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2007
CopyrightA.DeMarco
Universita degli Studi di Napoli
“Federico II”
Dipartimento di Progettazione Aeronautica
Agostino De Marco
Appunti del corso di
STABILITA DINAMICA E QUALITA DI VOLO
Draft 2007
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Indice
7 Piccole perturbazioni del moto di un velivolo
7.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-17.2 Linearizzazione delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-2
7.2.1 Condizioni di trim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-77.2.2 Relazioni cinematiche linearizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-8
7.3 Azioni aerodinamiche linearizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-97.3.1 Derivate aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-97.3.2 Derivate rispetto alle velocita lineari in assi velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-127.3.3 Perturbazioni delle azioni esterne in assi velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-14
7.4 Formulazione linearizzata (Draft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-177.4.1 Moto longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-197.4.2 Moto latero-direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-21
Bibliografia capitolo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7-22
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Capitolo 7
Piccole perturbazionidel moto di unvelivolo
7.1 Generalita
Come si e visto, alla base dell’analisi e della simulazione del moto vario di un velivolo c’e il suo modello
matematico che comprende anche l’insieme dei modelli dei sottosistemi che lo compongono. Anche se
in prima istanza esso puo essere considerato come un corpo rigido in moto in un riferimento inerziale,
si pensi che nella realta dei fatti un velivolo non e a rigore un solido indeformabile ne si puo ignorare
il fatto che esso contenga dei sottosistemi articolati e di una certa complessita come i propulsori
e le superfici di governo. Inoltre le forze ed i momenti esterni che agiscono sul veicolo sono delle
funzioni non semplici della configurazione e del moto.
Cio e vero in particolare per le azioni aerodinamiche. Esse possono essere considerate note
se in qualche modo si conoscono i valori istantanei della velocita del vento relativo e degli angoli
d’assetto, ma solo con una certa approssimazione. Il grado di dettaglio necessario a determinarne
l’entita e il tema dominante di qualsiasi formulazione delle equazioni del moto, che sia essa destinata
all’integrazione numerica nell’ambito di simulazioni non lineari o che sia piuttosto rivolta all’analisi di
piccole perturbazioni di moti di regime stabilizzati.
Una forma particolare delle equazioni del moto, che viene usata con successo fin dai primi
tentativi di formalizzazione ed analisi del problema del moto un velivolo, e quella che corrisponde ad
un modello linearizzato valido per piccole perturbazioni intorno ad una condizione di riferimento di volo
stabilizzato lungo una traiettoria rettilinea in ipotesi di terra piatta. Questa teoria fornisce delle
chiavi di lettura ed un insieme di informazioni quantitative di notevole importanza, consentendo l’analisi
ingegneristica di un gran numero di casi applicativi. Essa e lo strumento con cui viene studiata
la stabilita e la risposta a determinate azioni sui comandi di volo in tutti quei casi in cui sono
§7-1
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-2
ingegneristicamente accettabili le ipotesi di piccole perturbazioni. Ovviamente ci sono situazioni in cui
tale approccio presenta delle limitazioni e cio si verifica per tutti quei moti caratterizzati da ampie
variazioni delle variabili di stato o da assetti non piccoli e da effetti aerodinamici non lineari.
L’accuratezza con cui e possibile applicare la teoria delle piccole perturbazioni al moto di un
velivolo, e dunque la sua fortuna in campo ingegneristico, si dimostra comunque accettabile in un
ampio spettro di situazioni possibili. Cio e dovuto essenzialmente a due circostanze: (i) in molti casi
le azioni aerodinamiche conservano effettivamente una dipendenza lineare dalle variabili di stato e (ii)
i moti perturbati anche di una certa ampiezza, non evidentemente infinitesima, corrispondono tuttavia
all’effetto combinato di piccole perturbazioni delle velocita lineari ed angolari del velivolo.
7.2 Linearizzazione delle equazioni del moto
Verranno in seguito linearizzate le equazioni complete del moto dell’aeromobile espresse nel sistema di
assi velivolo. Le equazioni generali della traslazione del baricentro sono
Wg
(u + q w − r v
)= XG + XA + XT
Wg
(v + r u − p w
)= YG + YA + YT
Wg
(w + p v − q u
)= ZG + ZA + ZT
(7.1)
avendo indicato con XG , XA , XT , rispettivamente le componenti secondo l’asse velivolo longitudinale
delle azioni dovute alla gravita (G), alle azioni aerodinamiche (A) ed alle azioni propulsive (T) ed
analogamente i contributi alle altre componenti della forza totale agente sul velivolo.
Le equazioni alla rotazione sono invece date dalle
Ix p − Izx(r + p q
)−(Iy − Iz
)q r = ℓ
Iy q − Izx(r2 − p2
)−(Iz − Ix
)r p = m
Iz r − Izx(p + q r
)−(Ix − Iy
)p q = n
(7.2)
Inoltre, le equazioni cinematiche ausiliare che forniscono la variazione dell’orientamento (Gimble
Equations) sono le seguenti
φ = p +(q cosφ + r cosφ
) sin θcos θ
θ = q cosφ − r sinφψ =
(q sinφ + r cosφ
)1cos θ
(7.3)
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-3
che vengono accoppiate alle
xGe
yGe
zGe
=[Leb]·
u
v
w
(7.4)
equazioni che descrivono la traiettoria del baricentro nel sistema inerziale solidale alla terra.
Ci si riferisce adesso ad una condizione di equilibrio, volo stazionario, intorno alla quale si intende
linearizzare le equazioni del moto. Per essa, indicata nel seguito con il pedice ( )0 , le derivate temporali
delle incognite fondamentali sono nulle e si ha
Wg
(q0 w0 − r0 v0
)= XG0 + XA0 + XT0
Wg
(r0 u0 − p0 w0
)= YG0 + YA0 + YT0
Wg
(q0 v0 − q0 u0
)= ZG0 + ZA0 + ZT0
(7.5)
−Izx p0 q0 −(Iy − Iz
)q0 r0 = ℓA0 + ℓT0
−Izx(r20 − p20
)−(Iz − Ix
)r0 p0 = mA0 + mT0
−Izx q0 r0 −(Ix − Iy
)p0 q0 = nA0 + nT0
(7.6)
I ratei di variazione degli angoli di Eulero nelle condizioni di equilibrio considerate sono dunque
φ0 = p0 +(q0 cosφ0 + r0 cosφ0
) sin θ0cos θ0
θ0 = q0 cosφ0 − r0 sinφ0ψ0 =
(q0 sinφ0 + r0 cosφ0
)1cos θ0
(7.7)
mentre le equazioni della traiettoria, valutando la matrice di trasformazione nelle condizioni iniziali,
diventano
xGe0 = u0 cos θ0 + v0 sin θ0 sinφ0 + w0 sin θ0 cosφ0
yGe0 = v0 cosφ0 − w0 sinφ0zGe0 = −u0 sin θ0 + v0 cos θ0 sinφ0 + w0 cos θ0 cosφ0
(7.8)
Allo scopo di linearizzare le equazioni del moto si suppone che le variabili fondamentali possano
essere scritte come
u = u0 + ∆u , v = v0 + ∆v , w = w0 + ∆w
p = p0 + ∆p , q = q0 + ∆q , r = r0 + ∆r(7.9)
Nel seguito si adoperera un cambio di notazione. Come e abitudine diffusa in letteratura,
nel contesto della trattazione delle equazioni linearizzate si indichera con lettera minuscola la
perturbazione della generica grandezza, ad esempio u al posto di ∆u , v al posto di ∆v e cosı via. Si
denoteranno invece con lettera maiuscola i valori delle variabili corrispondenti alle condizioni equilibrate
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-4
iniziali, ad esempio U0 invece che u0 , V0 invece che v0 e cosı via. Analogamente si fara per i valori
iniziali Φ0 , Θ0 , Ψ0 , e Φ0 , Θ0 , Ψ0 . Cio che interessa nello studio delle equazioni linearizzate e, come si
intuisce, l’andamento nel tempo (time history) delle perturbazioni delle variabili fondamentali, piuttosto
che il valore totale, dato banalmente dalla sovrapposizione
U0 + u , V0 + v , W0 + w
P0 + p , Q0 + q , R0 + r(7.10)
Con questa simbologia ha senso indicare il valore totale della generica variabile, somma di quello iniziale
e della perturbazione istantanea, con una lettera maiuscola senza pedice, ad esempio U = U0 + u ,
V = V0 + v e cosı via. Dunque le lettere minuscole corrispondenti ai valori totali delle diverse variabili
del moto nelle equazioni scritte fino ad ora sono da sostitursi con le rispettive lettere maiuscole.
Per definizione di condizioni iniziali stazionarie si ha
dU0dt=dV0dt=dW0dt= 0 (7.11)
Sostituendo le (7.10) nelle equazioni complete (7.1) e tenendo conto delle (7.5) si ottengono le
equazioni alla traslazione linearizzate
Wg
(u + W0 q + Q0 w − R0 v − V0 r
)= ∆XG + ∆XA + ∆XT
Wg
(v + U0 r + R0 u − P0 w − W0 p
)= ∆YG + ∆YA + ∆YT
Wg
(w + V0 p + P0 v − Q0 u − U0 q
)= ∆ZG + ∆ZA + ∆ZT
(7.12)
nelle quali alcuni termini infinitesimi di ordine superiore sono stati trascurati (qw , rv , e tutti gli altri
prodotti di perturbazioni detti termini di secondo ordine). A secondo membro delle (7.12) compaiono
le perturbazioni delle azioni gravitazionale, aerodinamica e propulsiva dovute al moto perturbato. Ad
esempio i termini di natura aerodinamica sono da intendersi come
∆XA = XA − XA0 , ∆YA = YA − YA0 , ∆ZA = ZA − ZA0 (7.13)
Analogamente si intenderanno le perturbazioni delle altre componenti di forza.
Lo stesso modo di procedere applicato alle (7.2) porta alle equazioni alla rotazione linearizzate
Ix p − Izxr − Izx(P0 q + Q0 p
)−(Iy − Iz
)(Q0 r + R0 q
)= ∆ℓA + ∆ℓT
Iy q − Izx(2 R0 r − 2 P0 p
)−(Iz − Ix
)(R0 p + P0 r
)= ∆mA + ∆mT
Iz r − Izx p + Izx(Q0 r + R0 q
)−(Ix − Iy
)(P0 q + Q0 p
)= ∆nA + ∆nT
(7.14)
Senza perdere di generalita e possibile semplificare le equazioni della traiettoria del baricentro e
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-5
dell’orientamento assumendo un valore iniziale nullo dell’angolo di rotta, Ψ0 = 0. Nelle corrispondenti
espressioni, in cui compariranno i valori istantanei degli angoli di Eulero(Φ0 + φ
),(Θ0 + θ
)e ψ ,
anch’essi nella forma di perturbazioni sovrapposte ai valori di equilibrio, sara possibile ritenere valide
le tipiche approssimazioni delle funzioni trigonometriche
cos(Φ0 + φ
)≃(cosΦ0
)·1 − φ sinΦ0 , . . . , sin
(Θ0 + θ
)≃ sinΘ0 + θ cosΘ0 , ecc. (7.15)
potendo approssimare ad esempio cosφ ≃ 1, sin θ ≃ θ . Ne consegue che, esplicitando la matrice
di trasformazione[Lbe]nel prodotto
[Lbe]· We , si ottengono le perturbazioni delle componenti
dell’azione del peso in assi velivolo
∆XG = −Wg(cos θ0
)θ
∆YG = +Wg[−(sin θ0 sinΦ0
)θ +(cos θ0 cosΦ0
)φ]
∆ZG = +Wg[−(sin θ0 cosΦ0
)θ −(cos θ0 sinΦ0
)φ]
(7.16)
dalle quali si riconosce il solo contributo delle sole perturbazioni dell’angolo di elevazione e dell’angolo
di inclinazione laterale.
La linearizzazione delle equazioni di trasformazione dell’orientamento risulta agevole se le (7.3) si
scrivono nella forma matriciale
1 0 − sin(Θ0 + θ
)
0 cos(Φ0 + φ
)cos(Θ0 + θ
)sin(Φ0 + φ
)
0 − sin(Φ0 + φ
)cos(Θ0 + θ
)cos(Φ0 + φ
)
·
Φ0 +φ
Θ0 +θ
Ψ0 + ψ
=
P0 + p
Q0 + q
R0 + r
(7.17)
dove si riconosce la matrice[M]espressa in termini delle perturbazioni degli angoli di Eulero. Si
consideri ad esempio la prima delle (7.17)
(Φ0 +φ
)− sin
(Θ0 + θ
)(Ψ0 + ψ
)= P0 + p
Se si operano i prodotti e si applicano le approssimazioni trigonometriche (7.15), trascurando i termini
di ordine superiore e tenendo conto delle identita (7.7) valide in condizioni di equilibrio, si ottiene
−ψ sinΘ0 +φ = p + Ψ0(cosΘ0
)θ
Questo modo di procedere, esteso alle altre due equazioni, permette di arrivare ad un’approssimazione
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-6
delle (7.17) che puo essere scritta in forma matriciale come
1 0 −SΘ00 CΦ0 CΘ0SΦ0
0 −SΦ0 CΘ0 CΦ0
·
φ
θ
ψ
=
p
q
r
+
0 Ψ0 CΘ0 0
−Ψ0 CΘ0 CΦ0 + Θ0 SΦ0 −Ψ0 SΘ0SΦ0 0Ψ0 CΘ0SΦ0 + Θ0 CΦ0 −Ψ0 SΘ0 CΦ0 0
·
φ
θ
ψ
(7.18)
La (7.18) puo scriversi in maniera compatta come
[C]· x =
[A]· x +
[B]· u con x =
φθψ
ed u =
pqr
(7.19)
essendo[B]=[I]e[C]ed[A]le matrici che contengono i termini linearizzati. Dall’inversione
della[C]e dalla moltiplicazione a sinistra per il secondo membro della (7.19) si ottiene dopo alcuni
passaggi
φ
θ
ψ
=
(Q0CΦ0 − R0SΦ0
)1CΘ0
(Q0SΦ0 + R0CΦ0
) SΘ0C2Θ0
0
−(Q0SΦ0 + R0CΦ0
)0 0
(Q0CΦ0 − R0SΦ0
) SΘ0CΘ0
(Q0SΦ0 + R0CΦ0
)1C2Θ0
0
·
φ
θ
ψ
+
0SΦ0CΘ0
CΦ0CΘ0
0 CΦ0 −SΦ01
SΦ0SΘ0CΘ0
CΦ0SΘ0CΘ0
·
p
q
r
(7.20)
La (7.20) e una equazione matriciale del tipo: x =[A]· x +
[B]· u , in cui gli elementi
delle matrici che compaiono nelle matrici[A]e[B]non dipendono dalle derivate Ψ0 e Θ0 poiche nei
passaggi si e tenuto conto delle (7.7).
Le equazioni della traiettoria del baricentro vengono linearizzate seguendo un procedimento analogo.
Se si assume che le derivate temporali delle coordinate istantanee del centro di massa del velivolo
nel riferimento fisso abbiano la forma
XeG = XeG0 + xeG , YeG = YeG0 + yeG , ZeG = ZeG0 + zeG (7.21)
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-7
e si va a linearizzare le (7.4) tenendo conto delle condizioni di equilibrio si ottiene
xeG
yeG
zeG
=
CΘ0 SΘ0SΦ0 SΘ0 CΦ0
0 CΦ0 −SΦ0−SΘ0 CΘ0SΦ0 CΘ0 CΦ0
·
u
v
w
+
(V0SΘ0 CΦ0 − W0SΘ0 SΦ0
)−(U0SΘ0 − V0CΘ0 SΦ0 − W0CΘ0 CΦ0
)−(V0CΦ0 − W0SΦ0
)
−(V0SΦ0 + W0CΦ0
)0
(U0 CΘ0 + V0SΘ0 SΦ0 + W0SΘ0 CΦ0
)
−(V0CΘ0 CΦ0 − W0CΘ0 SΦ0
)−(U0CΘ0 + V0CΘ0 SΦ0 + W0SΘ0 CΦ0
)0
·
φ
θ
ψ
(7.22)
A questo punto si hanno a disposizione 12 equazioni linearizzate che descrivono il moto perturbato
del velivolo a partire da una condizione di equilibrio stabilizzata. Le prime 6 equazioni date dalle (7.12)
e (7.14) permettono di integrare le perturbazioni delle variabili fondamentali. Le rimanenti 6 equazioni
ausiliarie date dalle (7.20) e (7.22) permettono di integrare le perturbazioni dell’orientamento e della
traiettoria del velivolo nel riferimento fisso. Restano da specificare le espressioni delle perturbazioni
delle azioni aerodinamiche e propulsive. Quelle corrispondenti all’azione del peso sono date dalle (7.16).
7.2.1 Condizioni di trim
E istruttivo osservare che le equazioni cardinali delle forze e dei momenti (7.1) e (7.2) che reggono il
moto vario di un velivolo possono essere linearizzate utilizzando direttamente la loro forma vettoriale.
Inoltre, assumendo valide delle particolari condizioni di equilibrio iniziali che chiameremo condizioni di
trim si perviene ad una formulazione notevole delle equazioni linearizzate.
Posto infatti, con evidente significato dei simboli
~VG = ~V0 +~v ~Ωb = ~Ω0 + ~ω
~F = ~F0 + ∆~F ~MG = ~M0 + ∆~M(7.23)
e sostituendo nelle equazioni del generali del moto, si ottiene
Wg
(vG +
[Ω0]· v +
[ω]· V0
)= ∆F (7.24)
[I]· ω +
[Ω0]·([
I]· ω
)+[ω]·([
I]· Ω0
)= ∆M (7.25)
dove si riconoscono gli operatori tilde che esprimono il prodotto vettoriale con componenti nel sistema
di assi velivolo. Le (7.24)-(7.25) sono ricavabili trascurando dei termini del secondo ordine come
Wg ~ω ∧~v ed
[ω]·([I]· ω
)e tenendo conto del fatto che nelle condizioni iniziali si verificano le
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Linearizzazione delle equazioni del moto §7-8
identita di equilibrioWg
[Ω0]· V0 = F0 (7.26)
[Ω0]·([
I]· Ω0
)= M0 (7.27)
A questo punto si definisce condizione di trim una condizione di volo iniziale di volo rettilineo
orizzontale stabilizzato, con ali livellate, vettore velocita appartenente al piano di simmetria del velivolo
ed angolo di imbardata nullo. In tali condizioni si ha
~Ω0 = 0 , Φ0 = Ψ0 = 0 ,(~V ·~b
)0≡ V0 = 0 (7.28)
la prima delle quali implica anche che P0 = Q0 = R0 = 0. La condizione di volo orizzontale puo essere
anche generalizzata ad una di volo rettilineo con un angolo di rampa stabilizzato iniziale non nullo
Γ0 = Θ0 6= 0. Per le condizioni di trim (7.28) le equazioni linearizzate (7.24)-(7.25) si riducono alleseguenti
Wg
(vG +
[ω]· V0
)= ∆F (7.29)
[I]· ω = ∆M (7.30)
Si noti come le (7.29) e (7.30) rappresentino delle particolarizzazioni delle (7.12) e (7.14), rispettiva-
mente. Queste ultime sono chiaramente da utilizzarsi per lo studio delle piccole perturbazioni di moti
equilibrati ma su traiettoria iniziale non rettilinea come, ad esempio, una richiamata o una virata
stabilizzate.
7.2.2 Relazioni cinematiche linearizzate
Per le condizioni di trim suddette le trasformazioni cinematiche ausiliarie (7.20) diventano
φ
θ
ψ
=
0 0 1CΘ0
0 1 0
1 0SΘ0CΘ0
·
p
q
r
(7.31)
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Azioni aerodinamiche linearizzate §7-9
ed infine le equazioni del moto del baricentro linearizzate diventano
xeG
yeG
zeG
=
CΘ0 0 SΘ0
0 1 0
−SΘ0 0 CΘ0
·
u
v
w
+
0 −U0SΘ0 + W0CΘ0 0
−W0 0 U0CΘ0 + W0SΘ0
0 −U0CΘ0 − W0SΘ0 0
·
φ
θ
ψ
(7.32)
Nelle (7.32) si sono appositamente riportati i termini in cui compare W0 dal momento che esse sono
valide anche per moti inizialmente stabilizzati su traiettorie rettilinee non orizzontali, cioe con angolo
di rampa iniziale Γ0 = tan−1(W0/U0
)non nullo.
7.3 Azioni aerodinamiche linearizzate
Si osservi che e soprattutto l’ingrediente aerodinamico che distingue questa particolare formulazione
della teoria delle piccole perturbazioni da quelle applicabili in altre branche della meccanica. In
questa parte si andra ad analizzare il ruolo delle diverse grandezze aerodinamiche nella formulazione
linearizzata mettendo in evidenza la necessita di ricorrere in definitiva all’uso di coefficienti aerodi-
namici reperibili, a seconda delle applicazioni, da stime numeriche o semiempiriche e dai risultati di
sperimentazioni in galleria del vento o di volo.
7.3.1 Derivate aerodinamiche
Quando interessa studiare un moto dato da piccole perturbazioni intorno a delle condizioni di volo
stabilizzate e possibile pensare di ottenere analiticamente le perturbazioni delle azioni aerodinamiche
di equilibrio attraverso le cosiddette derivate aerodinamiche o derivate di stabilita.
Le forze ed i momenti aerodinamici sono, a rigore, dei funzionali delle variabili di stato. Esse cioe
sono delle quantita che dipendono dall’aspetto delle funzioni u(t), v(t), . . . , p(t), p(t), e cosı via, in un
dato intervallo di variazione della variabile indipendente.
Si consideri ad esempio il valore istantaneo L(t) della portanza di un’ala che percorre un moto
vario ad angolo d’attacco variabile nel tempo, α(t). Dal momento che (i) l’ala possiede una scia
vorticosa, (ii) che quest’ultima produce un campo di velocita indotte che ha effetti anche nella
posizione stessa occupata dall’ala a partire dall’istante considerato, (iii) che in generale, specialmente
ad alte incidenze, sono presenti dei fenomeni di isteresi aerodinamica nei processi di separazione
della vena fluida, si puo concludere che il campo aerodinamico che globalmente determina l’entita della
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Azioni aerodinamiche linearizzate §7-10
portanza in un qualsiasi istante dipende effettivamente non solo dal valore istantaneo di α ma, a
rigore, dall’intera storia degli assetti fino a quello considerato. Questa relazione funzionale e espressa
matematicamente dalla
L(t) = L α(τ) , per −∞ < τ ≤ t (7.33)
Pertanto se la funzione α(τ) e esprimibile in un intorno sinistro del valore t come somma della
serie di Taylor
α(τ) = α(t) + α(t)(τ − t) + 12α(t)(τ − t)2 + . . . (7.34)
la dipendenza (7.33) puo essere pensata come una funzione degli infiniti valori α(t), α(t), α(t), . . . ,
secondo la
L(t) = L(α, α, α , . . .
)(7.35)
e la portanza in questo caso e determinata dall’angolo d’attacco e da tutte le sue derivate temporali
all’istante t . Cio posto, una successiva espansione in serie della funzione L data dalla (7.35), intorno
ai valori α(0), α(0), α(0), . . . che le variabili indipendenti assumono per t = 0, porta alla seguente
espressione della perturbazione della portanza per istanti prossimi a quello iniziale
∆L(t) ≡ L(t) − L(0) = Lα∆α +1
2Lαα (∆α)
2 + . . .+
+ Lα∆α +1
2Lαα (∆α)
2 + . . . (7.36)
In questa somma dove si e posto, ad esempio, Lα ≡(∂L/∂α
)α=0, compaiono in generale anche prodotti
incrociati e potenze degli incrementi ∆α , ∆α , ∆α , . . . e cosı via.
L’assunzione classica delle moderne teorie aerodinamiche consiste nell’accettare che la variazione
di una forza o di un momento aerodinamico sia esprimibile attraverso un’espansione del tipo (7.36)
anche quando, ad esempio nel caso della portanza come funzione dell’angolo d’attacco, la variazione
∆α(t) puo non essere una funzione analitica cosı come richiesto invece dal fatto che α(t) nella (7.36)
e la somma della serie (7.34). In pratica si accetta l’espressione convenzionale
∆L(t) = Lα∆α + Lα∆α + Lα∆α + . . . (7.37)
nella quale le derivate come Lα , Lα e cosı via, prendono il nome di derivate di stabilita o piu in
generale di derivate aerodinamiche. In molti casi di un’espansione come la (7.37) vengono considerati
non nulli solo i primi termini, se non soltanto il primo. In alcuni casi l’esperienza suggerisce di
conservare i termini fino a quelli con derivata aerodinamica rispetto al rateo di variazione della
variabile indipendente, come ad esempio Lα , ed a volte anche quelli con derivata seconda del tipo12Lαα (∆α)2 ≡ Lα2 (∆α)2 . Cio consente di estendere l’applicabilita della linearizzazione (7.37) e delle
equazioni del moto a regimi in cui le caratteristiche aerodinamiche e propulsive sono non lineari.
Ugualmente efficace a tale scopo e assumere per assetti non piccoli che le derivate aerodinamiche
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siano non costanti, ponendo ad esempio Lα = Lα(α).
0.5
1.0
1.5
−0.5
5 10 15 20−5 α [deg]
CL
post-stallo
pre-stallo
aerodinamica stazionaria
aerodinamica instazionaria
Figura 7.1 Esempio di fenomeno tipico dell’aerodinamica instazionaria detto stallo dinamico.Le curve riportate rappresentano il coefficiente di portanza complessivo di unvelivolo del tipo Cessna C172 Skyhawk. Quando l’assetto del velivolo cresce neltempo, in fase pre-stallo la curva del CL e quella superiore, con valoriistantanei maggiori di quelli tipici corrispondenti a medesimi assetti maraggiunti in modo quasi-statico. Quando l’assetto decresce a partire da unadata condizione post-stallo la curva del CL e quella inferiore.
Si tenga presente che quella su esposta corrisponde ad una prassi ben consolidata della teoria
delle piccole perturbazioni applicata al moto dei velivoli che si fonda su una motivazione di tipo
matematico. Essa origina formalmente dall’espansione (7.34) che porta alla dipendenza funzionale
(7.35). Il fatto che la (7.36) sia comunque accettata anche se rigorosamente non consentita e
confortato dai soddisfacenti risultati che la teoria esprime, se comparati con i dati sperimentali. In
fig. 7.1 e riportato un fenomeno tipico dell’aerodinamica instazionaria che costituisce un esempio in
cui, per alcune fasi di volo, non vale α(t) un’espansione del tipo (7.34).
Dal punto di vista dell’interpretazione fisica le derivate di stabilita hanno un significato chiaro
sebbene per alcune di esse e necessaria una certa cautela e vanno comunque ricondotte alla loro
definizione matematica. Si pensi ad esempio alla possibile interpretazione della due derivate Fu o Fu
di una generica azione aerodinamica F . Per la prima e abbastanza intuitivo ricondursi al rapporto trala variazione di F ed una variazione della variabile indipendente u , a partire dalla condizione u = 0 eper variazioni nulle delle rimanenti variabili,
Fu ≡(∂F∂u
)
u = 0, δv = δw = δu = . . . = 0
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Per la seconda invece
Fu ≡(∂F∂u
)
u = 0, δu = δv = δw = . . . = 0
si dovrebbe immaginare una variazione della F in corrispondenza di un incremento di u che al tempostesso lasci invariato il valore della u . Si intuisce che cio e di difficile interpretazione fisica.
La ricerca nel campo dell’aerodinamica si e concentrata negli ultimi decenni nel tentativo di
fornire, attraverso la teoria e la sperimentazione, gli strumenti piu adeguati per la determinazione
delle derivate aerodinamiche necessarie alle applicazioni di meccanica del volo. Una significativa mole
di dati e risorse e reperibile oggi dalla letteratura specialistica e raccolta in libri di testo classici
come [7.1] o [7.3].
7.3.2 Derivate rispetto alle velocita lineari in assi velivolo
La linearizzazione delle equazioni del moto, come si vede dalle (7.29)-(7.30), richiede la valutazione
degli incrementi delle forze gravitazionali e delle forze e dei momenti aerodinamici e propulsivi. Le azioni
del peso linearizzate sono gia state ricavate ed espresse tramite le (7.16) e verranno considerate
a parte perche non dipendenti dall’orientamento del vento relativo al velivolo. Le azioni aerodinamiche
linearizzate cosı come quelle propulsive saranno ricavate in termini delle derivate aerodinamiche delle
varie componenti di forza e momento rispetto a variabili come le tre componenti U , V e W della
velocita lineare in assi velivolo. Tali derivate saranno messe in relazione con le derivate aerodinamiche
classiche, cioe con variazioni rispetto a variabili come gli angoli d’assetto e la velocita della corrente.
Quando si studiano e si misurano sperimentalmente le azioni aerodinamiche e conveniente
esprimere forze e momenti in termini
• della velocita del vento relativo V∞, ovvero della pressione dinamica q∞ = 12ρV2∞ ,
• di alcune grandezze geometriche, in particolare una superficie Sref ed una lunghezza lref di
riferimento opportunamente scelte,
• e degli angoli d’attacco α e derapata β .
Le espressioni convenzionali della generica forza FA e del generico momento MA di natura
aerodinamica sono date come e noto dalle
FA = q∞ Sref CF , MA = q∞ Sref lref CM (7.38)
Riguardo ai momenti, si sottintende che essi, quando non specificato altrimenti, sono da considerarsi
dei momenti intorno ad assi baricentrali.
In ipotesi di aria calma, cioe in assenza di moti di regioni dell’atmosfera rispetto alla terra, la
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velocita del vento relativo e anche la velocita di avanzamento del baricentro del velivolo
V∞ =√U2 + V 2 + W2 (7.39)
Da essa dipendono esplicitamente FA ed MA tramite la pressione dinamica ed implicitamente tramite
i coefficienti aerodinamici CF e CM , funzioni dei numeri di Mach M∞ = V∞/a∞ e di Reynolds
Re∞ = V∞ lref/ν∞ , con a∞ la velocita del suono ed ν∞ la viscosita cinematica della corrente.
I coefficienti aerodinamici CF e CM dipendono inoltre dagli angoli d’attacco e derapata
α = tan−1(W
U
)≃(W
U
)(7.40)
β ≃ tan−1(V
U
)≃ sin−1
(V√
U2 + V 2 + W2
)≃(V
U
)(7.41)
Si puo dunque pensare ad FA o MA come ad una funzione F(V∞ , α, β
), le cui derivate rispetto alle
componenti di velocita U , V e W sono deducibili dall’applicazione della regola di derivazione di funzioni
composte. Per variazioni di velocita assiale si ha
∂F∂U=∂F∂V∞
∂V∞∂U+∂F∂α
∂α
∂U+∂F∂β
∂β
∂U(7.42)
In ipotesi di piccole perturbazioni le variazioni di velocita trasversale V non danno luogo a variazioni di
angolo d’attacco, ∂α∂V = 0, e si ha dunque
∂F∂V=∂F∂V∞
∂V∞∂V+∂F∂β
∂β
∂V(7.43)
Analogamente, le variazioni di velocita trasversale W non danno luogo a variazioni di angolo di
derapata,∂β∂W = 0, e si ha
∂F∂W=∂F∂V∞
∂V∞∂W+∂F∂α
∂β
∂W(7.44)
Dalle (7.39), (7.40), (7.41) si deduce che
∂V∞∂W=
U√U2 + V 2 + W2
,∂V∞∂V=
V√U2 + V 2 + W2
,∂V∞∂W=
W√U2 + V 2 + W2
(7.45)
∂α
∂U≃ − W
U2,
∂α
∂V= 0 ,
∂α
∂W≃ 1U
(7.46)
∂β
∂U≃ − V
U2,
∂β
∂V≃ 1U,
∂β
∂W= 0 (7.47)
A questo punto si sceglie come riferimento solidale al velivolo il cosiddetto sistema di assi
stabilita Ts , del tutto simile al sistema di assi velivolo Tb , ma scelto in modo tale che in condizioni
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di equilibrio iniziali si abbia
Vs ≡
Us
Vs
Ws
=
U0
0
0
(7.48)
Per brevita ed anche per sottolineare che il sistema di assi stabilita e una particolare terna di assi
velivolo si continuera ad indicare le componenti di ~V in Ts con U , V e W . Il vantaggio di scegliere
un tale riferimento, illustrato in fig. 7.2, e quello di avere, per la (7.40), un valore nullo dell’angolo
d’attacco iniziale ed una conseguente semplificazione delle formule di derivazione (7.42), (7.43), (7.44).
Ed infatti, sostituendo in queste ultime le (7.45), (7.46) e (7.47) valutate nelle condizioni iniziali
(7.48) si ottiene∂V∞∂U= 1 (7.49)
∂α
∂W≃ ∂β
∂W≃ 1U0
(7.50)
∂V∞∂V=∂V∞∂W=∂α
∂U=∂β
∂U= 0 (7.51)
Tenendo conto delle espressioni cosı ricavate le (7.42), (7.43) e (7.44) diventano semplicemente
∂F∂U=∂F∂V∞
,∂F∂V=1
V∞
∂F∂β
,∂F∂W=1
V∞
∂F∂α
(7.52)
Le (7.52) permettono di concludere che le derivate delle azioni aerodinamiche rispetto alle tre variabili
indipendenti U , V e W , necessarie per la linearizzazione dei secondi membri delle equazioni del moto
del velivolo, sono direttamente collegate alle derivate aerodinamiche cosı come tipicamente determinate
nelle sperimentazioni in galleria del vento, ∂F∂V∞ ,∂F∂α ,
∂F∂β .
7.3.3 Perturbazioni delle azioni esterne in assi velivolo
Si prendano in esame le figg. 7.2 e 7.3. Nella prima sono mostrate le azioni aerodinamiche, propulsive
e gravitazionali in condizioni di trim, nella seconda e rappresentato il moto perturbato del velivolo nel
piano longitudinale xszs in un istante generico. In fig. 7.4 infine e rappresentato un generico istante
del cosiddetto moto perturbato latero-direzionale.
Dalla fig. 7.3 si deduce la seguente espressione matriciale delle componenti della forza e del
momento totali nel sistema di assi stabilita
F ≡ FA,T + W = 12ρV2∞Sw
CX
CY
CZ
+ T
cos µT
0
− sin µT
+W
− sinΘsinΦ cosΘ
cosΦ cosΘ
(7.53)
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orizzonte
verticale locale
xs
zs
Zero-Liftline
G
W
mT0
mA0
D0
L0
V0
traiettoria iniziale
T0
µTΘ0 ≡ Γ0
PT
Figura 7.2 Velivolo in condizioni iniziali di trim su traiettoria in salita. Gli assi di stabilitaxs , ys , zs sono assi velivolo definiti con riferimento a tale situazione enell’evoluzione futura subiranno eventualmente delle variazioni di orientamentoessendo solidali all’aeromobile.
MA,T =1
2ρV2∞Sw
bwCℓ
cwCm
bwCn
+ T
0
zT cos µT + xT sin µT
0
(7.54)
dove xT e zT sono le coordinate nel sistema di assi stabilita del punto di applicazione PT della spinta,
µT e l’angolo che essa, assunta simmetrica, forma con l’asse longitudinale xs ed infine Sw , bw e
cw sono la superficie, l’apertura e la corda media dell’ala. Il significato dei coefficienti aerodinamici
CX , CY , CZ , Cℓ , Cm , Cn e evidente. Essi esprimono in termini adimensionali le forze aerodinamiche
longitudinale XA , laterale YA e trasversale ZA , ed i momenti aerodinamici di rollio ℓA , di beccheggio
mA e di imbardata nA .
A sua volta la forza aerodinamica risultante puo essere generalmente scomposta con riferimento
agli assi aerodinamici cioe in portanza L , resistenza D e forza laterale al vento (cross force) C detta
anche devianza. Quelle che attengono alle perturbazioni nel piano longitudinale xszs , come si deduce
dalla fig. 7.3 dipendono dall’angolo d’attacco riferito agli assi stabilita, quindi dalle perturbazioni α di
quello iniziale. Quella che attiene invece al moto perturbato latero-direzionale, come si deduce dalla
fig. 7.4 dipende dall’angolo di derapata β . Il primo addendo della somma (7.53) si puo esprimere
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orizzonte
verticale locale
xs
zs
G
Θ
W
mA0 + ∆mA
α
D0 + ∆D
L0 + ∆L
α
Θ0 + γU = U0 + u w
~V~V0
traiettoria iniziale
T0 + ∆T
µT
Θ = Θ0 + ϑ
Figura 7.3 Condizioni del moto perturbato longitudinale al generico istante t .L’orientamento degli assi di stabilita xs , ys , zs ha seguito l’evoluzione delvelivolo. Le azioni aerodinamiche, L , D ed mA , e le azioni dovute alla propulsione,T ed mT , dipendono dalla perturbazione α dell’angolo d’attacco ovvero dalleperturbazioni di velocita u e w .
pertanto come
1
2ρV2∞Sw
CX
CY
CZ
=1
2ρV2∞Sw
CL sin α − CD cos αCY
−CL cos α − CD sin α
(7.55)
Nella seconda delle (7.55) si usa mantenere il coefficiente CY di forza trasversale (laterale al velivolo,
side force) anziche quello di forza laterale al vento CC . Si osservi che le due forze laterali sono
differenti. La forza laterale al vento C e quella che viene tipicamente misurata in sperimentazioni di
galleria del vento du modelli tridimensionali ed e chiaramente una forza ortogonale tanto alla portanza
quanto alla resistenza. La forza trasversale YA e invece la componente lungo l’asse velivolo yb o
ys della forza aerodinamica risultante. Quando si analizzano le piccole perturbazioni del moto di un
velivolo, in particolare quelle del moto latero-direzionale, e possibile approssimare la perturbazione ∆YA
come la proiezione della perturbazione ∆C lungo l’asse velivolo ys . Come si vede dalla fig. 7.4 i rispettivi
coefficienti aerodinamici sono legati a mezzo della: CY = −CC cos β , in cui compare l’angolo di derapata.In tale approssimazione si trascura il contributo alla ∆YA della perturbazione di resistenza, ∆D sin β .
Per un moto vario qualunque del velivolo, la relazione approssimata tra devianza e forza trasversale
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Formulazione linearizzata (Draft) §7-17
orizzontale
xsys
zs
β∆YA∆C
G U ≈ U0
v~s~V
~V0traiettoria iniziale
xeorizzontale
ψ < 0
Θ0 ≡ Γ0Θ ≈ Θ0
ψφ
ye
zeverticale locale
p, ∆ℓA
r, ∆nA
Figura 7.4 Condizioni del moto perturbato latero-direzionale al generico istante t . Leazioni aerodinamiche sono la forza laterale (cross force) ∆C , il momento dirollio ∆ℓA e quello di imbardata ∆nA . Alla componente di forza ∆YA siaggiungono le componenti dovute alla spinta, ∆YT , ed al peso, ∆YG . Analogodiscorso vale per i momenti totali di rollio ed imbardata. Tali perturbazionidipendono dalla perturbazione v della componente trasversale di velocita linearee dalle perturbazioni p ed r delle componenti della velocita angolare del velivolo.
deve essere sostituita con quella piu generale che deriva dalle trasformazioni tra le componenti di un
vettore in assi aerodinamici ed assi velivolo.
Inserire relazioni per ∆Xj, ∆Yj, ∆Zj, ∆Lj, ∆Mj, ∆Nj, con j = u, v, w, p, q, r, w, . . . ed introdurre la
formulazione semplificata classica come particolarizzazione di quella fin qui discussa.
7.4 Formulazione linearizzata (Draft)
[ILON]xLON =
[ALON
]· xLON +
[BLON]· uLON (7.56)
[ILD]xLD =
[ALD]· xLD +
[BLD]· uLD (7.57)
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Formulazione linearizzata (Draft) §7-18
u
Fxv
Fxw
Fxp
Fxq
Fxr
Fx
no
u
Fyv
Fy
no
w
Fyp
Fy
no
qFy
r
Fy
u
Fzv
Fzw
Fzp
Fzq
Fzr
Fz
no
uℓ
v
ℓ
no
w
ℓp
ℓ
no
qℓ
r
ℓ
u
m
no
v
m
w
mp
mq
m
r
m
no
u
n
v
n
no
w
np
n
no
qn
r
n
Figura 7.5 Tipici andamenti delle azioni aerodinamiche. Le derivate corrispondono allederivate di stabilita.
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7.4.1 Moto longitudinale
V 0 0 0
0 (V − Zα) 0 00 −Mα 1 0
0 0 0 1
u/V
α
q
θ
=
V Xu Xα 0 −g cosΘ0VZu Zα (V + Zq) −g sinΘ0VMu Mα Mq 0
0 0 1 0
u/V
α
q
θ
(7.58)
+
XδeV
ZδeV − Zα
Mδe +MαZδeV − Zα
0
δe (7.59)
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Tabella 7.1 Derivate di stabilita dimensionali del moto longitudinale.
Derivata Descrizione Unita
Xu − qSmV
(2CD + MCDM
)s−1
XαqS
mV
(CL − CDα
)ms−2
Xα − qSmV
( c2V
)CD ˆα
ms−1
Xq − qSmV
( c2V
)CDq ms−1
Xδe − qSmV
CDδe ms−2
Zu − qSmV
(2CL + MCLM
)s−1
Zα − qSmV
(CD − CLα
)ms−2
Zα − qSmV
( c2V
)CL ˆα
ms−1
Zq − qSmV
( c2V
)CLq ms−1
Zδe − qSmV
CLδe ms−2
MuqSc
IyyVMCmM m−1s−1
MαqSc
IyyCmα s−2
MαqSc
Iyy
( c2V
)Cm ˆα
s−1
MqqSc
Iyy
( c2V
)Cmq s−1
Mδe
qSc
IyyCmδe s−2
Cξ ˆα=
∂Cξ
∂( αc2V
) Cξq =∂Cξ
∂( qc2V
) (7.60)
per ξ = D, L, m.
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7.4.2 Moto latero-direzionale
V 0 0 0
0 1 −Ixz/Ixx 00 −Ixz/Izz 1 0
0 0 0 1
β
p
r
φ
=
Yβ Yp (Yr − V) −g cosΘ0Lβ Lp Lr 0
Nβ Np Nr 0
0 1 0 0
β
p
r
φ
(7.61)
+
Yδa Yδr
Lδa LδrNδa Nδr
0 0
δa
δr
(7.62)
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Bibliografia capitolo 7 §7-22
Tabella 7.2 Derivate di stabilita dimensionali del moto latero-direzionale.
Derivata Descrizione Unita
YβqS
mVCYβ ms−2
YpqS
mV
( b2V
)CYp ms−1
YrqS
mV
( b2V
)CYr ms−1
YδaqS
mVCYδa ms−2
YδrqS
mVCYδr ms−2
LβqSb
IxxCℓβ s−2
LpqSb
Ixx
( b2V
)Cℓp s−1
LrqSb
Ixx
( b2V
)Cℓr s−1
LδaqSb
IxxCℓδa s−2
LδrqSb
IxxCℓδr s−2
NβqSb
IzzCnβ s−2
LpqSb
Izz
( b2V
)Cnp s−1
LrqSb
Izz
( b2V
)Cnr s−1
LδaqSb
IzzCnδa s−2
LδrqSb
IzzCnδr s−2
Cξp =∂Cξ
∂( pb2V
) Cξr =∂Cξ
∂( rb2V
) (7.63)
per ξ = Y, ℓ, n.
Bibliografia capitolo 7
[7.1] Roskam J., Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls, DARcorporation, 2001.
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Piccole perturbazioni del moto di un velivolo - Bibliografia capitolo 7 §7-23
[7.2] McCormick B. W., Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics, John Wiley & Sons, 1979.
[7.3] Etkin B., Dynamics of Flight, Stability and Control, John Wiley & Sons, 1982.
[7.4] M. Calcara, Elementi di dinamica del velivolo, Edizioni CUEN, Napoli, 1988.
[7.5] Mangiacasale L., Flight Mechanics of a µ-Airplane, Edizioni Libreria CLUP, Milano, 1998.
[7.6] Phillips W. F., Mechanics of Flight, John Wiley & Sons, Inc., 2004.
[7.7] Schmidt L. V., Introduction to Aircraft Flight Dynamics, AIAA Education Series, 1998.
[7.8] Mengali G., Elementi di Dinamica del Volo con Matlab, Edizioni ETS, Pisa, 2001.
[7.9] Nelson R., Flight Stability and Automatic Control, McGraw-Hill, 1989.
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