan seterusnya
4. Berikan pertanyaan kepada siswa dari setiap pola yang diamati
5. Siswa diajak untuk berpikir kritis dalam memahami kondisi awal suatu
pola barisan
Inti 70 menit
1. Stimulation (stimulasi/pemberi rangsangan)
a. Siswa mengamati masalah dari tampilan power poin yang disajikan
guru
b. Melalui kelompok belajar yang heterogen, siswa juga mengamati
masalah 1.1,masalah 1.2 dan masalah 1.3 dari buku teks.
2. Pertanyaan/identifikasi masalah)
a. Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan
terkait masalah tersebut.
3. Data Collection (pengumpulan data)
a. Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk
menemukan dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada
masalah tersebut, sehingga siswa dapat memahami proses pembuktian
bentuk Barisan.
b. Siswa berdiskusi dalam belajar kelompok untuk menalar pembahasan
masalah 1.2 dari informasi yang disajikan pada tabel 1.1.dan
pembahasan masalah 1.3
4. Data Processing(pengolahan data)
a. Setelah Tabel 1.1 tuntas dilengkapi oleh siswa, ajak siswa
memecahkan pola yang terdapat pada:
- Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 302
kemudian hitunglah hasilnya.
- Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 502
kemudian hitunglah hasilnya.
- Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga n2
b. Salah satu siswa perwakilan kelompok yang dipilih secara acak untuk
mempresentasikan hasil pemahan mereka terhadap pembahasan soal
yang sudah diselesaikan.
c. Dengan menggunakan informasi dari tabel 1.1 , siswa diberi
kesempatan untuk menjawab pertanyaan tersebut
d. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang penyelesaian.
e. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari diskusi
kelompok.
f. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal yang
dtampilkan pada slide power poin atau buku cetak.
5. Verification(pembuktian)
a. Guru memberikan pertanyaan-pertanyaan yang menekankan pada
alasan peserta didik dapat menemukan jawaban tersebut.
b. Guru memberikan peneguhan untuk jawaban siswa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
6. Generalization(menarik kesimpulan)
a. Siswa dipandu untuk menarik kesimpulan dari proses pembelajaran
yang telah dilewati.
Catatan: Jika waktu masih tersedia, guru dapat melanjutkan
pembelajaran dengan latihan soal terkait notasi sigma kemudian
melanjutkan dengan uji kompetensi 1.1
Penutup 10 menit
a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa yang
telah dipelajari dan disimpulkan
b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi dengan
mempelajari pada sumber yang lain.
c. Guru mengingatkan siswa untuk membaca materi pertemuan
berikutnya yaitu pembuktian bentuk Keterbagian sesuai prinsip
induksi Matematika.
d. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan semangat
Pertemuan 2 (2 x 35 menit)
Indikator:
3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi
matematika
4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan kebenaran
formula suatu barisan bilangan.
4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu
kebenaran formula.
Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
Pendahuluan 10 menit
Guru:
Orientasi Spiritual dan Sosial:
1. Memberi salam dan semangat untuk memulai pelajaran
2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan
perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku, peggaris,
pensil dan pulpen siswa.
3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali kegiatan
pembelajaran
Pemberian Acuan:
1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas pada
pembelajaran kali ini.
2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan hari ini.
3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran yang akan
dibahas pada pembelajaran kali ini.
Motivasi
1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk membangkitkan
semangat belajar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
2. Guru memberi motivasi siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi Induksi Matematika dalam kehidupan sehari-hari dengan memberi
contoh.
3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai yaitu
menjelaskan dan menggunakan metode pembuktian Pernyataan matematis
berupa barisan dengan induksi matematika
Apersepsi
1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami Konsep
Induksi matematika
2. Guru mereview secara singkat materi notasi sigma
3. Berikan pertanyaan kepada siswa dari setiap pola yang diamati
4. Siswa diajak untuk berpikir kritis dalam memahami kondisi awal suatu
pola barisan
Inti 50 menit
1. Stimulation (stimulasi/pemberi rangsangan)
a. Siswa mengamati soal dari tampilan power poin yang disajikan guru
b. Melalui kelompok belajar yang heterogen, siswa juga mengamati
masalah 1.4contoh 1.4 dari buku teks.
2. Pertanyaan/identifikasi masalah)
a. Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan
terkait masalah tersebut.
3. Data Collection (pengumpulan data)
a. Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk
menemukan dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada
masalah tersebut, sehingga siswa dapat memahami proses pembuktian
bentuk Barisan.
b. Siswa berdiskusi dalam belajar kelompok untuk menalar pembahasan
masalah 1.4 dan contoh 1.4 dari informasi yang disajikan
4. Data Processing(pengolahan data)
a. Salah satu siswa perwakilan kelompok yang dipilih secara acak untuk
mempresentasikan hasil pemahan mereka terhadap pembahasan soal
yang sudah diselesaikan.
b. Dengan menggunakan informasi dari masalah 1.4, siswa diberi
kesempatan untuk menjawab pertanyaan tersebut
c. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang penyelesaian.
d. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari
diskusi kelompok.
e. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal yang
dtampilkan pada slide power poin atau buku cetak.
5. Verification(pembuktian)
a. Guru memberikan pertanyaan-pertanyaan yang menekankan pada
alasan peserta didik dapat menemukan jawaban tersebut.
b. Guru memberikan peneguhan untuk jawaban siswa.
6. Generalization(menarik kesimpulan)
a. Siswa dipandu untuk menarik kesimpulan dari proses pembelajaran
yang telah dilewati.
Penutup 10 menit
a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa yang
telah dipelajari dan disimpulkan
b. Guru memberikan tugas kelompok kepada siswa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
c. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi dengan
mempelajari pada sumber yang lain.
d. Guru mengingatkan siswa untuk membaca materi pertemuan
berikutnya yaitu pembuktian bentuk Keterbagian sesuai prinsip
induksi Matematika.
e. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan semangat
Pertemuan 3 (2 x 45 menit)
Indikator:
3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip induksi
matematika
4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
keterbagian bilangan.
Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
Pendahuluan 10 menit
Guru:
Orientasi Spiritual dan Sosial:
1. Memberi salam dan semangat untuk memulai pelajaran
2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan
perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku, peggaris,
pensil dan pulpen siswa.
3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali kegiatan
pembelajaran
4. Mengkonfirmasi ulang ke siswa tentang kesulitan yang ditemukan dalam
menyelesaikan tugas. Kemudian meminta siswa yang sudah mencoba
menjelaskannya didepan, jika tidak ada yang bisa maka guru menjelaskan
pembahasan masalah tersebut.
5. Mengingatkan siswa untuk duduk dalam kelompok yang sudah ditetapkan
sebelumnya
Pemberian Acuan:
1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas pada
pembelajaran kali ini.
2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan hari ini.
3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran yang akan
dibahas pada pembelajaran kali ini.
Motivasi
1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk membangkitkan
semangat belajar
Apersepsi
1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya menggunakan Prinsip
Induksi Matematika dalam menyelesaikan permasalahan keterbagian.
2. Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan materi
sebelumnya tentang prinsip Induksi Matematika pada barisan.
3. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis,
siswa diajak memecahkan masalah teka teki potogan gambar (purzle) yang
ditampilkan dari slide power poin
Teka teki puzzle: Albert Einstein, Stephen Hawkin, dan BJ Habibie
(Memotivasi mereka untuk belajar)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
Inti 70 menit
1. Stimulation (stimulasi/pemberi rangsangan)
a. Siswa mengamati masalah dari tampilan power poin yang disajikan
guru
b. Melalui kelompok belajar yang heterogen, siswa juga mengamati
contoh 1.5 dan 1.6 dari buku siswa.
2. Pertanyaan/identifikasi masalah)
a. Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan
terkait masalah tersebut.
b. Jika tidak ada siswa yang mengajukan pertanyaan maka guru
mengajukan pertanyaan–pertanyaan kepada siswa untuk mengetahui
pemahaman siswa
3. Data Collection (pengumpulan data)
a. Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk
menemukan dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada
masalah tersebut, sehingga siswa dapat dapat memahami pola yang
diberikan pada masalah
b. Guru mengkoordinir kelompok belajar agar setiap informasi yang telah
dikumpulkan diketahui dan dipahami setiap anggota kelompok.
c. Siswa diarahkan melanjutkan ke langkah-langkah prinsip induksi
matematika.
4. Data Processing(pengolahan data)
a. Siswa secara berkelompok diminta untuk menyelesaikan persoalan
tersebut dengan memanfaatkan prinsip induksi matematika
b. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang perbedaan penyelesaian.
c. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari diskusi
kelompok.
d. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal yang
dtampilkan pada slide power poin atau buku cetak.
5. Verification(pembuktian)
a. Guru memberikan pertanyaan-pertanyaan yang menekankan pada
alasan peserta didik dapat menemukan jawaban tersebut.
b. Guru memberikan peneguhan untuk jawaban siswa.
6. Generalization(menarik kesimpulan)
a. Siswa dipandu untuk menarik kesimpulan dari proses pembelajaran
yang telah dilewati.
Penutup 10 menit
a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa yang
telah dipelajari dan disimpulkan
b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi dengan
mempelajari pada sumber yang lain.
c. Guru mengingatkan siswa untuk membaca materi pertemuan
berikutny yaitu pembuktian bentuk Ketidaksamaan sesuai prinsip
induksi Matematika.
d. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan semangat
Pertemuan 4 (2 x 45 menit)
Indikator:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
139
3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan prinsip
induksi matematika
4.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
ketidaksamaan bilangan.
Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
Pendahuluan 10 menit
Guru:
Orientasi Spiritual dan Sosial:
1. Memberi salam dan semangat untuk memulai pelajaran
2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan
perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku,
peggaris, pensil dan pulpen siswa.
3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali kegiatan
pembelajaran
4. Mengkonfirmasi ulang ke siswa tentang kesulitan yang ditemukan
dalam menyelesaikan tugas. Kemudian meminta siswa yang sudah
mencoba menjelaskannya didepan, jika tidak ada yang bisa maka
guru menjelaskan pembahasan masalah tersebut.
5. Mengingatkan siswa untuk duduk dalam kelompok yang sudah
ditetapkan sebelumnya
Pemberian Acuan:
1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas pada
pembelajaran kali ini.
2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan hari ini.
3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran yang
akan dibahas pada pembelajaran kali ini.
Motivasi
1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk
membangkitkan semangat belajar
Apersepsi
1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya menggunakan
Prinsip Induksi Matematika dalam menyelesaikan permasalahan
keterbagian.
2. Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan materi
sebelumnya tentang prinsip Induksi Matematika pada barisan dan
keterbagian.
3. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir
kritis, siswa diajak memecahkan masalah teka teki potogan gambar
(purzle) yang ditampilkan dari slide power poin
Teka teki puzzle:Mother Teresa, R.A Kartini (Memotivasi mereka
untuk belajar)
Inti 70 menit
1. Stimulation (stimulasi/pemberi rangsangan)
a. Siswa mengamati masalah dari tampilan power poin yang
disajikan guru
b. Melalui kelompok belajar yang heterogen, siswa diminta
mengamati dan berdiskusi pada contoh 1.7 , contoh 1.8 , dan
contoh 1.9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
140
2. Pertanyaan/identifikasi masalah)
a. Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-
pertanyaan terkait masalah tersebut.
b. Jika tidak ada siswa yang mengajukan pertanyaan maka guru
mengajukan pertanyaan–pertanyaan kepada siswa untuk
mengetahui pemahaman siswa
3. Data Collection (pengumpulan data)
a. Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta
untuk menemukan dan mengumpulkan informasi yang
ditemukan pada masalah tersebut, sehingga siswa dapat dapat
memahami pola yang diberikan pada masalah
a. Guru mengkoordinir kelompok belajar agar setiap informasi
yang telah dikumpulkan diketahui dan dipahami setiap anggota
kelompok.
b. Siswa diarahkan melanjutkan ke langkah-langkah prinsip
induksi matematika.
4. Data Processing(pengolahan data)
a. Siswa secara berkelompok diminta untuk menyelesaikan
persoalan tersebut dengan memanfaatkan prinsip induksi
matematika
b. Siswa diminta memberikan ide-ide tentang perbedaan
penyelesaian.
c. Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh dari
diskusi kelompok.
d. Pemahaman siswa diuji dengan memberikan latihan dari soal
yang dtampilkan pada slide power poin atau buku cetak.
5. Verification(pembuktian)
a. Guru memberikan pertanyaan-pertanyaan yang menekankan
pada alasan peserta didik dapat menemukan jawaban tersebut.
b. Guru memberikan peneguhan untuk jawaban siswa.
6. Generalization(menarik kesimpulan)
a. Siswa dipandu untuk menarik kesimpulan dari proses
pembelajaran yang telah dilewati.
Penutup 10 menit
a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru menayangkan apa
yang telah dipelajari dan disimpulkan
b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi
dengan mempelajari pada sumber yang lain.
c. Guru mengingatkan siswa untukbelajar lebih mendalam dan
mengerjakan latihan-latihan induksi matematika..
d. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan semangat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
141
Pertemuan 5 (2 x 45 menit)
Indikator:
3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan bilangan
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika
3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan dengan prinsip
induksi matematika
3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan dengan prinsip
induksi matematika
3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan bilangan dengan
prinsip induksi matematika
4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
kebenaran formula suatu barisan bilangan.
4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk menyelidiki suatu
kebenaran formula.
4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
keterbagian bilangan.
4.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika untuk membuktikan
ketidaksamaan bilangan.
Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
Pendahuluan 10 menit
Guru:
Orientasi Spiritual dan Sosial:
1. Memberi salam dan semangat untuk memulai pelajaran
2. Mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk
menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang diperlukan,
misalnya buku, peggaris, pensil dan pulpen siswa.
3. Menyiapkan fisik dan psikis siswa dalam mengawali
kegiatan pembelajaran
4. Mengkonfirmasi ulang ke siswa tentang kesulitan yang
ditemukan dalam menyelesaikan tugas. Kemudian meminta
siswa yang sudah mencoba menjelaskannya didepan, jika
tidak ada yang bisa maka guru menjelaskan pembahasan
masalah tersebut.
Pemberian Acuan:
1. Menyampaikan topik materi pelajaran yang akan dibahas
pada pembelajaran kali ini.
2. Menyampaikan garis besar kegiatan yang akan dilakukan
hari ini.
3. Menyampaikan indikator ketercapaian dari materi pelajaran
yang akan dibahas pada pembelajaran kali ini.
Motivasi
1. Guru bersama siswa melakukan ice breaking untuk
membangkitkan semangat belajar
Apersepsi
1. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya
menggunakan Prinsip Induksi Matematika dalam kehidupan
sehari-hari.
2. Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan
materi sebelumnya tentang prinsip Induksi Matematika pada
barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
142
3. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan
berpikir kritis, siswa diajak memecahkan masalah teka teki
potogan gambar (purzle) yang ditampilkan dari slide power
poin
Teka teki puzzle: Foto-foto siswi di kelas (Memotivasi
mereka untuk belajar)
Inti 70 menit
a. Guru membimbing siswa membentuk kelompok secara
heterogen, masing-masing kelompok terdiri dari 4-5
orang.
b. Guru menampilkan soal lewat powerpoint dan meminta
siswa secara berkelompok berdiskusi mengerjakan soal-
soal tersebut.
c. Guru meminta masing-masing kelompok
menyampaikan hasil diskusi di depan kelas.
d. Selama presentasi, kelompok lain diberikan kesempatan
memberi pertanyaan atau pendapatnya.
e. Guru memberi penilaian hasil kerja kelompok dan di
tulis di papan tulis.
f. Guru memberikan reward kepada siswa dan kelompok
yang memperoleh skor tertinggi.
Penutup 10 menit
a. Dengan bantuan presentasi komputer, guru
menayangkan apa yang telah dipelajari dan
disimpulkan
b. Guru memberikan pesan untuk lebih mendalami materi
dengan mempelajari pada sumber yang lain.
c. Guru mengingatkan siswa untuk belajar
mempersiapkan diri sebelum ulangan harian pada
pertemuan selanjutnya.
d. Guru menutup pembelajaran dengan salam dan
semangat.
LAMPIRAN
1. Uraian Materi
MATERI PEMBELAJARAN
A. Induksi Matematika
Induksi Matematika adalah cara dalam membuktikan bahwa sebuah
pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan
cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:
1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka
pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.
Contoh 1
Misalkan akan dibuktikan
1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli,
langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
143
1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali
bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1(1+1)
2. Jadi pernyataan tersebut
adalah benar untuk n = 1
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka
pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.
Hal ini bisa dilakukan dengan cara:
- Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu
1 + 2 + ⋯ + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)
2
- Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu
1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =𝑘(𝑘 + 1)
2+ (𝑘 + 1)
- Dengan menggunakan manipulasi aljabar, diperoleh
𝑘(𝑘 + 1)
2+ (𝑘 + 1) =
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2=
(𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)
2
- Dengan demikian
1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)
2
- Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
3. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan
tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Secara formal Induksi Matematika ini bisa didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai
pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan
1. P(1) benar.
2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar. Sehingga
P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Contoh 2
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 untuk
setiap n = 1, 2, ....
1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 benar untuk 𝑛 = 1. Jelas sekal bahwa
1! = 1 ≥ 1 = 20 = 21−1.
2. Asumsikan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 adalah benar unuk 𝑛 = 𝑘. Akan ditunjukkan bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 juga benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1yaitu
(𝑘 + 1)! ≥ 2(𝑘+1)−1.
(𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1)𝑘! ≥ (𝑘 + 1)2𝑘−1
≥ 2. 2𝑘−1
= 21+(𝑘−1)
= 2(𝑘+1)−1
Terbukti bahwa (𝑘 + 1)! ≥ 2(𝑘+1)−1. Jadi terbukti bahwa 𝑛! ≥ 2𝑛−1 untuk setiap 𝑛 = 1,2, …
Contoh 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
144
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5𝑛 − 1 dapat dibagi
4 untuk setiap n= 1, 2, ...
1. Akan ditunjukkan bahwa 5𝑛 − 1 habis dibagi 4 untuk 𝑛 = 1. Jelas sekali
bahwa 51 − 1 = 5 − 1 = 4 habis dibagi 4.
5k+1 = 5. 5k − 1
= (1 + 4). 5𝑘 − 1
= 5𝑘 + 4. 5𝑘 − 1
= 5𝑘 − 1 + 4. 5𝑘
Berdasarkan asumsi 5𝑘 − 1 habis dibagi 4. Sedangkan 4. 5𝑘 juga habis dibagi
4. Dengan demikian 5𝑘+1 − 1 habis dibagi 4. Jadi terbukti bahwa 5𝑛 −1 dapat dibagi 4 untuk setiap n= 1, 2, ...
B. Keterbagian
Definisi 2.1 Suatu bilangan bulat q habis dibagi oleh suatu bilangan bulat p ≠ 0 jika ada suatu
bilangan bulat x sehingga q = px
Notasi p | q dibaca p membagi q, p faktor dari q, q habis dibagi p, atau q kelipatan dari
p
p Q q dibaca p tidak membagi q, p bukan faktor dari q, q tidak habis dibagi p,
atau q bukan kelipatan dari p
Contoh 2.1 6 | 18 sebab ada bilangan bulat 3 sehingga 18 = 6.3
12 Q 15 sebab tidak ada bilangan bulat x sehingga 15 = 12.x
5 | -30 sebab ada bilangan bulat -6 sehingga -30 = 5.(-6)
-4 | 20 sebab ada bilangan bulat 5 sehingga 20 = (-4).5
Berdasarkan definisi 2.1 diatas jelas bahwa faktor-faktor suatu bilangan bisa
merupakan bilangan bulat positif atau merupakan bilangan bulat negatif. Dengan
demikian, faktor-faktor dari:
6, adalah 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, dan -6
15, adalah 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, dan -15
Beberapa sifat sederhana keterbagian adalah :
1 | p untuk setiap p Î Z
p | 0 untuk setiap p Î Z dan p ≠ 0
p | p untuk setiap p Î Z dan p ≠ 0
Jika p | q, maka kemungkinan hubungan antara p dan q adalah p < q, p = q,
atau p > q (misalnya 3 | 6, 3 | 3, atau 3 | -3)
C. Ketidaksamaan atau Ketaksamaan
Ketidaksamaan dinotasikan dengan
1. < (lebih Kecil
2. ≤ ( lebih kecil atau sama dengan))
3. > ( lebih besar)
4. ≥ ( lebih besar atau sama dengan)
Tanda di atas digunakan untuk membuat suatu batasan terhadap nilai suatu
variable
Contoh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
145
1. X < 5, artinya nilai x selalu lebih kecil dari 5
2. X ≤ 3, artiya nilai x selalu lebih kecil atau sama dengan
3. X ≥ 8
Sifat-sifat
1. Arti sebuah ketidaksamaan idak akan berubah apabila tiap-tiap
ruas/sisi ditambah atau dikurangi dengan bilangan nyata yang sama
𝑎 > 𝑏 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
𝑎 − 𝑏 > 𝑐 2. Arti sebuah ketidaksamaan tidak berubah apabila tiap-tiap sisi
dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
a. 𝑎 > 𝑏 dan 𝑘 > 0 𝑘𝑎 > 𝑘𝑏
b. 𝑎 > 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑘 > 0 𝑎
𝑘<
𝑏
𝑘
3. Arti sebuah ketidaksamaan berubah apabila tiap-tiap sisi dikalikan atau
dibagi dengan blangan negatif yang sama
a. 𝑎 > 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑘 < 0 𝑘𝑎 < 𝑘𝑏
b. 𝑎 > 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑘 < 0 𝑎
𝑘<
𝑏
𝑘
4. Apabila 𝑎 > 𝑏 dan 𝑎, 𝑏, 𝑛 adalah positif, maka 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛
Contoh:
5 < 3, maka53 > 33 𝑎𝑡𝑎𝑢 125 > 27
Tetapi 5−3 > 3−3 atau 1
125<
1
27
5. Apabila 𝑎 < 𝑏 dan a,b adalah negatif, dan n adalah positif genap, maka
𝑎𝑛 > 𝑏𝑛 Contoh:
−5 < −3, maka−52 > −32 atau 25 > 9
6. Apaila 𝑎 < 𝑏 dan 𝑎, 𝑏 adalah negatif, 𝑛 adalah posiif ganjil maka 𝑎𝑛 <𝑏𝑛 Contoh:
−5 < −3, maka −53 < −33 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 125 < −27
7. Apabila 𝑎 > 𝑏 dan 𝑐 > 𝑑, maka (𝑎 + 𝑐) > (𝑏 + 𝑑)
Contoh:
−4 > −10dan5 > 3 maka (−4 + 5) > (−10 + 3)
8. Apaila 𝑎 > 𝑏 > 0 dan 𝑐 > 𝑑 > 0, maka 𝑎𝑎 > 𝑎𝑎
Contoh:
5>4>0 dan 3 > 2 > 0, maka 5.4 > 4.2
9. Penggabungan dua bilangan
Dua bilangan ketidaksamaan dapat digabung dengan kata
“dan”atau“atau”
“dan”artinya irisan pertidaksamaan I dan II harus memenuhikeduanya
“atau”artinya salah satu dipenuhi (gabungan)
Contoh: x < 5 dan x ≥ 3,maka irisannya
Contoh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
146
1. X < 5 dan x ≥ 3, maka irisannya:
2. X < 5 atau x > 7, maka …………….
D. Penerapan Induksi Matematika Dalam Kehidupan Sehari-Hari
1. Masalah : Mengambil nominal uang yang diinginkan melalui ATM.
Solusi : Menentukan nominal yang diinginkan sesuai uang yang
kita ambil melalui ATM
2. Masalah : Menyusun keping domino
Solusi : Menggunakan teori induksi matematika dalam menyusun
domino
3. Masalah : Memasang ubin/keramik didalam ruangan
Solusi : Menggunakan teori induksi matematika yaitu menentukan
pemasanganubin
2. Media Pembelajaran
Pertemuan 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
147
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
148
Pertemuan 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
149
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
150
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
151
Pertemuan 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
152
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
153
Pertemuan 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
154
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
155
Pertemuan 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
156
3. LKPD
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK
Dengan pengalaman belajar yang kamu peroleh dari pembelajaran,
selesaikan soal-soal di bawah ini!
1. Buktikan bahwa 2+4+6+ . . . +2n = n2 + n untuk n bilangan asli
2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan berikut ini
benar untuk n bilangan asli.
3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa
∑ 𝒌. 𝟑𝒌𝒏𝒌=𝟏 =
(𝟐𝒏−𝟏).𝟑𝒏+𝟏+𝟑
𝟒 berlaku untuk setiap n bilanga asli
4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku
∑ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟑 + … + 𝒏𝟑 = [𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐]𝒏
𝒊=𝟏
5. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku
∑ 𝒊𝟒 = 𝒊𝟒 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟒 + … + 𝒏𝟒 =𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟔𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝟏)
𝟑𝟎
𝒏
𝒊=𝟏
Nama No. Absen
................................................................... ..............
................................................................... ..............
................................................................... ..............
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
157
LEMBAR KERJA PESERTA DIDK
1. Rancang formula pada pola barisan berikut ini dan
tentukan suku ke 50 barisan tersebut.
a. 5,13,21,29,37,45,....
b. 6,15,30,51,78,111,....
2. Buktikan 𝒏𝟑 − 𝒏 habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan
asli.
3. Buktikan bahwa 𝟕𝒏 − 𝟐𝒏 habis dibagi 5 untuk etiap n
bilangan asli.
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK
1. Buktikan untuk setiap bilangan asli 𝒏 ≥ 𝟒 berlaku 𝟑𝒏 < 𝟐𝒏!
2. Buktikan bahwa jika n ∈ 𝑵 , maka n > 0
3. Buktikan bahwa Pn : 𝟐𝒏 > 𝑛 + 20 bernilai benar untuk
setiap bilangan bulat 𝒏 ≥ 𝟓
Nama No. Absen
................................................................... ..............
................................................................... ..............
................................................................... ..............
Nama No. Absen
................................................................... ..............
................................................................... ..............
................................................................... ..............
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
158
4. Instrumen Penilaian
1. Prosedur Penilaian : Pengamatan, tes tertulis No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian
1 Sikap
a. Bekerjasama dalam
kegiatan kelompok
b. Bertanggung jawab
dalam menyelesaikan
tugas sesuai aturan
c. Teliti dalam
menerapkan konsep
dan proses kabataku .
Pengamatan
Jurnal
Selama pembelajaran
dan saat diskusi
2 Pengetahuan
a.Menemukan kembali
Prinsip Induksi
Matematika
b.Menentukan hal-hal
yang berkaitan dengan
Induksi Matematika
Tes tertulis
Tes lisan,
Penugasan
Penyelesaian tugas
individu dan kelompok
3 Ketrampilan
a.Terampil menjelaskan
dan menggunakan
prinsip Induksi
Matematika dalam
pembuktian.
b.Terampil menggunakan
prinsip Induksi
Matematika dalam
pembuktian pada
masalah yang terdapat
dalam kehidupan sehari-
hari
Proyek
Dalam bentuk
rubrik skala
penilaian
Penyelesaian tugas
individu atau kelompok
dan saat diskusi
2. Instrumen Penilaian
a. Penilaian sikap
Jurnal No Hari/
Tanggal
Jam Nama Kejadian/
Tingkah laku
Positif/
Negatif
Tindak
lanjut
Selasa/
16 Juli 2019
10.00 Alif Membuang
sampah
sembarangan
Negatif Diberi
peringatan
( nasehat )
Observasi No Nama
siswa
Aspek perilaku yang dinilai Jumlah
skor
Rata-
rata
Kode
Ingin
tahu
Jujur Disiplin Tanggung
jawab
Bekerja
sama
1.
Dst
Keterangan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
159
1. Rentang skor masing masing sikap dari 1.00 sampai dengan 4.00
2. jumlah skor = jumlah skor seluruh kriteria
3. Rata-rata = jumlah skor seluruh kriteria dbagi banyaknya kriteria
4. Kode nilai/predikat
3.25 – 4.00 = SB (Sangan baik)
2.50 – 3.24 = B (Baik)
1.75 – 2.49 = C (Cukup)
1.00 - 1.74 = K (Kurang)
Penilaian Diri No Pernyataan Ya Tidak Jumlah
skor
Rata-rata Kode
1. Selama diskusi saya mengusulkan
ide kepada kelompuk untuk
didiskusikan
2. Ketika kami berdiksusi, tiap orang
diberi kesempatan mengusulkan
sesuatu
3. Semua anggota kelompok kami
melakukan sesuatu selama kegiatan
4. Kami semua melaksanakan tugas
seperti arahan guru
5. Selama kerja kelompok, saya
mendengarkan orang lain
6. Selama kerja kelompok, saya
mengajukan pertanyaan
7. Selama kerja kelompok, saya
mengorganisasi ide-ide saya
Keterangan:
1. Skor penilaian Ya = 100 dan Tidak = 50
2. Skor maksimal = jumlah pernyataan dikalikan jumlah kriteria = 7
x 100 = 700
3. Rata-rata = (jumlah skor dibagi skor maksimal dikali 100)
4. Kode nilai / predikat :
75,01 – 100,00 = SB (Sangat Baik)
50,01 – 75,00 = B (Baik)
25,01 – 50,00 = C (Cukup)
00,00 – 25,00 = K (Kurang)
Penilaian Teman Sebaya No Pernyataan Ya Tidak Jumlah
skor
Rata-rata Kode
1. Teman saya berkata benar dan apa
adanya kepada orang lain
2. Teman saya mentaati peraturan yang
telah disepakati
3. Teman saya bertutur kata yang sopan
dengan orang lain
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
160
No Pernyataan Ya Tidak Jumlah
skor
Rata-rata Kode
4. Teman saya bersikap ramah kepada
orang lain
5. Teman saya menolong teman yang
sedang mengalami kesulitan
6. Teman saya mau menerima pendapat
orang lain
7. Teman saya memberikan solusi terhadap
permasalahan
8. Teman saya memaksakan pendapat
sendiri kepada anggota kelompok
9. Teman saya marah saat diberi kritik
Keterangan:
1. Skor penilaian Ya = 100 dan Tidak = 50 untuk pernyataan yang
positif, sedangkan untuk pernyataan yang negatif, Ya = 50 dan
Tidak = 100
2. Skor maksimal = jumlah pernyataan dikalikan jumlah kriteria = 9
x 100 = 900
3. Rata-rata = (jumlah skor dibagi skor maksimal dikali 100)
4. Kode nilai / predikat :
75,01 – 100,00 = SB (Sangat Baik)
50,01 – 75,00 = B (Baik)
25,01 – 50,00 = C (Cukup)
00,00 – 25,00 = K (Kurang)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
161
b. Penilaian Pengetahuan
Tugas Kelompok No Soal Pembahasan Skor
1. Buktikan
dengan induksi
matematika
bahwa
persamaan
berikut ini
dengan benar
untuk n
bilangan asli. 1
1.2.3+
1
2.3.4
+1
3.4.5+ …
+1
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
=𝑛(𝑛 + 3)
4(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
162
No Soal Pembahasan Skor
2. Temukan
formula jumlah
deret bilangan
berikut ini
2+7+12+22+ . .
. +(5n-3)
Buktikan
dengan induksi
matematika
bahwa
persamaan
tersebut benar.
25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
163
No Soal Pembahasan Skor
3. Diberikan
barisan
bilangan asli.
3,5,8,12,17,23,
30,38, . . .
Selidiki suatu
formula yang
memenuhi pola
barisan
tersebut.
25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
164
No Soal Pembahasan Skor
4. Buktikan
dengan induksi
matematika
baha persamaan
tersebut benar.
12 + 32 + 52
+ …+ (2𝑛 − 1)2
=𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)
3
25
Tugas Mandiri Online
Secara mandiri, fotolah contoh-contoh penerapan induksi
matematika dalam kehidupan sehari-hari dan posting hasil anda
di instagram dengan men-tag instagram @alexandd16 dan
hastag #induksimatematikastero serta jangan lupa jelaskan
hubungan gambar anda dengan induksi matematika
Catatan: Hasil gambar yang baik mempengaruhi nilai anda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
165
Tugas Mandiri No Soal Pembahasan Skor
1. Buktikan bahwa
7𝑛 − 2𝑛 habis dibagi
5 untuk setiap n
bilangan asli
25
2. Buktikan 4n < 2𝑛
berlaku untuk semua
bilangan bulat positif
n ≥ 5
25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
166
Rubrik Penilaian Tugas Skor 25 Jika siswa mampu menjawab seluruh langkah-langkah dengan runtut,
jelas/tepat sesuai dengan indikator soal pada kisi-kisi penilaian
pengetahuan
Skor 20 Jika siswa mampu menjawab seluruh langkah-langkah dengan runtut, jelas
dan mendekati indikator soal pada kisi-kisi penilaian pengetahuan
Skor 15 Jika siswa mampu menjawab sebagian langkah-langkah dengan runtut,
jelas dan mendekati indikator soal pada kisi-kisi penilaian pengetahuan
Skor 10 Jika siswa menjawab seluruh langkah-langkah tetapi tidak runtut dan tidak
terlalu jelas/tepat dengan indikator soal pada kisi-kisi penilaian
pengetahuan
Skor 5 Jika siswa menjawab sebagian langkah-langkah tetapi tidak terlalu
jelas/tepat dengan indikator soal pada kisi-kisi penilaian pengetahuan
Skor 3 Jika siswa menjawab tidak sesuai dengan indikator soal pada kisi-kisi
penilaian pengetahuan
Skor 0 Jika siswa tidak menjawab satupun pertanyaan yang diberikan
Penentuan Nilai
Nilai = Skor yang diperoleh
skor maksimum 𝑥 100
Ulangan Harian
Ulangan Harian Induksi Matematika
Nama : ...............................
Kelas : ...............................
No presensi : ...............................
Kerjakan soal berikut dengan lengkap dan benar.
1. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :3 + 7 + 11 +15 + 19 + ⋯ + (4n − 1) = n(2n + 1).
2. Apakah 4007n − 1 habis dibagi 2003 untuk semua n bilangan asli?
3. Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan 2n − 3 < 2n−2 untuk bilangan
bulat n ≥ 5.
Kunci jawaban :
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku:3 + 7 + 11 + 15 + 19 +⋯ + (4n − 1) = n(2n + 1).
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
(4n − 1) = n(2n + 1)
(4 ∙ 1 − 1) = 1(2 ∙ 1 + 1)
(4 − 1) = 1(2 + 1)
3 = 1(3) 3 = 3
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4n − 1) = n(2n + 1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
167
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4k − 1) = k(2k + 1)
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4k − 1)
= 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ⋯ + (4(k + 1) − 1)
= k(2k + 1) + (4k + 4 − 1)
= (2k2 + k) + (4k + 4 − 1)
= 2k2 + 5k + 3
= (k + 1)(2k + 3)
= (k + 1)(2k + 2 + 3)
= (k + 1)(2(k + 1) + 1)
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan tersebut bernilai benar.
Apakah 4007n − 1 habis dibagi 2003 untuk semua n bilangan asli?
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
4007n − 1 = 2003m
40071 − 1 = 2003m
4007 − 1 = 2003m
4006 = 2003m 4006
2003= m
m = 2
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
4007n − 1 = 2003m
4007k − 1 = 2003m
4007k = 2003m + 1
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
4007k+1 − 1
= (4007k ∙ 4007) − 1
= (2003m+1)4007 – 1
= 8026021m + 4007-1
= 8026021m + 4006
= 2003(4007m + 2)
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan tersebut bernilai benar.
Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan 2n − 3 < 2n−2 untuk bilangan bulat n ≥ 5
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
2n − 3 < 2n−2
2 ∙ 1 − 3 < 21−2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
168
2 − 3 < 2−1
−1 <1
2
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
2n − 3 < 2n−2
2k − 3 < 2k−2
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3 < (2k − 3) + 2
< 2k−2 + 2k−2
< 2 ∙ 2𝑘−2
< 21+k−2
< 2(k+1)−2
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan tersebut bernilai benar.
Kriteria penskoran masing – masing nomor :
Keterangan Skor
Terdapat langkah yang salah. 4
Setiap langkah benar.
Jawaban salah. 6
Setiap langkah benar.
Jawaban benar. 8
Setiap langkah benar.
Jawaban benar.
Terdapat kesimpulan.
10
Skor final (Skor total siswa)
3× 10
Kode nilai :
< 60 : D (Kurang) 70 – 74 : B (Baik)
60 – 69 : C (Cukup) 85 – 100 : A (Sangat baik)
c. Penilaian Keterampilan No Aspek yang dinilai Skala Skor
( 0 – 100 )
1. Penguasaan materi diskusi
2. Kemampuan menjawab pertanyaan
3. Kemampuan mengolah kata
4. Kemampuan menyelesaikan masalah
5. Kesesuaian respon dengan pertanyaan
6. Keserasian pemilihan kata
7. Kesesuaian penggunaan tata bahasa
8. Pelafalan
Jumlah skor
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
169
Keterangan:
1. Rentang skor masing masing sikap dari 0 sampai dengan 100
2. jumlah skor = jumlah skor seluruh kriteria
3. Rata-rata = jumlah skor seluruh kriteria dbagi banyaknya kriteria
4. Kode nilai/predikat
80 – 100 = SB (Sangan baik)
70 – 79 = B (Baik)
60 – 69 = C (Cukup)
50 – 59 = K (Kurang)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
170
Lampiran 7. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Subjek 2
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Sekolah : SMA Stella Duce 2 Yogyakarta
Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI MIPA 2 / Ganjil
Materi Pokok : Induksi Matematika
Alokasi Waktu : 5 × 2 JP
A. Kompetensi Inti
KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
KI 2 : Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong
royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro – aktif
sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam
berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
KI 3 : Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa
ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan
humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,
dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta
menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah
KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator
No Kompetensi Dasar Indikator
3.1
Menjelaskan metode
pembuktian pernyataan
matematis berupa
barisan, ketidaksamaan,
keterbagian dengan
induksi matematika
Pertemuan ke – 1 , ke – 2 3.1.1 Menyebutkan metode pembuktian
untuk pernyataan matematis.
3.1.2 Menguraikan pengertian metode
pembuktian langsung, tak langsung,
kontradiksi, dan induksi matematika.
Pertemuan ke – 3 , ke – 4 , ke – 5 3.1.3 Menggunakan induksi matematika
untuk membuktikan barisan
matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
171
No Kompetensi Dasar Indikator
3.1.4 Menggunakan induksi matematika
untuk membuktikan keterbagian
matematika.
3.1.5 Menggunakan induksi matematika
untuk membuktikan ketidaksamaan
matematika.
4.1
Menggunakan metode
pembuktian induksi
matematika untuk
menguji pernyataan
matematis berupa
barisan, ketidaksamaan,
keterbagian
Pertemuan ke – 3 , ke – 4 , ke – 5
4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang
berkaitan dengan induksi matematika
4.1.2 Menyajikan penyelesaian
permasalahan yang berkaitan dengan
induksi matematika.
Sikap yang dikembangkan:
Setelah mengikuti rangkaian kegiatan pembelajaran siswa dapat
mengembangkan sikap :
1. Kejujuran
2. Kedisiplinan
3. Daya juang
C. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa mampu menjunjung tinggi kejujuran, memiliki sikap disiplin selama
pembelajaran, serta memiliki daya juang.
2. Dengan pengamatan, siswa mampu menyebutkan 4 macam metode
pembuktian untuk pernyataan matematis.
3. Dengan berdiskusi, siswa mampu menguraikan perngertian metode
pembuktian langsung, tak langsung, kontradiksi, dan induksi matematika
dengan tepat.
4. Dengan berdiskusi dan berlatih, siswa mampu menggunakan induksi
matematika untuk membuktikan barisan matematika.
5. Dengan berdiskusi dan berlatih, siswa mampu menggunakan induksi
matematika untuk membuktikan keterbagian matematika.
6. Dengan berdiskusi dan berlatih, siswa mampu menggunakan induksi
matematika untuk membuktikan ketidaksamaan matematika.
7. Dengan berlatih, siswa mampu menyelesaikan permasalahan yang
berkaitan dengan induksi matematika dengan tepat.
8. Dengan berlatih, siswa mampu menyajikan pernyelesaian permasalahan
yang berkaitan dengan induksi matematika dengan tepat.
D. Materi Pembelajaran
1. Induksi matematika
a. Metode pembuktian langsung dan tidak langsung
b. Metode pembuktian kontradiksi
c. Induksi matematika
2. Fakta
a. Permasalahan yang berkaitan dengan induksi matematika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
172
3. Konsep
a. Barisan
b. Keterbagian
c. Ketidaksamaan
4. Prosedur
a. Metode pembuktian induksi matematika
E. Pendekatan, Model, Metode, dan Teknik Pembelajaran
Pendekatan : saintifik
Model pembelajaran :
Pertemuan ke – 1 dan ke – 2 : Contextual Learning
Pertemuan ke – 3 : Discovery Learning
Pertemuan ke – 4 dan ke – 5 : Cooperative Learning
Metode pembelajaran : diskusi, ceramah, tanya jawab, pemberian tugas
F. Media dan Alat / Bahan
Media / Alat :
Lembar Kerja Peserta Didik Materi presentasi
Lembar observasi Laptop dan proyektor
Lembar penilaian Papan tulis dan penggaris
Bahan : Spidol
G. Sumber Pembelajaran
1. Buku Matematika Kelas XI (Siswa dan Guru) Kur 2013 Revisi 2017
Kemdikbud
2. Internet :
a. Induksi Matematika Soal.
Terdapat di : https://www.zenius.net/c/5372/induksi-matematika-soal
b. Membuktikan Rumus dengan Induksi Matematika.
Terdapat di : https://www.zenius.net/blog/13735/induksi-matematika
c. 25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika.
Terdapat di :
https://yos3prens.wordpress.com/2015/10/24/25-soal-dan-
pembahasan-induksi-matematika/5/
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
173
H. Langkah – Langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Ke – 1 ( 2 × 45 menit)
Indikator :
3.1.1 Menyebutkan metode pembuktian untuk pernyataan matematis.
3.1.2 Menguraikan pengertian metode pembuktian langsung, tak langsung,
kontradiksi, dan induksi matematika.
Tahapan Kegiatan Pembelajaran
Alokasi
Waktu
egiatan
awal
Orientasi
30 menit
a Guru mengucapkan salam dan menyiapkan
bahan pembelajaran.
b Guru memeriksa kehadiran siswa
Pemberian Acuan
a
Guru memberitahu rencana pembelajaran,
indikator ketercapaian, dan sumber belajar lain
pada siswa.
b Guru mengajak siswa membuat aturan selama
pembelajaran.
Apersepsi
a Guru mengajak siswa mengingat kembali
materi pada pertemuan sebelumnya.
b Guru bersama siswa membahas tugas dari
pertemuan sebelumnya.
Kegiatan
inti
Invitasi – Berpikir Kritis
45
menit
a Guru memberikan suatu kasus mengenai
notasi sigma.
b Guru meminta siswa untuk mengerjakan
kasus yang ada.
c Guru memberikan pengertian notasi sigma
Eksplorasi – Kolaborasi
a Guru membimbing siswa untuk
menemukan sifat dari notasi sigma.
Penjelasan dan Solusi – Komunikasi
a Guru memastikan siswa memahami materi
yang baru saja dipelajari.
Pengambilan Tindakan – Berpikir Kritis
a Guru memberikan kesimpulan.
Invitasi – Berpikir Kritis
a Guru memberikan sebuah pernyataan dan
meminta siswa mencermatinya.
Eksplorasi – Komunikasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
174
a
Guru meminta siswa menyebutkan cara
yang dapat digunakan untuk membuktikan
kebenaran dari pernyataan tersebut.
b Guru bersama siswa menyebutkan 4 macam
metode pembuktian pernyataan.
c
Guru membimbing siswa untuk
menemukan pengertian metode pembuktian
langsung, tidak langsung, dan kontradiksi.
Penjelasan dan Solusi – Kreativitas
a
Guru bersama siswa menyelesaikan
permasalahan dengan metode pembuktian
langsung, tidak langsung, dan kontradiksi.
b Guru memastikan siswa memahami materi
yang telah dipelajari.
Pengambilan Tindakan – Berpikir Kritis
a Guru mengajak siswa mencari kesimpulan.
Kegiatan
penutup
Guru bersama siswa merangkum dan
menyimpulkan materi pada pertemuan hari ini.
15
menit
Guru memberi apresiasi dan refleksi dari
pertemuan hari ini.
Guru memberi arahan mengenai pertemuan
selanjutnya yaitu mengenai metode pembuktian.
Guru mengucapkan salam dan mengakhiri
pertemuan dengan meminta salah satu siswa
memimpin doa.
Pertemuan Ke – 2 ( 2 × 45 menit)
Indikator :
3.1.1 Menyebutkan metode pembuktian untuk pernyataan matematis.
3.1.2 Menguraikan pengertian metode pembuktian langsung, tak langsung,
kontradiksi, dan induksi matematika.
Tahapan Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
Kegiatan
awal
Orientasi
15
menit
a Guru mengucapkan salam dan memeriksa
kehadiran siswa.
Pemberian Acuan
a Guru menyampaikan indikator pembelajaran
pada pertemuan ini.
b Guru memberitahu rencana pembelajaran pada
siswa.
Apersepsi
a Guru mengajak siswa mengingat kembali
materi sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
175
Kegiatan
inti
Invitasi – Berpikir Kritis
60
menit
a Guru menayangkan beberapa ilustrasi pada
slide presentasi.
b
Guru meminta siswa untuk mengamati dan
mencari hubungan antar ilustrasi bersama
teman di sebelahnya.
Eksplorasi – Kreativitas, Berpikir Kritis
a Guru mengajak siswa mencari contoh lain yang
sesuai dengan ilustrasi sebelumnya.
b Guru mengenalkan induksi matematika kepada
siswa.
Penjelasan dan Solusi – Komunikasi, Kreativitas
a
Guru bersama siswa memecahkan
permasalahan yang akan menuntun siswa
menemukan prinsip induksi matematika.
b
Guru mengajak siswa menyelesaikan sebuah
permasalahan dengan prinsip induksi
matematika
c
Guru memberikan soal latihan kepada siswa
dan meminta beberapa siswa menuliskan
jawaban di papan tulis.
Pengambilan Tindakan – Berpikir Kritis
a Guru mengajak siswa mengkritisi jawaban yang
ada di papan tulis.
b Guru bersama siswa memberikan kesimpulan.
c Guru memberikan tugas mandiri kepada siswa
dan menjelaskan teknis pengumpulan.
Kegiatan
penutup
Guru bersama siswa merangkum dan menyimpulkan
materi pada pertemuan hari ini.
15
menit
Guru memberi apresiasi dan refleksi dari pertemuan
hari ini.
Guru memberi arahan mengenai pertemuan
selanjutnya yaitu mengenai induksi matematika.
Guru mengucapkan salam dan mengakhiri
pertemuan dengan meminta salah satu siswa
memimpin doa.
Pertemuan Ke – 3 ( 2 × 45 menit)
Indikator :
3.1.3 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan barisan
matematika.
3.1.4 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan keterbagian
matematika.
4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan induksi matematika.
4.1.2 Menyajikan penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan induksi
matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
176
Tahapan Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
Kegiatan
awal
Orientasi
10 menit
a Guru mengucapkan salam dan menyiapkan
bahan pembelajaran.
Pemberian Acuan
a Guru menyampaikan indikator pembelajaran
pada pertemuan ini.
b Guru memberitahu rencana pembelajaran pada
siswa.
Apersepsi
a Guru bersama siswa membahas tugas dari
pertemuan sebelumnya.
b Guru mengajak siswa mengingat kembali
materi pada pertemuan sebelumnya.
Kegiatan
inti
Simulasi
70 menit
a Guru memberikan suatu permasalahan yang
ditayangkan pada slide presentasi.
b
Guru mengenalkan penerapan induksi
matematika yakni pada barisan, keterbagian,
dan ketaksamaan.
c Guru bersama siswa mencari solusi dari
permasalahan yang ada.
Identifikasi Masalah – Berpikir Kritis
a Guru memastikan siswa dapat memahami
materi dengan baik.
b Guru memberikan latihan yang dapat
dikerjakan siswa dengan berdiskusi.
Pengumpulan Data – Kolaborasi
a Guru meminta siswa menuliskan jawaban
di papan tulis.
b Guru bersama siswa mengkritisi jawaban
yang ada di papan tulis.
Pengolahan Data – Berpikir Kritis
a Guru memberikan permasalahan baru
terkait keterbagian.
b Guru menegaskan perbedaan antara habis
dibagi dan dapat dibagi.
c Guru bersama siswa mencari solusi dari
permasalahan tersebut.
d Guru memberikan soal lain dan meminta
siswa mengerjakannya.
Pembuktian – Komunikasi
a
Guru mengajak siswa mengkritisi jawaban
yang ada di papan tulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
177
b Guru memberikan peneguhan terhadap
jawaban siswa.
Menarik Kesimpulan – Kreativitas
a Guru mengajak siswa menarik kesimpulan
dari proses yang baru saja dilakukan.
Kegiatan
penutup
Guru bersama siswa merangkum dan
menyimpulkan materi pada pertemuan hari ini. 10
menit Guru memberi apresiasi dan refleksi dari
pertemuan hari ini.
Guru memberi arahan mengenai pertemuan
selanjutnya yaitu mengenai penerapan induksi
matematika.
Guru mengucapkan salam.
Pertemuan Ke – 4 ( 2 × 45 menit)
Indikator :
3.1.4 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan keterbagian
matematika.
3.1.5 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan ketaksamaan
matematika.
4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan induksi
matematika.Menyajikan penyelesaian permasalahan yang berkaitan
dengan induksi matematika.
Tahapan Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
Kegiatan
awal
Orientasi
10
menit
a Guru mengucapkan salam dan menyiapkan
bahan pembelajaran.
Pemberian acuan
a Guru menyampaikan indikator pembelajaran
pada pertemuan ini.
b Guru memberitahu rencana pembelajaran pada
siswa.
Apersepsi
a Guru mengajak siswa mengingat kembali
materi pada pertemuan sebelumnya.
b Guru menayangkan sebuah permasalahan pada
slide presentasi
Kegiatan
inti
Menyampaikan tujuan dan motivasi
70
menit
a Guru memberikan waktu pada siswa untuk
mencermati permasalahan yang ada.
b Guru memberikan motivasi pada siswa.
Menyajikan informasi
a Guru bersama siswa menyelesaikan
permasalahan.
b Guru memastikan siswa memahami materi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
178
Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok
belajar – Kolaborasi
a Guru memberikan soal latihan kepada siswa
dengan berdiskusi.
Membimbing kelompok bekerja dan belajar –
Berpikir Kritis, Komunikasi
a Guru berkeliling untuk melihat dan membantu
siswa mengerjakan latihan.
Evaluasi
a Guru memberi siswa kesempatan untuk
menuliskan hasil diskusinya di papan tulis.
b Guru bersama mengkritisi jawaban dan menarik
kesimpulan.
Pemberian penghargaan
a Guru memberikan apresiasi pada siswa yang
telah aktif.
b Guru memberikan motivasi kepada siswa
terlebih yang belum aktif.
c Guru memberikan tugas kelompok kepada
siswa.
Kegiatan
penutup
Guru bersama siswa merangkum dan menyimpulkan
materi pada pertemuan hari ini.
10
menit
Guru memberi refleksi dari pertemuan hari ini.
Guru memberi arahan mengenai pertemuan
selanjutnya yaitu mengenai latihan penerapan
induksi matematika.
Guru mengucapkan salam.
Pertemuan Ke – 5 ( 2 × 45 menit)
Indikator :
3.1.3 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan barisan
matematika.
3.1.4 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan keterbagian
matematika.
3.1.5 Menggunakan induksi matematika untuk membuktikan ketidaksamaan
matematika.
4.1.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan induksi matematika.
4.1.2 Menyajikan penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan induksi
matematika.
Tahapan Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu
Kegiatan
awal
Orientasi
10
menit
a Guru mengucapkan salam dan menyiapkan
bahan pembelajaran.
Pemberian acuan
a Guru menyampaikan indikator pembelajaran
pada pertemuan ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
179
b Guru memberitahu rencana pembelajaran pada
siswa.
Apersepsi
a Guru mengajak siswa mengingat kembali
materi pada pertemuan sebelumnya.
b Guru menayangkan sebuah permasalahan
dalam slide presentasi.
Kegiatan
inti
Menyampaikan tujuan dan motivasi
65
menit
a Guru meminta salah satu siswa untuk menjawab
pertanyaan.
Menyajikan informasi
a
Guru bersama siswa menuliskan hal – hal yang
telah dipelajari terlebih dalam materi penerapan
induksi matematika.
Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok
belajar
a Guru meminta siswa berkumpul dalam
kelompoknya.
b Guru memberi amplop berisi soal kepada
masing – masing kelompok.
c Guru memberitahu teknis pembelajaran.
Membimbing kelompok bekerja dan belajar
a Siswa membuka amplop pertama dan
mengerjakan dalam kelompok.
b
Amplop kedua akan dibuka setelah soal
pertama dapat dipecahkan, begitupun
seterusnya.
Evaluasi
a Guru menunjuk perwakilan kelompok untuk
menuliskan jawaban di depan kelas.
b Guru bersama siswa mengkritisi jawaban di
papan tulis.
c Guru bersama siswa mengevaluasi kegiatan
yang baru saja dilakukan.
Pemberian penghargaan
a Guru memberi apresiasi atas partisipasi siswa.
Kegiatan
penutup
Guru bersama siswa merangkum dan menyimpulkan
materi pada pertemuan hari ini.
15
menit
Guru memberi arahan mengenai pertemuan
selanjutnya yaitu UH.
Guru meminta siswa menuliskan refleksi selama
pembelajaran induksi matematika.
Guru mengucapkan salam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
180
I. Penilaian Hasil Belajar
Aspek No. Indikator Teknik
Penilaian
Bentuk
Instrumen
Pengetahuan
3.1.1 Menyebutkan metode
pembuktian untuk
pernyataan matematis.
Tes tulis
Lembar
proyek,
Lembar
soal tugas,
Lembar
ulangan
harian
3.1.2 Menguraikan pengertian
metode pembuktian
langsung, tak langsung,
kontradiksi, dan induksi
matematika.
3.1.3 Menggunakan induksi
matematika untuk
membuktikan barisan
matematika.
3.1.4 Menggunakan induksi
matematika untuk
membuktikan keterbagian
matematika.
3.1.5 Menggunakan induksi
matematika untuk
membuktikan
ketidaksamaan
matematika.
Keterampilan
4.1.1 Menyelesaikan
permasalahan yang
berkaitan dengan induksi
matematika Tes tulis,
Proyek
Lembar
proyek,
Lembar
soal tugas,
Lembar
ulangan
harian
4.1.2 Menyajikan penyelesaian
permasalahan yang
berkaitan dengan induksi
matematika.
Sikap
1. Kejujuran
Observasi Lembar
observasi 2. Kedisiplinan
3. Daya juang
J. Lampiran
1. Uraian Materi
a. Notasi sigma
Notasi sigma adalah sebuah simbol yang digunakan untuk menyatakan
penjumlahan berurutan suatu bilangan yang memiliki pola tertentu.
Notasi sigma dapat dituliskan menjadi :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
181
∑ Ui
n
i=1
Dengan :
i : Indeks penjumlahan
i = 1 : Batas bawah penjumlahan
i = n : Batas atas penjumlahan
Ui : Rumus sigma
Notasi sigma memiliki beberapa sifat sebagai berikut :
∑ Ui
n
i=1
= U1 + U2 + U3 + ⋯ + Un
∑ Ui
n
i=1
= ∑ Uk
n
k=1
∑ K
n
i=1
= nK, dengan K adalah konstanta
∑ KUi
n
i=1
= K ∑ Ui
n
i=1
∑ Ui ± Vi
n
i=1
=
∑ Ui
n
i=1
+ ∑ Vi
n
i=1
∑ Ui
n
i=1
= ∑ Ui+1
n−1
i=0
= ∑ Ui−1
n+1
i=2
∑ Ui
n
i=1
=
∑ Ui
m
i=1
+ ∑ Ui
n
i=m+1
, dimana 1 < m < n
∑ Ui
n
i=m
= ∑ Ui−p
n+p
i=m+p
= ∑ Ui+p
n−p
i=m−p
∑(Ui + Vi)2
n
i=1
=
∑ Ui2
n
i=1
+ 2 ∑ UiVi
n
i=1
+ ∑ Vi2
n
i=1
∑(Ui − Vi)2
n
i=1
=
∑ Ui2
n
i=1
− 2 ∑ UiVi
n
i=1
+ ∑ Vi2
n
i=1
b. Metode pembuktian pernyataan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
182
i. Langsung
Memiliki alur maju dengan syarat pernyataan sebelumnya harus
benar.
Contoh :
Jika x adalah bilangan ganjil dan y adalah bilangan ganjil,
maka x + y adalah bilangan ganjil.
Bukti :
x adalah bilangan genap, maka x = 2n
y adalah bilangan ganjil, maka y = 2m + 1
sehingga didapat :
x + y = 2n + (2m + 1)
= (2n + 2m) + 1
= 2 (n + m) + 1
= 2k + 1 dengan k = n + m
= bilangan ganjil
Maka terbukti bahwa jika x adalah bilangan genap dan y
adalah bilangan ganjil, maka x + y adalah bilangan ganjil.
ii. Tidak langsung
Pembuktian tidak langsung disebut juga kontraposisi yang
memiliki alur mundur yang dilakukan dengan menegasi
pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya.
Pembuktian ini memanfaatkan logika matematika yaitu :
Jika p benar maka q benar, maka jika q salah (bukan q), didapat p
salah (bukan p).
Contoh :
Bila n adalah bilangan bulat dan 7n + 9 adalah bilangan
genap, maka n adalah bilangan ganjil.
Bukti :
Misalkan :
Pernyataan p = 7n + 9 adalah bilangan genap
Pernyataan q = n adalah bilangan ganjil
Dengan kontraposisi, akan dibuktikan bahwa jika n bukan
bilangan ganjil maka 7n + 9 bukan bilangan genap.
Pada pernyataan q jika n bukan bilangan ganjil maka n adalah
bilangan genap yang dapat dituliskan menjadi n = 2k,
Maka pernyatan p menjadi:
7n + 9 = 7 (2k) + 9
= 14k + 9
= 14k + (8 + 1)
= (14k + 8) + 1
= 2 (7k + 4) + 1
= 2a + 1 dengan a = 7k + 4
= bilangan ganjil
= bukan bilangan genap
Maka terbukti bahwa bila n adalah bilangan bulat dan 7n + 9
adalah bilangan genap, maka n adalah bilangan ganjil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
183
iii. Kontradiksi
Kontradiksi termasuk dalam metode pembuktian tidak langsung,
metode ini memanfaatkan logika matematika yang berbunyi :
Jika p maka q bernilai benar padahal q salah, maka p salah.
Contoh :
Bila n adalah bilangan genap maka 7n + 9 adalah bilangan
ganjil.
Bukti :
Misalkan :
Pernyataan p = n adalah bilangan genap
Pernyataan q = 7n + 9 adalah bilangan ganjil
Dengan kontradiksi, kita misalkan bahwa kita akan menegasi
pernyataan p sehingga pernyataan p berbunyi n bukan bilangan
genap. Hal ini sama artinya dengan n adalah bilangan ganjil
yang dapat ditulis menjadi n = 2k + 1
Maka pernyatan q dapat ditulis menjadi:
7n + 9 = 7 (2k + 1) + 9
= (14k + 7) + 9
= 14k + (7 + 9)
= 14k + 16
= 2 (7k + 8)
= 2a dengan a = 7k + 8
= bilangan genap
= bukan bilangan ganjil
Terjadi kontradiksi atau ketidak sesuaian bunyi pada
pernyataan q sehingga permisalan n bukan bilangan genap
salah. Maka terbukti bahwa bila n adalah bilangan genap maka
7n + 9 adalah bilangan ganjil.
iv. Induksi matematika
Pembuktian ini dapat melihat apakah pernyataan yang disediakan
berlaku untuk semua kasus, induksi matematika menggunakan
penalaran deduktif dimana jawabannya sudah pasti dapat
digunakan dan tidak ada generalisasi.
Prinsip I induksi matematika :
1. Langkah awal
Suatu pernyataan P(n) akan dibuktikan kebenarannya
dengan membuktikan bahwa P(1) bernilai benar.
2. Langkah induksi
Jika n = 1 bernilai benar, maka kita mengasumsikan
bahwa n = k bernilai benar.
Setelah itu harus dibuktikan bahwa n = k + 1 juga
bernilai benar.
Jika semua langkah sesuai, maka pernyataan P(n)
bernilai benar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
184
Prinsip II induksi matematika :
Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan
pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n0.
1. Langkah awal
Suatu pernyataan P(n) akan dibuktikan kebenarannya
dengan membuktikan bahwa P(n0) bernilai benar.
2. Langkah induksi
Kita mengasumsikan bahwa untuk k ≥ n0 maka P(k)
bernilai benar.
Setelah itu harus dibuktikan bahwa P(k + 1) juga
bernilai benar.
Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0.
Contoh :
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus
Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2 untuk semua
bilangan bulat n ≥ 1.
Bukti :
Langkah dasar :
Ketika n = 1 didapatkan hasil :
Sn = 12
Sn = 12
Terbukti bahwa n = 1
Langkah induksi
Asumsikan bahwa n = k benar, maka :
Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2
Sk = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k − 1) = k2 Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, maka
berdasarkan yang diketahui:
Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2
Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1)
Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 2 − 1)
Sk+1 = k2 + 2k + 1
Sk+1 = (k + 1)2
Maka terbukti bahwa rumus tersebut benar untuk semua
bilangan bulat n ≥ 1.
c. Induksi matematika
i. Barisan
Contoh :
Diberikan barisan bilangan asli 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … Rancang formula barisan di atas, dan ujilah kebenaran formula
tersebut dengan induksi matematika.
Formula :
Ingat materi persamaan linear dua variabel, maka dapat kita
petakan semua suku ke dalam bidang cartesius.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
185
Tampak jelas bahwa pemetaan masing – masing suku
membentuk grafik garis lurus, sehingga dapat kita misalkan
bahwa un = an + b. Sehingga didapatkan hasil :
Ketika n = 1 maka u1 = a + b = 2
Ketika n = 2 maka u2 = 2a + b = 9
Dengan melakukan proses eliminasi dan substitusi kita
dapat menemukan nilai dari a dan b, yaitu a = 7 dan
b = −5.
Maka didapatkan formula un = 7n − 5
Bukti :
Langkah dasar :
Ketika n = 1 didapatkan hasil :
un = 7n − 5
u1 = 7 − 5
u1 = 2
Terbukti bahwa n = 1 benar.
Langkah induksi :
Asumsikan bahwa n = k benar, maka :
un = 7n − 5
uk = 7k − 5
Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, maka
berdasarkan yang diketahui:
2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … ,7k − 5 = 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … ,7k − 5 , 7(k + 1) − 5 = 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, … ,7k − 5 , 7k + 2
Hasil yang didapat menunjukkan bahwa ketika n = k + 1
bernilai benar, maka terbukti bahwa rumus tersebut benar
untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
186
ii. Keterbagian
Istilah yang sering digunakan dalam keterbagian adalah :
Istilah Contoh Simbol
Habis dibagi 15 habis dibagi 3 15 = 3a
Habis membagi 3 habis membagi 6 3b = 6
Faktor 2 faktor dari 10 2c = 10
Kelipatan 9 kelipatan 3 9 = 3d
Contoh :
Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa
5n − 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.
Bukti :
Langkah dasar :
Ketika n = 1 didapatkan hasil :
5n − 1 = 51 − 1
5n − 1 = 4
Terlihat bahwa 4 habis dibagi 4, maka terbukti bahwa n =1 benar.
Langkah induksi :
Semua bilangan yang habis dibagi 4 dapat dituliskan
menjadi 4m.
Asumsikan bahwa n = k benar, maka :
5n − 1 = 4m
5k − 1 = 4m
Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, maka
berdasarkan yang diketahui:
5k − 1 = 4m
5k+1 − 1 = (5k ∙ 5) − 1
5k+1 − 1 = ((4 + 1) ∙ 5k) − 1
5k+1 − 1 = (4 ∙ 5k) + 5k − 1
5k+1 − 1 = (4 ∙ 5k) + 4m
5k+1 − 1 = 4 ∙ (5k + m)
5k+1 − 1 = 4 ∙ b dengan b = 5k + m
Hasil yang didapat menunjukkan bahwa ketika n = k + 1
bernilai benar, maka terbukti bahwa rumus tersebut benar
untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
187
iii. Ketidaksamaan
Ketidaksamaan adalah sebuah tanda yang digunakan untuk
membuat suatu batasan terhadap nilai sebuah variabel.
Ketidaksamaan dapat juga disebut ketaksamaan yang dinotasikan
dengan :
Kurang dari < Lebih kecil
Lebih dari > Lebih besar
Kurang dari atau sama dengan ≤ Lebih kecil atau sama dengan
Maksimal
Lebih dari atau sama dengan ≥ Lebih besar atau sama dengan
Minimal
Contoh :
Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa
12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 >n3
3 untuk semua bilangan bulat
positif n.
Bukti :
Langkah dasar :
Ketika n = 1 didapatkan hasil :
n2 >n3
3
12 >13
3
1 >1
3
Terbukti bahwa n = 1 benar.
Langkah induksi :
Asumsikan bahwa n = k benar, maka :
12 + 22 + 32 + ⋯ + n2 >n3
3
12 + 22 + 32 + ⋯ + k2 >k3
3
Akan dibuktikan bahwa n = k + 1 adalah benar, sehingga:
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >(k + 1)3
3
Maka berdasarkan yang diketahui:
12 + 22 + 32 + ⋯ + k2 >k3
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
188
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3
3+ (k + 1)2
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3
3+
3(k + 1)2
3
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3 + 3(k2 + 2k + 1)
3
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >k3 + 3k2 + 6k + 3
3
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >(k + 1)3 + 3k + 2
3
12 + 22 + 32 + ⋯ + (k + 1)2 >(k + 1)3
3+
3𝑘 + 2
3
Padahal terlihat bahwa
(k + 1)3
3+
3k + 2
3>
(k + 1)3
3
Hasil yang didapat menunjukkan bahwa ketika
n = k + 1 bernilai benar, maka terbukti bahwa rumus
tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
189
3. Media Pembelajaran
a. Pertemuan ke – 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
190
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
191
b. Pertemuan ke – 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
192
c. Pertemuan ke – 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
193
d. Pertemuan ke – 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
194
e. Pertemuan ke – 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
195
4. Lembar Kerja Peserta Didik
a. LKS I : Notasi Sigma
Lembar Kerja Peserta Didik
Notasi Sigma
Tuliskan dalam bentuk penjumlahan!
∑ i2 − 6
7
𝑖=3
= _______________________________________________
∑(5k − 4)2
5
𝑘=1
= _______________________________________________
Tuliskan dalam bentuk notasi!
1 + 4 + 7 + … + 28 = ___________________________________
2 + 5 + 7 + 11 + … + 75 = ____________________________
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
196
b. LKS II : Prinsip Induksi Matematika
Lembar Kerja Peserta Didik
Induksi Matematika
Temukan nilai kebenarannya!
A. Untuk setiap rumusan P(n) yang diberikan, tentukan masing –
masing P(n + 1) :
P(n) =5
n(n + 1)
P(n) =n2(n − 1)2
4
B. Carilah nilai kebenaran pernyataan berikut dengan induksi
matematika : Sn = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 22 + 3 ∙ 23 + ⋯ + n ∙ 2n = 2[1 + (n − 1)2n]
Sk =1
2 ∙ 3+
1
3 ∙ 4+
1
4 ∙ 5+ ⋯ +
1
(k + 1)(k + 2)=
k
2(k + 2)
c. LKS III : Penerapan Induksi Matematika (Barisan)
Lembar Kerja Peserta Didik
Penerapan Induksi Matematika Barisan
Kerjakan soal di bawah ini dengan benar.
1. Apakah 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n3 bernilai benar untuk
semua bilangan bulat positif n ≥ 1?
2. Apakah 1 + 2 + 3 + ⋯ + n =2n(n+1)
2 bernilai benar untuk
semua bilangan bulat positif n ≥ 1?
3. Buktikan kebenaran formula dari barisan 5, 13, 21, 29, 37, 45, …
4. Apakah 1
1∙2∙3+
1
2∙3∙4+
1
3∙4∙5+ ⋯ +
1
n(n+1)(n+2)=
n(n+3)
4(n+1)(n+2)
bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n?
d. LKS IV : Penerapan Induksi Matematika (Keterbagian)
Lembar Kerja Peserta Didik
Penerapan Induksi Matematika : Keterbagian
Kerjakan soal di bawah ini dengan tepat.
1. Apakah 4n2 − n adalah kelipatan 3?
2. Apakah 32n − 1 habis dibagi 5 untuk bilangan bulat positif n >5 ?
3. Apakah xn − 1 habis dibagi oleh x − 1 dengan x ≠ 1 dan n
bilangan asli?
4. Apakah salah satu faktor dari 22n−1 + 32n−1 adalah 5 untuk
bilangan bulat positif n?
5. Apakah 41n − 14n adalah kelipatan 27?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
197
e. LKS V : Penerapan Induksi Matematika (Ketidaksamaan)
Lembar Kerja Peserta Didik
Penerapan Induksi Matematika : Ketidaksamaan
Kerjakan soal di bawah ini dengan tepat.
1. Apakah 1
√1+
1
√2+
1
√3+ ⋯ +
1
√n> √n bernilai benar untuk semua
bilangan bulat positif n ≥ 2?
2. Apakah 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2n − 1)2 <n(n+1)
2 bernilai benar
untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 1?
3. Diberikan a > 1, buktikan bahwa an > 1 dengan n bilangan asli.
4. Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa
1 +1
22+
1
32+
1
42+ ⋯ +
1
n2≤ 2 −
1
n
5. Tugas terstruktur
a. Tugas mandiri
Tugas 1
Petunjuk :
1. Mencari nilai kebenaran dari pernyataan di bawah dengan induksi
matematika.
2. Pilih 2 soal yang akan dikerjakan.
3. Tugas dapat dikerjakan dengan berdiskusi bersama teman namun
dilarang untuk menyalin jawaban.
4. Tugas dikumpulkan pada hari Sabtu, 28 Juli 2019 maksimal
pukul 18.00 WIB.
5. Pengumpulan tugas dilakukan dengan mengirim hasil pekerjaan
ke grup whatsapp yang tersedia.
Soal :
1. n2 − n + 41 merupakan bilangan ganjil semua bilangan bulat
positif n.
2. Untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :
1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)
3
3. Untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :
P(n) = 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2n − 1)2 =n(2n − 1)(2n + 1)
3
b. Tugas kelompok
Tugas 2
Petunjuk :
1. Tugas dikerjakan secara berkelompok
2. Tugas dikumpulkan pada hari Sabtu, 3 Agustus 2019 antara pukul
18.00 – 19.00 WIB.
3. Pengumpulan tugas dilakukan dengan mengirim hasil pekerjaan
ke grup whatsapp yang tersedia dengan nama file : no kel_Tugas
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
198
Soal :
1. Apakah persamaan berikut bernilai benar :
∑2i − 1
2i−1= 6 −
2n + 3
2n−1
n
i=1
2. Apakah 3 merupakan salah satu faktor dari n3 + 3n2 + 2n untuk
semua n bilangan asli?
3. Apakah untuk setiap bilangan asli n > 6 akan berlaku:
n! > 3n ?
Tugas 3
Soal :
1. Apakah persamaan berikut bernilai benar :
∑ i3 = [n(n + 1)
2]
2
?
n
i=1
2. Apakah persamaan berikut bernilai benar :
∑(2i − 1)(2i + 1) =n(4n2 + 6)
3 ?
n
i=1
3. Apakah n2 − n + 41 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat
positif n?
4. Apakah 3 merupakan faktor dari 22n+1 + 1 ?
5. Carilah nilai kebenaran dari 3n < n3 untuk semua bulat positif
n ≥ 4.
6. Apakah ketika bilangan bulat n ≥ 5 akan memenuhi
pertidaksamaan 2n − 3 > 2n−1 ?
c. Ulangan harian
ULANGAN HARIAN
INDUKSI MATEMATIKA
Petunjuk : 1. Kerjakan soal yang ditampilkan di layar presentasi dengan urut
dan lengkap. 2. Diperbolehkan menggunakan pensil.
3. Dilarang menggunakan alat bantu hitung, catatan, dan saling
meminjam alat tulis.
4. Tidak diperbolehkan menggunakan correction tape cair dan
kertas.
Kerjakan soal berikut dengan lengkap dan benar.
1. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku:
3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1) = n2 + 2n
2. Apakah 4007n + 1 habis dibagi 2004 untuk semua n bilangan
asli?
3. Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan (n + 1)2 < 2n2
untuk bilangan bulat n ≥ 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
199
6. Instrumen Penilaian
a. Observasi Sikap
PENILAIAN SIKAP SISWA
No Nama Sikap
Total
Skor
Skor
Final Spiritual Sosial
Catatan :
1. Indikator tiap aspek:
Aspek Indikator
Kejujuran
Menyampaikan sesuatu sesuai dengan
keadaan sebenarnya.
Tidak mencontek pekerjaan teman.
Berani mengakui kesalahan.
Kedisiplinan
Tepat waktu dalam mengumpulkan tugas.
Tidak meninggalkan kelas ketika pelajaran
berlangsung.
Mematuhi aturan yang telah disepakati
bersama.
Daya juang
Tidak mudah menyerah dalam mengerjakan
tugas.
Mau keluar dari zona nyaman.
Tidak terpengaruh lingkungan dan
berpendirian kuat.
2. Aspek masing – masing kategori :
Aspek Skor
Spiritual Kejujuran 1 = Kurang
2 = Cukup
3 = Baik
4 = Sangat baik Sosial
Kedisiplinan
Daya juang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
200
3. Nilai final:
8 – 13 : D (Kurang) 20 – 25 : B (Baik)
14 – 19 : C (Cukup) 26 – 32 : A (Sangat baik)
b. Pengetahuan
1. Tugas 1 mandiri
Kunci jawaban :
Buktikan bahwa n2 − n + 41 merupakan bilangan ganjil
semua bilangan bulat positif n.
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
n2 − n + 41 = 12 − 1 + 41
= 41
41 adalah bilang ganjil, maka terbukti bahwa untuk
n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
n2 − n + 41
=k2 − k + 41
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
n2 − n + 41
= k2 − k + 41
= (k + 1)2 − (k + 1) + 41
= (k2 + 2k + 1) − k − 1 + 41
= (k2 − k + 41) + 2k
Terlihat bahwa k2 − k + 41 bilangan ganjil.
2k bilangan genap.
Maka hasil penjumlahan keduanya adalah bilangan ganjil.
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Maka, dapat disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar.
Untuk semua bilangan bulat positif n, berlaku :
1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + n(n + 1) =n(n+1)(n+2)
3
Jawaban
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
201
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
n(n + 1)(n + 2)
3 =
1(1 + 1)(1 + 2)
3
=1(2)(3)
3
= 2
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)
=k(k + 1)(k + 2)
3
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)
= 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)
+ (k + 1)[(k + 1) + 1]
= 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + k(k + 1)
+ (k + 1)(k + 2)
=k(k + 1)(k + 2)
3+ (k + 1)(k + 2)
=k
3(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)
= (k
3+ 1) (k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(k + 2) (k
3+ 1)
= (k + 1)(k + 2) (k + 3
3)
=(k + 1)(k + 2)(k + 3)
3
=(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)
3
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Maka dapat disimpulkan bahwa rumus di atas bernilai benar.
Untuk semua bilangan bulat positif n. Berlaku:
P(n) = 1² + 3² + 5² + … + (2n – 1)² =n(2n−1)(2n+1)
3
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
202
n(2n − 1)(2n + 1)
3
=1(2 ∙ 1 − 1)(2 ∙ 1 + 1)
3
=3
3
= 1
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
P(n) = 12 + 32 + 52 + ⋯ + (2n – 1)2
=n(2n − 1)(2n + 1)
3
P(k) = 12 + 32 + 52 ± ⋯ + (2k – 1)²
=k(2k − 1)(2k + 1)
3
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
12 + 32 + 52 + ⋯ + (2k – 1)2
+ (2(k + 1) − 1)2
=k(2k − 1)(2k + 1)
3+ (2(k + 1) − 1)2
=k(2k − 1)(2k + 1)
3+ (2k + 2 − 1)2
=k(2k − 1)(2k + 1)
3+
3(2k + 1)2
3
=k(2k − 1)(2k + 1)
3+
3(2k + 1)(2k + 1)
3
=(2k2 − k)(2k + 1)
3+
(6k + 3)(2k + 1)
3
=((2k2 − k) + (6k + 3))(2k + 1)
3
=(2k2 + 5k + 3)(2k + 1)
3
=(2k + 3)(k + 1)(2k + 1)
3
=(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)
3
=(k + 1)(2(k + 1) − 1)(2(k + 1) + 1)
3
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Maka dapat disimpulkan bahwa aturan bernilai benar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
203
Kriteria penskoran masing – masing nomor :
Keterangan Skor
Langkah tidak sesuai. 5
Jawaban belum selesai. 10 – 17
Jawaban benar, kurang
lengkap. 18
Jawaban benar, lengkap. 19
Jawaban benar, lengkap.
Terdapat kesimpulan. 20
Skor final
(Skor total siswa)
4× 10
Kode nilai :
< 60 : D (Kurang)
60 – 69 : C (Cukup)
70 – 74 : B (Baik)
85 – 100 : A (Sangat baik)
2. Tugas 2 kelompok
Kunci jawaban : Apakah persamaan berikut bernilai benar:
∑2i − 1
2i−1= 6 −
2n + 3
2n−1
n
i=1
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
2i − 1
2i−1= 6 −
2n + 3
2n−1
(2 ∙ 1) − 1
21−1= 6 −
(2 ∙ 1) + 3
21−1
2 − 1
20= 6 −
2 + 3
20
1
1= 6 −
5
1
1 = 1
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
204
Sn = 6 −2n + 3
2n−1
Sk = 6 −2k + 3
2k−1
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
Sk+1 = Sk + Uk+1
Sk+1 = 6 −2k + 3
2k−1 +
2(k + 1) − 1
2(k+1)−1
Sk+1 = 6 −2k + 3
2k−1 +
2k + 2 − 1
2k
Sk+1 = 6 −2(2k + 3)
2k +
2k + 1
2k
Sk+1 = 6 −4k + 6
2k +
2k + 1
2k
Sk+1 = 6 +−2k − 5
2k
Sk+1 = 6 −2k + 5
2k
Sk+1 = 6 −2(k + 1) + 3
2(k+1)−1
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa
persamaan tersebut bernilai benar.
Apakah 3 merupakan salah satu faktor dari n3 + 3n2 + 2n
untuk semua n bilangan asli?
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
n3 + 3n2 + 2n
= 13 + 3 ∙ 12 + 2 ∙ 1
= 1 + 3 + 2
= 6
Terlihat 3 merupakan faktor dari 6.
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
n3 + 3n2 + 2n = 3m
k3 + 3k2 + 2k = 3m
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
205
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
k3 + 3k2 + 2k
= (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 2(k + 1)
= (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (3k2 + 6k + 3) + (2k
+ 2)
= (k3 + 3k2 + 2k) + (3k2 + 9k + 6)
= 3m + 3(k2 + 3k + 2)
= 3(m + (k2 + 3k + 2))
= 3j
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa rumus di
atas bernilai benar.
Apakah untuk bilangan asli n > 6 akan berlaku: n! > 3n
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 7 bernilai benar, maka :
n! > 3n
7! > 37
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 > 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
5040 > 2187
Terbukti bahwa untuk n = 7 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
n! > 3n
k! > 3k
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
(k + 1)! = (k + 1) ∙ k!
> (k + 1) ∙ 3k
> 3 ∙ 3k
> 3k+1
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Dari pembuktian di atas, diketahui bahwa rumus di atas
bernilai benar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
206
Kriteria penskoran masing – masing nomor :
Keterangan Skor
Langkah tidak sesuai. 5
Jawaban belum selesai. 10 – 17
Jawaban benar, kurang
lengkap. 18
Jawaban benar, lengkap. 19
Jawaban benar, lengkap.
Terdapat kesimpulan. 20
Skor final
(Skor total siswa)
6× 10
Kode nilai :
< 60 : D (Kurang)
60 – 69 : C (Cukup)
70 – 74 : B (Baik)
85 – 100 : A (Sangat baik)
3. Ulangan harian
Kunci jawaban : Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n,
berlaku:
3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1) = n2 + 2n
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
(2n + 1) = n2 + 2n
(2 ∙ 1 + 1) = 12 + (2 ∙ 1)
(2 + 1) = 1 + 2
3 = 3
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n + 1) = n2 + 2n
3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k + 1) = k2 + 2k
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
3 + 5 + 7 + ⋯ + (2(k + 1) + 1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
207
= 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k + 1) + (2(k + 1) + 1)
= 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2k + 1) + (2k + 2 + 1)
= (k2 + 2k) + (2k + 3)
= (k2 + 2k) + (2k + 2 + 1)
= (k2 + 2k + 1) + (2k + 2)
= (k + 1)2 + 2(k + 1)
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa
persamaan tersebut bernilai benar.
Apakah 4007n + 1 habis dibagi 2004 untuk semua n
bilangan asli?
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
4007n + 1 = 2004m
40071 + 1 = 2004m
4007 + 1 = 2004m
4008 = 2004m
4008
2004= m
m = 2
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
4007n + 1 = 2004m
4007k + 1 = 2004m
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
4007k+1 + 1
= (4007k ∙ 4007) + 1
= (4007k + 1) ∙ (4007 + 1)
= (2004m) ∙ (4007 + 1)
= 2004 (m ∙ (4007 + 1))
= 2004 p dengan p = m ∙ (4007 + 1)
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
208
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa
persamaan tersebut bernilai benar.
Carilah nilai kebenaran dari pertidaksamaan
(n + 1)2 < 2n2 untuk bilangan bulat n ≥ 3.
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
(n + 1)2 < 2n2
(3 + 1)2 < 2 ∙ 32
42 < 2 ∙ 9
16 < 18
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
(n + 1)2 < 2n2
(k + 1)2 < 2k2
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
((k + 1) + 1)2
< 2(𝑘 + 1)2
(k + 2)2 < 2(𝑘2 + 2𝑘 + 1)
k2 + 4k + 4 < 2k2 + 4k + 2
(k2 + 2k + 1) + 2k + 3 < 2k2 + 4k + 2
2k2 + 2k + 3 < 2k2 + 4k + 2
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa
persamaan tersebut bernilai benar.
Kriteria penskoran masing – masing nomor :
Keterangan Skor
Terdapat langkah yang salah. 4
Setiap langkah benar.
Jawaban salah. 6
Setiap langkah benar.
Jawaban benar. 8
Setiap langkah benar.
Jawaban benar. 10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
209
Keterangan Skor
Terdapat kesimpulan.
Skor final
(Skor total siswa)
3× 10
Kode nilai : < 60 : D (Kurang)
60 – 69 : C (Cukup)
70 – 74 : B (Baik)
85 – 100 : A (Sangat baik)
c. Keterampilan (Tugas 3 kelompok)
Kunci jawaban : Apakah persamaan berikut bernilai benar :
∑ i3 = [n(n + 1)
2]
2
?
n
i=1
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
i3 = [n(n + 1)
2]
2
13 = [1(1 + 1)
2]
2
1 = [1(2)
2]
2
1 = [1]2
1 = 1
Terbukti bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka didapat:
Sn = [n(n + 1)
2]
2
Sk = [k(k + 1)
2]
2
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
Sk+1 = Sk + Uk+1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
210
Sk+1 = [k(k + 1)
2]
2
+ (k + 1)3
Sk+1 =(k2)(k + 1)2
4+ (k + 1)3
Sk+1 =(k2)(k + 1)2
4+
4(k + 1)(k + 1)2
4
Sk+1 =(k2)(k + 1)2
4+
(4k + 4)(k + 1)2
4
Sk+1 =(k2 + 4k + 4)(k + 1)2
4
Sk+1 =(k + 2)2(k + 1)2
4
Sk+1 =(k + 1)2(k + 2)2
4
Sk+1 = [(k + 1)(k + 2)
2]
2
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan
tersebut bernilai benar.
Apakah persamaan berikut bernilai benar :
∑(2i − 1)(2i + 1) =n(4n2 + 6)
3 ?
n
i=1
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
(2i − 1)(2i + 1) =n(4n2 + 6)
3
(2 ∙ 1 − 1)(2 ∙ 1 + 1) =1(4 ∙ 12 + 6)
3
(2 − 1)(2 + 1) =1(4 + 6)
3
(1)(3) =1(10)
3
3 ≠10
3
Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai salah.
Berdasarkan induksi matematika, tidak terbukti bahwa benar. Maka
pernyataan tersebut bernilai salah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
211
Apakah n2 − n + 41 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat
positif n?
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
n2 − n + 41 = 8m
12 − 1 + 41 = 8m
41 = 8m
41
8= m
Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai salah.
Berdasarkan induksi matematika, tidak terbukti bahwa benar. Maka
pernyataan tersebut bernilai salah.
Apakah 3 merupakan faktor dari 22n+1 + 1 ?
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 1 bernilai benar, maka :
22n+1 + 1 = 3m
22∙1+1 + 1 = 3m
23 + 1 = 3m
8 + 1 = 3m
9 = 3m
9
3= m
3 = m
Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai benar.
Langkah induksi :
Diasumsikan benar untuk n = k, maka rumus menjadi :
22n+1 + 1 = 3m
22k+1 + 1 = 3m
Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.
22k+1 + 1 = 22(k+1)+1 + 1
= 22k+2+1 + 1
= 22k+1 ∙ 22 + 1
= 22 ∙ 22k+1 + 1
= 4 ∙ 22k+1 + 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
212
= (3 + 1) ∙ 22k+1 + 1
= 3 ∙ 22k+1 + 22k+1 + 1
= 3 ∙ 22k+1 + 3m
= 3(22k+1 + m)
= 3j
Terbukti bahwa untuk n = k + 1 bernilai benar.
Berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa persamaan
tersebut bernilai benar.
Carilah nilai kebenaran dari 3n < n3 untuk semua bulat positif
n ≥ 4
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 4 bernilai benar, maka :
3n < n3
34 < 43
81 < 64
Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai salah.
Berdasarkan induksi matematika, tidak terbukti bahwa benar. Maka
pernyataan tersebut bernilai salah.
Apakah ketika bilangan bulat n ≥ 5 akan memenuhi
pertidaksamaan 2n − 3 > 2n−1 ?
Jawaban
Langkah awal :
Untuk n = 5 bernilai benar, maka :
2n − 3 > 2n−1
2 ∙ 5 − 3 > 25−1
10 − 3 > 24
7 > 16
Terlihat bahwa untuk n = 1 bernilai salah.
Berdasarkan induksi matematika, tidak terbukti bahwa benar. Maka
pernyataan tersebut bernilai salah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
213
Kriteria penskoran :
Keterangan Skor
Langkah tidak sesuai. 2
Jawaban belum selesai. 4 – 7
Jawaban benar, kurang lengkap. 8
Jawaban benar, lengkap. 9
Jawaban benar, lengkap.
Terdapat kesimpulan. 10
Skor final
(Skor total siswa)
6× 10
Kode nilai :
< 60 : D (Kurang) 70 – 74 : B (Baik)
60 – 69 : C (Cukup) 85 – 100 : A (Sangat baik)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI