Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Transformarea Laplace
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Transformarea Laplace
1 Definitie, exemple.
2 Proprietati ale transformarii Laplace
3 Determinarea originalului
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Definitie, exemple.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Definitia 1.1
Functia f : R→ C, f (t) = f1(t) + jf2(t), t ∈ R, se numesteoriginal Laplace daca satisface urmatoarele conditii:(i) f (t) = 0 pentru orice t < 0,(ii) pe orice subinterval finit al semiaxei reale pozitive, f are celmult un numar finit de discontinuitati de speta ıntai,(iii) f are o crestere exponentiala, adica exista numerele realeM ≥ 0 si α ∈ R astfel ıncat
|f (t)| ≤ M eαt , (1.1)
pentru orice t ≥ 0.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Daca un original Laplace satisface (1.1) pentru o anumevaloare a lui α, cu atat mai mult va satisface inegalitatea pentruorice valoare α′ > α. Cea mai buna caracterizare a cresteriimodulului functiei f o va da marginea inferioara a multimiituturor numerelor reale α pentru care are loc (1.1). Aceastamargine inferioara se numeste indice de crestere (sauexponent de crestere) si, ın cele ce urmeaza va fi notat cu α0
α0 = inf{α; α ∈ R, |f (t)| ≤ M eαt , t ≥ 0}.
Produsul cu o constanta a unei functii original, suma si produsula doua functii original sunt de asemenea functii original.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Definitia 1.2
Fie f : R→ C original Laplace. Functia complexa de variabilacomplexa
F : D ⊆ C→ C, D = {s ∈ C; Re s > α0},
F (s) =
+∞∫0
e−st f (t)dt , Re s > α0, (1.2)
se numeste transformata Laplace sau imagine Laplace afunctiei f .
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Cresterea exponentiala a functiei f asigura convergentaabsoluta si uniforma a integralei (1.2) ın orice punct s cuRe s > α0. Intr-adevar daca s = x + jy si x > α0, putem scrie:
|f (t)e−st | ≤ M eα0te−xt
pentru orice t ≥ 0. Deoarece x > α0 integrala
+∞∫0
e(α0−x)t dt =1
α0 − xe(α0−x)t
∣∣∣∣+∞0
=1
x − α0,
este convergenta. Folosind criteriul de comparatie pentruintegrale improprii, deducem convergenta absoluta si uniformaa integralei (1.2) care defineste pe F (s).
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Notatii:
F = L[f (t)], F (s) = L[f (t)](s), Re s > α0,
evidentiind astfel si variabila t a originalului si variabila s atransformatei.sau
f (t)↔ F (s), Re s > α0.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Exemplul 1.1
Functia unitate (Heaviside)
σ(t) ={
1, t ≥ 00, t < 0
(1.3)
este original Laplace cu indicele de crestere α0 = 0 iartransformata sa Laplace este
L[σ(t)](s) =
+∞∫0
e−st dt = −1s
e−st∣∣∣∣+∞
0=
1s.
Vom scrieσ(t)↔ 1
s, Re s > 0. (1.4)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
domeniul de convergenta a integralei Laplace din Definitia 1.2
6=
domeniul de definitie al functiei F = F (s)In Exemplul 1.1 integrala care calculeaza transformata Laplacea functiei unitate este convergenta doar pentru Re s > 0(multime pe care definim transformata sa Laplace), ın timp ce
domeniul de definitie al functiei1s
este C \ {0}.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Exemplul 1.2
Functia f (t) = eλtσ(t), t ∈ R, λ ∈ C este original Laplace,deoarece satisface evident conditiile (i) si (ii) din Definitia 1.1,iar pentru conditia (iii) putem alege M = 1 si α0 = Reλ.Imaginea sa prin transformarea Laplace este
F (s) = L[eλtσ(t)](s) =
+∞∫0
e(λ−s)t dt =1
λ− se(λ−s)t
∣∣∣∣+∞0
=1
s − λ,
pentru Re s > Reλ.
Retinem
eλt · σ(t)↔ 1s − λ
, Re s > Reλ. (1.5)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Proprietati ale transformarii Laplace
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.1
(liniaritate) Daca f1, f2 : R→ C sunt doua functii original avandindicii de crestere αi , i = 1,2, iar
f1(t)↔ F1(s), Re s > α1,f2(t)↔ F2(s), Re s > α2,
atunci pentru orice c1, c2 ∈ C functia c1f1 + c2f2 este originalLaplace si
c1f1(t) + c2f2(t)↔ c1F1(s) + c2F2(s), Re s > max{α1, α2},(2.1)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.2
(asemanare) Daca f : R→ C este functie original si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci pentru orice a ∈ R, a > 0 are loc relatia:
f (at)↔ 1a
F(s
a
), Re s > aα0. (2.2)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.3
(ıntarzierea argumentului) Daca f : R→ C este functieoriginal si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci pentru orice t0 ∈ R, t0 > 0 are loc relatia:
f (t − t0) · σ(t − t0)↔ e−t0sF (s), Re s > α0. (2.3)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Daca t0 > 0, functia
σ(t − t0) ={
1, t ≥ t00, t < t0,
are transformata Laplace:
σ(t − t0) ↔e−t0s
s, Re s > 0.
Analog, gasim
sin(t − t0) · σ(t − t0)↔ e−t0s 1s2 + 1
, Re s > 0
sicos(t − t0) · σ(t − t0)↔ e−t0s s
s2 + 1, Re s > 0.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.4
(deplasare) Daca f : R→ C este functie original si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci pentru orice λ ∈ C are loc relatia:
eλt f (t)↔ F (s − λ), Re s > α0 − Reλ. (2.4)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.5
(imaginea unei functii periodice) Daca o functie originalLaplace f : R→ C este periodica cu perioada principala T ,atunci
f (t)↔ 11− e−sT
T∫0
e−st f (t)dt , Re s > 0. (2.5)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.6
(derivarea originalului) Fie f : R→ C o functie continuapentru t > 0 si care este original Laplace cu indicele decrestere α0. Admitem ca exista derivata f ′(t) si aceasta esteoriginal cu indicele de crestere α1. Daca
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci
f ′(t)↔ sF (s)− f (0+), Re s > max{α0, α1}, (2.6)
unde f (0+) este limita la dreapta ın punctul t = 0 a functiei f ,
f (0+) = limt↓0
f (t).
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.7
Daca functia f : R→ C ımpreuna cu derivatele sale pana laordinul n sunt originale Laplace,
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
iar f ımpreuna cu derivatele sale pana la ordinul n − 1 suntfunctii continue pentru t > 0, atunci
f (n)(t)↔ snF (s)− sn−1f (0+)− sn−2f ′(0+)− . . .−sf (n−2)(0+)− f (n−1)(0+),
(2.7)
undef (k)(0+) = lim
t↓0f (k)(t), k = 0,n − 1.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.8
(integrarea originalului) Daca f : R→ C este functie original si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci are loc relatia:
t∫0
f (τ)dτ ↔ 1s
F (s), Re s > max{α0,0}. (2.8)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Definitia 2.1
Fie f1, f2 : R→ C doua originale Laplace. Functia f1 ∗ f2 : R→ Cdefinita prin
(f1 ∗ f2)(t) =
+∞∫−∞
f1(τ) f2(t − τ)dτ, t ∈ R
se numeste produs ın convolutie a functiilor f1, f2.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.9
(imaginea produsului ın convolutie) Daca f1, f2 : R→ C suntdoua functii original si
f1(t)↔ F1(s), Re s > α1f2(t)↔ F2(s), Re s > α2,
atunci f1 ∗ f2 este functie original si
(f1 ∗ f2)(t)↔ F1(s) · F2(s), Re s > max{α1, α2}. (2.9)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.10
Daca f : R→ C este functie original si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atuncilim
Re s→+∞F (s) = 0. (2.10)
Daca punctul s =∞ este singularitate aparenta pentru functiaF (s), atunci conditia (2.10) se ınlocuieste cu
lims→∞
F (s) = 0.
Un exemplu ın acest sens este functia F (s) =1s
carereprezinta transformata functiei unitate σ.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.11
(derivarea imaginii) Daca f : R→ C este functie original cuexponentul de crestere α0 si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci F este olomorfa ın semiplanul Re s > α0 si are locrelatia:
t f (t)↔ −F ′(s), Re s > α0. (2.11)
Mai general
tn f (t)↔ (−1)nF (n)(s), Re s > α0. (2.12)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 2.12
(integrarea imaginii) Daca f : R→ C este functie original cuexponentul de crestere α0 si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atuncif (t)
teste de asemenea original si are loc relatia:
f (t)t↔
∞∫s
F (q)dq, Re s > α0. (2.13)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Determinarea originalului
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Definitia 3.1
Daca pe un interval [a,b ] exista un numar finit de discontinuitatide speta ıntai pentru functiile f si f ′, atunci spunem ca functia feste neteda pe portiuni ın intervalul [a,b ].
Pentru orice functie f neteda pe portiuni ın intervalul [a,b ]exista limite laterale finite ın orice punct atat pentru f cat sipentru f ′.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 3.1
(Mellin-Fourier) Daca f : R→ C este functie original neteda peportiuni, cu exponentul de crestere α0 si
f (t)↔ F (s), Re s > α0,
atunci are loc formula de inversare Mellin-Fourier:
f (t + 0) + f (t − 0)2
=1
2πj
a+j∞∫a−j∞
estF (s)ds, (3.1)
pentru orice t > 0, unde a > α0 este arbitrar ales.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 3.2
Fie F : C→ C astfel ıncat(i) f este olomorfa ın semiplanul Re s > α0;(ii) lim
|s|→∞F (s) = 0, uniform ın raport cu argumentul lui s;
(iii) fiecare a > α0 exista M = M(a) > 0 astfel ıncata+j∞∫
a−j∞
|F (s)|ds ≤ M.
Atunci, ın domeniul Re s > α0, functia F = F (s) este imagineaLaplace a functiei f : R→ C definita prin
f (t) =1
2πj
a+j∞∫a−j∞
estF (s)ds, a > α0. (3.2)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Fie G : C→ C. Spunem ca s0 ∈ C este pol de ordin k pentruG daca
lims→s0
G(s) =∞ si lims→s0
(s − s0)kG(s) ∈ C.
Reziduul functiei G ın polul s0 este numarul complex
Rez (G(s); s0) =1
(k − 1)!lim
s→s0
((s − s0)
k ·G(s))(k−1)
. (3.3)
Daca G : C→ C, G(s) =g(s)h(s)
are ın s0 pol de ordin 1 sau
pol simplu atunci
Rez (G(s); s0) = lims→s0
(s − s0) ·G(s) = lims→s0
g(s)h ′(s)
. (3.4)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 3.3
Fie F : C→ C o functie rationala
F (s) =P(s)Q(s)
, grad P ≤ 1 + grad Q.
Atunci ın domeniul Re s > 0, functia F = F (s) este imagineaLaplace a originalului f : R→ C definit prin
f (t) =n∑
i=1
Rez(estF (s); si
), t ≥ 0, (3.5)
unde suma este extinsa la toti polii si ∈ C ai functiei rationale F .
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Daca F : C→ C o functie rationala
F (s) =P(s)Q(s)
, grad P ≤ 1 + grad Q,
ce admite numai poli simpli {sk , k = 1,n}, atunci originalul este
f (t) =n∑
i=1
P(si)
Q ′(si)esi t , t ≥ 0. (3.6)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 3.4
Fie F : C→ C o functie olomorfa ın exteriorul unui disc centratın origine, inclusiv punctul de la infinit, si fie
F (s) =∞∑
n=0
an
sn+1 , |s| > r , (3.7)
dezvoltarea Taylor a functiei F ın vecinatatea punctului de lainfinit. Atunci F este imaginea Laplace a originalului
f (t) =∞∑
n=0
an
n!tn, t ≥ 0. (3.8)
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
Teorema 3.5
(convolutia transformatelor) Daca f1, f2 : R→ C sunt douafunctii original avand indicii de crestere αi , i = 1,2, iar
f1(t)↔ F1(s), Re s > α1,f2(t)↔ F2(s), Re s > α2,
atunci produsul uzual al originalelor f = f1f2 este original siimaginea sa Laplace este produsul ın convolutie aimaginilor:
f (t) = f1(t)f2(t)↔ F (s) =1
2πj
a+j∞∫a−j∞
F1(p)F2(s − p)dp, (3.9)
unde integrarea se face pe orice dreapta paralela cu axa 0y,dusa prin abscisa constanta, a cu α1 < a < Re s − α2.
Transformarea Laplace
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace
Determinarea originalului
In ipotezele de mai sus, are loc si relatia
f (t) = f1(t)f2(t)↔ F (s) =1
2πj
b+j∞∫b−j∞
F1(s − p)F2(p)dp, (3.10)
unde F = F (s) este olomorfa ın semiplanul Re s > α1 + α2, iarintegrarea se face pe orice dreapta paralela cu axa 0y , dusaprin abscisa constanta, b, α2 < b < Re s − α1.
Transformarea Laplace