MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
161
TOPIK 5 IDEA UTAMA MATEMATIK BERKAITAN KALKULUS
5.1 Sinopsis Topik 5 dalam kursus ini bertujuan mengkaji penghampiran π dan penentuan
luas bulatan dengan menggunakan cara Archimedes. Selain itu, empat
paradoks utama Zeno yang meliputi paradoks dikotomi, paradoks Achilles
dan kura-kura, paradoks anak panah, dan paradoks stadium juga diterokai.
Akhir sekali, lengkung kubik yang diklasifikasikan oleh Newton dikaji.
5.2 Hasil Pembelajaran Pada akhir tajuk ini, pelajar dijangka dapat:
menganggar nilai π menggunakan cara Archimedes;
menentukan luas bulatan menggunakan cara Archimedes;
menerangkan dan menyangkal paradoks Zeno; dan
menjelaskan jenis-jenis lengkung kubik Newton.
5.3 Kerangka Tajuk
Idea matematik berkaitan kalkulus
Penentuan luas
bulatan Archimedes
Paradoks Zeno Penghampiran π Archimedes
Lengkung kubik
Newton
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
162
5.4 Pendahuluan
Sekitar tahun 250 SM, ahli matematik Yunani Archimedes mengira nisbah
ukur lilit bulatan melalui diameternya. Suatu penentuan tepat ini, yang pada
hari ini dikenali sebagai nisbah telah lama menarik minat minat orang-
orang Greek purba untuk mencari perkadaran matematik yang tepat dalam
seni bina, muzik dan seni-seni yang lain. Penghampiran (pi) telah
diketahui selama lebih daripada 1000 tahun. Nilai Archimedes, bukan
sahaja tepat malah ia adalah satu teori yang pada asalnya dan bukan
pengiraan. Maka, nilai pada hari ini adalah asas daripada penghampiran
daripada teori Archimedes.
Archimedes
Archimedes of Syracuse (Greek: Ἀρχιμήδης; c. 287 SM – c. 212 SM) adalah
seorang ahli matematik, ahli fizik, jurutera dan sebagainya. Walaupun
tidak banyak yang diketahui tentang tentang beliau, beliau dianggap
sebagai salah seorang saintis yang terkemuka di zamannya. Antara karya-
karyanya yang terkenal dalam fizik ialah berkenaan prinsip hidrostatik, statik
dan penerangan prinip tuas dan takal. Beliau diberi pujian dalam
menghasilkan inovatif kepada mesin-mesin dan sebagainya. Dan antara
salah satu hasil karya beliau ialah teori pengampiran kepada .
Archimedes of Syracuse
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
163
5.4.1 Apa itu ?
Pi ialah pemalar matematik yang merupakan nibah kepada lilitan
b ulatan dengan garis pusat (diameter), lebih kurang sama dengan
3.14159. Pi diwakilkan dengan huruf greek iaitu sejak pertengahan abad
ke 18 dengan sebutan (/paɪ/).
Kegunaan
digunakan dalam beberapa rumus matematik seperti lilitan satu bulatan
jejari (C= 2 r), luas suatu bulatan berjejari r (A = r2), luas
permukaan sesuatu sfera berjejari (A = 4 r2) dan isipadu suatu sfera
berjejari r .
� �
5.4.2 Penghampiran oleh Archimedes
Kaedah Archimedes tentang penghampiran pi yang melibatkan
perimeter dan poligon dibataskan dengan ukur lilitan bulatan yang
diberikan. Oleh itu, daripada mengukur poligon pada suatu-suatu masa,
Archimedes menggunakan Teori Euclid untuk membentuk prosedur
numerikal untuk mengira perimeter bagi ukur liitan poligon sisi 2n, apabila
perimeter bagi sisi poligon diketahui.
Archimedes bermula dengan mengukur perimeter heksagon. Dia
menggunakan formula untuk mengira perimeter bagi poligon yang
mempunyai sisi 12, 24, 48 dan akhirnya 96. Dia kemudiannya mengulang
proses menggunakan poligon yang lain (selepas membangunkan
formula yang setara). Keunikan prosedur Archimedes ini ialah dia telah
menyingkirkan geometri dan menukarkannya kepada prosedur
aritmetik, sesuatu yang mungkin membuatkan Plato terkejut. Tapi ia
sebenarnya adalah amalan yang biasa dilakukan di timur terutamanya
sarjana China.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
164
Teori Kunci (The Key Theorem)
Teori kunci yang digunakan oleh Archimedes ialah dalam bab ‘Proposition 3’
dalam buku VI Euclid’s Elements. Teorinya ialah seperti berikut:
Jika sudut bagi segi tiga dibahagi dua sama, dan
garis lurusnya memotong sudut tapaknya juga,
maka segmen tapak tersebut akan mempunyai
nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga
tersebut. Dan jika segmen tapaknya mempunyai
nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga, garis lurus
yang bersambung dengan bahagian bucu akan
membahagi sudut segi tiga kepada dua.
Kaedah Archimedes
Archimedes membuat penisbahan dengan menggunakan poligon yang
dilukis di dalam (inscribed polygon) dan poligon yang dilukis di luar
bulatan (circumscribe polygon).
Poligon luaran Poligon dalaman
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
165
Pertamanya, Archimedes mengatakan bahawa kawasan luar bulatan bulatan
adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilakarkan di dalam.
Dalam rajah di bawah, heksagon sekata telah dilakarkan di dalam.
Untuk mencari nilai pi, archimedes mengambil poligon bersisi enam
(heksagon sekata) sebagai eksperimen awal. Heksagon awal terdiri
daripada enam buah segi tiga sama sisi.
Maka, kita keluarkan satu bahagian daripada segitiga tersebut.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
166
Daripada rajah di atas, kita dapat mengetahui bahawa OCB ialah segitiga
bersudut tegak. Kita juga tahu bahawa OB = OD = BD kerana segi tga OBD
ialah segi tiga sama kaki. BD kita wakilkan sebagai L. Jadi, BC = CD iaitu
Katakan Li ialah poligon dalaman (inscribed polygon), Maka, ungkapannya
boleh jadi seperti berikut:
Seterusnya, Archimedes turut melakar heksagon di luar bulatan
(circumscribed polygon) dan membuat pengiraan luas heksagon tersebut.
Sama juga seperti poligon dalaman, kita juga akan mengeluarkan satu
bahagian daripada poligon luaran.
Kemudian, kita katakan pula Lc sebagai poligon luaran (circumscribed
polygon), maka ungkapannya seperti berikut:
�
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
167
Maka, daripada kedua-dua persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa
Di mana,
N = bilangan sisi polygon
Setelah mendapatkan formula ini, kita akan mengambil heksagon sebagai
poligon percubaan yang pertama.
Berdasarkan hasil yang diperolehi dengan menggunakan poligon heksagon,
maka kita bahawa nilai ialah di antara 3.0 hingga 3.464. Untuk
meneruskan pencarian Archimedes menggunakan poligon dengan sisi yang
lebih banyak iaitu poligon bersisi 12, 24, 48 dan 96. Kesemua dapatan
direkodkan dalam jadual di bawah.
N
Purata
6 3.000 3.464 3.232
12 3.106 3.215 3.161
24 3.133 3.160 3.146
48 3.139 3.146 3.143
96 3.141 3.143 3.142
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
168
Nilai berdasarkan poligon yang mempunyai sisi sebanyak 96 memberikan
nilai 3.142 yang mana nilai ini adalah sangat tepat dengan nilai yang
digunakan pada hari ini.
5.4.3 Aplikasi (pi) dalam Konteks Sebenar
Piramid Besar Giza atau
dikenali sebagai Piramid Khufu
ialah yang tertua dan terbesar
di antara 3 piramid di Giza,
Mesir. Piramid ini juga
tersenarai dalam Tujuh
Keajaiban Dunia yang masih
bertahan hingga kini. Piramid
Giza ini merupakan struktur
binaan yang paling tinggi di
dunia pernah dibina oleh
manusia dalam 3800 tahun.
Ramai yang tidak tahu bahawa pembinaan piramid melibatkan penggunaan
di dalamnya. Piramid dibina dalam dimensi yang sangat istimewa.
Anggaran dimensi bagi piramid dikira oleh Petrie mengikut tinggalan batu
dalam tanah untuk batu-batu yang masih kekal di bahagian atas piramid
dengan sudut kecerunannya 51° 52' ± 2'. Penglibatan nilai pi dalam
dimensi utama menunjukkan ketepatan yang hampir kepada nilai pi.
Satu lagi kebetulannya ialah hubungan di antara tinggi segi tiga piramid
dengan separuh tinggi bagi sisi piramid, kerana ia wujud sebagai
Golden Section atau nisbah tertentu yang yang menyamai perkadaran, F =
(sqr(5)+1)/2 = 1.618 = 356:220. Nisbah ini 356:220 = 89:55 juga terkandung
dalam Siri Fibonaci 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
169
Pi juga digunakan ketika pembinaan terowong dijalankan. Keluasan dan
kestabilan lengkung yang ingin dibina haruslah dikira dengan teliti agar
tiada sebarang permasalahan berlaku. Ketinggian terowong yang berada di
dalam kawasan Genting Sempah yang mempunyai ukuran jejari sepanjang
26 kaki atau 8.7meter. Oleh itu, jurutera yang membina lakaran tersebut
harus mengaplikasikan penggunaan dalam menentukan jumlah
keluasan terowong yang diperlukan bagi pembinaan terowong ini. Nilai pi
digunakan bagi mendapatkan ukuran lengkung yang tepat bagi memastikan
kesemua kenderaan dapat melaluinya dalam keadaan selamat.
Terowong
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
170
Selain itu, penggunaan juga dapat diaplikasikan dalam bidang
pemakanan iaitu semasa pembuatan pizza. Contohnya, pada jamuan
menyambut Hari Christmas yang lalu, seorang pembuat pizza telah
mendapat tempahan sebanyak 50 keping pizza. Pelanggannya meminta
pembuat pizza itu meletakkan keju pada sekeliling pizza yang ditempah.
Oleh itu, dalam menentukan bilangan keju yang diperlukan untuk
tempahan tersebut, pembuat pizza itu perlu mengetahui ukur lilit bagi
sekeping pizza. Kita anggarkan sekeping pizza yang berdiameter 10 cm dan
setiap satu daripadanya memerlukan 2 keping keju. Oleh itu, pembuat pizza
tersebut harus mengaplikasikan penggunaan dalam menentukan jumlah
ukur lilit bagi kesemua pizza dan berapakah bilangan keju yang
diperlukan bagi memuaskan hati pelanggannya.
Pizza
Nilai juga banyak diaplikasikan dalam bidang sukan. Ia digunakan
semasa penyediaan ukuran padang dan gelanggang dilakukan. Ia bukan
sahaja digunakan pada peringkat antarabangsa sahaja bahkan juga dalam
pertandingan yang kecil seperti di peringkat sekolah. Antara contoh
penggunaan nilai dalam bidang sukan ialah semasa menyediakan
ukuran bulatan tengah bagi gelanggang bola jaring. Ukuran piawai
diameter bagi bulatan tengah tersebut ialah 96 cm. Dengan menggunakan
nilai kita dapat menentukan ukur lilit bulatan tersebut untuk membuat
lakaran pada gelanggang bola jaring. Tambahan lagi, bagi melakar
kawasan penjaga gol untuk kedua-dua pihak juga kita perlu menggunakan
nilai kerana kawasan tersebut menggunakan bentuk semi bulatan.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
171
Gelanggang bola jaring
Selain diaplikasikan untuk melakar gelanggang bola jaring, nilai juga
dapat diaplikasikan untuk gelanggang lain seperti bola keranjang, bola
sepak dan sepak takraw. Ia juga diaplikasikan dalam menentukan ukur
lilit sebiji bola dalam pertandingan bola sepak. Selain itu, dalam
menyediakan lensa kamera juga, kita akan mengaplikasikan nilai .�
Sebagai contoh, dalam pembuatan lensa kamera Nikon kita perlu
mengetahui ukur lilit lensa tersebut dengan menggunakan diameter piawai
yang telah ditetapkan iaitu 4.6 mm – 23.0 mm. Dengan mengetahui ukur lilit
lensa kamera, pembuat kamera tersebut dapat menentukan saiz
kamera yang sesuai digunakan,
4.6 – 23.0 mm
Lensa kamera
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
172
Dalam bidang pembinaan dan automobil pula, nilai banyak
diaplikasikan untuk menentukan saiz sport rim kereta, panjang jejari tayar
basikal dan saiz getah paip. Diameter paip yang biasa digunakan di
rumah ialah 13 mm, 20 mm dan 25 mm. Oleh itu, pengeluar getah paip perlu
mengambil kira diameter paip yang biasa digunakan di rumah bagi
menghasilkan getah paip yang sesuai dengan setiap jenis paip.
Contohnya, pengeluar getah paip ingin menghasilkan getah paip untuk
paip yang berdiameter 13 mm. Oleh itu, pengeluar getah paip perlu
mengetahui ukur lilit paip tersebut menggunakan nilai . �Maka, diameter
getah paip yang perlu dihasilkan ialah 13 mm.
Paip dan getah paip
Di samping penghasilan getah paip, kita juga dapat melihat pengguna
dalam menentukan panjang jejari yang diperlukan untuk menghasilkan tayar
basikal yang mampu menampung berat penunggang. Sebagai contoh,
sebuah tayar basikal mempunyai ukur lilit sepanjang 18 inci. Seorang
pembuat tayar ingin menghasilkan jejari-jejari besi untuk melengkapkan
sebuah tayar basikal tersebut. Oleh itu, pembuat tayar itu perlu
menentukan panjang satu jejari besi menggunakan nilai . Dengan
menggunakan ukur lilit tayar basikal tersebut, maka panjang satu jejari besi
itu ialah 18 /2 inci.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
173
Tayar basikal dan jejarinya
Aplikasi nilai juga boleh didapati dalam menghasilkan sebuah kubah
masjid. Sebagai contoh, pembinaan masjid Tooba di Karachi, Sindh,
Pakistan adalah masjid ke-18 terbesar di dunia yang menjadi ikon
seni bina moden dan memberangsangkan. Jurutera yang membina kubah
bagi masjid ini, haruslah terlebih dahulu mengetahui ukuran diameter
yang dikehendaki bagi mendapatkan keluasan kubah masjid yang bakal
dibina. Diameter yang telah ditetapkan adalah 65 m (212 kaki). Oleh itu,
jurutera yang membina lakaran tersebut harus mengaplikasikan penggunaan
dalam menentukan jumlah keluasan kubah yang harus dibina bagi
pembinaan masjid ini. Nilai pi digunakan bagi mendapatkan ukuran
lengkung yang tepat.
Kubah masjid
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
174
5.5 Penentuan Luas Bulatan oleh Archimedes
Masalah menentukan luas bagi bulatan pernah dianggap sebagai satu
cabaran matematik yang hebat. Cabaran-cabaran ini disahut oleh banyak
ahli matematik dari zaman matematik Babylon hinggalah kepada zaman ahli
matematik Greek.
Permasalahan ini diteruskan oleh Archimedes (287-212 SM) dengan
menggunakan kaedah kuasa dua bulatan (squaring of circle). Archimedes
menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon di
dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidak terhinggaan (infinity).
5.5.1 Prinsip Asas Archimedes dalam Bulatan
Dalam menghuraikan masalah ini, Archimedes menekankan kepada
beberapa prinsip asas dalam bulatan. Pertama, luas poligon dengan sisi n (n-
gon) yang dilukis di dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi ( )
apabila nilai n meningkat.
Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri luas bulatan
apabila bilangan sisi poligon meningkat. Kemudian, perimeter poligon
semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.
5.5.2 Penentuan Luas Bulatan
Seperti yang dinyatakan di atas, Archimedes menggunakan kaedah
squaring the circle iaitu kaedah yang mengenalpasti poligon yang menyamai
luas bulatan dengan jejari (r) tertentu. Untuk percubaan pertamanya,
Archimedes menggunakan poligon dalaman segi empat dalam bulatan.
Segi empat sama yang dilukis di dalam (inscribed) bulatan. Ini bermakna segi
empat tersebut adalah sepadan dan bucunya menyentuh bulatan.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
175
Berdasarkan rajah di atas, AC ialah diameter kepada bulatan dan panjang AC
ialah 2r. Oleh kerana ABC merupakan segi tiga sama kaki, maka panjang
AB ialah sama dengan BC. Dengan menggunakan AC sebagai hipotenus
(2r), panjang AB dan BC dapat ditentukan seperti berikut:
Jadikan AB = BC = a, maka nilai a dicari dengan menggunakan teori
Phytagoras.
a + a = (2r)2
2a2 = 4r2
a2 = 2r2
a = √2 r
Didapati panjang AB dan BC ialah √2r. Maka, luas segi empat A ialah:
Luas = panjang x lebar
= √2r x √2r
= 2r2
Luas segi empat yang kita dapatkan ialah 2r2. Namun begitu, ianya masih
belum dapat menghampiri luas bulatan yang sebenar. Jadi, Archimedes
menggunakan poligon yang lain dalam percubaan seterusnya. Poligon yang
dipilih ialah poligon sisi 6 ataupun heksagon. Beliau percaya bahawa
percubaan kali ini akan mendapat keputusan yang lebih baik daripada
sebelumnya.
2 2
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
176
Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksagon,
Archimedes membahagikan heksagon kepada enam bahagian segi tiga.
Luas heksagon boleh didapati setelah luas satu segi tiga berjaya diperolehi.
Berdasarkan rajah di atas, panjang AB = r. Jadi pengiraan bagi
menentukan tinggi satu segi tiga ialah seperti berikut. Kita wakilkan
tingginya sebagai h.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
177
Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga h, maka luas heksagon di dalam
bulatan dapat ditemukan. Maka, luas heksagon ialah:
Berdasarkan persamaan di atas, maka luas heksagon ialah 2.59r2. Nilai yang
diperoleh dengan menggunakan luas heksagon adalah lebih baik berbanding
luas segi empat sama, ia sebenarnya masih belum menghampiri luas
sebenar bulatan. Hal ini mendorong Archimedes untuk meneruskan
percubaan ketiga. Beliau telah mencuba dengan menambahkan sisi poligon
untuk mendapatkan luas bulatan yang paling tepat.
Maka, luas bagi poligon sisi n adalah n kali luas satu segi tiga seperti mana di
bawah.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
178
Apabila bilangan n-sisi bertambah,
(nb) ialah perimeter poligon, di mana apabila n semakin meningkat, ia
menghampiri lilitan bulatan, iaitu 2 r. Archimedes telah membuat
pencerapan bahawa sekiranya poligon tersebut mempunyai sisi n, maka
setiap segitiga dikira sebagai ½ daripada lilitan bulatan. Selain itu, tinggi
segi tiga, h juga menghampiri jejari bulatan, r.
Semakin bertambah bilangan segi tiga, luas poligon akan
menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Sehubungan dengan itu,
Archimedes telah dapat menentukan luas bulatan seperti berikut:
Dalam menentukan luas bulatan, ia melibatkan nilai tetap ,� yang mana
wujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan.
5.5.3 Aplikasi Luas Bulatan dalam Konteks Sebenar
Pernahkah anda masuk ke kolam renang? Adakah anda tahu bahawa
kolam renang menggunakan formula luas dalam menentukan keluasannya?
Bagi kolam renang yang tidak berbentuk petak, formula yang
digunakan ialah formula luas bulatan kerana ia melibatkan nilai pi.
1
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
179
Seperti mana yang anda semua pernah lihat, kolam renang mempunyai
pelbagai bentuk dan bentuk-bentuk ini sangat mempengaruhi luasnya.
Ahli matematik telah lama menggunakan konsep luas dalam
membentuk satu kolam renang berdasarkan kepada kriteria yang
mereka mahukan.
Pengaplikasian luas bulatan dalam kehidupan seharian adalah amat
penting. Salah satu contoh adalah penghasilan botol minuman.
Sebagai yang kita ketahui, kebanyakan penutup botol minuman berbentuk
bulat. Jadi, penggunaan luas bulatan digunakan dalam menentukan saiz
penutup botol yang berpadanan dengan muncung botol tersebut.
Perkara ini perlu dititik beratkan kerana sekiranya luas bulatan yang
dikira tidak tepat, kesannya penutup botol tersebut tidak dapat ditutup
dengan rapat. Oleh itu, pengusaha kilang perlu mengetahui terlebih
dahulu luas bulatan bagi muncung botol tersebut.
Botol minuman
r Luas bulatan penutup botol = πr²
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
180
Selain itu, pengiraan bagi luas bulatan juga digunakan dalam membina
gelanggang bola keranjang. Ia diperlukan bagi mendapatkan ukuran yang
lebih tepat terutamanya ukuran pada bulatan tengah atau ‘centre circle’.
Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi sebuah gelanggang bola
keranjang.
Pelan gelanggang bola keranjang
Manakala, bagi para saintis yang mengkaji struktur bumi telah
mengaplikasikan penggunaan formula bagi luas permukaan sfera yang telah
diterbitkan daripada luas bulatan ini dalam pembuatan glob. Rumus yang
telah digunakan bagi penghasilan glob ini ialah
Luas permukaan sfera = 4 x (luas bulatan)
= 4 x ( r² �) �
= 4 r²
Pengiraan luas permukaan sfera dalam pembuatan glob ini adalah
bertujuan bagi menghasilkan replika bumi yang menghampiri dengan
ukuran yang sebenar. Oleh itu, setiap glob yang dihasilkan mempunyai skala
yang sama.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
181
Glob
5.6 Paradoks Zeno
Hampir kesemua yang kita tahu tentang Zeno of Elea (seorang ahli falsafah
Greek) boleh didapati dalam buku Plato yang berjudul Permenides. Dari
situ kita belajar bahawa Zeno berumur dalam lingkungan 40 tahun yang
mana Socrates masih seorang yang muda (ada yang mengatakan sekitar
20 tahun). Socrates lahir dalam tahun 469 SM, maka boleh dianggarkan
bahawa Zeno lahir pada sekitar tahun 495 hingga 480 SM. Zeno sangat
rapat dengan Parmenides dan kerana itu Zeno menulis buku ‘Paradoks’
yang mempertahankan falsafah Parmenides.
Zeno of Elea
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
182
Paradoks Zeno
Zeno mengusulkan sembilan paradoks, iaitu satu set masalah falsafah yang
mencabar bukti daripada apa yang kita lihat, dengar dan alami. Dalam
perkataan lain, paradoksnya mencabar bukti hasil daripada pemerhatian
deria kita. Zeno percaya bahawa kepelbagaian dan perubahan adalah salah,
dan bahawa sebenarnya tidak ada pergerakan. Pergerakan bagi Zeno hanya
merupakan suatu ilusi. Paradoksnya sangat membingungkan ahli
matematik selama berabad-abad sehinggalah pembangunan Cantor
(dalam tahun 1860 dan 1870) tentang teori set tidak terhingga yang mampu
menyelesaikan ‘masalah’ paradoksnya.
Paradoks Zeno memfokuskan kepada perkaitan berasingan kepada
berterusan (discrete to continuous), satu isu yang menjadi jantung
kepada matematik. Secara umumnya, paradoks bermaksud pernyataan
yang kelihatan benar atau logik tetapi sebenarnya bercanggah atau tidak
logik. Zeno percaya bahawa sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak
boleh berubah dalam realiti. Empat paradoks Zeno yang lebih terkenal akan
dikemukakan dalam bahagian seterusnya.
5.6.1 Paradoks Dikotomi
“Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan.
Pertamanya dia harus menempuh separuh daripada perjalanannya Setelah
itu, dia mesti menempuhi satu perempat, satu perlapan, satu perenam belas,
satu pertiga puluh dua dan seterusnya, perjalanan yang baki. Demikian
hingga jumlah menajdi tidak terhingga. Oleh kerana mustahil
melakukan perjalanan sebanyak tidak terhingga, maka dia tidak akan
sampai ke tempat yang ditujukannya.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
183
Paradoks
Pernyataan : Pergerakan adalah mustahil.
Bukti : Jika objek boleh dibahagikan, maka ia sebenarnya tidak
wujud.
Sebelum objek boleh bergerak dengan jarak yang diberikan, ianya mesti
melalui separuh daripada jarak tersebut. Untuk bergerak separuh daripada
jarak tersebut, ianya mesti bergerak suku daripada jarak dan seterusnya
sehingga tidak terhingga (infiniti) iaitu proses pembahagian separuh
tidak pernah sampai hingga ke penghujung (tidak terhad/infinite) kerana
sentiasa ada jarak yang perlu dibahagikan separuh tidak kira betapa kecil
jarak itu.
Dengan adanya pembahagian separuh menyebabkan tiada jarak yang
boleh digerakkan di dalam jumlah masa yang terhad (finite). Oleh itu ianya
kelihatan kita tidak boleh bergerak pada jarak yang sebenar dan pergerakan
adalah mustahil.
Contoh:
Ilustrasi paradox dikotomi Zeno
Dalam rajah di atas menggambarkan bagaimana terdapat banyak
segmen perjalanan di antara dua titik (0-100). Yang mengganggu Zeno
di sini bukan pergerakannya, tetapi bagaimana ketidakterhinggaan itu
sangat menyusahkannya. Dalam contoh di atas Zeno mengetengahkan
bahawa ‘apabila jumlah segmen yang harus ditempuhi sejumlah tidak
terhingga, maka gerak dari satu tempat ke tempat yang lain adalah
mustahil.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
184
Para ahli matematik dan falsafah moden telah mengemukakan hujah yang
dapat menyangkal paradoks Zeno ini:
a) urutan 1, ½, ¼, ⅛, dan lain-lain mempunyai had kepada 0.
b) urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had kepada 1.
c) Apabila kita menulis 0.99999...., ianya bermaksud had nombor 9
adalah sehingga infiniti, maka 0.9999... ≈ 1
d) Dalam erti kata yang lain, urutan yang sebenarnya akan menghampiri
had yang kita kehendaki.
Jadi realitinya, jarak yang terhad memerlukan jumlah masa yang terhad
untuk bergerak (jarak boleh digerakkan pada masa yang terhad).
5.6.2 Paradoks Achilles dan Kura-Kura
Paradoks ini sangat terkenal dalam sejarah Yunani kerana pada waktu itu,
mereka gagal untuk menyangkal paradoks ini walaupun pada waktu ini
tidak terlalu sulit untuk dijelaskan. Namun, para ahli falsafah dan
matematik mengambil masa selama ribuan tahun untuk menjelaskannya.
Achilles merupakan seorang pelumba terkenal di zaman Yunani yang ingin
berlumba dengan seekor kura-kura yang lambat. Achilles digambarkan
sebagai seorang pahlawan yang hebat pada ketika itu sehingga tiada siapa
yang dapat menandinginya.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
185
Achilles
Paradoks
Pernyataan : Ruang dan waktu adalah berterusan.
Bukti : Achilles tidak akan dapat memintas kura-kura.
Ilustrasi paradox zeno berkenaan Achilles dan kura-kura
Berdasarkan paradoks ini, Achilles tidak akan dapat mengalahkan kura-
kura yang bergerak terlebih dahulu. Zeno ingin membuktikan bahawa, ruang
dan waktu adalah berterusan . Jika ada pergerakan, pergerakan itu
adalah seragam. Di sini, Zeno membahagikan jarak Achilles kepada
nombor yang infiniti.
Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu segmen tertentu boleh
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
186
dibahagikan kepada beberapa jarak sehingga ke infiniti. Dengan itu, Zeno
membahagikan jarak perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian
kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada masa yang terhad.
Kedudukan Achilles dan kura-kura dalam perlawanan
Berikut ialah hujah-hujah yang diketengahkan oleh ahli falsafah dan
matematik dalam menyangkal paradoks Achilles dan kura-kura ini.
Hujah 1:
Untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti melalui jarak yang tidak terhad:
100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + ….
Walaubagaimanapun, jumlah jarak tidak terhad merupakan satu jumlah jarak
yang terhad.
Bukti:
a = 100 m, r = ½, n = ∞
maka kita menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak
terhad.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
187
= 200 m
Justeru, jumlah jarak tidak terhad (yang dikatakan oleh Zeno) sebenarnya
adalah merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Paradoks ini dikeluarkan
sebelum janjang geometri (geometric series) ditemukan. Jadi apabila
adanya janjang, ia telah menyangkal paradoks Zeno ini.
Hujah 2:
Realitinya, ruang dan waktu tidak berubah-ubah
5.6.3 Paradoks Anak Panah
Paradoks anak panah ini membantah idea bahawa ruang atau masa itu
berasingan (discrete). Zeno berpendapat bahawa satu objek yang sedang
terbang, selalu menepati ruang yang sama besarnya dengan objek tersebut.
Paradoks
Pernyataan : Pergerakan adalah mustahil.
Bukti : Semua objek berada dalam keadaan pegun dan tidak
bergerak.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
188
Masa terdiri daripada ketika atau waktu sekarang (moment of now). Satu
anak panah sedang dalam penerbangan, pada mana-mana suatu ketika, ia
tidak dapat dibezakan dengan satu anak panah yang dalam keadaan rehat
(pegun) pada kedudukan yang sama. Persoalannya pada ketika tersebut,
adakah anak panah tersebut bergerak atau dalam keadaan rehat (pegun)?
Jika anak panah itu tidak bergerak, ia mestilah dalam keadaan rehat
(pegun) dan tidak dalam penerbangan.
Ilustrasi paradox anak panah
Pada 1 saat ini, anak panah ini dalam keadaan pegun (tidak bergerak). Pada
masa ini juga tiada jarak direkodkan kerana tiada pergerakan.
Kesimpulannya, jika tiada jarak pada setiap saat, bila anak panah itu
bergerak (berada dalam penerbangan).
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
189
Contoh:
Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari busurnya ianya sebenarnya
tidak bergerak melainkan setiap saat berhenti. Di setiap tempat anak
panah itu berada, sebenarnya anak panah itu sedang berhenti dan diam
disitu. Jadi, panah yang sedang terbang itu sebenarnya tidak bergerak
melainkan dalam keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja bergerak.
Hujah:
Katakan anak panah yang berterbangan bergerak pada jarak, d = 20 meter
dalam masa, t = 4 saat.
Halaju anak panah:
= 5 ms-1
Anak panah yang berterbangan pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai:
Jarak, d = 0 meter seperti yang dikatakan oleh Zeno sebenarnya
mempunyai jarak, d yang boleh dikira.
d = vt
= (5 ms-1)(1 s)
= 5 m
Ini membuktikan bahawa terdapat pergerakan pada sesuatu ketika
(sekarang) di mana pada ketika tersebut sebenarnya anak panah sedang
bergerak. Realitinya, ruang dan masa adalah berasingan (descrete).
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
190
5.6.4 Paradoks Stadium
Paradoks ini dikenali juga sebagai paradoks pergerakan barisan (the moving
rows). Paradoks ini adalah paradoks yang paling mustahil di antara semua
paradoks Zeno. Paradoks ini melibatkan kedudukan baris selari (seperti di
stadium) dan divisualisasikan sebagai pergerakan tiga baris selari, A, B, dan
C.
Pernyataan : Ruang dan masa boleh dibahagikan hanya dengan jumlah
yang pasti
Bukti : Separuh daripada masa adalah sama dengan dua kali masa.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
191
Hujah:
Penyelesaian matematik untuk paradoks ini adalah:
Halaju B menuju A = S ms -1
Halaju C menuju A = S ms -1
Halaju C menuju B = 2S ms -1
Jarak untuk menghabiskan pergerakan = 2D m (2 kereta/unit)
Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan
Realitinya, ruang dan masa tidak boleh dibahagikan.
5.7 Penyiasatan Lengkung Kubik Oleh Newton
Isaac Newton
Dilahirkan pada tahun 1642.
Pada umur 18 tahun telah memasuki Universiti Cambridge.
Di sinilah Newton mula belajar pelbagai bidang ilmu termasuk Matematik
Suka melakukan penyelidikan sendiri dan akhirnya tercipta pelbagai
teori yang kemudian mampu mengubah dunia
Antaranya menghasilkan 72 jenis lengkung kubik
Lengkung Kubik
Isaac Newton merupakan orang pertama yang menjalankan penyiasatan
yang sistematik terhadap lengkung kubik (kuasa tiga). Persamaan umum
lengkung kubik adalah;
Daripada persamaan ini, Newton telah mencipta 72 jenis lengkung kubik.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
192
Daripada persamaan umum, Newton telah mengkategorikannya kepada
empat jenis lengkung:
Jenis 1: Witch of Agnesi
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
193
Jenis 2: Newton’s Trident
Jenis 3: Newton Diverging Parabolas
Jenis 4: Cubic Parabolas
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
194
Plane curves. (a) Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid.
(d) Deltoid. (e) Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli.
(g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve.(j) Fermat’s spiral
(k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid.
MTE3143 APLIKASI MATEMATIK
195
Alexis Claude Clairaut telah menjalankan penyiasatan terhadap Jenis III
(Newton Diverging Parabolas) dengan memperkenalkan permukaan
dalam ruang tiga dimensi.
Lengkung kubik diaplikasikan dalam lukisan yang dihasilkan oleh St.
James sehinggakan lukisan tersebut kelihatan secara 3-dimensi.
196