TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU
PREDDIPLOMSKI STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE
Ivan Herceg
Modeliranje i upravljanje sustavom stabilizacije
kugle na gredi
ZAVRŠNI RAD br. 3
Zagreb, srpanj, 2014.
TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU
PREDDIPLOMSKI STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE
Ivan Herceg
JMBAG: 0035168461
Modeliranje i upravljanje sustavom stabilizacije
kugle na gredi
ZAVRŠNI RAD br. 3
Zagreb, srpanj, 2014.
Ovim putem želim se zahvaliti mentoru dr. sc. Toniju Bjažiću, što je prihvatio
mentorstvo za ovaj rad, te što je svojom pristupačnošću, pružanjem korisnih savjeta i
nesebičnim pružanjem znanja pomogao pri izradi istog.
Konačno zahvaljujem se roditeljima, sestri, cijeloj obitelji i prijateljima koji su
me tokom cijelog studija bodrili i bili mi podrška.
SADRŽAJ
POPIS OZNAKA ......................................................................................................................................... 5
1. UVOD ................................................................................................................................................ 6
2. MATEMATIČKI MODEL KUGLE .......................................................................................................... 7
3. MATEMATIČKI MODEL GREDE ........................................................................................................... 12
4. IZRADA MATEMATIČKOG MODELA ELEKTROMOTORNOG POGONA ................................................ 15
5. PROJEKTIRANJE REGULATORA ........................................................................................................... 19
5.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA MOMENTA ISTOSMJERNOG MOTORA S NEZAVISNOM I
KONSTANTNOM UZBUDOM ............................................................................................................... 19
5.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA BRZINE VRTNJE ISTOSMJERNOG MOTORA S NEZAVISNOM I
KONSTANTNOM UZBUDOM ............................................................................................................... 23
5.3. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE ISTOSMJERNOG MOTORA S NEZAVISNOM I
KONSTANTNOM UZBUDOM ............................................................................................................... 30
5.4. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE .......................................................................... 32
5.4.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE DT1 ........................................................... 34
5.4.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE PDT1 ......................................................... 39
6. ZAKLJUČAK...................................................................................................................................... 49
LITERATURA ........................................................................................................................................ 50
SAŽETAK ............................................................................................................................................. 51
SUMMARY .......................................................................................................................................... 52
ŽIVOTOPIS .......................................................................................................................................... 53
POPIS OZNAKA
Oznaka Jedinica Opis
Polumjer kugle
Masa kugle
Inercija kugle
Pozicija kugle u odnosu na ishodište
Ubrzanje Zemljine sile teže
Sila trenja kugle
Brzina kugle
Akceleracija kugle
Kutna brzina kugle
Kutno ubrzanje kugle
Komponenta gravitacijske sile u smjeru osi x
Sila inercije kugle
Moment inercije kugle
Moment kugle
Duljina grede
Masa grede
Inercija grede
6 | P a g e
1. UVOD
Ovaj završni rad odabran je zbog zanimljivosti upravljivih i samoupravljivih
strojeva. Jedan od njih je i samobalansirajući robot koji se sam održava samo na dva
kotača. Budući da na Preddiplomskom stručnom studiju mehatronike studenti slušaju
kolegije koji se dotiču samo pojedinih dijelova takvih uređaja, prirodno se nameće
potreba za integracijom tako stečenih znanja u jedan cjeloviti mehatronički sustav. Za
temu završnog rada odabran je sličan uređaj, balansiranje kugle na gredi. Takav
školski primjer mehatroničkog sustava bi svakako bio pogodan da budući studenti
lakše usvajaju temeljna znanja na pojedinačnim predmetima studija mehatronike.
Za razliku od robota koji se balansira oko ravnotežnog položaja, problem koji
se javlja kod kugle na gredi je ako na kuglu u ravnotežnom položaju u nekom trenutku
djeluje neki poremećaj, prstom ju pomaknemo iz ravnotežnog položaja, motor bi
trebao uz pomoć senzora i regulatora kuglu ponovo vratiti u početni položaj. Kako bi
to ostvarili moramo poznavati sve parametre sustava regulacije (motora, kugle i
grede), fizikalne pojave i njihove matematičke jednadžbe kako bi pomoću Matlaba
napravili matematički model cijelog sustava te pomoću Matlaba i stečenog znanja
projektirali regulator pozicije kugle. U ovom radu biti će opisan sustav regulacije ali
samo simulacija (matematički model), koja se kasnije može u nekom drugom radu
realizirati u fizičkom smislu.
U drugom poglavlju opisan je matematički model kugle, u trećem matematički
model grede, a u četvrtom matematički model motora. U petom poglavlju objedinjeni
su matematički modeli kugle, grede i motora te su projektirani regulatori momenta,
brzine vrtnje i pozicije istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom, te
konačno položaja kugle na gredi. Zaključna razmatranja dana su u šestom poglavlju,
a korištena literatura u posljednjem poglavlju ovog rada.
7 | P a g e
2. MATEMATIČKI MODEL KUGLE
Kako bi pomoću Matlaba mogli napraviti matematički model kugle [6] moramo
poznavati sve parametre kugle i kako se kugla ponaša na gredi pod nekim kutom
na udaljenosti od sredine grede.
Sl. 2.1. Sustav stabilizacije kugle na gredi
8 | P a g e
Sl. 2.2. Model kugle i grede
Moment inercije kugle određen je izrazom:
gdje su:
polumjer kugle
masa kugle
Na slici 2.3. vidimo sile koje djeluju na kuglu na gredi pod kutom . U daljnjem tekstu
biti će ispisane sve jednadžbe [2] svih sila i momenata na slici.
9 | P a g e
Sl. 2.3. Sile koje djeluju na kuglicu
Brzina kugle
Sila ubrzanja kugle
Komponenta gravitacijske sile u smjeru osi x
Moment inercije kugle
Sila trenja kugle
10 | P a g e
Suma svih sila u osi x jednaka je:
( ) (
)
(1)
Na slici 2.4. vidimo matematički model u Matlabu opisan jednadžbom (1) i njezin
odziv na jediničnu skokovitu pobudu na slici 2.5.
Simulacija prestaje kad kugla prijeđe polovicu grede, kugla ima fizičko ograničenje od
0.2 m u oba smjera od ishodišta grede.
11 | P a g e
Sl. 2.4. Matematički model kugle u Matlabu
Sl. 2.5. Odziv kugle na jediničnu skokovitu pobudu
12 | P a g e
3. MATEMATIČKI MODEL GREDE
Kako bi pomoću Matlaba mogli napraviti matematički model grede moramo
poznavati sve parametre grede i kako se greda ponaša kada se vrti oko ishodišta
0. Na slici 3.1 vidimo sve momente i sile koje djeluju na gredu.
Sl. 3.1. Sile i momenti koji djeluju na gredu
Moment inercije grede određen je izrazom:
gdje su:
duljina grede
masa grede
13 | P a g e
Matematički model grede dobije se tako da se izjednače svi momenti oko ishodišta 0
sa slike 3.1. Iz toga slijede iduće jednadžbe:
(2)
te se iz jednadžbe (2) napravi model u Matlabu, gdje su:
moment motora
moment tereta
moment sile grede
moment sile motora
komponenta gravitacijske sile u smjeru osi x
14 | P a g e
Sl. 3.2. Matematički model grede u Matlabu
15 | P a g e
4. IZRADA MATEMATIČKOG MODELA ELEKTROMOTORNOG POGONA
Za izradu matematičkog modela elektromotornog pogona [3],[4] odabran je
istosmjerni motor s nezavisnom i konstantnom uzbudom, GR 63x55, 100W.
Parametri motora:
Nazivni napon
Nazivna brzina vrtnje
Nazivni moment
Naziva struja
Struja motora bez opterećenja
Brzina vrtnje praznog hoda
Inercija rotora
Mehaničko ograničenje brzine vrtnje
Induktivitet armature
Konstanta motora
16 | P a g e
Otpor armature
-
Mn K2
Nazivna snaga
Koeficijent viskoznog trenja
Sl. 4.1. Ovisnost struje o moment (crna), ovisnost brzine vrtnje o momentu
(plava),ovisnost korisnosti motora o momentu (zelena) [9]
U ovom potpoglavlju izradit će se simulacijski model nereguliranog
istosmjernog elektromotornog pogona s nezavisnom i konstantnom uzbudom
napajanog iz tranzistorskog pojačala snage koji će se kasnije koristiti za projektiranje
regulatora momenta, brzine vrtnje i pozicije motora.
17 | P a g e
Sl. 4.2. Model nereguliranog istosmjernog
elektromotornog pogona s nezavisnom i konstantnom uzbudom
gdje su:
– pojačanje choppera
– vremenska konstanta choppera
Na slici 4.3. vidi se odaziv sustava modela sa slike 4.2. na jediničnu skokovitu
pobudu na ulazu s jediničnim skokovitim momentom tereta koji počinje djelovati u
petoj sekundi. Sa te slike može se zaključiti da se do pete sekunde motor vrtio u
18 | P a g e
jednu stranu te kad je u petoj sekundi počeo djelovati moment tereta motor se
počeo okretati u suprotnom smjeru. Kako bi zadržali isti smjer vrtnje te isti broj
okretaja trebamo imati regulatore momenta i brzine vrtnje, koji će biti opisani u
idućem poglavlju.
Sl. 4.3. Odziv brzine vrtnje na jediničnu skokovitu promjenu referentne veličine i
jediničnu promjenu momenta tereta u petoj sekundi
19 | P a g e
5. PROJEKTIRANJE REGULATORA
U 5. poglavlju obradit će se projektiranje regulatora momenta, brzine vrtnje i
pozicije elektromotornog pogona s konstantnom i nezavisnom uzbudom te regulator
pozicije kugle. Svaki regulator biti će opisan u posebnom potpoglavlju.
5.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA MOMENTA ISTOSMJERNOG MOTORA S
NEZAVISNOM I KONSTANTNOM UZBUDOM
Za projektiranje regulatora momenta potreban je matematički model motora
(slika 4.2), povratna veza (senzor) opisana PT1 članom i PI regulator, slika 5.1.
Parametri strujnog senzora određeni su izrazima:
Sl. 5.1. Matematički model regulacije momenta istosmjernog elektromotornog pogona
s nezavisnom i konstantnom uzbudom
20 | P a g e
Za analitičko određivanje PI regulatora potrebno je regulacijski krug, koji je
četvrtog reda, a to vidimo po broju vremenskih konstanti u nazivniku, aproksimirati
sustavom drugog reda. To se postiže zanemarivanjem mehaničkih veličina, koje se
mijenjaju puno sporije od električnih veličina (struja armature) i zanemaruje se utjecaj
protuelektromotorne sile E koja se linearno mijenja s brzinom vrtnje. Dodatno
sniženje postiže se odabirom integralne vremenske konstante regulatora tako da
bude jednaka najvećoj vremenskoj konstanti sustava, a to je (to se zove
projektiranje regulatora po tehničkom optimumu) i pribrojavanju vremenske konstante
choppera vremenskoj konstanti strujnog senzora jer je puno manja od .
Tako se dobiva pojednostavljena blokovska shema koja je drugog reda, slika
5.2.
Sl. 5.2. Pojednostavljena blokovska shema sustava regulacije momenta istosmjernog
motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom
21 | P a g e
Prema slici 5.2 lako se izračuna prijenosna funkcija ( )
( ), a to se radi pomoću
algebre blokova [7].
( )
( )
Koeficijent pojačanja otvorenog kruga s regulatorom struje
.
Usporedbom parametara nazivnika s parametrima nazivnika opće prijenosne funkcije
PT2 elementa dobiju se relacije:
Sređivanjem te dvije formule dobije se formulu za :
gdje je ζ – relativni koeficijent prigušenja. Ovisno o tome kakav odziv se želi postići,
aperiodski ili s prigušenim oscilacijama, takav ζ odabiremo. Za strujni regulator nastoji
se postići tzv. kvaziaperiodski odziv s nadvišenjem od 4.3 %, a za to je ζ = √
. Time
22 | P a g e
se dobiva
te se konačno dobiva izraz za koeficijent pojačanja PI
regulatora:
Prijenosnu funkciju zatvorene strujne petlje može se aproksimirati PT1 elementom
( )
( )
gdje su:
Koeficijent pojačanja zatvorene strujne petlje
Vremenska konstanta zatvorene strujne petlje
Na slici 5.3 vidi se odziv struje armature sa slike 5.2 na jediničnu skokovitu pobudu.
Sl. 5.3. Odziv struje armature na zadanu vrijednost
23 | P a g e
5.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA BRZINE VRTNJE ISTOSMJERNOG
MOTORA S NEZAVISNOM I KONSTANTNOM UZBUDOM
Za određivanje parametara PI regulatora brzine vrtnje istosmjernog motora s
nezavisnom i konstantnom uzbudom potrebni su: PI regulator, povratna veza (senzor)
te aproksimirana prijenosna funkcija strujne petlje, vidljivo na slici 5.4.
Parametri senzora brzine su:
( )
Sl. 5.4 .Pojednostavljena blokovska shema sustava regulacije brzine vrtnje
istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom
Parametri PI regulatora dobivaju se pomoću simetričnog optimuma [1], na
sljedeći način: integralna vremenska konstanta regulatora dobiva se pomoću
sljedećih formula:
, je zadano nadvišenje odziva u postocima
24 | P a g e
a pojačanje regulatora dobiva se pomoću formula:
(
)
(
)
(
)
Sl. 5.5. Odziv brzine vrtnje na jediničnu skokovitu pobudu
25 | P a g e
Sl. 5.6. Bodeov prikaz frekvencijskih karakteristika otvorenog kruga s regulatorom
Prijenosna funkcija zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje može se
aproksimirati PT1 elementom:
( )
( )
Koeficijent pojačanja zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje
Vremenska konstanta zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje
26 | P a g e
Iz slike 5.5 vidi se da je odziv sustava dobar za male promjene brzine vrtnje, no
sada će se isprobati kako se sustav ponaša kada se podigne brzina vrtnje na 3000
o/min, te se u nekom trenutku spusti na 100 o/min. Prvo će biti prikazan odziv
sustava te potom kavi su izlazi iz regulatora struje i brzine vrtnje. Iz slike 5.7 sve se
čini u redu jer se izlaz sustava ponaša prihvatljivo, no izlazi iz regulatora struje i
regulatora brzine vrtnje nisu u redu jer izlaz iz regulatora ima napon u rasponu od [-
10V, 10V], a iz slike 5.8 vidi se da su ti iznosi i do 100 puta veći. Moguće rješenje za
taj slučaj je korištenje anti wind-up regulatora s ograničenjem napona tako da ne
prelazi granicu od [-10V, 10V]. Sa slike 5.11 vidi se da je izlaz brzine vrtnje kakav se
želi postići samo što ubrzanje na 3000 okretaja nije tako brzo kao bez ograničenja
napona na izlazu iz regulatora, a sa slika 5.12 i 5.13 vidi se da izlazi iz regulatora
struje i brzine vrtnje više ne prelaze granicu od [-10V, 10V].
Sl. 5.7. Odziv sustava regulacije brzine vrtnje
27 | P a g e
Sl. 5.8. Odziv na izlazu iz regulatora struje
Sl. 5.9. Odziv na izlazu iz regulatora brzine vrtnje
28 | P a g e
Sl. 5.10. Slika sustava regulacije brzine vrtnje i struje pomoću anti wind-up regulatora
Sl. 5.11. Odziv izlaza anti wind-up regulatora brzine vrtnje
29 | P a g e
Sl. 5.12. Odziv na izlazu anti wind-up regulatora struje
Sl. 5.13. Odziv na izlazu anti wind-up regulatora brzine vrtnje
30 | P a g e
5.3. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE ISTOSMJERNOG MOTORA S
NEZAVISNOM I KONSTANTNOM UZBUDOM
Za određivanje parametara regulatora pozicije istosmjernog motora s
nezavisnom i konstantnom uzbudom potrebni su: P regulator, povratna veza (senzor)
te aproksimirana prijenosna funkcija zatvorene petlje regulacije brzine vrtnje, vidljivo
na slici 5.14.
Parametri senzora pozicije:
Sl. 5.14. Pojednostavljena blokovska shema sustava regulacije pozicije istosmjernog
motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom
Za regulaciju pozicije istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom
uzbudom potreban je P regulator, zbog toga što je u otvorenom regulacijskom krugu
pozicije integralno djelovanje prisutno kao dio procesa, a moment tereta se
kompenzira u regulacijskom krugu brzine vrtnje. Koeficijent pojačanja P regulatora
dobiva se prema formuli iz poglavlja 5.1,
31 | P a g e
gdje je :
Sl. 5.15. Odziv sustava regulacije pozicije na jediničnu skokovitu pobudu
Iz slike 5.15 može se vidjeti odziv sustava regulacije pozicije na jediničnu
skokovitu pobudu te se taj odziv aproksimira PT1 elementom, kako bi se dobila
prijenosnu funkcija cijelog motora.
( )
( )
gdje su i , očitani iz slike 5.14.
32 | P a g e
5.4. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE
Za određivanje parametara regulatora pozicije kugle potrebna je prijenosna
funkcija cijelog sustava, koji je opisan matematičkim modelom kugle, grede i motora,
koji je aproksimiran PT1 elementom. Na temelju Bodeovog dijagrama ove funkcije
odabire se potreban regulator za regulaciju pozicije kugle na gredi. Prijenosna
funkcija i Bodeovi dijagrami rade se pomoću Matlaba.
Sl. 5.16. Pojednostavljeni model cijelog sustava
Prijenosna funkcija pojednostavljenog modela sustava:
( )
( )
33 | P a g e
Sl. 5.17. Bodeov dijagram prijenosne funkcije
Iz Bodeovog dijagrama vidi se da je sustav nestabilan jer je krivulja faznog
djela karakteristike na presječnoj frekvenciji ispod -180°, a za taj sustav treba izabrati
PDT1 regulator s derivacijskom vremenskom konstantom većom od vremenske
konstante ili DT1 regulator [5],[8] kako bi se podigla fazna krivulja na presječnoj
frekvenciji iznad -180°.
34 | P a g e
5.4.1. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE DT1
Za odabir DT1 regulatora treba odrediti derivacijsku vremensku konstantu i
vremensku konstantu na osnovu Bodeovog dijagrama prijenosne funkcije
otvorenog kruga regulacije pozicije kugle:
( )
( ) ( ) ( )
U prijenosnoj funkciji otvorenog kruga regulacije pozicije kugle dvije su
nepoznanice i , a da bi se upotrijebio jedan od dva načina odabira parametara
regulatora, simetrični ili tehnički optimum, treba biti poznata jedna od te dvije
vremenske konstante pa se odabire da je vremenska konstanta
.
Vremenska konstanta dobije se iz sljedećih formula:
, je zadano nadvišenje odziva u postocima
( )
( )
35 | P a g e
Sl. 5.18. Model sustava s DT1 regulatorom
Sl. 5.19. Bodeov prikaz frekvencijskih karakteristika otvorenog kruga s regulatorom
36 | P a g e
Sl. 5.20. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za veći pomak, x=16 cm
Sl. 5.21. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za veći pomak, x=16 cm
37 | P a g e
Iz slike 5.21 vidi se da izlaz iz regulatora pozicije kugle prelazi 10 V. Kako bi se
smanjila maksimalna vrijednost izlaza iz regulatora pozicije kugle mora se povećati
vremenska konstanta ili na ulazu dodati limiter ulaza (rampa). Time se postiže
sporiji odziv, ali zato vrijednost izlaza iz regulatora ne prelazi vrijednost od 10 V.
Sl. 5.23. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za manji pomak, x=3 cm
38 | P a g e
Sl. 5.24. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za manji pomak, x=3 cm
39 | P a g e
5.4.2. PROJEKTIRANJE REGULATORA POZICIJE KUGLE PDT1
Za odabir PDT1 regulatora, osim derivacijske vremenske konstante i
vremenske konstante , treba još odrediti pojačanje regulatora na osnovu
Bodeovog dijagrama prijenosne funkcije otvorenog kruga regulacije pozicije kugle:
( )
( )
( ) ( ) ( )
U prijenosnoj funkciji otvorenog kruga regulacije pozicije kugle tri su
nepoznanice , i , a da bi se upotrijebio odabir parametara regulatora prema
simetričnom optimumu, treba biti poznata jedna od dvije vremenske konstante pa se
odabire da je vremenska konstanta
. Vremenska konstanta mora biti
najveća vremenska konstanta u prijenosnoj funkciji otvorenog kruga, zbog toga jer se
nalazi u brojniku i prva mora dizati faznu krivulju da bi na presječnoj frekvenciji prošla
iznad –180°.
Vremenska konstanta i pojačanje regulatora izračunaju se iz sljedećih
formula:
, je zadano nadvišenje odziva u postocima
( )
(
)
40 | P a g e
Sl. 5.25. Model sustava s PDT1 regulatorom
Sl. 5.26. Bodeov dijagram otvorenog regulacijskog kruga pozicije kugle
41 | P a g e
Sl. 5.27. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za veći pomak, x=15 cm
Sl. 5.28. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za veći pomak, x=15 cm
42 | P a g e
Sl. 5.29. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle za manji pomak, x=3 cm
Sl. 5.30. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu za manji pomak, x=3 cm
43 | P a g e
Sa slika 5.20, 5.21, 5.27, 5.28 vidi se razlika između DT1 i PDT1 regulatora.
DT1 regulator ima brži odziv, a PDT1 ima povoljnije ponašanje izlaza iz regulatora te
se uzima PDT1 regulator za stabilizaciju kugle na gredi.
Na slici 5.27 vidi se da izlaz iz regulatora pozicije kugle prelazi 10 V, kako bi se
smanjila maksimalna vrijednost izlaza iz regulatora pozicije kugle mora se na ulazu
dodati limiter nagiba referentne veličine (rampa). Time se postiže sporiji odziv, ali zato
vrijednost izlaza iz regulatora ne prelazi 10 V.
Ako se želi provjeriti do koje bi maksimalne udaljenosti PDT1 regulator mogao
bez problema regulirati poziciju kugle, vidi se da je to 19 cm (slika 5.31) s tim da bi
bez limitera ulaza kugla prošla granicu od 20 cm, koliko iznosi jedna polovica grede, i
regulator bi otišao u zasićenje. Regulator s limiterom na ulazu možda je dva do tri
puta sporiji, ali zato može regulirati kuglu skoro pa na kraju grede i regulator ne odlazi
u zasićenje.
Sl. 5.31. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu s limiterom ulaza
44 | P a g e
Sl. 5.32. Odziv na izlazu iz regulatora pozicije kugle s limiterom ulaza
Sl. 5.33. Model sustava s PDT1 regulatorom i limiterom ulaza
45 | P a g e
Na slikama 5.38 i 5.39 vidi se kakav je odziv pomaka na zadanu veličinu x uz
prisutnost Coulombovog trenja. Sustav se stabilizira, ali se vide male oscilacije oko
zadane pozicije. Ove oscilacije se ne mogu ukloniti uz prisustvo Coulombovog trenja,
ali se mogu smanjiti s odabirom motora koji ima slabije izraženo Coulombovo trenje.
Simulacija sa slike 5.38 je uz 80% Coulombovog trenja i 20% viskoznog trenja u
odnosu na iznos momenta trenja za nazivne uvjete.
Sl. 5.34. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu (motor s viskoznim i Coulombovim
trenjem)
46 | P a g e
Sl. 5.35. Odziv pomaka kugle na zadanu veličinu (povećana slika 5.38)
Matematički model sustav stabilizacije kugle na gredi prikazan je na slikama
5.36, 5.37, 5.38, a sa slika 5.37 i 5.34 vide se razlike modela sa i bez Coulombovog
trenja.
Sl. 5.36. Model cijelog sustava (kugla i greda)
47 | P a g e
Sl. 5.37. Model cijelog sustava (motor s viskoznim i Coulombovim trenjem)
Sl.5.38. Model cijelog sustava (regulatori)
48 | P a g e
Sl. 5.39. Model cijelog sustava (motor s viskoznim trenjem)
49 | P a g e
6. ZAKLJUČAK
Problem koji se javlja kod kugle na gredi je ako se kugla pomakne iz
ravnotežnog položaja u nekom trenutku, npr. prstom ju pomaknemo iz ravnotežnog
položaja, motor bi trebao uz pomoć senzora i regulatora kuglu ponovo vratiti u početni
položaj.
Ovaj rad opisuje potrebne matematičke modele i postupke projektiranja
regulatora, kojima se postiže stabilizacija kugle na gredi. Stabilizacija je ostvarena
pomoću regulatora momenta, brzine vrtnje i pozicije istosmjernog motora s
nezavisnom i konstantnom uzbudom, te regulatora pozicije kugle.
Sami regulatori projektirani su bilo analitičkim putem bilo korištenjem
Bodeovog prikaza frekvencijskih karakteristika, uz prijenosne funkcije otvorenog
kruga s regulatorom koje su ekvivalentne istovjetnim prijenosnim funkcijama u slučaju
korištenja tehničkog i simetričnog optimuma.
Ovisno kako brzi odziv želimo i na kojoj poziciji regulirati kuglu možemo
pomoću matematičkog modela u Matlabu odabrati potreban regulator pozicije kugle,
DT1 ili PDT1, sa ili bez limitera na ulazu i vidjeti kako će se sustav ponašati. Za
konačnu realizaciju sustava odabran je PDT1 regulator s limiterom nagiba referentne
veličine.
Na temelju ovog rada u budućnosti se može izraditi maketa za pokazivanje
studentima kako bi vidjeli ima li razlike između odziva matematičkog modela i fizičkog
modela (makete), te kako bi lakše vizualizirali inače relativno teško gradivo koje se
krije iza ovog rada. Isto tako, maketa bi mogla poslužiti za demonstraciju naprednijih
algoritama upravljanja na specijalističkim studijama, zasnovanih na opisu sustava u
prostoru stanja.
50 | P a g e
LITERATURA
[1] P. Crnošija i T. Bjažić, Osnove automatike I. dio: Analiza i sinteza kontinuiranih
sustava – teorija i primjena. Zagreb: Element, 2011.
[2] A. Kirarslan, A. Mathew i J. Jose, Mini Project: Ball Beam. 2012.
[3] B. Skalicki i J. Grilec, Električni strojevi i pogoni. Zagreb 2005.
[4] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Elektromotorni pogoni u mehatronici.
Zagreb, 2013.
[5] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Sinteza sustava upravljanja. Zagreb,
2014.
[6] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Modeliranje i simuliranje procesa.
Zagreb, 2014.
[7] T. Bjažić, Laboratorijske vježbe iz predmeta: Upravljanje i regulacija. Zagreb,
2013.
[8] T. Bjažić Laboratorijske vježbe iz predmeta: Elementi automatizacije. Zagreb,
2013.
[9] GR63x55 manual
51 | P a g e
SAŽETAK
Ovaj rad opisuje proces projektiranja regulatora za mehatronički sustav kugle
na gredi. Napravljeni su matematički modeli kugle, grede i istosmjernog motora s
nezavisnom i konstantnom uzbudom, pomoću jednadžbi koje ih opisuju, te su
prikazani u Matlabu. Pomoću tih modela projektirani su regulatori momenta, brzine
vrtnje i pozicije istosmjernog motora s nezavisnom i konstantnom uzbudom i
regulatori pozicije kugle, PDT1 i DT1 tipa. Sami regulatori projektirani su analitičkim
putem i korištenjem Bodeovog prikaza frekvencijskih karakteristika, uz prijenosne
funkcije otvorenog kruga s regulatorom koje su ekvivalentne istovjetnim prijenosnim
funkcijama u slučaju korištenja tehničkog i simetričnog optimuma. Na temelju odziva
kugle na zadanu veličinu, između regulatora DT1 i PDT1, odabran je PDT1 regulator
koji ima malo sporije odzive na zadanu veličinu, ali ima prihvatljivije odzive izlaza iz
regulatora pozicije.
52 | P a g e
SUMMARY
This paper describes the process of designing the controller for the ball and
beam mechatronic system. Mathematical models of ball, beam and separately excited
DC motor were modeled and presented in Matlab by using equations that describe
them. With help of these models, controllers for torque, speed and position of a DC
motor were designed, as well as the ball position controllers (PDT1 and DT1). The
controllers are designed by analytical procedures and by using Bode plots of open
loop frequency characteristics equivalent to the cases of technical and symmetric
optimum design procedures. Based on the ball position response to the input value,
PDT1 controller was selected over DT1 controller. More acceptable responses from
the position controller gave advantage to PDT1 controller, in spite of a slightly slower
response time.
53 | P a g e
ŽIVOTOPIS
Ivan Herceg rođen je 25. travnja 1988. godine u Zagrebu. Osnovnu školu
pohađao je u O.Š. Gornje Jesenje. Poslije osnovne škole upisao se u S.Š. Krapina
smjer: Računalni tehničar za strojarstvo. U četvrtom razredu srednje škole išao je na
županijsko natjecanje iz crtanja u računalnom programu Catia te ostvario 6. mjesto i
odlazak na državno natjecanje u kojemu je ostvario 7. mjesto. Nakon srednje škole
2007. godine upisuje Fakultet strojarstva i brodogradnje u Zagrebu. 2012. Godine
upisuje se na Preddiplomski stručni studij mehatronike, Tehničkog veleučilišta u
Zagrebu.