UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
FISICA I
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
DOCENTE: ABILIO CUZCANORIVAS
ALUMNO : WILDER JESUS LUNA LLANTIRHUAY
• Marco teórico
• Aplicación
• Conclusiones
MOMENTO ANGULAR
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 2
INTRODUCCIÓN
• En esta presentación realizaremos el estudio
teórico y practico de un dispositivo masa-cilindro-
resorte, en el cual se conserva el momento angular.
• Desarrollaremos el ejercicio de manera tal de
explicar con detalle los sucesos con diferentes
variables. Llegando a concluir las distintas
proporcionalidades entre las variables.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 3
Momento angular (L)
Definimos momento angular de una
partícula, para luego extender su
definición a un sistema de partículas o
rígido.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 4
Para una partícula
• L es el producto vectorial entre (vectores
posición y momento lineal respectivamente)
• L es perpendicular al plano definido por los
vectores y sus sentidos los indicamos
con la regla de la mano derecha.
L = r p = r v. m
r y P
r y P
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 5
• Él módulo de Lo se obtiene de la
siguiente ecuación:
• para un sistema de partículas L se obtiene
sumando la contribución de cada una de
las partículas
L = p r sen
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 6
• Cuando el torque externo es nulo (= 0) L
se conserva( ) .
• Para la resolución del ejercicio utilizamos
conceptos de energía definidos por la
siguiente ecuación.
Li = Lf
Ec to ta l = Ec ro tación + Ec t raslación I
2
m VCM
2
2 2PROYECTO MOMENTO ANGULAR 7
• Un cilindro de radio R y masa M que está inicialmente en reposo y montado sobre un eje horizontal que pasa por su centro de masa.
Este eje está apoyado sobre un par de guías horizontales sobre las cuales desliza sin fricción y unido a dos resortes de igual constante k sujetos por sus otros extremos a una pared lejana.
En el siguiente ejercicio aplicaremos lo
dado anteriormente
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 8
• Al cual se le lanza un trozo de arcilla de masa m y rapidez v siendo m << M.
• El trozo de arcilla impacta sobre el cilindro (quedando pegado luego a él) siguiendo una dirección perpendicular al eje y a una distancia d por encima del mismo (d < R).
• Dado que la masa m es pequeña, se puede suponer que la simetría del conjunto (masa y momento de inercia del conjunto masa+cilindro) es la misma que la del cilindro solo.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 9
Y más gráficamente …
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 10
Nuestros objetivos son:
1. Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.
2. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes.
3. Calcular la energía perdida durante la colisión.
4. Repetir las partes 1. y 3. suponiendo que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 11
1. Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.
• Y siendo:
y
• Es decir:
Entonces: y como en este caso : sustituyendo:
Como el ح ext = o Li = Lf
Lf = I . (k )
d.m.v = I .
= d.m.v I
I= M.R2
2
= 2 d.m.v
MR2
Li = d.m.v ( k )
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
12
2. Hallar la compresión máxima que pueden
alcanzar los resortes.
• instante después del choque
• Se conserva la energía mecánica
• ausencia de fuerzas no conservativas
• Sea:
• Sustituimos en (2):
Emi = Emf
Em i = I
2
+ MV2
2 2
I
2
+ MV2
2 2
(2)
2 2
mf 22 2
k x IE
2 2
22 2
k x I
2
Mx V
k
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Por el mismo supuesto la cantidad de
movimiento del centro de masas se conserva:
• Siendo:
y
• Entonces:
• Despejamos V:
• (Como m << M podemos suponer que (m+M) =
M)
• Sustituyendo V :
Pf = P i
Pi = m.v Pf = ( m + M ). V
= ( m + M ). V m.v
m.v V = (m+M)
2
mvx
kM
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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3. Para calcular la energía perdida durante la
colisión nos consideramos dos instantes:
• Antes de la colisión, donde la masa m se
encuentra a una altura d respecto por encima
del CM del cilindro.
• luego de la colisión, encontrándonos con el
movimiento combinado de ambos objetos.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 15
• Primer instante:
• Ug es despreciable:
• Segundo instante:
• Calculando la energía perdida:
• Sustituyendo en:
Em i = K + Ug
m.v
2
Em i = K = 2
Em f = Ktras + Krot M.V
2
I.2
Em f = + 2 2
Eperdida = Emi - Emf
m.v2
- MV2
- I2
Ep = 2
m.v V = M
d.m.v = I
2 2
12
P
mv m mdE
M I
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 16
• es igual a la calculada
anteriormente, dado que las magnitudes
para calcularla no se ven afectadas por el
cambio citado; siendo estas: m (masa de
la partícula), v (la velocidad de la misma),
d (la distancia de la partícula al centro de
masa de el cilindro) e I (la inercia).
4.Ahora suponemos la misma situación pero el eje
del cilindro no puede desplazarse sobre las guías.
f
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• Al suponer que el eje del cilindro no puede
desplazarse sobre las guías, el cilindro no
posee energía de traslación (su velocidad final V
es nula) y como consecuencia solo rota.
m.v2
- MV2
- I2
Ep = 2
V = 0
m.v2
- I2
Ep = 2 2
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 18
¿Como varía W en función de los parámetros?
2
2
MR
dmv
Mostraremos dichas rel. con
valores a modo de ej. en las
siguientes gráficas
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0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25
v
W
V (m/s) (Rad./s)
0 0
5 2,92
10 5,83
15 8,75
20 11,66
V
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 20
El siguiente gráfico tiene sentido físico solo
hasta = R.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
d
W
(m) (Rad./s)
0 0
0,05 (R/4) 2,08
0,1 (R/2) 4,17
0,15 (3R/4) 6,25
0,2 (R) 8,3
d
d
d
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 21
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
M
W
m M (Kg) W (Rad./s)
0,6 11,66
1,2 5,83
2 3,5
3 2,3
m
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 22
R (m) W (Rad./s)
0,1 33,33
0,2 5,83
0,3 3,7
0,4 2,08
0,5 1,33
R
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 23
¿Cómo varía la energía perdida en función del
parámetro de impacto?
Siendo la
energía perdida
MR
md
M
m2
221
2
2mvEp (d) =
Ep
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 24
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6
d
Ep
(m)
-0,447 0
0 4,59
0,447 0
Ep d
Ep
d
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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Conclusiones
• Cuando d = 0, la energía perdida es
máxima pues el cilindro no realiza un
movimiento rotacional. De esta manera
llegamos a que la energía rotacional que
el cilindro hubiera obtenido (si d fuera
mayor que cero) es entregada a los
resortes, y como consecuencia el rígido
solo se traslada.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR 26
• según el gráfico, cuando d = R no se pierde
energía.
• La energía rotacional
alcanza su valor máximo
No se produce traslación.
• Al no trasladarse el cilindro no brinda energía
a los resortes pues nunca llega a ellos.
El sistema no pierde energía
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- Bueche, Fundamento de Física I, Editorial
McGraw-Hill.
- Resnick, (y otros). Física. Volumen I,
Editorial: C.E.C.S.A. (5ta., Edición).
- Sears, (y otros). Física Universitaria,
Volumen I. Editorial: Pearson Educación.
- Volkeinsthéin (y otros). Problemas de Física
General. Editorial MIR.
- FISICA 1 Resnick- Halliday
- FÍSICA - La naturaleza de las cosas -
Volumen 1 - Lea y Burke.
Bibliografía
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Muchas Gracias….