Download pdf - Unidad 2 F Las funciones lineal, cuadrática y polinómica · Las funciones lineal, cuadrática y polinómica Temas de la unidad Funciones. Las funciones lineal, cuadrática y polinómica

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Matemática

Unidad 2 FUNCIONES

Las funciones lineal, cuadrática y polinómica

Temas de la unidad Funciones. Las funciones lineal, cuadrática y polinómica. Definición y ejemplos. Dominio, codominio, imagen. Rectas en el plano. Gráfico de una función lineal. Intersección de rectas. Resolución de sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas. Paralelismo y perpendicularidad de rectas en el plano. Determinación de ceros, vértice y eje de una parábola. Intersección de curvas. Resolución de problemas prácticos que involucren ecuaciones de segundo grado. Polinomios: algoritmo de división. Teorema del resto. Factorización. Noción de continuidad. Localización de raíces.

Bibliografía obligatoria AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L., 1995; Capítulo 2, FUNCIONES.

AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L., 1995; Capítulo 3, FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS.

AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L., 1995; Capítulo 3, FUNCIONES POLINOMICAS.

Práctico 2: Funciones

UBA XXI Modalidad virtual

Matemática PRACTICO 2. FUNCIONES

1. En una ciudad se tomaron mediciones de la temperatura a lo largo

de un día del mes de julio. La gráfica muestra los registros de las mismas.

a. De acuerdo a la información de la gráfica, completá la tabla:

b. Indicá las temperaturas máximas y mínimas del día.

c. ¿Entre qué horas se mantiene constante?

d. ¿Entre qué horas aumenta? ¿Y disminuye?

e. ¿Puede saberse con certeza cuál fue la medición de la temperatura a las 17 horas? ¿Por qué? 2. Indicá cuáles de los gráficos dados a continuación representan una función IRIR:f → .

CAPITULO II

FUNCIONES

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Hora

Tem

pera

tura

(ºC

)

Hora del día 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Temperatura (ºC)

a. b. c d

e. f . g. h.

Practico 2. Funciones 2


Matemática 3. Indicá cuál o cuáles de las siguientes gráficas puede representar una función con dominio en el conjunto {x∈ℜ/ 2 ≤ x ≤ 6} y cuyo conjunto de imágenes es {y∈ℜ/ -1 ≤ y ≤ 4}. 4. La gráfica representa la función f

a. Decidí si es verdadero o falso que:

a.1. f(0) = f(3) = 0

a.2. f(-1) = 0

a.3. f(– 2) + f(0) = f(– 3)

b. Ubicá todos los puntos (x,(fx)), tales que f(x)=2.

c. Situá en el eje todos los valores de x para los que f(x) = 0

d. ¿En qué intervalos es f(x) > 0?

5. Sea 1x

x f(x)+

=

a. Da el dominio de f.

b. Decidí si el punto

=

21 1; A pertenece a la gráfica de f.

c. ¿Para qué valores de x es f(x) = -2?

d. ¿Es cierto que -1 pertenece al dominio de f? 6. Para la función graficada se pide:

a. Dominio e Imagen.

b. C0; C+ y C-.

c. Intervalos de crecimiento.

d. Intervalos de decrecimiento.

e. Máximos y mínimos locales.

y y y y

x x x x

a. b. c. d.



Matemática 7. Dibujá una función g que verifique cada una de las siguientes condiciones:

a. Su dominio son los números reales.

b. Es constante para los x menores que -1 y pasa por el punto (-3; -2).

c. Decrece en el intervalo (-1; 2) y además pasa por los puntos (-1; -2) y (2; -3)

d. Para los x mayores que 2, tiene raíces en 3 y 5; además g(4) = 1.

8. a. Graficá las siguientes funciones:

f1(x) = x f2(x) = 2x

f4(x) = - x f5(x) = -3x

f(x)7 = 2x f8(x) = 2x + 1 f9(x) = 2x – 1

b. Compará las gráficas dibujadas. ¿Qué conclusiones sacás?

9. En el conjunto de los números reales se define la relación f(x) = x + 2

a. Hallá f(5); f(0); f(90)

b. Si f(a) = 5; f(b) = 1 y f(c) = 201; hallar a, b y c.

c. Graficá f.

10. Da la expresión de cada una de las funciones lineales cuyas gráficas son:

CAPITULO III

FUNCIONES LINEALES

Y CUADRATICAS

Funciones Lineales

x21)x(f3 =

x31)x(f6 −=



Matemática 11. a. Encontrá en cada caso, una función lineal f que satisfaga:

a.1. f(2) = 3 y f(4) = 0

a.2. f(-1) = 3 y f(1) = 3

a.3. f(0) = -2 y f(2) = 0

b. Graficá las funciones encontradas.

c. Hallá gráfica y analíticamente, la intersección con los ejes. 12. Hallá las ecuaciones de las rectas que cumplen las condiciones indicadas y graficálas:

a. Pasa por (2; 4) y (5; 0)

b. Tiene pendiente 31

− y ordenada al origen –1

c. Todos sus puntos tienen abscisa –2

d. Todos sus puntos tienen ordenada -5 13. Representá las siguientes rectas. En cada caso, da la pendiente y ordenada al origen.

a. y = 5 x –3

b. y = -3 x + 2

c. x - 5 = - y

d. y – 1 = x

e. - y = -3 x –3

f. y - x - 4 = 0

14. Dada la función f tal que 1x31 (x)f −= se pide:

a. Representála.

b. Indicá cuál o cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de f.

P = (0; 0) Q = (3; 0) R =

61 - ;

21 - S =

2 ;23

c. Hallá a tal que f(a)= -3.

15. Encontrá en cada caso, las rectas que satisfacen:

a. Tiene pendiente -3 y pasa por el punto (0; 3).

b. Tiene pendiente 21 y ordenada al origen -3.

c. De pendiente m = -5 y pasa por el origen de coordenadas.

d. Su pendiente es m = 0 y pasa por (3; -5).



Matemática 16. Decidí, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. Si f(x) = -3x + 2 entonces

∞=+ 32 ;- C

b. Existe una función lineal g que verifica g (4) – g (1) = 4 y g (-2) = 21

c. Existe una función lineal cuya gráfica contiene todos los puntos de la forma (3; y), siendo y un número real.

17. Sean f y g funciones lineales tales que:

a. La gráfica de f es la recta de pendiente 1 que pasa por P=(1; 0)

b. La gráfica de g es la recta que pasa por los puntos Q=(0;5) y R=(3;-1).

Determiná analíticamente el conjunto A ={ x∈ℜ/f(x) = g(x)}

18. En cada uno de los siguientes casos, f y g son funciones lineales.

Determiná analíticamente el conjunto A ={ x∈ℜ/f(x) ≤ g(x)}.

a. f(x) = -2x + 3 g(x) = x

b. 4x- 2 g(x) 5x21f(x) −=−=

c. f(x) = - x + 2 g(x) = -x – 1

d. 1- x 31 g(x) 1-3x - )x(f ==

19. La función que relaciona el volumen de sangre de un individuo con su peso, está dada por

x141)x(f = , donde x es el peso del individuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de sangre en el

cuerpo, medido en litros.

a. Graficá la función.

b. ¿Cuántos litros de sangre tiene una persona cuyo peso es de 58 kilos? ¿Y de 46 kilos?

c. Determiná el peso de las siguientes personas si se sabe que poseen:

c.1. 3 litros de sangre.

c.2. 36 dl

c.3. 2.500cc



Matemática 20. Beber cerveza hace que el alcohol en la sangre aumente, lo cual puede resultar muy peligroso.

A medida que transcurre el tiempo, el nivel de alcohol en la sangre va disminuyendo. La tabla muestra los valores obtenidos después de que una persona bebió cerveza.

Tiempo ( horas) 1 2 3 4 5 6 7

Alcohol en la sangre ( mg/ml)

90 75 60 45 30 15 0

a. Graficá de acuerdo con la tabla. (Considerá el tiempo en horas con 0 < t ≤ 7)

b. Escribí la fórmula de una función que describa la relación que muestra la tabla.

21. Pablo trabaja durante 10 días repartiendo publicidad. Le pagan $12 diarios.

a. Elaborá una tabla que refleje el número de días trabajados, n, y el dinero ganado, g, en pesos.

b. Hacé una representación gráfica con los valores de la tabla.

c. Si en lugar de trabajar 10 días trabajara 20, ¿ganaría el doble?

d. Buscá una expresión algebraica que relacione el número de días, n, con el dinero ganado, g. 22. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfría. Si la temperatura a nivel de la

tierra es de 20 ºC y a 1 km de altura es 10 ºC:

a. Escribí la relación entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe una relación lineal.

b. Dibujá el gráfico.

c. Determiná la temperatura a 3 km de altura. 23. El ingreso total de una guardería obtenido del cuidado de x niños está dado por r(x) = 450x y sus

costos mensuales totales están dados por c(x) = 380 x + 3500.

¿Cuántos niños se necesitan inscribir para llegar al punto de equilibrio?

(Punto de equilibrio quiere decir que los ingresos igualan a los costos). 24. Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto.

Por otra parte, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable de $22 por unidad. a. ¿Cuántas unidades es necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total? b. ¿Cuál es ese valor?

25. Graficá en el mismo sistema de ejes, las siguientes funciones:

a. f1(x) = x2 f2(x) = -x2 f3(x) = 2x2 f4(x) = 2x21

b. g1(x) = x2 g2(x) = x2 + 1 g3(x) = x2 – 1

c. h1(x) = x2 h2(x) = (x –1)2 h3(x) = (x +1)2

d. k1(x) = x2 k2(x) = (x – 2)2 k3(x) = (x –2)2 + 3

CAPITULO III

FUNCIONES LINEALES

Y CUADRATICAS

Funciones cuadráticas



Matemática 26. Para cada uno de los siguientes gráficos de funciones cuadráticas, da dominio, imagen y la fórmula

que la caracteriza.

27. La gráfica corresponde a una función cuadrática cuya ecuación es de la forma

f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠0)

Respecto a la función f, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

Justificá las respuestas.

a. a < 0

b. f(2) > 1

c. c = -5

d. f(-5) = f(0)

e. f(1) = 1

f. f(-2) = f(1) 28. Decidí en cada caso si los puntos indicados pertenecen al gráfico de la función.

a. f(x) = x2 –1; A = (0; -1) y B = (1; 0)

b. g(x) = 2x21 ; A = (1;

21 ) y B = (0; 0)

c. h(x) = x2 –2x + 1; A = (0; 1) y B = (-2; 7) 29. Determiná para las funciones que se indican:

a. C0; C+ y C-

b. Los valores máximos y mínimos relativos. c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

i. f(x) = -x2 -2x + 1 ii. g(x) = 2 x (x-3) iii. h(x) = (x -1)2 + 3

12

3 -1 1

3

5

3

18

a. b. c.



Matemática 30. Decidí, justificando, cuáles de los gráficos corresponden a las funciones:

a. f(x) = 2x41 b. g(x) = (x-1)2 c. m(x) = 3x2 – 1 d. p(x) = x2 - x e. t(x) = –2x2 + 3

31. En cada caso, determiná la función cuadrática que verifica:

a. Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imágenes es el intervalo [-2; +∞)

b. f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4.

c. Im f = [-5; +∞); C+ = (-∞; -2) U (8; +∞)

d. Toma su valor máximo en x = -1 y es f(-1) = 3. Además C0= {-3; 1}

32. Hallá analítica y gráficamente las intersecciones de los gráficos de los siguientes pares de funciones:

a. f(x) = 2x2 + 4x + 10; g(x) = -2x +1

b. f(x) =3(x - 2)(x + 5); g(x) = 3(x + 4) c. f(x) = -x2 + 4x – 4; g(x) es la función lineal que verifica que g(1) = 7 y g(-1) = 5.

33. Una empresa determina que en la fabricación de x unidades de un producto, el costo (en miles de

pesos) viene dado por C(x) = x2 + 2x + 5.

Se desea saber el número máximo de unidades que deben fabricarse para que el costo no supere los 20 mil pesos.

34. La función de demanda para un producto es p(q) = 1000 - 2q, donde p es el precio (en pesos) por

unidad cuando q unidades son demandas por los consumidores. Encontrá el nivel de producción que maximice el ingreso del productor y determinar ese ingreso.

(Ingreso total = precio x cantidad)

Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3

Gráfico 4 Gráfico 5


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Tachado

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Matemática 35. Durante un choque la fuerza F (en Newtons) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo de

acuerdo con la expresión F(t) = 87t – 21t2, donde t está en segundos.

Se desea saber:

a. ¿En qué dominio es válida esta función?

b. ¿Para qué valor de t es máxima la fuerza? ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza? 36. Un grupo de biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas alimentadas con una dieta que

contenía un 10% de proteínas. Al variar el porcentaje de proteínas (p), el grupo de biólogos estimó que el peso promedio ganado (en gramos) por una rata fue:

100p0 20; 2p p 501 - )p(f 2 ≤≤++=

a. Graficá la función.

b. Calculá f(20) y f(45)

c. Encontrá el peso máximo ganado y cuál fue ese peso.

37. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y la demanda de un determinado artículo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

La oferta quedó caracterizada por la función p(q) = 1/30 q2 + 24 en la que q representa las unidades del artículo y p el precio por unidad.

La demanda tiene un comportamiento lineal, siendo la máxima demanda de 120 unidades, y por cada aumento en 10 unidades el precio disminuye en $6

Se pide:

a. Hallar la función que caracteriza la demanda.

b. Representar gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema de ejes.

c. Hallar analíticamente el punto de equilibrio. (Recordar que el punto de equilibrio es el precio para el cual coinciden la cantidad de productos ofrecidos y demandados).

d. Hallar la expresión analítica de la función ingreso considerando la demanda.

e. Hallar el máximo ingreso. 38. Miguel quiere alcanzar un colectivo en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y el tiempo

en cada caso son Mv = 400 t y Cv = 500 + 30 t2 donde M y C representan la velocidad de Miguel y el colectivo respectivamente, y t el tiempo medido en segundos.

a. Representar ambas gráficas.

b. ¿Puede Miguel alcanzar el colectivo? ¿En qué momento?

39. Un alambre de 10 cm de longitud se corta en dos trozos a una distancia x de uno de sus extremos.

Con uno de los trozos se arma un cuadrado y con el otro un triángulo equilátero.

a. Expresá el área total encerrada por ambas figuras como una función de x.

b. ¿Dentro de qué dominio queda definida esta función?


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Matemática 40. Graficá en un mismo sistema de coordenadas las funciones f,

g y h indicadas, explicitando dominio y conjunto de imágenes:

a. f(x) = x2 ; g(x) = x4; h(x) = x6

b. f(x) = x3 + 3; g(x) = (x+3)3; h (x) = -2(x+3)3 -1

c. f(x) = x4 + 4 ; g(x) = (x+4)4; h(x) = 2(x+4)4 + 2 41. Dada f(x) = 6x -9 + 2x5- 4x3 -3x4-6x2

a. Calculá f(1) ; f(-1); f(0); 2(f ) y

23f

b. ¿En qué caso puede afirmarse que se encontró un cero de la función? 42. Indicá cuáles de los números 1, -1, 2, -2 son ceros de las siguientes funciones:

f(x) = x3 – 7x -6 g(x) = x3- 6x2 -4x + 24 h(x) = x4 -2x3 -11x2 + 12x

43. Para cada una de las siguientes funciones, hallá C0.

Justificá que se han encontrado todos los ceros.

f1(x) = x3 – 4x2 + 4x f2(x) = x5 – 9x3

f3(x) = x4 -2x2 + 1 f4(x) = -2 (x-3) (x2 -1) (x2 +1)

f5(x) = x3 - 6x2 + x - 6 f6(x) = -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

44. a. La función f(x) = x4 + x3 -16x2 – 4x + 48 tiene cuatro raíces de las cuales se conocen x1= 3; x2 = - 2 y x3 = 2. Halla la cuarta raíz y escribí a f como producto.

b. Hallá a para que la función f(x) = x4 - 3x3 -2x2 +12x + a corte al eje x en x = 1.

c. Dada g(x) = 2x5 – 3x4 -11x3 + 6x2, hallá todas sus raíces sabiendo que x= 3 es una de ellas.

d. Encontrá todas las raíces reales de h(x) = x4 + x3 -18x2 -16x + 32, sabiendo que el polinomio es divisible por x2 -16.

e. Siendo f(x) = x3 – 2x2 + (3 – a) x + (a – 2); determiná a para que f(2) = f(1) = 0

45. Encontrá:

a. Una función polinómica f de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y

− 0;31

¿Es única?

b. Una función polinómica g de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y

− 0;31 , que

además verifique g(1) = 8

46. Encontrá los intervalos de positividad y de negatividad de f, siendo f una función polinómica que verifica:

C0 = {-1; 1}, f(-2) = 1; f(0) = 3 y f(2) = -3

CAPITULO IV

FUNCIONES POLINOMICAS



Matemática 47. Para las siguientes funciones

f1(x) = 3x2 – x3 f2(x) = (x2 -1) (x2 +1) f3(x) = -2(x -1) (x-3)(x2- 4)

a. Encontrá todos los puntos donde la gráfica corta al eje x.

b. Analizá intervalos de positividad y negatividad.

c. Hacé un gráfico aproximado de f.

48. Si fx) = -2(x-1)2 (x+2)( x-4)(x+5)

a. Determiná, justificando, el signo de f(x) en los siguientes intervalos:

(-∞; -5); (-5; -2); (-2; 1);(1; 4) y (4; +∞).

b. Hacé un gráfico posible de f.

49. Usá el teorema de Bolzano y sus consecuencias para aproximar con error menor que 100

1 , un

cero de f en el intervalo indicado.

a. f(x) = x3 -3x2 +3, en el intervalo (0; 2 ).

b. f(x) = x4 -2x2 -5, en el intervalo (0; 2). 50. Un meteorólogo encuentra que la temperatura G (en ºC) durante un día frío de invierno estuvo

dada por G(t) = 0,05 t ( t – 12) (t-24) donde t es el tiempo ( en horas) y t = 0 corresponde a las 6 de la mañana.

a. Graficá la curva

b. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º C? ¿Entre qué horas la temperatura fue superior a los 0ºC? ¿Entre qué horas estuvo por debajo de 0º C?

51. Dos móviles se desplazan siguiendo las ecuaciones: e1(t) = t3-t2 +1 y e2(t) = 6t -5, donde e es el espacio (en kilómetros) y t el tiempo (en horas).

Luego de una hora de iniciado el recorrido, los dos móviles se encuentran por primera vez.

¿Se encontrarán en algún otro momento? En caso afirmativo, ¿a cuántos kilómetros de iniciado el recorrido?

52. Suponiendo que el costo (en pesos) de producir x unidades de un cierto producto está dado por

la función

5x2x61)x(C 3 ++=

a. ¿Qué significado tiene para esta función el término independiente?

b. ¿Cuál es el costo de producir 10 unidades?

c. ¿Cuántas unidades fueron producidas cuando el costo fue de 53$? 53. La velocidad en pies sobre segundo (ft/seg) de un trasbordador espacial luego de t segundos de

haber partido está dada por la función polinómica:

t110t20t)t(v 23 +−=

a. ¿Cuál es la velocidad del trasbordador luego de 10 segundos de haber partido?

b. Graficá la velocidad en función del tiempo.


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Matemática

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA.

54. El dominio de la función dada por 2xx31)x(f−

= es: (sólo una opción correcta)

a. Los números reales.

b. Los números reales distintos de 31

c. Los números reales distintos de cero y de 3.

d. Los números reales distintos de cero.

e. Los números reales distintos de 31 y de cero.

55. Considera las funciones dadas por

x1)x(f = y g(x) = x² - 1, ¿cuál de las siguientes funciones

es la expresión de h(x) = g(f(x))?

1x1)x(h.d1

1x1)x(h.c

1x1)x(h.b

)1x(1)x(h.a 2

222 −=

−

−=

−=

−=

56. La función inversa f -1 de f(x) = 4x + 5 es:

5x4

1)x(f.d5x4)x(f.c4

5x)x(f.b5

4x)x(f.a 1111+

=+−=−

=+

= −−−−

57. Considerá la función con dominio en ℜ - {-1} definida por 1xx1)x(f

+−

= .

Para esta función es f(-2) igual a:

a. 31 b. -1 c. -

31 d. – 3 e. 3

58. De acuerdo a la gráfica de la figura ¿cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

a. f(-2) + f(1) = f(0)

b. 3 f(-2) – f(0) = 2 f(2)

c. f(-2) – f(0) = f(1)

d. f(-2) – f(1) = f(0)

e. f(-2) – f(1) = f(-1) -1

59. La fórmula de una función polinómica f es f(x) = x4 – 5x3 + 6 x2.

El conjunto de positividad de f es:

a. (0; 2) ∪ (3; +∞) b. (-∞; 0) ∪ (3; +∞) c. (-∞; 0) ∪ (0; 2)

d. (-∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (3; +∞) e. (-∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞)



Matemática

60. Tene en cuenta la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (2; 1) y (-1; 5). Entonces es f(1) igual a:

a. 2 b. 21 c. 1 d. -

21 e. 5

61. El conjunto de todos los ceros de la función dada por f(x) = 3(x2 – 2x – 15)(x+2)2 es:

a. {-5; 2; 3} b. {-5; -2} c. {-5; 3} d. {-3; -2; 5} e. {-3; 5}

62. La función cuadrática g corta al eje x en x = 2 y x = -4. Además es g(0) = -8.

Puede afirmarse que la imagen de g es:

a. (-9; +∞) b. (-8; +∞) c. (-∞; -8] d. (-∞; 9) e. [-9; +∞)

63. El conjunto de negatividad de la función dada por f(x) = )5x()1x(

21 2 ++ es:

a. (-5; +∞)

b. (-∞; -5)

c. (-1; +∞)

d. (-∞; -1)

e. (-1; 5)


Betty

Texto tecleado

-


Matemática

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TP N° 2

Ej. N° Respuesta

1. 1.a Hora del día 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Temperatura (ºC) -8 -6 -3 6 9 9 3 0 -3 -3 -6

1.b Máxima: 9ºC Mínima: -8ºC

1.c A las 12 y a las 14 hs: 9ºC; a las 20 y a las 22hs.

1.d Aumenta entre las 2 y las 12 hs, Disminuye a partir de las 14 hs hasta la media noche (24 hs).

1.e No, la temperatura es una variable que no tiene un comportamiento previsible.

2. Representan funciones de ℜ→ℜ: a; b y e No representan funciones de ℜ→ℜ: c, d , f, g y h.

3. Solo b. Observar que Domf= {x∈ℜ/ 2 ≤ x ≤ 6} = [2; 6] e Imf = {y∈ℜ/ -1 ≤ y ≤ 4} = [-1;4]. Entonces es f: [2; 6] [-1;4]

4. 4.a F, V, F 4.b A=(-2,8; 2)

B=(-1,2; 2)

C=(2; 2)

4.c C0 = {-3; -1; 1; 3} 4.d C+ = (-3; -1) ∪ (1; 3)

5. 5.a Domf= ℜ -{-1} 5.b Sí. 5.c

−=

32S

5.d No, pues Domf= ℜ -{-1}

6. 6.a Domf = Imf = ℜ 6.b C0 = {-2; -1; 0; 1; 3}

C+ = (-2; -1) ∪ (0; 1) ∪ (3; +∞)

C - = (-∞; -2) ∪ (-1; 0) ∪ (1; 3)

6.c Creciente: ( )+∞∪

−∪

−∞− ;221;

21

23;

6.d Decreciente:

∪

−− 2;21

21;

23

6.e Máximos en:

−

21;

23

Mínimos en:

− 2;

21

7. Hay más de una.

Por ejemplo

Practico 2 - Funciones. Las funciones lineal, cuadrática y polinómica

1


Matemática


Ej. N° Respuesta

8 f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

9 9.a • f(5) = 5 + 2 = 7

• f(0) = 0 + 2 = 2

• f(90) = 90 + 2 = 92

9.b a = 3

b = -1

c = 199

9.c

10 10.a f(x) = x

10.b 3x

53 )x(f += 10.c f(x) = - 3x – 6

10.d ( ) 5x

45xf +=

11 a.1 ( ) 6x

23xf +−=

a.2 a.2. f(x) = 3

a.3 f(x) = x – 2

b.1

b-2

b.3


2


Matemática


Ej. N° Respuesta

11 c.1 Intersección con:

Eje y : (0; 6) Eje x : (4; 0)

c.2 Para cualquier valor de x, y es siempre 3.

Nunca corta al eje x.

c.3 Intersección con:

Eje y : (0; -2)

Eje x : (2; 0)

12 12.a ( )

320x

34xf +−=

12.b 1x

31 y −−=

12.c x = - 2

12.d y = - 5

13 13.a y = 5 x –3; m = 5; b = - 3

13.b y = - 3 x + 2; m = - 3; b = 2

13.c y = - x + 5; m = -1; b = 5

13.d m = 1; b = 1


3


Matemática


Ej. N° Respuesta

13 13.e y = 3x + 3; m = 3; b = 3

13.f y = x + 4; m =1; b = 4

14 14.a

14.b Sólo Q. 14.c a = -6

15 15.a y = -3x + 3

15.b

3x21y −=

15.c y = -5x

15.d y = - 5

16 16.a Verdadero.

Sugerencia: Resolver la inecuación -3x + 2 > 0

16.b Verdadero.

La función es

( )6

19x34xg +=

16.c FALSO.

No cumple la condición de unicidad.

17 f(x) = x – 1; g(x) = -2x + 5;

A = { x∈ℜ/f(x) = g(x)} = {2}

Aclaración:

El punto de intersección es

P =( 2; 1)

18. 18.a [ )+∞=≥ℜ∈= 1; 1}/x{xA 18.b

∞=

≤ℜ∈=

32;- Aó

32x/x A

18.c A = ∅ 18.d [ ) 0}/x{x 0; A 0 ≥ℜ∈=+∞=ℜ= +


4


Matemática


Ej. N° Respuesta

19 19.a

19.b Una persona de 58 kilos tiene aproximadamente 4,14 litros de volumen de sangre. Y una de 46 kilos aproximadamente, 3,29 litros de volumen de sangre.

19.c 42 kilos.

50,4 kilos.

35 kilos 20 20.a

20.b f(t) = -15 t + 105

21 21.a

21.b

21.c Sí ganaría el doble.

21.d g(n) = 12⋅n

22. 22.b

22.a f(x) = -10x + 20

22.c La temperatura a 3 km de altura es de -10ºC.

n (número de días trabajados) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g (dinero ganado en pesos) 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120


5


Matemática


Ej. N° Respuesta

23. Se necesitan inscribir 50 niños. En este caso el punto de equilibrio es P = (50; 22500). Significa que cuando ingresan 50 niños tanto el ingreso como el costo mensual, es de $22500.

24 24.a I(x) = 30x; C(x) = 22⋅x + 4800

Se deben vender 600 unidades.

24.b El punto de equilibrio es P = (600; 18000), por lo que cuando se venden 600 unidades el ingreso iguala a los costos en $18000.

25 25.a

25.b

25.c

25.d

26 26.a

Domf = ℜ; Imf = [ )0 ; + ∞ ; f(x) = 34 x2

26.b Domf = ℜ; Im f = ( ];18−∞ ; f(x) = - 2(x – 3)2 + 18 = -2x(x-6)

26.c. Domf = ℜ; Im f = [ )3 ; +∞ ; f(x) = 2x2 + 3

27 27.a F 27.b V 27.c V 27.d F 27.e F 27.f F

28 28.a Ambos puntos pertenecen 28.b Ambos puntos pertenecen 28.c Solo A pertenece

29 i. }21;21{)f(C0 +−−−= ; C+ (f) = )21;21( +−− - ; C-(f)= ) ;(-1 ) ∞++∪−∞ 2 2 1- ;(-

Máximo en (– 1; 2). Mínimo no tiene.

Crece en (–∞ ; – 1); decrece en (– 1; +∞ )


6


Matemática


Ej. N° Respuesta

29 ii C0(g) ={0; 3}. C+(g) = (-∞; 0) ∪ (3; +∞) = ℜ - [0; 3] C-(g) = (0; 3)

Mínimo en 3 9;2 2

−

. No tiene máximo.

Decreciente en 3;2

− ∞

; creciente en 3 ;2

+ ∞

iii C0(h) =∅. C+(h) = ℜ = Dom(f) C-(h) = ∅

Mínimo: (1; 3). No tiene máximo.

Decreciente en (-∞; 1). Creciente en (1; +∞)

30 30.a 1 30. b 2 30.c 4 30.d 3 30.e 5

31 31.a f(x) = 2 (x – 2)2 – 2 = 2(x – 1)(x – 3) 31.b f(x) = 23

− (x + 2)(x – 3)

31.c f(x) = 15

(x – 3)2 – 5 = 15

(x+2)(x-8) 31.d f(x) = 34

− (x + 1)2 + 3= 34

− (x+3)(x-1)

32 32.a S =∅ 32.b

)1539;151(

)1539;151(

−−−

++−

32.c S =∅

33 33 3 34 250 unidades.

$125.000

35 DomF=

2187;0

t = 4287 ; Fmáx ≅ 90,11

36 36.a

36.b f(20) = 52

f(45) = 69,5

36.c Peso promedio máximo ganado es de 70 g. Como la rata inicialmente tenía un peso de 20 g, el peso efectivo es de 50 g.

37 37.a D(q) = 72q

106

+−

37.b

37.c P=(30;54)

37.d I=-0,6q2+72q

37.e Ingreso máximo: $2160 (cuando se comercializan 60 unidades)


7

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado

farmacia

Tachado


Matemática


Ej. N° Respuesta

38 38.a

38.b Sí, lo alcanza aproximadamente a los 1,4 segundos, después de haber recorrido 560 m.

39 39.a 36

x3 1610)-(x A

22

Total += 39.b DomAtotal

=(0;10)

40 40.a

40.b

40.c

Domf = ℜ

Domg = ℜ

Domh = ℜ

Imf = );0[ ∞+

Img = );0[ ∞+

Imh = );0[ ∞+

Domf = ℜ

Domg = ℜ

Domh = ℜ

Imf = ℜ

Img = ℜ

Imh = ℜ

Domf = ℜ

Domg = ℜ

Domh = ℜ

Imf = );4[ ∞+

Img = );0[ ∞+

Imh = );2[ ∞+

41 41.a. f(1) = -14; f(-1) = -22; f(0) = -9

( ) 33262f −= ; 2723f −=

42.b En ninguno de los casos anteriores puede afirmarse que se encontró un cero de la función.

Se hubiese encontrado un cero si para alguno de los x del dominio dado, se verifica que f(x) = 0.

42 -1 y -2 son ceros de f(x); 2 y -2 son ceros de g(x); 1 es cero de h(x).

Sugerencia: reemplazar en cada función los números dados.

43 f1 C0 = {0; 2} f2 C0 = {-3; 0; 3}

f3 C0 = {-1; 1} Sugerencia: sustituir x4 por t2 f4 C0 = {-1; 1; 3}

f5 C0 = { 6 } Sugerencia: f5(x) = x3 - 6x2 + x – 6 = x2 (x – 6) + (x – 6) = (x – 6) (x2 – 1)

f6 C0 = {1; 2; 3; 4;5} Sugerencia: no resolver el producto.

44 44.a x4 = -4;

f(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 2)(x + 4)

44.b a = -8 44.c x1 = -2 ; y x2 = 21

; x3 = 3

x4 = 0 (raíz doble)

44 44.d x1 = –2 ; x2 = 1; x3 = 4 y x4 = –4

h(x) = (x – 4)(x + 4)(x +2)(x – 1)

44.e Para que f(1) = f(2) = 0 debe ser a = 4.

45 45.a { }0acon;)2x)(31x)(3x(a)x(f −ℜ∈−++= .

La función no es única pues a puede a ser cualquier número real distinto de cero


8


Matemática


Ej. N° Respuesta

45.b

++−−=

31x)3x)(2x(

23)x(g

46 Como f una función polinómica es continua, luego por teorema de Bolzano

);1(C)1;1()1;(C

+∞=−∪−−∞=

−

+

47 f1(x) = 3x2 – x3

x1= 0 (raíz doble) y x2 = 3

( ) ( )( )+∞=

∪−∞=

−

+

;3C3;00;C

f2(x) = (x2– 1)(x2 +1)

x1= 1 y x2= -1.

( ) ( )( )1 ;1C

;11 ;C−=

∞+∪−∞−=

−

+

f3(x) = -2(x– 1) (x– 3)(x2– 4)

x1= 1; x2 = 3; x3 = -2 y x4 = 2

( )( )+∞∪∪−∞=

∪−=

−

+;3 )2 ;1()2- ;(C

3) ;2(1 ;2C

48. 48.a

);4( 2)-(-5; C4) (1;1)- (-2; 5)- ;(- C

- ∞+∪=∪∪∞=+

48.b

49. 49.a p = 1,34 (error menor que 1/100) 49.b q = 1,85 (error menor que 1/100)


9


Matemática


Ej. N° Respuesta

50. 50.a

50.b • De 0ºC a las 6hs., a las 18 hs y a las 6 de la mañana del día siguiente.

• Superior a 0ºC; entre las 6 y las 18 hs.

• Inferior a 0ºC, entre las 18 hs y las 6 del día siguiente.

51 Se encuentran nuevamente a los 566 − km (aproximadamente 9,7 km)

52. 52.a El término independiente significa el costo cuando la producción es cero, aunque no produzca nada tengo que pagar ese precio.

52.b C(10) = 191.67 52.c El costo es $ 53 cuando se producen 6 unidades. Sugerencia: Usar Bolzano

53. 53.a v(10) = 100 53.b

54. c 55. d

56. b 57. d

58. b 59. d

60. c 61. d

62. e 63 b


10

farmacia

Tachado