Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Superfícies em R4 do ponto de vista da teoria das
singularidades
Por
Paulo do Nascimento Silva
sob orientação do
Prof. Dr. Lizandro Sanchez Challapa
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do
Programa de Pós-Graduação emMatemática-
CCEN-UFPB, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Matemática.
maio - 2013
João Pessoa - Paraíba
Superfícies em R4 do ponto de vista da teoria das
singularidades
por
Paulo do Nascimento Silva
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-
Graduação em Matemática-CCEN-UFPB, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Matemática.
Área de Concentração: Singularidades
Aprovada por:
Prof. Dr. Lizandro Sanchez Challapa
Orientador
Prof. Dr. Alexandre Cesar Gurgel Fernandes
Examinador
Prof. Dr. Pedro Antonio Gomez Venegas
Examinador
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
maio - 2013
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Data: maio - 2013
Autor: Paulo do Nascimento Silva
Tìtulo: Superfícies em R4 do ponto de vista
da teoria das singularidades
Depto.: Matemática
Grau: M.Sc. Convocação: maio Ano: 2013
Permissão está juntamente concedida pela Universidade Federal da
Paraíba à circular e ser copiado para propósitos não comerciais, em sua
descrição, o título acima sob a requisição de indivíduos ou instituições.
Assinatura do Autor
iii
Dedico este trabalho a Deus, à minha
mãe, ao meu irmão e à minha noiva.
iv
Agradecimentos
Para conseguir obter o diploma de mestre foram necessários muitos dias e
noites de estudo, e muitas vezes abdicar de momentos com a família, noiva e amigos,
sem esquecer das muitas orações que �z e que �zeram por mim durante esse tempo.
Primeiramente agradeço à Deus por ter me dado forças, paz interior e
sabedoria durante este curso.
À minha mãe que sempre cuidou bem de mim, ensinando-me valores e dando uma
boa educação, além de sempre acreditar em mim quando nem mesmo eu acreditava.
Ao meu irmão Petrônio, pela torcida e por ser sempre prestativo.
À minha noiva Juliana, por seu amor, carinho e compreensão.
Ao meu amigo Jailson por ser um dos primeiros que me incentivou a cursar o
mestrado.
Aos colegas do mestrado, pelo prazer de suas amizades, momentos de estudo em
grupo, pela troca de conhecimentos, listas de exercícios , conversas , futebol e etc,
em particular, ao Danilo, Eberson, Edna, Erinaldo, Francisco, Ginaldo, Guilherme,
Gustavo, José Carlos, Luan, Luando, Mariana, Max, Mônica, Nacib, Pedro,
Renato, Reginaldo, Ricardo, Yane, entre outras que conheci durante esta caminhada.
Um agradecimento especial ao Francisco Viera de Oliveira, que ao longo desta
caminhada se tornou um grande amigo, sempre dando esperança e apoio nos
momentos mais necessários. Muito obrigado Francisco.
Agradeço ao professor Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro, pelas boas aulas na
disciplina Introdução a Ánalise Real durante o verão para seleção do mestrado.
Agradeço aos meus professores do mestrado, Dr. Alexandre de Bustamante Simas ,
v
Dra. Jacqueline Rojas, Dr. Pedro Antônio Hinojosa Vera, Dr. Serguey Agafonov,
Dra. Miriam da Silva Pereira .
Em especial, agradeço a meu orientador Dr. Lizandro Sanchez Challapa pela
paciência, incentivos, por acreditar que eu era capaz, sugestões, dicas, en�m por
uma boa orientação.
Agradeço aos professores Dr. Alexandre César Gurgel Fernandes e Dr. Pedro
Antonio Gomez Venegas por terem aceitado fazer parte da banca.
Também gostaria de agradecer ao professor Dr. Roberto Callejas Bedregal por ter
sido um dos principais responsáveis pela minha viagem à USP de São Carlos onde
pude adquirir o conhecimento necessário para escrever minha dissertação.
À professora Dra. Maria Aparecida Ruas coordenadora do projeto Procad, por
liberar a viagem para à USP a�m de que pudesse utilizar os livros e artigos da
biblioteca da USP de São Carlos para o desenvolvimento desta dissertação.
Ao professor Marcelo José Saia da USP de São Carlos, pelo acolhimento e pelas
boas aulas na disciplina Singularidades de aplicações diferenciáveis.
Aos professores e funcionários do Programa de pós-graduação em Matemática da
UFPB, em especial aos professores Dr. Everaldo Souto de Medeiros e Dr. Daniel
Marinho Pellegrino que foram ambos coordenadores do mestrado durante o período
em que era mestrando.
Aos meus antigos professores da Universidade Federal da Paraíba, em especial aos
professores Dr. Antônio Sales da Silva,Dr. Eduardo Gonçalves dos Santos,Dr. João
Batista Alves Parente, Dr. Milton de Lacerda Oliveira e Dra. Rogéria Gaudêncio do
Rego pelas boas aulas e conselhos.
Também agradeço ao REUNI pela bolsa, pois sem ela, não teria condições de
concluir este curso.
En�m, agradeço a todos que de maneira direta e indireta contribuíram para a
concretização deste trabalho.
vi
Índice
Agradecimentos v
Resumo viii
Abstract ix
Introdução x
1 Preliminares 11.1 Singularidades de germes de funções suaves . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Classi�cação dos germes de codimensão 6 5 . . . . . . . . . . 61.2 Variedade Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Conjuntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Contato entre subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 As equações de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Superfícies em R4 212.1 Elipse curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Os Invariantes de Superfícies em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Formas Quadráticas Degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos 363.1 Variedade canal de uma superfície em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Caraterização geométrica das singularidades de funções altura . . . . 42
Referências Bibliográ�cas 49
vii
Resumo
Neste trabalho estudamos a geometria das superfícies em R4 através da variedade
canal e das singularidades das famílias de funções altura das superfícies. Provaremos
que os pontos de in�exão das superfície são os pontos umbílicos das famílias de funções
altura. Além disso, veremos que pontos de in�exão do tipo imaginário serão pontos
isolados da curva ∆−1(0). Como uma consequência deste estudo provaremos que
qualquer mergulho genérico convexo de S2 em R4 tem pelo menos um ponto de
in�exão.
Palavras-Chave: Singularidades, Segunda Forma Fundamental, Elípse de
Curvatura, Função Altura, Ponto de In�exão, Ponto Umbílico, Mergulho Genérico.
viii
Abstract
We study the geometry of surfaces immersed in R4 through the singularities of
their families of height functions. In�ection points on the surfaces are shown to
be umbilic points from their families of height functions. Furthermore, we see that
in�ection points of imaginary type are isolated points of the curve ∆−1(0). As a
consequence we prove that any dive generic convexly embedded S2 in R4 has in�exion
points.
Keywords:
Singularities, Second Fundamental Form, Ellipse Curvature, Height Function, In-
�exion Point, Umbílic Point, Embedding Generic.
ix
Introdução
Resultados importantes da geometria das superfícies em R4 podem ser obtidos
através da análise de seus contatos genéricos com hiperplanos, esses contatos serão
dados pelas singularidades da família de funções altura.
Para nosso estudo da geometria das superfícies em R4 vamos considerar uma
imersão de uma superfície em R4. Para cada ponto da superfície podemos de�nir uma
elipse no subespaço normal, denominada elipse de curvatura. A elipse de curvatura
é dada pela segunda forma fundamental da superfície. Um ponto da superfície será
chamado de ponto de in�exão quando a elipse de curvatura associada a esse ponto
for um segmento de reta radial, esse conceito é encontrado em [10].
Este trabalho baseia-se no artigo �The Geometry of Surfaces in 4-space from a
Contact Viewpoint� e está dividido em três capítulos.
No capítulo 1, apresentamos alguns conceitos e resultados importantes na teoria
de singularidades que podem ser encontrados em sua grande maioria em [8], como
por exemplo: germes de aplicações, conjuntos singulares, codimensão de um germe,
classi�cação dos germes de codimensão ≤ 5, contato entre subvariedades. Finalizamos
o capítulo estudando equações de estrutura de uma superfície imersa em R4, através
das equações de estrutura do Rn. Na sessão 1.2 introduzimos alguns conceitos de
geometria Riemanniana relacionados a conexão de uma variedade Riemanniana.
No capítulo 2, calculamos os coe�cientes da segunda forma fundamental da su-
perfície utilizando o referencial móvel, o qual é de�nido na sessão 1.6 no capítulo 1.
Encontramos a curvatura gaussiana da superfície, usando o famoso teorema de Gauss
( veja [4]). Também estudamos a elipse de curvatura e os invariantes associados a
x
superfície.
No capítulo 3, interpretamos geometricamente as singularidades das funções altura
associada a superfície com o objetivo de obter informações geométricas da superfície.
Também introduzimos o conceito da variedade canal associada a superfície, para
desenvolver uma técnica que permite obter informações geométricas da superfície a
partir da variedade canal. Como consequência deste estudo provaremos que qualquer
mergulho genérico convexo de S2 em R4 tem pelo menos um ponto de in�exão.
xi
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo introduzimos as notações e de�nições básicas, usualmente utili-
zadas na Teoria de Singularidades e aplicações suaves. Em seguida, introduzimos
alguns conceitos de geometria Riemanniana. Finalizamos este capítulo com estudo
das equações de Estrutura associadas a uma imersão de uma superfície em R4. Os
resultados deste capítulo são inspirados em [8], [13],[12],[4].
1.1 Singularidades de germes de funções suaves
Uma aplicação f : U → Rp é de classe Ck no aberto U ⊂ Rn quando existem e
são contínuas em U todas as derivadas parciais de f de ordem ≤ k. Sejam U e V
conjuntos abertos de Rn e Rp, respectivamente. Em grande parte do trabalho estamos
considerando, quando não é dito contrário, aplicações f : U → V suaves, ou C∞, isto
é, que possui derivadas de todas as ordens.
De�nição 1.1. Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave. Dizemos que x ∈ Rn é um
ponto singular de f se, o posto da matriz jacobiana de f no ponto x,
Jf(x) =
(∂fi∂xj
(x)
), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n,
não é máximo. Caso contrário, dizemos que x é um ponto regular de f . O ponto x
também pode ser chamado de uma singularidade de f .
1
Capítulo 1. Preliminares
É claro que um ponto ser uma singularidade de uma aplicação é uma propriedade
local. Neste trabalho estaremos interessados em aplicações que tem um singularidade
na origem. Por este motivo introduzimos a seguinte relação de equivalência:
De�nição 1.2. Dadas duas aplicações suaves f1 : U1 → Rp e f2 : U2 → Rp, onde U1,
U2 ⊂ Rn, com x ∈ U1 e x ∈ U2. Dizemos que f1 ∼ f2 se, e somente se, existe uma
vizinhança U ⊂ U1 ∩ U2 de x tal que f1(x) = f2(x), ∀ x ∈ U
As classes de equivalência sobre essa relação são chamadas de germes de aplicações
em x. Denotemos o germe de um elemento f : Rn → Rp em x por f : (Rn, x) →(Rp, y), onde y = f(x). Dizemos que x e y são respectivamente fonte e meta do germe.
Para cada germe f : (Rn, x)→ (Rp, y) , associamos a sua derivada dfx : Rn → Rp que
é de�nido como sendo a derivada em x de qualquer um representante. Um germe é
invertível se, e somente se, sua derivada é invertível. O posto de um germe é de�nido
como o posto de sua derivada em x. Quando o posto de f : Rn → Rp é igual a n
dizemos que o germe é uma imersão. No caso em o posto é igual a p, dizemos que o
germe é uma submersão.
De�nição 1.3. Dois germes f : (Rn, x1)→ (Rp, y1) e g : (Rn, x2)→ (Rp, y2) são equi-
valentes quando existem germes invertíveis h : (Rn, x1) → (Rn, x2) e k : (Rp, y1) →(Rp, y2) para os quais o diagrama comuta,
(Rn, x1)f //
h
��
(Rp, y1)
k
��
(Rn, x2) g// (Rp, y2),
isto é, k ◦ f = g ◦ h.
Denotamos por En,p o conjunto dos germes de aplicações f : (Rn, 0) → Rp de
classe C∞. Quando p = 1, este conjunto é denotado por En. Observemos que εn é
2
Capítulo 1. Preliminares
um anel local cujo ideal maximal é mn := {f ∈ En; f(0) = 0}. Além disso é possível
veri�car que mn é o ideal gerado por x1, ..., xn.
De�nição 1.4. Sejam f , g ∈ En. Dizemos que f e g são R-equivalentes e denotamos
por f ∼ g se existe um germe de difeomor�smo h : (Rn, 0) → (Rn, 0) tal que f =
g ◦ h−1.
Para nosso estudo é importante o conhecimento de alguns resultados básicos da
análise no espaço euclidiano.
De�nição 1.5. Seja f : Rn → R uma função suave. Um ponto x0 em Rn é um
ponto crítico não degenerado se x0 é um ponto singular de f e a Hessiana, que é o
determinante da matriz (∂2f
∂xi∂xj(x0)
), 1 ≤ i, j ≤ n,
é não nulo.
De�nição 1.6. Uma função suave f : Rn → R é dita ser uma uma função de Morse
se todos os seus pontos singulares são pontos críticos não degenerados.
Observação 1.7. Note que uma função regular f : Rn → R é também uma função
de Morse.
É bem conhecido do cálculo que as funções de Morse desempenham um papel
importante em suas aplicações e possuem uma forma normal na vizinhança de um
ponto crítico não degenerado como veremos a seguir.
Lema 1.8. Seja f : (Rn, x0)→ R um germe suave. Então:
1) Se x0 é um ponto regular de f , então o germe é equivalente a π : (Rn, 0) → R,dada por π(x1, ..., xn) = x1.
2) Se x0 um ponto crítico não degenerado de f , então o germe é equivalente a g :
(Rn, 0)→ R, dado por
g(x) = x21 + x2
2 · · ·+ x2λ − x2
λ+1 − · · · − x2n.
3
Capítulo 1. Preliminares
Denotaremos por P k(Rn,Rp) o espaço vetorial real das aplicações f : Rn → Rp
tal que cada componente fi de f = (f1, f2..., fp) é um polinômio de grau 6 k nas
coordenadas x1, x2, ..., xn de Rn com termo constante nulo. A noção de espaço de k-
jato de aplicações suaves é introduzida em [11]. Neste trabalho utilizamos a seguinte
identi�cação:
Proposição 1.9. Seja Jk(Rn,Rp) o espaço dos k-jatos. Então existe uma bijeção
canônica entre o espaço de k-jatos e o conjunto Rn × Rm × P k(Rn,Rp).
De�nição 1.10. Para cada aplicação f = (f1, f2, ..., fp) ∈ C∞(Rn,Rp) e cada a ∈ Rn,
de�nimos a aplicação
Jkf : Rn −→ Jk(Rn,Rp)
a 7−→ Jkf(a) = (a, f(a), P1(a), ..., Pn(a)),(1.1)
onde Pi(a) é o polinômio de Taylor da funçao fi de ordem k em a, sem o termo
constante.
Denotaremos por jkf(a) = (P1(a), ..., Pn(a)). A aplicação Jkf é de classe C∞ e
jkf(a) é chamado o k-jato de f em a.
Exemplo 1.11. Seja f : R→ R uma função suave. Neste caso temos que:
jkf(a) = f′(a)x+
f′′(a)
2!x2 + · · ·+ fk(a)
k!xk,
e Jkf(a) pode ser identi�cado com um elemento do espaço Rk+2 com a correspondên-
cia
(a, f(a), f′(a) +
f′′(a)
2!x2 + · · ·+ fk(a)
k!xk)↔ (a, f(a), f
′(a),
f′′(a)
2!, · · · , f
k(a)
k!).
Ao conjunto C∞(Rn,Rp) vamos associar uma topologia, chamada Topologia de
Whitney.
De�nição 1.12 (Topologia de Whitney). Seja f ∈ C∞(Rn,Rp). Uma base para a
topologia de Ck de Whitney de C∞(Rn,Rp) é dada pelos seguintes conjuntos
V (f, δ) = {g ∈ C∞(Rn,Rp);∥∥Jkg(x)− Jkf(x)
∥∥ < δ(x)},
onde δ : Rn → R é contínua e positiva.
4
Capítulo 1. Preliminares
A Topologia C∞ de Whitney C∞(Rn,Rp) tem como base a união de todos os
abertos das topologias Ck de Whitney, com k ≥ 0.
De�nição 1.13. Um germe f ∈ En é k-determinado se para qualquer germe g ∈ Encom jk(g)(0) = jk(f)(0) temos que f é R-equivalente a g.
Um germe f ∈ En é �nitamente determinado se existir um k ∈ N tal que f seja
k-determinado.
De�nição 1.14. Seja f : (Rn, 0)→ (Rn, 0) um germe tal que 0 é isolado de f−1(0).
A multiplicidade µ0[f ] de f em 0 é de�nida por
µ0[f ] = dimR[En/〈f1, . . . , fn〉],
onde 〈f1, . . . , fn〉 é o ideal gerado pelas componentes fi de f em 0. Dizemos que f é
�nito se µ0[f ] <∞.
Dada uma aplicação g : Rn → Rn, onde g = (g1, . . . , gn) com cada gi sendo um
polinômio homogêneo tal que 0 é isolado em g−1(0), temos que µ0[g] =∏n
i=1 di, onde
di é o grau de cada gi.
Proposição 1.15 ([16]). Seja f : (Rn, 0) → (Rn, 0), um germe �nito. Considere
f = (f1, . . . , fn) e fi = fkii + q , onde fkii é a parte homogênea de fi com grau ki e
jkiq(0) = 0. Então:
i) µ0[f ] ≥∏n
i=1 ki.
ii) µ0[f ] =∏n
i=1 ki se, e somente, se o sistema fkii = 0 para i = 1, . . . , n tem apenas
solução trivial em Cn.
De�nição 1.16. Seja f : (Rn, 0)→ R uma germe. A Re-codimensão de f , denotada
por cod(f,Re) é de�nida como:
cod(f,Re) = µ0[∇f ].
A Re-codimensão, que foi de�nida acima, pode ser encontrada em [8].
Proposição 1.17 ([8]). Sejam dois germes f e g em En. Temos que,
i) Se f e g são R-equivalentes então cod(f,Re) = cod(g,Re).
ii) cod(f,Re) = 0 se, e somente se, 0 é um valor regular de f .
5
Capítulo 1. Preliminares
1.1.1 Classi�cação dos germes de codimensão 6 5
De�nição 1.18. Um germe f ∈ m2n (isto é, a origem é um ponto singular) é não
degenerado quando a matriz Hessiana Hf =(
∂2f∂xi∂xj
(0))é não singular.
Lema 1.19 (Lema de Morse). Seja f ∈ m2n. Então, cod(f,Re) = 1 se, e somente se,
f é não degenerado. Neste caso f será R-equivalente a um germe da forma
x21 + ...+ x2
s − x2s+1 − ...− x2
n.
De�nição 1.20. Sejam f ∈ m2n e cod(f,Re) ≥ 2. Dizemos que f tem coposto c se o
posto da matriz Hessiana é n− c.
Observação 1.21. O coposto das funções de Morse é nulo.
Lema 1.22 (Lema da Separação). Seja f ∈ m2n um germe �nitamente determinado
de coposto c. Então, f é R-equivalente a um germe
(x1, ..., xn)→ g(x1, ..., xc)± x2c+1 ± ...± x2
n,
com g ∈ m3c .
Proposição 1.23. Sejam f ∈ m2n de coposto 1 e cod(f,Re) = k. Então, f é R-
equivalente ao germe
(x1, ..., xk)→ ±xk+11 ± x2
2 ± ...± x2n.
Este germe é chamado de singularidade Ak.
Demonstração: Ver referência [8]
Lema 1.24. Seja f ∈ m2n um germe de Re-codimensão �nita e de coposto c, então
cod(f,Re) ≥ c(c+1)2
+ 1.
Pelo lema acima, temos que para classi�car os germes de codimensão≤ 5, considera-
se apenas os germes de coposto ≤ 2.
6
Capítulo 1. Preliminares
Proposição 1.25 ([8]). Seja f ∈ m2n de coposto 2 e cod(f,Re) ≤ 5. Então, f é
equivalente a um dos seguintes germes
±(x31 − x1x
22)± x2
3 ± ...± x2n
±(x31 + x3
2)± x23 ± ...± x2
n
±(x21x2 + x4
2)± x23 ± ...± x2
n.
Teorema 1.26 (Teorema de Thom). Seja f ∈ m2n de modo que 1 ≤ cod(f,Re) ≤ 5.
Então, a menos da soma de uma forma quadrática nas outras variáveis, e multipli-
cação por ±1, f é R-equivalente a um dos seguintes germes listados na tabela abaixo.
Símbolo Nome Germe Coposto cod(f,Re)A1 Morse x2 0 1A2 Dobra x3 1 2A3 Cúspide x4 1 3A4 Rabo de andorinha x5 1 4A5 Borboleta x6 1 5D4− Umbílico elíptico (x3 − xy2) 2 4D4+ Umbílico hiperbólico (x3 + y3) 2 4D±5 Umbílico parabólico (x2y + y4) 2 5
Tabela 1.1: singularidades
1.2 Variedade Riemanniana
Transversalidade é uma idéia importante e profunda no estudo da teoria das
singularidades. Grandes resultados sobre genericidade em conjuntos foram obtidos
combinado-se os teoremas demonstrados por René Thom com a idéia de transver-
salidade entre subvaridades. Neste trabalho a transversalidade aparecerá diversas
vezes.
De�nição 1.27. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e
uma família de aplicações biunívucas xα : Uα ⊂ Rn →M de abertos Uα de Rn em M
tais que:
7
Capítulo 1. Preliminares
1.⋃α
xα(Uα) = M.
2. Para todo par α, β com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos xα−1(W ) e
xβ−1(W ) são abertos em Rn e as aplicações xβ−1 ◦ xα são suaves.
3. A família {(Uα, xα)} é máxima relativamente às condições 1 e 2.
O par (Uα, xα) (ou aplicação xα) com p ∈ xα(Uα) é chamado de parametrização
(ou sistema de coordenadas) de M em p; xα(Uα) é então chamada uma vizinhança
coordenada de p. Uma família {(Uα, xα)} satisfazendo 1 e 2 é chamada uma estrutura
diferenciável em M .
De�nição 1.28. SejamM1 eM2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M1 →M2 é diferenciável em p ∈ M1 se dada uma parametrização y : V ⊂ Rp → M2 em
ϕ(p) existe uma parametrização x : U ⊂ Rn →M1 em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V ) e a
aplicação
y−1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn → Rp
é diferenciável em x−1(p).
De�nição 1.29. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável
α : (−ε, ε)→M é chamada uma curva diferenciável em M . Suponha que α(0) = p ∈M , e seja D o conjunto das funções de M diferenciáveis em p. O vetor tangente à
curva α em t = 0 é a função α′(0) : D → R dada por
α′(0)f =d(f ◦ α)
dt|t=0 f ∈ D.
Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε)→M
com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por TpM .
O conjunto TpM , com as operações usuais de funções, forma um espaço vetorial
de dimensão n e é chamado o espaço tangente de M em p. Para maiores detalhes
veja [4].
8
Capítulo 1. Preliminares
Observação 1.30. Seja M uma variedade diferenciável e seja TM = {(p, v); p ∈M, v ∈ TpM}. O conjunto TM munido de uma estrutura diferenciável será chamado
�brado tangente de M . Para maiores detalhes veja [4].
De�nição 1.31. Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciá-
vel ϕ : M → N é uma imersão se dϕp : TpM → Tϕ(p)N é injetiva para todo p ∈ M .
Se, além disso, ϕ é um homeomor�smo sobre ϕ(M) ⊂ N , onde ϕ(M) tem a topologia
induzida por N , diz-se que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M → N é
um mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de N .
De�nição 1.32. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma
correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM . Em ter-
mos de aplicações, X é uma aplicação de M no �brado tangente TM . O campo é
diferenciável se a aplicação X : M → TM é diferenciável.
Proposição 1.33. Sejam U ⊂ Rm+n aberto e f : U → Rn uma aplicação suave.
Consideremos o conjunto
M = {p ∈ U ; f(p) = c e dfp : Rn+m → Rn sobrejetora}
Então,
(i) M é aberto em f−1(c).
(ii) Supondo que M é não vazio, M é uma variedade suave de dimensão m do Rm+n,
e
(iii) TpM = ker (df)p para todo p ∈M .
De�nição 1.34. Sejam M e N sendo variedades suaves e f : M → N sendo uma
aplicação suave. Considere S sendo uma subvariedade de N e seja x ∈ M . Então f
intersecta S transversalmente em x se;
i) f(x) /∈ S ou
ii) f(x) ∈ S e (df)x(TxM) + Tf(x)S = TxN .
onde TxM é o espaço tangente à M em x.
9
Capítulo 1. Preliminares
Diremos que f é transversal a S, denotado por f t S, quando, para todo x ∈M ,
f for transversal a S na ponto x.
Teorema 1.35. (Transversalidade de Thom) Para toda subvariedade fechada S de
Jk(Rn,Rp), o conjunto das aplicações F em C∞(Rn,Rp) tal que jkF t S é aberto e,
portanto denso na Cr-topologia,qualquer que seja r > k + 1.
Como consequência do teorema de transversalidade de Thom, temos os seguinte
resultado:
Lema 1.36. O conjunto de todas as funções de Morse é denso em C∞(Rn,R).
De�nição 1.37. Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma
variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M
um produto interno 〈, 〉p (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva de�nida) no
espaço tangente TpM , que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Para todo
par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M, a função
〈X, Y 〉 é diferenciável em V .
Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana chama-se uma
variedade Riemanniana.
As de�nições e os resultados sobre conexão podem ser encontrados em [4].
Indicaremos por X (M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M .
De�nição 1.38. Uma conexão a�m ∇ em uma variedade diferenciável M é uma
aplicação
∇ : X (M)×X (M)→ X (M)
(X, Y ) 7→ ∇XY
que satisfaz as seguintes propriedades:
i) ∇fX+gYZ = f∇XZ + g∇YZ,
10
Capítulo 1. Preliminares
ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,
iii) ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y,
onde X, Y, Z ∈ X (M) e f, g ∈ D(M).
De�nição 1.39. Sejam X, Y ∈ X (Rn) e p ∈ Rn, a conexão em Rn será dada por
(∇XY )(p) = (dY )p(X(p)).
Corolário 1.40. Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível
com a métrica se e só se
X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 , X, Y, Z ∈ X (M).
De�nição 1.41. Uma conexão a�m ∇ em uma variedade diferenciável M é dita
simétrica quando
∇XY −∇YX = [X, Y ]
para todo X, Y ∈ X (M).
Teorema 1.42 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma
única conexão a�m ∇ em M satisfazendo as seguintes condições:
a) ∇ é simétrica.
b) ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.
A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão Riemanniana (ou de
Levi-Cita) de M .
Seja f : M → M uma imersão de uma variedade suave M de dimensão n em
uma variedade Riemanniana de dimenão n+m. A métrica Riemanniana de M induz
de maneira natural uma métrica Riemanniana em M : se v1, v2 ∈ TpM , de�ne-se
〈v1, v2〉 = 〈dfp(v1), dfp(v2)〉. Nesta situação a aplicação f é uma imersão isométrica
de M em M . Note que f é localmente um mergulho, isto é, existe uma vizinhança
11
Capítulo 1. Preliminares
U ⊂ M de p tal que f : U → R4 é um mergulho, o qual implica que f(U) ⊂ M
é uma subvariedade de M . Denotamos f(U) = M . Agora, iremos introduzir a
segunda forma fundamental considerando-a relativamente a um campo ξ normal a
M . Nossa variedade M será munida da conexão riemanniana ∇ induzida da conexão
Riemanniana ∇ de M .
Sejam X, Y campos locais de vetores em M . Denotamos por X, Y as extensões
locais dos campos X e Y a M , respectivamente . A conexão riemanniana ∇ em M é
de�nida como
∇XY = (∇XY )T ,
onde (∇X Y )T é a projeção ortogonal do campo de vetores ∇X Y no espaço tangente
de M .
De�nição 1.43. Sejam X e Y campos locais de vetores em M . De�nimos o campo
local de vetores em R4 normal a M . Como
B(X, Y ) = ∇X Y −∇XY = (∇X Y )N .
O campo local de vetores B(X, Y ) não depende das extensões X, Y .
Vamos indicar por X (M)⊥ os campos de vetores suaves normais a f(U).
Proposição 1.44. Se X, Y ∈ X (M), então a aplicação B : X (M) × X (M) →X (M)⊥ dada por
B(X, Y ) = ∇XY −∇XY
é bilinear e simétrica.
Observação 1.45. O valor de B(X, Y )(p) depende apenas de X(p) e Y (p).
Seja p ∈M e ξ ∈ (TpM)⊥. A aplicação Kξ : TpM × TpM → R dada por
Kξ(x, y) = 〈B(x, y), ξ〉 , x, y ∈ TpM,
é pela proposição acima, uma forma bilinear e simétrica.
12
Capítulo 1. Preliminares
De�nição 1.46. Seja x ∈ TpM . A forma quadrática IIξ de�nida em TpM por
IIξ(x) = Kξ(x, x)
é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor ξ.
Se x, y ∈ Tf(q)f(M) ⊂ Tf(q)M , são linearmente independentes, indicaremos por
K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente. Para maiores
detalhes sobre a curvatura seccional veja [4]. O teorema abaixo exprime as diferenças
das curvaturas seccionais de M e M por meio de expressões construídas a partir da
segunda forma fundamental.
Teorema 1.47 (Gauss). Sejam q ∈ M e x, y vetores ortonormais de Tf(q)f(M).
Então
K(x, y)−K(x, y) = 〈B(x, x), B(y, y)〉 − ‖B(x, y)‖2.
Demonstração: Veja [4]
1.3 Conjuntos singulares
Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave. O conjunto singular Σ(f) é o conjunto
de todos os pontos singulares de f . A imagem de Σ(f), f(Σ(f)), é chamado de
discriminante ou conjunto de bifurcação.
Exemplo 1.48. A aplicação cúspide de Whitney no plano é uma aplicação suave
f : R2 → R2 dada por (x, y) 7→ (u, v) onde u = x, v = y3 − xy. O conjunto singular
é o conjunto de todos os pontos onde a matriz Jacobiana tem rank < 2, isto é a
parabóla x = 3y2. E o conjunto bifurcação é a imagem desta parabóla sob f, ou seja,
a cúbica cuspidal que tem a equação 4u3 − 27v2 = 0.
13
Capítulo 1. Preliminares
Figura 1.1: Parabóla e Cúspide.
De�nição 1.49. Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave. Para cada i = 1, ...,min{n, p},o conjunto de singularidades de primeira ordem Σi(f) é de�nido da seguinte
maneira:
Σi(f) = {x ∈ Rn : dim(ker(dfx)) = i}.
Exemplo 1.50. Seja f : (R2, 0) → (R2, 0) de�nida por f(x, y) = (x2, y2), vamos
calcular Σi(f), i = 0, 1, 2.
Primeiramente, temos
df(x,y) =
[2x 0
0 2y
]e daí, notemos que dim(ker(df(x,y))) = 2 se, e somente se, (x, y) = (0, 0). Desta
forma, Σ2(f) = {(0, 0)}. O conjunto Σ1(f) é determinado pelas equações x 6= 0 e
y = 0 ou x = 0 e y 6= 0. Portanto, Σ1(f) = {{(x, 0)} ∪ {(0, y)} − {(0, 0)}.E �nalmente temos que Σ0(f) = {(x, y) ∈ R;x 6= 0, y 6= 0}, pois, para esses
pontos dim(ker(df(x,y))) = 0.
Observe que todos os Σi(f) deste exemplo são subvariedades do R2.
De�nição 1.51. Dada uma aplicação suave f : Rn → Rp temos os conjuntos de sin-
gularidades de primeira ordem Σi(f). Se esses são subvariedades podemos introduzir
14
Capítulo 1. Preliminares
os conjuntos de singularidades de segunda ordem Σi,j(f) = Σj(f |Σi(f)). E este pro-
cesso pode ser continuado. Se esses conjuntos são subvariedades podemos introduzir
os conjuntos de singularidades de terceira ordem Σi,j,k(f) = Σk(f |Σi,j(f)). E assim
por diante. Os conjuntos obtidos dessa maneira são os conjuntos de singularidade de
ordem superior de f.
Exemplo 1.52. Dado um ε > 0 considere uma aplicação suave f : R2 → R2 de�nida
por f(x, y) = (u, v) onde u = x2 − y2 + 2εx e v = 2xy − 2εy.
A matriz jacobiana de f é [2x+ 2ε −2y
2y 2x− 2ε
],
que tem rank < 2 quando seu determinate se anula, ou seja, no círculo x2 + y2 = ε2.
Então, tal círculo é o conjunto singular de f . Se parametrizarmos o conjunto singular,
colocando
x = ε cos θ y = ε sin θ
então obtemos uma parametrização do discriminante na forma
u = ε2(cos 2θ + 2 cos θ) v = ε2(sin 2θ − 2 sin θ)
que é uma representação usual de um hipociclóide tricuspidal.
Na verdade nosso círculo x2 + y2 = ε2 é precisamente o conjunto Σ1(f) de singu-
laridades de primeira ordem, pois note que a matriz jacobiana não pode ter rank = 0.
Temos que existem três pontos no círculo que precisam ser distinguidos dos outros na
medida em que são levados por f a cúspides no hipociclóide.
Analisaremos agora a restrição f |Σ1(f). Vamos calcular o rank da restrição num
ponto (x, y) no círculo. Relembre que a diferencial da restrição é a restrição da
diferencial de f para a reta tangente ao círculo. Agora a reta tangente ao círculo
num ponto (x, y) é a reta que passa pela origem perpendicular a este vetor. Um vetor
tangente unitário será (−y/ε, x/ε) e a imagem deste sob a diferencial de f em (x, y)
15
Capítulo 1. Preliminares
Figura 1.2: Hipociclóide.
será obtida através da aplicação da matriz jacobiana a ele, obtendo-se o vetor[2x+ 2ε −2y
2y 2x− 2ε
][−y/ε
x/ε
]= 2/ε
[−2xy − εy−y2 + x2 − εx
].
A diferencial da restrição certamente tem rank ≤ 1; e ela tem rank 0 somente
quando este último vetor for nulo, ou seja, exatamente nas raízes cúbicas de ε3. Em
outras palavaras nossos três pontos são distinguidos precisamente pelo fato que eles
são pontos Σ1(f) para a restrição f |Σ1(f), ou seja, pontos Σ1,1(f).
1.4 Contato entre subvariedades
Sejam U e V duas subvariedades em Rn, de�nidas localmente através da imersão
f : Rm → Rn e da submersão g : Rn → Rk, onde U = f(Rm) e V = g−1(0), com
p ∈ U∩V , ou seja, p = f(x0), x0 ∈ Rm e g◦f(x0) = 0. Supondom ≥ k, consideramos
que existe contato entre U e V em p se as duas subvariedades não são transversais
nesse ponto. Isto equivale a dizer que a diferencial dx0(g ◦ f) não é sobrejetiva [11];
portanto a aplicação g ◦ f tem uma singularidade ou um ponto critico em x0.
O tipo de contato entre as subvariedades U e V será determinado pelo tipo de sin-
gularidade que a aplicação g◦f tem no ponto x0. Este é o motivo que a denominamos
de aplicação de contato.
16
Capítulo 1. Preliminares
Segue abaixo a de�ção de K-equivalência (ou equivalência de contato).
De�nição 1.53. ( Montaldi) Dados dois germes f, g : (Rm, 0)→ (Rn, 0) dizemos que
f e g são k-equivalentes e denotamos por fK∼ g, se existem difeomor�smos de germes
h : (Rm, 0)→ (Rm, 0) e H : (Rm×Rn, (0, 0))→ (Rm×Rn, (0, 0)) tais que o diagrama
comuta
(Rm, 0)(ImR ,f)
//
h
��
(Rm × Rn, (0, 0))
H
��
(Rm, 0)(ImR ,g) // (Rm × Rn, (0, 0)),
ou seja, H(x, 0) = (h(x), 0) e H(x, f(x)) = (h(x), g ◦ h(x)) para todo x ∈ Rm.
Seja M uma suferfície imersa em Rn, n ≥ 4, localmente de�nida por M = φ(R2),
onde φ : R2 → Rn é uma imersão. Os contatos deM de com hiperplanos e hiperesferas
são determinados pelo subconjunto ψ−1(0) ⊂ Rn, n ≥ 4, onde ψ : Rn → R é uma
submersão.
Se a subvariedade é um hiperplano de vetor normal unitário v ∈ Sn−1 e distância
à origem ρ ∈ R+. A submersão será dada por
ψ(x1, ..., xn) = x1v1 + · · ·+ xnvn + ρ.
Portanto, os contatos de M com a família de hiperplanos são dados pelas
singularidades da família de funções altura:
λ(φ) : R2 × Sn−1 → R((x, y), v) 7→ λ(φ)((x, y), v) = 〈φ(x, y), v〉 .
De�nição 1.54. Sejam φ : Rm → Rn imersão e ψ : Rn → R submersão que de�nem
localmente as subvariedades U = φ(Rm) e V = ψ−1(0). Dizemos que U e V tem
contato de ordem ≥ 2 em p ∈ U ∩ V se, e somente se, todas derivadas de ψ ◦ φ de
ordem ≤ 2 se anulam em p, ou seja se, e somente se,∂ψ◦φ∂x1
(p) = · · · = ∂ψ◦φ∂xm
(p) = 0∂2ψ◦φ∂x21
(p) = · · · = ∂2ψ◦φ∂x2m
(p) = ∂2ψ◦φ∂x1∂x2
(p) = · · · = ∂2ψ◦φ∂xm−1∂xm
(p) = 0.
17
Capítulo 1. Preliminares
1.5 As equações de Estrutura
Seja U ⊂ Rn um conjunto aberto e seja e1, ..., en campos de vetores diferenciáveis
tal que para cada produto interno
〈ei(p), ej(p)〉p = δij,
onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j. O conjunto de campo de vetores e1, ..., en
é chamado um referencial móvel em U . Dado um referencial móvel {ei}, i = 1, ..., n,
podemos de�nir 1-formas ωi pela condição
ωi(ej) = δij, i = 1, ..., n;
ou seja, em cada p, a base {(ωi)p} é a base dual de {(ei)p}. O conjunto das formas
{ωi} é chamado o correferencial associado ao referencial móvel {ei}.Cada campo de vetores ei é uma aplicação suave ei : U ⊂ Rn → Rn. Para cada p
e cada v ∈ Rn podemos escrever
(dei)p(v) =n∑j=1
(ωij)p(v)ej(p).
Note que, as expressões (ωij)p(v) =⟨
(dei)p(v), ej(p)⟩, de�nidas acima, dependem
linearmente de v. Portanto (ωij)p é uma aplicação linear em Rn e, desde que ei é
um campo de vetores diferenciável, ωij é uma 1-forma diferencial. Sabendo disso,
podemos escrevern∑j=1
ωijej.
As formas ωij asssim de�nidas são chamadas as formas de conexão de Rn no referencial
móvel {ei}.Observe que, se diferenciarmos 〈ei, ej〉 = δij, obtemos
0 = 〈dei, ej〉+ 〈ei, dej〉 = ωij + ωji,
isto é, as formas de conexão ωij = −ωji são antisimétricas nos indíces i, j. O ponto
crucial no método do referencial móvel é que as formas ωi, ωij satisfazem as chamadas
equações de estrutura de Elie Cartan.
18
Capítulo 1. Preliminares
Proposição 1.55 (As equações de estrutura do Rn). Seja {ei} um referencial móvel
em um conjunto aberto U ⊂ Rn. Seja ωi um correferencial associado associada a ei
e ωij as formas de conexão de U no referencial ei. Então
dωi =n∑k=1
ωk ∧ ωki, (1.2)
dωij =n∑k=1
ωik ∧ ωkj, i, j, k = 1, ..., n. (1.3)
Demonstração: Ver [6].
Lema 1.56 (Lema de Cartan). Seja M uma variedade. Considere dimM = n ≥ k
e sejam ω1, ..., ωk 1-formas em M que são linearmente independentes em cada ponto.
Suponha que existam 1-formas θ1, ..., θk tal que
k∑i=1
θi ∧ ωi = 0.
Então existe uma matriz simétrica k × k de funções suaves (Aij) tal que
θi =k∑j=1
Aijωj para i = 1, . . . , k.
Agora, iremos calcular as equações de estrutura de uma imersão f : M → R4 de
uma variedade diferenciável M de dimensão 2 em R4.
Para q ∈ M existe uma vizinhança U ⊂ M de q tal que a restrição f : U → R4
é um mergulho, ou seja, a imersão é localmente um mergulho. Desta forma, seja
V ⊂ R4 uma vizinhança de f(q) em R4 tal que V ∩f(M) = f(U). Suponha que existe
um referencial móvel {e1, e2, e3, e4} em V com a propriedade que, quando restrito a
f(U), os vetores e1, e2 são tangentes a f(U); um tal referencial móvel é dito ser um
referencial adaptado.
Em V temos, associado ao referencial {e1, e2, e3, e4}, as formas ωi e ωij que satisfe-
zem as equações de estrutura (1.2) e (1.3). Os indíces i, j ∈ {1, 2, 3, 4}. Agora, dadov ∈ Tf(q)f(U) temos que v = λ1e1(p) + λ1e2(p), onde f(q) = p e λ1, λ2 são escalares.
19
Capítulo 1. Preliminares
Logo, (ω3)p(v) = (ω3)p(λ1e1(p)+λ1e2(p)) = 0 e analogamente (ω4)p(v) = 0. Portanto
ω3 = ω4 = 0 para todo p ∈ f(U). Assim, temos que
0 = dω3 = ω31 ∧ ω3 + ω32 ∧ ω2,
0 = dω4 = ω41 ∧ ω1 + ω42 ∧ ω2.
Como ω1 e ω2 são independentes. Segue-se do lema de Cartan, que
ω13 = aω1 + bω2,
ω23 = bω1 + cω2,
ω14 = eω1 + fω2,
ω24 = fω1 + gω2.
(1.4)
A função N de�nida pela fórmula:
dω34 = −Nω1 ∧ ω2,
é chamada de curvatura normal.
Para calcular N usaremos 1.3 e as equações dadas por 1.4, assim temos que
dω34 = ω31 ∧ ω14 + ω32 ∧ ω24
= [(−aω1 − bω2) ∧ (eω1 + fω2)] + [(−bω1 − ω2) ∧ (fω1 + gω2)]
= −[(a− c)f − (e− g)b]ω1 ∧ ω2.
Portanto,
N = (a− c)f − (e− g)b.
20
Capítulo 2
Superfícies em R4
Neste capítulo estudaremos a geometria diferencial das superfícies em R4, ana-
lisando a elipse curvatura e os invariantes associados a essas superfícies. Também
estudaremos as formas quadráticas associadas a elipse curvatura.
2.1 Elipse curvatura
Sejam N uma variedade suave, compacta, 2-dimensional e f : N → R4 uma
imersão de N em R4. A métrica Riemanniana euclidiana de R4 induz de maneira
natural uma métrica Riemanniana em N : se v1, v2 ∈ TpM , de�ne-se 〈v1, v2〉 =
〈dfp(v1), dfp(v2)〉. Nesta situação a aplicação f é uma imersão isométrica de N em R4.
Note que f é localmente um mergulho, isto é, existe uma vizinhança U ⊂M de p tal
que f : U → R4 é um mergulho, o qual implica que f(U) ⊂ R4 é uma subvariedade
de R4. Denotamos f(U) = M .
De�nição 2.1. Dado m ∈M , para cada v ∈ S1 ⊂ TmM seja γ(s) uma curva em M
parametrizada pelo comprimento de arco que passa por f(m) e escolhida de modo que
o vetor tangente a γ em f(m) é v. O vetor curvatura normal η(v) é de�nido como
sendo a projeção de d2γds2
(m) em NmM . A imagem de η é chamada de elipse curvatura
de M em m.
21
Capítulo 2. Superfícies em R4
Veremos mais adiante que a de�nição acima é independente da escolha da curva
γ. Assim, podemos escolher a curva como intersecção de M com o hiperplano em
f(m) composto pela soma direta do plano normal NmM e a reta na direção tangente
representada por v. Uma tal curva é chamada a seção normal de M na direção v.
Agora, note que:
B(v, v) = (∇γ′γ′)N = η(v).
Para calcular B(v, v) usaremos o referencial móvel {e1, e2, e3, e4}, com e1, e2 ∈ TmMe as formas ωi e ωij que satisfazem as equações abaixo
ω13 = aω1 + bω2,
ω23 = bω1 + cω2,
ω14 = eω1 + fω2,
ω24 = fω1 + gω2,
ambas associados ao mergulho, e introduzidas no capítulo 1.
Assim, v = cos θe1 + sin θe2 e o vetor curvatura normal no ponto m coincide com:
η(v) = 〈B(v, v), e3〉 e3 + 〈B(v, v), e4〉 e4,
Como B é bilinear e simétrica, então
B(v, v) = cos2θB(e1, e1) + 2 cos θ sin θB(e1, e2) + sin2θB(e2, e2)
onde v = cos θe1 + sin θe2 (e1e2 é uma base tangente �xada). Note que 〈B(v, v), e3〉e 〈B(v, v), e4〉 ambas determinam formas quadráticas, e abaixo calcularemos os coe-
�cientes de 〈B(X,X), e3〉.
22
Capítulo 2. Superfícies em R4
• 〈B(e1, e1), e3〉 =⟨
(∇e1e1)N, e3
⟩=⟨
[(de1)p(e1)]N , e3
⟩=⟨
[ω11(e1)e1 + ω12(e1)e2 + ω13(e1)e3 + ω14(e1)e4]N , e3
⟩= 〈ω13(e1)e3 + ω14(e1)e4, e3〉
= 〈[aω1(e1) + bω2(e1)]e3 + [eω1(e1) + fω2(e1)]e4, e3〉 = a
• 〈B(e1, e2), e3〉 =⟨
(∇e1e2)N, e3
⟩=⟨
[(de2)p(e1)]N , e3
⟩=⟨
[ω21(e1)e1 + ω22(e1)e2 + ω23(e1)e3 + ω24(e1)e4]N , e3
⟩= 〈ω23(e1)e3 + ω24(e1)e4, e3〉
= 〈[bω1(e1) + cω2(e1)]e3 + [fω1(e1) + gω2(e1)]e4, e3〉 = b
• 〈B(e2, e2), e3〉 =⟨
(∇e2e2)N, e3
⟩=⟨
[(de2)p(e2)]N , e3
⟩=⟨
[ω21(e2)e1 + ω22(e2)e2 + ω23(e2)e3 + ω24(e2)e4]N , e3
⟩= 〈ω23(e2)e3 + ω24(e2)e4, e3〉
= 〈[bω1(e2) + cω2(e2)]e3 + [fω1(e2) + gω2(e2)]e4, e3〉 = c
23
Capítulo 2. Superfícies em R4
Analogamente a 〈B(v, v), e3〉 podemos calcular os coe�cientes de 〈B(v, v), e4〉 eassim temos que
• 〈B(e1, e1), e4〉 = e
• 〈B(e1, e2), e4〉 = f
• 〈B(e2, e2), e4〉 = g
Logo, B(e1, e1) = ae3 + ee4, B(e1, e2) = be3 + fe4, B(e2, e2) = ce3 + ge4. Portanto,
η(v) = (acos2θ + 2b cos θ sin θ + csin2θ)e3 + (ecos2θ + 2f cos θ sin θ + gsin2θ)e4.
Esta equação mostra que a elipse curvatura não depende da escolha da curva para-
metrizada.
Note que η : S1 → NmM é uma aplicação de S1 em NmM .
O vetor curvatura média da elipse de curvatura, que será denotado por H, é dado
por
H =1
2(a+ c)e3 +
1
2(e+ g)e4.
Usando as identidades trigonométricas
cos2θ =1 + cos 2θ
2, sin2θ =
1− cos 2θ
2e cos θ sin θ =
cos 2θ
2,
podemos escrever
η(θ) = (1
2(a− c) cos 2θ + b sin 2θ)e3 + (
1
2(e− g) cos 2θ + f sin 2θ)e4 +H. (2.1)
Como matriz (2.1) tem a seguinte forma
(η −H)(θ) =
[12(a− c) b
12(e− g) f
][cos 2θ
sin 2θ
].
Note que det(η −H) = 1/2N , onde N é a curvatura normal de�nida no capítulo 1.
Mostraremos abaixo que a imagem do círculo por (η −H) é uma elipse.
Proposição 2.2. Supondo que det(η −H) 6= 0, temos que a imagem do círculo por
(η −H) é uma elipse no plano normal.
24
Capítulo 2. Superfícies em R4
Demonstração: Seja p ∈M , vamos considerar θ como sendo uma direção variando
de 0 à 2π em S1 ⊂ Tf(p)f(M) e (x, y) as coordenadas de (η −H)(θ) em Nf(p)f(M).
Assim, temos:
[12(a− c) b
12(e− g) f
][cos 2θ
sin 2θ
]=
[x
y
]
⇒
[12(a− c) b
12(e− g) f
]−1 [12(a− c) b
12(e− g) f
][cos 2θ
sin 2θ
]=
[12(a− c) b
12(e− g) f
]−1 [x
y
]
⇒
[cos 2θ
sin 2θ
]= 1
det(η−H)
[f −b
−12(e− g) 1
2(a− c)
][x
y
]=
= 11/2N
[fx− by
−12(e− g)x+ 1
2(a− c)y
]
Como cos22θ + sin22θ = 1, temos que
1
(1/2N)2[(fx− by)2 + (−1
2(e− g)x+
1
2(a− c)y)2] = 1.
o que implica
1
(1/2N)2
[(f2 +1
4(e− g)2)x2 +2(−fb− 1
4(e− g)(a− c))xy+ (b2 +
1
4(a− c)2)y2] = 1. (2.2)
Sejam A = f 2 + 14(e− g)2 , B = −fb − 1
4(e − g)(a − c) e C = b2 + 1
4(a− c)2. A
cônica será uma elipse quando A > 0 e AC − B2 > 0 ver referência [5]. Abaixo será
mostrado que estas condições são satisfeitas.
i) A = f 2 + 14(e− g)2 > 0
pois
det(η −H) = 12(a− c)f − 1
2(e− g)b 6= 0.
25
Capítulo 2. Superfícies em R4
ii) C = b2 + 14(a− c)2 > 0, det(η −H) 6= 0.
iii) AC −B2 > 0, pois
AC −B2 = (f 2 + 14(e− g)2)(b2 + 1
4(a− c)2)− f 2b2 − 1
2fb(e− g)(a− c)
− 116
(e− g)2(a− c)2
= f 2b2 + 14f 2(a− c)2 + 1
4(e− g)2b2 + 1
16(e− g)2(a− c)2
−12fb(e− g)(a− c)− 1
16(e− g)2(a− c)2
= 14f 2(a− c)2 − 1
2fb(e− g)(a− c) + 1
4(e− g)2b2
= (12(a− c)f − 1
2(e− g)b)2 = (det(η −H))2 > 0.
Portanto concluímos que (2.2) de�ne uma elipse.
Observação 2.3. 1) Geometricamente, o vetor curvatura média H da expressão (2.1)
da elipse de curvatura, representa o vetor com extremos em p e no centro de η(θ).
Figura 2.1: Vetor curvatura
2) A de�nição 2.1 também pode ser introduzida para superfície imersa em R3. Neste
caso, o espaço normal a M em m é uma reta e a �elipse de curvatura� é um segmento
26
Capítulo 2. Superfícies em R4
de reta ou é apenas um ponto. Veja a �gura abaixo.
Figura 2.2: Superfície M em R3
Vamos utilizar o Teorema 1.47 acima para calcular a curvatura Gaussiana da
superfícieM que será denotada por k. Como a curvatura seccional de R4 é nula temos,
k(e1, e2) = 〈B(e1, e1), B(e2, e2)〉 − ‖B(e1, e2)‖2
=⟨
(∇e1e1)N, (∇e2e2)
N⟩−⟨
(∇e1e2)N, (∇e1e2)
N⟩
=⟨
(de1(e1))N , (de2(e2))N⟩−⟨
(de2(e1))N , (de2(e1))N⟩.
No cálculo dos coe�cientes da segunda forma fundamental vimos que,
(de1(e1))N = ω13(e1)e3 + ω14(e1)e4,
(de2(e2))N = ω23(e2)e3 + ω24(e2)e4,
(de2(e1))N = ω23(e1)e3 + ω24(e1)e4,
27
Capítulo 2. Superfícies em R4
Logo
k(e1, e2) =⟨
(de1(e1))N , (de2(e2))N⟩−⟨
(de2(e1))N , (de2(e1))N⟩
= ω13(e1)ω23(e2) + ω14(e1)ω24(e2)− ((ω23(e1))2 + (ω24(e1))2)
= (aω1(e1) + bω2(e1))(bω1(e2) + cω2(e2)) + (eω1(e1) + fω2(e1))(fω1(e2) + gω2(e2))
−[(bω1(e1) + cω2(e1))2 + (fω1(e1) + gω2(e1))2]
= ac+ eg − b2 − f 2.
Portanto, teremos
k = ac− b2 + eg − f 2.
A curvatura Gaussiana também pode ser calculada da seguinte forma:
Observação 2.4. A curvatura Gaussiana k da variedade M é dada pela igualdade
dω12 = −kω1 ∧ ω2.
De fato, usando 1.3 e as equções 1.4, teremos
dω12 = ω13 ∧ ω32 + ω14 ∧ ω42
= [(aω1 + bω2) ∧ (−bω1 − cω2)] + [(eω1 + fω2) ∧ (−fω1 − gω2)]
= −[ac− b2 + eg − f 2]ω1 ∧ ω2.
Logo,
k = ac− b2 + eg − f 2.
2.2 Os Invariantes de Superfícies em R4
Usando a elipse de curvatura podemos detectar invariantes escalares. A elipse de
curvatura como um conjunto de pontos do plano normal é independente de rotações
no espaço tangente.
28
Capítulo 2. Superfícies em R4
Proposição 2.5. O vetor curvatura média H = (a + c)e3 + (e + g)e4 é um vetor
invariante.
Demonstração: A prova segue observando que (a+c) é o traço da forma quadrática
ax2 + 2bxy + cy2 e (e+ g) o traço de ex2 + 2fxy + cy2.
Trataremos agora de um invariante que determina a posição da origem de NpM
em relação à elipse de curvatura. Este invariante é
∆ =1
4det
a 2b c 0
e 2f g 0
0 a 2b c
0 e 2f g
.
Antes de mostrarmos que ∆ é um invariante será útil desenvolver duas formas qua-
dráticas invariantes. Escreva e = xe1 + ye2 e considere
〈de, e3〉 ∧ 〈de, e4〉 .
Agora de = xde1 + dxe1 + yde2 + dye2 de modo que
〈de, e3〉 = xω13 + yω23
〈de, e4〉 = xω14 + yω24
.
Assim, usando as equações (1.4), podemos escrever:
〈de, e3〉 ∧ 〈de, e4〉 = [xω13 + yω23] ∧ [xω14 + yω24]
= [x(aω1 + bω2) + y(bω1 + cω2)] ∧ [x(eω1 + fω2) + y(fω1 + gω2)]
= [(af − be)x2 + (ag − ce)xy + (bg − cf)y2]ω1 ∧ ω2.
Desta maneira, temos uma forma quadrática em x e y, que denotaremos por Q(x, y),
ou seja
Q(x, y) = (af − be)x2 + (ag − ce)xy + (bg − cf)y2.
29
Capítulo 2. Superfícies em R4
Sabemos que, dado uma forma quadrática temos uma matriz simétrica associada a
esta forma, logo para a forma acima temos a matriz
Q =
[(af − be) 1
2(ag − ce)
12(ag − ce) (bg − cf)
].
O traço e o determinante de Q são funções escalares de�nidas na variedade. Note que
o traço de Q, (af − be) + (bg − cf), é igual a curvatura normal N .
Com alguns cálculos podemos mostrar que
∆ = detQ
Portanto, isto mostra que ∆ é um invariante.
Teorema 2.6. Seja m identi�cada com a origem de NmM e det(η −H) 6= 0, então:
a) ∆ < 0 ⇒ m está fora da elipse de curvatura (tal ponto é chamado um ponto
hiperbólico de M);
b) ∆ > 0⇒ m está dentro da elipse de curvatura (ponto elíptico);
c) ∆ = 0⇒ m está sobre a elipse de curvatura (ponto parabólico);
Demonstração: Veja [2].
Quando det(η −H)(θ) = 0, a elipse de curvatura pode degenerar-se em um seg-
mento de reta radial, caso em que f(m) é conhecido como um ponto de in�exão da
superfície. O ponto de in�exão é do tipo real quando f(m) pertence à elipse de cur-
vatura, e do tipo imaginário quando não pertence. Um ponto de in�exão é do tipo
�at ou degenerado quando f(m) é um ponto �nal da elipse de curvatura. A torção
τθ de γθ em f(m) é chamada a torção normal de f(M) na direção θ em f(m). Uma
direção θ0 em Tf(m)f(M) para a qual η(θ0) e ∂η∂θ
(θ0) são paralelos é chamada uma
direção assintótica. Consideremos a matriz
α(m) =
(a
e
b
f
c
g
).
Ao invés de mostrarmos o Teorema 2.6, vamos provar a proposição abaixo:
30
Capítulo 2. Superfícies em R4
Proposição 2.7. Em um ponto hiperbólico existem exatamente duas direções assin-
tóticas, em um ponto elíptico não existe direção assintótica e, em um ponto parabólico
uma única (a menos que o ponto seja um ponto de in�exão, caso em que todas as
direções são assintóticas).
Demonstração: Usando (2.1) temos
∂η
∂θ(θ) = ((c− a) sin 2θ + 2b cos 2θ)e3 + ((g − e) sin 2θ + 2f cos 2θ)e4
O vetor η(θ) é paralelo a ∂η∂θ
(θ) se
(1
2(a− c) cos 2θ + b sin 2θ +
1
2(a+ c))((g − e) sin 2θ + 2f cos 2θ)
+((a− c) sin 2θ + 2b cos 2θ)(1
2(e− g) cos 2θ + b sin 2θ +
1
2(e+ g)) = 0
O que implica
1
2(a− c)(g − e) cos 2θ sin 2θ + (a− c)fcos22θ + (g − e)bsin22θ
+2bf cos 2θ sin 2θ +1
2(a+ c)(g − e) sin 2θ +
1
2(a+ c)2f cos 2θ
+1
2(a− c)(e− g) cos 2θ sin 2θ + (a− c)fsin22θ +
1
2(a− c)(e+ g) sin 2θ
−b(e− g)cos22θ − 2bf cos 2θ sin 2θ − b(e+ g) cos 2θ = 0.
O que implica
(a−c)f+(g−e)b+[1
2(a+c)(g−e)+
1
2(a−c)(e+g)] sin 2θ+[(a+c)f−b(e+g)] cos 2θ = 0
Ou ainda,
[(a−c)f+(g−e)b](cos2θ+sin2θ)+2(ag−ce) sin θ cos 2θ+[(af−be)−(bg−cf)](cos2θ−sin2θ) = 0.
31
Capítulo 2. Superfícies em R4
Resultando em
2[(af − be)cos2θ + (ag − ce) cos θ sin θ + (bg − cf)sin2θ] = 0.
A matriz associada a forma quadrática acima entre os colchetes temos a matriz:
[(af − be) 1
2(ag − ce)
12(ag − ce) (bg − cf)
].
O determinante desta matriz é (af − be)(bg − cf)− 14(ag − ce)2 que é exatamente o
∆ . Portanto a forma quadrática terá duas, uma ou zero soluções, assim como ∆ < 0
, ∆ = 0 e ∆ > 0 respectivamente.
Um estudo mais detalhado do item c do Teorema 2.6 permite distinguir as
seguintes possibilidades:
Proposição 2.8. :
i) ∆(m) = 0, k(m) > 0 ⇒ f(m) é um ponto de in�exão do tipo imaginário.
ii)∆(m) = 0, k(m) < 0 e
{rankα(m) = 2 ⇒ a elipse de curvatura é não degenerada.
rankα(m) = 1 ⇒ f(m) é um ponto de in�exão do tipo real.
iii) ∆(m) = 0, k(m) = 0 ⇒ f(m) é um ponto de in�exão do tipo �at.
Demonstração: ∆ é o resultante de dois polinômios az2 + 2bz + c e ez2 + 2fz + g.
Desta forma, temos que ∆(m) = 0 implica que az2 + 2bz + c = 0 e ez2 + 2fz + g = 0
têm pelo menos uma raiz não trivial em comum. Assim vemos que se a elipse passa
pelo origem segue que η(θ) = 0 para algum θ ∈ [0, 2π] então os dois polinômios tem
uma raiz comum, ou seja cos θ/sin θ, de modo que ∆ = 0. De fato, neste caso a
raiz não trivial comum é real. Desde que raízes de uma forma quadrática são ambas
reais ou ambas imaginárias,elas tem uma raiz real comum se, e somente se, todas
as quatros raízes são reais. A condição para isto é que b2 − ac > 0, f 2 − eg > 0.
32
Capítulo 2. Superfícies em R4
Consequentemente k 6 0 para que a elipse passe pela a origem.
Aplicando à k(p) < 0, temos:
rank α(p) = 2⇒ a elipse é não degenerada e passa pelo ponto f(m).
rank α(p) = 1 ⇒ a elipse é degenerada em um segmento de reta radial. (Teorema
1.2, pag. 269-270, [10]).
Note que k(m) = 0⇒ rank α(m) 6 1 . (Teorema 1.2, pag. 269-270, [10]).
Dessa forma, η(θ) = (acos2θ + 2b sin θ cos θ + csin2θ)e3 + (ecos2θ + 2f sin θ cos θ +
gsin2θ)e4 = (e3 +λe4)(acos2θ+2b sin θ cos θ+csin2θ) = (√|a| cos θ +
√|c| sin θ)2(e3 +
λe4), para algum λ ∈ R, λ 6= 0. Observe que (√|a| cos θ +
√|c| sin θ)2 > 0 para todo
θ ∈ [0, 2π], logo, a elípse de curvatura se degenera em segmento de reta radial tendo
f(m) como ponto extremo.
Segue abaixo uma tabela ilustrativa do comportamento da elipse de curvatura em
relação à f(m) de acordo com valores de ∆(m), α(m) e k(m).
Figura 2.3: Elipse de curvatura
33
Capítulo 2. Superfícies em R4
2.3 Formas Quadráticas Degeneradas
Um forma quadrática é dada por ax2 + 2bxy + cy2. Denotamos por H2(2, 1) o
espaço de todas as formas quadráticas. Sejam q1, q2 ∈ H2(2, 1). Um feixe de formas
quadráticas gerado por q1 e q2 é um subespaço de H2(2, 1) de�nido por
[q1, q2] = {α1q1 + α2q2/α1, α2 ∈ R.}
Observe que o feixe [q1, q2] pode ser um plano que atravessa a origem, uma reta que
passa na origem, ou apenas a própria origem. Note que H2(2, 1) pode ser identi�cado
com R3 pela identi�cação da forma quadrática ax2 + 2bxy + cy2 com o ponto (a, b, c)
de R3. Os vários tipos de formas quadráticas são separados exatamente pelo cone
D = b2 − ac = 0.
Sob a ação do grupo GL(2)×GL(1), obtemos as seguintes 4 órbitas de H2(2, 1):
(i) O cone b2 = ac, cone D, compreende as formas de rank 1 (tipo parabólico).
(ii) A origem representa a forma nula de rank 0 (tipo simbólico).
O restante do espaço compreende as formas quadráticas de rank 2:
(iii) As que estão dentro do cone correspondem as formas de semi-índice 0 (tipo
elíptico).
(iv) As de fora do cone são as formas de semi-índice 1 (tipo hiperbolíco).
As quatro orbitas acima são representadas na �gura abaixo:
Figura 2.4:
Para maiores detalhes veja [8]
34
Capítulo 2. Superfícies em R4
Proposição 2.9. Consideremos p ∈ M e seja (q1, q2) a segunda forma fundamental
de M em p.
1. Se ∆(p) < 0, [q1, q2] é um plano que intercepta o cone D em duas retas.
2. Se ∆(p) > 0, [q1, q2] é um plano que não intercepta o cone D.
3. Se ∆(p) = 0 e rankα(p) = 2, o plano [q1, q2] é tangente ao cone.
4. Se rankα(p) = 1 e:
(a) k(p) > 0 então [q1, q2] é uma reta dentro do cone.
(b) k(p) < 0 então [q1, q2] é uma reta fora do cone.
(c) k(p) = 0 então [q1, q2] é uma reta sobre o cone.
Demonstração: Ver [7].
35
Capítulo 3
Contatos de Superfícies em R4 com
hiperplanos
Neste capítulo estudamos a geometria das superfícies em R4 através da função
altura associada. Na seção 3.1, introduzimos a variedade canal associada R4. Uma
das propriedades desta variedade é que é uma hipersuperfície em R4
3.1 Variedade canal de uma superfície em R4
Seja f : M → R4, n ≥ 4, uma imersão de uma variedade diferenciável M de
dimensão 2 em R4. Para cada v ∈ S3, a função altura fv : M → R de f na direção v
é dada por
〈f(x, y), v〉 .
A família de funções altura é dada por
λ(f) : M × S3 → R
(m, v) 7→ 〈f(m), v〉 = fv(m)
Escolhendo um sistema de coordenadas em M , temos o seguinte: m ∈ M é um
36
Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
ponto singular de fv se, e somente se,∂fv∂x
(m) = 0
∂fv∂y
(m) = 0
⇔
⟨∂f∂x
(m), v⟩
= 0
⟨∂f∂y
(m), v⟩
= 0
,
se, e somente se, v ∈ Nf(m)f(M).
Proposição 3.1. Seja M uma superfície imersa em R4. Dados m um ponto em
M e v um vetor não nulo em NmM , as formas quadráticas IIv(m) e Hess(fv)(m)
coincidem.
Observe que, por M não ser uma hipersuperfície em R4 a aplicação normal de
Gauss sobreM não esta de�nida de maneira usual. Entretanto, utilizamos o conceito
da 3-variedade canal, denotada por CM , para desenvolver uma técnica que permite
obter informações geométricas sobre M a partir de CM .
A 3-variedade canal da superfície CM ⊂ R4 é de�nida como CM = {f(m) + εv ∈R4 : m ∈M e v ∈ Nf(m)f(M) sendo v unitário}, aqui ε é um número real positivo
su�cientemente pequeno escolhido tal que CM seja mergulhada em R4.
Denotamos por∼f o mergulho natural de CM em R4:
∼f : CM → R4
(m, v) 7→∼f(m, v) = f(m) + εv,
e por (m, v) o ponto f(m) + εv ∈ CM . Do teorema de Looijenga's [9], segue que
existe um subconjunto residual de mergulhos f : M → R4, tal que a família de funções
altura:λ(f) : M × S3 → R
(m, v) 7→ 〈f(m), v〉 = fv(m)
seja localmente estável como uma família de funções em M com parâmetros em S3.
Além disso, a família de funções altura λ(∼f) na variedade canal é também genérica.
De fato as singularidades de λ(f) e λ(∼f) são totalmente relacionados [15].
37
Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
Essas podem ser, para um f genérico, de um dos seguintes tipos: A1, A2, A3, A4,
D+4 e D_
4 . Além disso, as singularidades da aplicação normal de Gauss, Γ : CM → S3
(também chamada generalização da aplicação de Gauss sobre M) podem ser descritas
em termos destas como as seguintes:
Lema 3.2. Dado um ponto crítico m ∈M da função altura fv:
(a) m é um ponto crítico não degenerado de fv ⇔ (m,v) é um ponto regular de Γ.
Ou equivalentemente,
(a') m é um ponto crítico degenerado de fv ⇔ (m,v) é um ponto singular de Γ.
Demonstração: Ver [7].
Seja Kc : CM → R a função curvatura Gaussiana em CM . O conjunto parabólico,
Kc−1(0), de CM é o conjunto singular de Γ, pois Kc(m, v) = det(dΓ(m, v)) [7]. Pode
ser mostrado [14] que para um mergulho genérico de M , Kc−1(0) é uma superfície
regular exceto por um número �nito de pontos (m, v) que são singularidades do tipo
Σ2,0(Γ).
Seja ξ : CM → M a projeção de CM em M , ou seja, ξ(m, v) = m. O próximo
lema prova que a imagem do conjunto de pontos parabólicos K−1c (0) por ξ é o conjunto
{m ∈M ; ∆(m) ≤ 0}, que será denotado por ∆ ≤ 0. Mais precisamente:
Lema 3.3. (1) Se ∆(m) > 0, então m é um ponto critico não degenerado de fv, ∀v ∈ Nf(m)f(M).
(2) Se ∆(m) < 0, então existem dois vetores b1, b2 ∈ Nf(m)f(M), tal que m é um
ponto crítico degenerado de fbi.
(3) Se ∆(m) = 0, então existe um único vetor b ∈ Nf(m)f(M) tais que m é um ponto
critico degenerado de fb.
Demonstração: Seja f : M → R4 uma imersão localmente dada pelo mergulho
f : (R2, 0)→ (R4, 0)
(x, y) 7→ (x, y, f1(x, y), f2(x, y)),
38
Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
onde f1 e f2 são função diferenciáveis satisfazendo ∂fi∂x
(0, 0) = ∂fi∂y
(0, 0) = 0, para
todo i ∈ {1, 2}, e seja
fv : (R2, 0)→ (R, 0)
(x, y) 7→ fv(x, y) = v1x+ v2y + v3f1(x, y) + v4f2(x, y)
a função altura na direção v, onde v = (v1, v2, v3, v4) ∈ S3.
Vamos identi�car m com (0, 0) ∈ R2, e com isso temos,
∂f
∂x(0, 0) = (1, 0, 0, 0),
∂f
∂y(0, 0) = (0, 1, 0, 0),
∂fv∂x
(0, 0) = v1 e∂fv∂y
(0, 0) = v2.
Se (0, 0) é um ponto crítico da função altura fv, teremos que v1 = v2 = 0 e
(0, 0, v3, v4) ∈ Nf(m)f(M). Usando a Proposição 3.1 que a�rma que as formas
quadráticas IIv(m) e Hess(fv)(m) coincidem, veremos que o determinante da matriz
Hessiana de fv em (0, 0) é dado por:
detH(fv)(0, 0) = (ac− b2)v23 + (ag + ce− 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2
4,
onde (a, b, c), (e, f, g) são os coe�cientes da segunda forma fundamental de M em
(0, 0). Veja que, detH(fv)(0, 0) nos dá uma forma quadrática nas variáveis v3, v4 e
associada a tal forma quadrática temos uma matriz simétrica, cujo o determinante
será
∆ = (ac− b2)(eg − f 2)− 1
4(ag + ce− 2bf)2.
Logo, estudando as possíveis raízes reais de (ac− b2)v23 + (ag+ ce− 2bf)v3v4 + (eg−
f 2)v24 = 0, obtemos que:
a) se ∆(m) > 0 então (ac − b2)v23 + (ag + ce − 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2
4 6= 0 para
todo v ∈ Nf(m)f(M), ou seja, (0, 0) é um ponto crítico não degeneredo de fv,
∀v ∈ Nf(m)f(M).
b) se ∆(m) < 0, a equação (ac − b2)v23 + (ag + ce − 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2
4 = 0
39
Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
possui duas raizes reais e diferentes, que é equivalente a a�rmar que existem dois
vetores b1, b2 ∈ Nf(m)f(M), tais que (0, 0) é um ponto crítico degenerado de fbi ,
i ∈ {1, 2}.
c) se ∆(m) = 0, a equação (ac − b2)v23 + (ag + ce − 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2
4 = 0
admite apenas uma raiz com multiplicidade 2, o que equivale a dizer que existe um
único vetor b ∈ Nf(m)f(M) tal que (0, 0) é um ponto crítico degenerado de fb.
Observação 3.4. Quando m é um ponto crítico degenerado de fb, o hiperplano Hb,
ortogonal a b tem contato de ordem superior com f(M) em f(m). Assim, por analogia
com curvas em R4, diremos que b é um vetor binormal de f(M) em f(m) e Hb um
hiperplano osculador. Como já vimos, uma função altura fv : M → R tem uma
singularidade degenerada em m se, e somente se, v é um vetor binormal de f(M) em
f(p).
Seja ξ a restrição de ξ para a superfície K−1c (0)−
∑2(Γ), e denote porM− = {m ∈M : ∆(m) < 0} e B = {(m, v) ∈ Kc−1(0) : m ∈M−}.
Proposição 3.5. (i) ξ|B : B → M− é um difeomor�smo local, mais precisamente;
ele é um recobrimento duplo.
(ii) ∆(m) = 0 e m não é um ponto de in�exão ⇔ existe v ∈ S3 tal que (m,v) é um
ponto singular (dobra) de ξ.
Demonstração: Seja (m, v) ∈ B. Então, podemos escolher coordenadas para CM
tal que m = (0, 0) e v = (0, 0, 0, 1). Agora, isto é su�ciente para notar que se v é uma
direção degenerada então
detH(fv)(0, 0) = (ac− b2)v23 + (ag + ce− 2bf)v3 + (eg − f 2)
= Kc(m, v3) = 0.
Então:
(i) v3 = 0 é uma raiz simples de Kc(m, v3) = 0 ⇔ (∂Kc/∂v3)(0, 0) 6= 0 ⇔ ξ é um
difeomor�smo local.
40
Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
(ii) v3 = 0 é uma raiz dupla deKc(m, v3) = 0⇔ (∂Kc/∂v3)(0, 0) = 0 e (∂2Kc/∂v23)(0, 0) 6=
0⇔ (m, v) é um ponto de dobra para ξ.
Observação 3.6. Em cada ponto de K−1c (0)−
∑2(Γ) existe um única direção principal
de curvatura nula para CM . Esta direção é tangente a superfície K−1c (0) sobre uma
curva formada de pontos do tipo Σ1,1(Γ).
Proposição 3.7. A imagem das direções principais de curvatura nula no conjunto
K−1c (0)−
∑2(Γ) sob ξ são direções assintóticas sobre M.
Demonstração: A seguinte expressão para o vetor curvatura η(θ) é dada no capítulo
2 desta dissertação:
η(θ) = (1
2(a− c) cos 2θ + b sin 2θ)e3 + (
1
2(e− g) cos 2θ + f sin 2θ)e4 +H,
onde H = 12(a + c)e3 + 1
2(e + g)e4, é o vetor curvatura média, também de�nido no
capítulo 2. Agora podemos escolher um sistema de coordenadas locais para M tal
que
α(m) =
a b c
0 0 1
.
Está escolha implicará que e1 = (1, 0, 0, 0) ∈ T(m,v)CM é a direção de curvatura
nula, e dξ(m,v)(e1) = e1 ∈ TmM . Então, temos que η(0) = ae3 e (∂η/∂θ)(0) = 2be3,
ou seja, η(0) e (∂η/∂θ)(0) são paralelos.
Seja (m, v) ∈ K−1c (0) e U×V uma vizinhança de (m, v), como na Proposição II.5.5,
página 37, [7]. A matriz de dΓ(m, v) é simétrica de ordem 3 em cada ponto (m, v)
de U × W e, portanto diagonlizável. Os auto-valores correspondem às curvaturas
principais, seus auto-vetores às direções principais de curvatura e seu determinante
em cada ponto sua curvatura Gaussiana. Então, podemos escrever:
dΓ(m, v) =
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 1
(m, v)
41
Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
para λj ∈ C∞(U × W ), j ∈ {1, 2}. Dessa forma, λj(m, v) são os auto-valores e
denotamos os autovetores por ej(m, v), ej ∈ C∞(U ×W,T f(U ×W )). Então, temos:
a) (m, v) ∈ Σ1(Γ) ⇔ coposto dΓ(m, v) = 1. Podemos supor λ1(m, v) = 0 e
λ2(m, v) 6= 0. Além disso, diminuindo U , se necessário, podemos assumir que λ2
não se anula em U ×W . Portanto, podemos de�nir Σ1(Γ), localmente, pela equação
λ1 = 0 e a restrição λ2(m,u) 6= 0.
Em todos os casos genéricos, Σ1(Γ) de�ne uma subvariedade de U×W de dimensão
menor igual à 2.
O conjunto Σ1(Γ), (q, u) estará em Σ1,1(Γ) ou Σ1,0(Γ) conforme a direção principal
de curvatura e1(q, u) estiver em T(q,u)Σ1(Γ) ou não. Isto de�ne, outra vez, uma
subvariedade Σ1,1(Γ) de Σ1(Γ), de dimensão ≤ 1. Podemos de�nir indutivamente
Σ
i−1︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1,0(Γ) e Σ
i︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1(Γ) como segue: um ponto (q, u) ∈ Σ
i−1︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1(Γ) está em
Σ
i−1︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1, 0(Γ) se e1(q, u) não é tangente a Σ
i−1︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1(Γ) e está em Σ
i︷ ︸︸ ︷1, . . . , 1(Γ), caso
contrário.
b) Um ponto (m, v) ∈ U ×W está em Σ2(Γ) ⇔ dΓ(m, v) tem coposto 2 (pontos
umbílicos). Como no caso a), podemos assumir que Σ2(Γ) é, localmente, dado por
λ1(m, v) = 0 e λ2(m, v) = 0.
3.2 Caraterização geométrica das singularidades de
funções altura
Temos visto que uma função altura fv : M → R tem uma singularidade degene-
rada em m se, somente se, v é um vetor binormal de f(M) em f(m). Nesta seção
caracterizaremos os tipos de singularidades que ocorrem genericamente.
Denote por γ a seção normal de M tangente na direção assintótica θ em f(M)
associado ao vetor binormal v, e seja χ a curva formada de pontos do tipo Σ1,1 (isto
é, cúspides e caudas de andorinha de Γ).
Lema 3.8. Dado m ∈M e uma função altura fv : M → R, temos que:
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Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
(i) m é uma singularidade de dobra de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,0(Γ).
(ii) m é uma singularidade de cúspide de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,0(Γ).
(iii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,1,0(Γ).
(iv) m é um ponto umbílico de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ2,0(Γ).
Teorema 3.9. Para m ∈ M tal que ∆(m) < 0: m é singularidade de dobra de fv
⇔ γ tem torção normal não-nula em m. Agora, se γ tem torção normal nula em m,
m ∈ ξ(χ) e temos que:
(i) m é uma singularidade de cúspide de fv ⇔ θ é transversal a ξ(χ).
(ii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ θ é tangente a ξ(χ) com
contato de ordem 1 em m.
Demonstração: Como antes, podemos escolher um sistema de coordenadas local tal
que f é dada em forma de Monge, e a direção degenerada v é (0, 0, 0, 1). Isto é,
(R2, 0)f→(R4, 0)
(x, y) 7→ (x, y, f1(x, y), f2(x, y))
com
f1(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 +M1x3 + 3M2x
2y + · · ·f2(x, y) = y2 + P1x
3 + 3P2x2y + 3P3xy
2 + P4y3 +Q1x
4 + · · · .
Então, a curvatura Gaussiana Kc é dada por:
R2 × R, 0 Kc→R, 0(x, y, v3) 7→ Kc(x, y, v3) = A0(x, y)v2
3 + A1(x, y)v3 + A2(x, y)
onde
A0(x, y) = f1xx(x, y).f1yy(x, y)− f 21xy(x, y)
A1(x, y) = f1xx(x, y).f2xx(x, y) + f1yy(x, y)f1xx(x, y)
−2f1xy(x, y).f2xy(x, y)
A2(x, y) = f2xx(x, y).f2yy(x, y)− f 22xy(x, y).
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Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
A direção de curvatura nula de CM em (m, v) nessas coordenadas é o eixo x.
Então dξ(m,v)(e1) = e1 = θ (Proposição anterior). A seção normal γ pose ser parame-
trizada por
γ : (R, 0)→ (R4, 0)
s 7→ γ(s) = (s, 0, as2 + · · · , P1s3 + · · · )
Logo, segue que γ tem torção não nula ⇔ P1 6= 0.
Vamos mostrar que P1 6= 0⇔ m é um ponto de dobra de fv.
Considere a aplicação
h : (R2, 0)→ (R2, 0)
(x, y) 7→ (h1(x, y), h2(x, y)),
onde
h1(x, y) = ∂fv∂x
(x, y) = 3P1x2 + 6P2xy + 3P3y
2 + 4Q1x3 + · · ·
h2(x, y) = ∂fv∂y
(x, y) = 2y + 3P2x2 + 6P3xy + 3P4y
2 + · · ·
Observe que o sistema abaixo{hk11 = 3P1x
2 + 6P2xy + 3P3y2 = 0
hk22 = 2y = 0.
tem apenas a solução trivial em C2 ⇔ P1 6= 0. Daí temos que cod(fv,Re) = 2 ⇔P1 6= 0. Pela tabela de singularidades do capítulo 1 temos que, se m for um ponto
de dobra de fv então cod(fv,Re) = 2. Portanto, concluímos que P1 6= 0 ⇔ m é um
ponto de dobra de fv.
Agora, se P1 = 0, (m, v) ∈ Σ1,1(Γ). Então
(i) m é um ponto de cúspide de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,0(Γ) ⇔ a direção de curvatura
nula é tangente a K−1c (0) e transversal a curva Σ1,1,0(Γ).
(ii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,1,0(Γ)⇔ a dire-
ção principal nula não é tangente a Σ1,1,1(Γ) ⇔ a direção principal nula é tangente a
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Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
Σ1,1,0(Γ) com contato de primeira ordem.
Desde que ξ : B → M− é um difeomor�smo local, θ é transversal a ξ(Σ1,1,0(Γ))
em (i) e tangente a ξ(Σ1,1,0(Γ)), com contato de primeira ordem em (ii).
Observação 3.10. (i) Genericamente, as curvas de M composta de pontos tendo
uma singularidade mais degenerada que uma dobra não podem encontrar a curva
∆−1(0) em um ponto rabo de andorinha.
A caracterização das singularidades das funções altura sobre a curva ∆−1(0) é
dada pelo teorema abaixo:
Teorema 3.11. (i) Se ∆(m) = 0, e m não é um ponto de in�exão de M , então m
é uma dobra ou uma cúspide de fv e:
• m é uma singularidade de dobra de fv ⇔ θ é transversal a curva ∆−1(0) de
pontos parabólicos de f(M).
• m é uma singularidade de cúspide de fv ⇔ θ é tangente a ∆−1(0).
(ii) m é um ponto umbílico de fv ⇔ m é um ponto de in�exão de M . Além disso,
• m é um ponto de cruzamento normal de ∆−1(0) ⇔ m é um ponto de in�exão
do tipo real;
• m é um ponto de in�exão isolado de ∆−1(0) ⇔ m é um ponto de in�exão do
tipo imaginário.
Demonstração: Com a mesma escolha de coordenadas como no teorema anterior,
temos:
Kc = A0(x, y)v23 + A1(x, y)v3 + A2(x, y),
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Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
ondeA0(x, y) = −4b2 + 12[(cM1 − 2bM2)x+ (cM2 − 2bM3)y] + · · · ,
A0(0, 0) 6= 0
A1(x, y) = 12[(M1 + cP1 − 2bP2)x+ (M2 + cP2 − 2bP3)y] + · · · ,A2(x, y) = 12(P1x+ P2y) + [24Q1 + 36(P1P3 − P 2
2 )]x2
+[48Q2 + 36(P1P4 − P2P3)]xy
+[24Q3 + 36(P2P4 − P 23 )]y2
+[40R1 + 72(P1Q3 + P3Q1 − 2P2Q2)]x3 + · · ·
Ainda, nessas coordenadas, a função ∆ : M → R tem a seguinte representação local
∆ : (R2, 0)→ (R, 0)
(x, y) 7→ ∆(x, y) = 116
[A0(x, y)A2(x, y)− 14A2
1(x, y)].
Agora, o conjunto discriminante de K−1c (0), é dado por:
{(x, y)/∃v3 : Kc(x, y, v3) = 0 e (∂Kc/∂v3)(x, y, v3) = 0}.
Temos que ∂Kc
∂v3(x, y, v3) = 2A0(x, y)v3 + A1(x, y) = 0⇒ v3 = −A1(x,y)
2A0(x,y)(A0(0, 0) 6= 0).
Desta forma,
A0(x, y)
[−A1(x, y)
2A0(x, y)
]2
+ A1(x, y)
[−A1(x, y)
2A0(x, y)
]+ A2(x, y) = 0⇔
=−A2
1(x, y) + 4A0(x, y)A2(x, y)
4A0(x, y)= 0⇔
A0(x, y)A2(x, y)− 14A2
1(x, y) = 0⇔ ∆(x, y) = 0, ou seja, a curva ∆ = 0 é o conjunto
discriminante de K−1c (0). Então:
(a) m é um ponto de dobra de fv ⇔ (∂A2/∂x)(0, 0) = 12P1 6= 0⇔ a direção assintó-
tica e1 é transversal a curva ∆ = 0.
(b) Em um ponto de cúspide, ∆x(0, 0) = −4b2P1 = 0, ∆y(0, 0) = −4b2P2 6= 0, e assim
a direção assintótica e1 é tangente a curva ∆ = 0.
Como consequência deste teorema temos a seguinte observação:
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Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
Observação 3.12. Se f é um mergulho genérico de M em R4, então cada uma das
componentes conexas de ∆−1(0) pode ser de um dos seguintes tipos:
(1) curva mergulhada;
(2) curva imersa com um número �nito de auto-intersecções transversais, e
(3) ponto isolado.
Corolário 3.13. Se f é um mergulho genérico de M em R4, então ∆−1(0)∩k−1(0) =
∅.
Corolário 3.14. Dado um mergulho genérico f de M em R4 sem pontos de in�exão,
o conjunto de pontos parabólicos, ∆−1(0) é uma união disjunta de círculos.
Corolário 3.15. Dado um mergulho generico f de M em R4 sem pontos de in�exão
então:
(1) H0(M−) = H0(K−1c (0))
(2) H0(∆−1(0)) = H0(K−1c (0)) + g(K−1
c (0)), onde g denota o gênero e Hj o j-ésimo
grupo de homologia com coe�cientes inteiros.
Demonstração: Como o mergulho genérico f é sem pontos de in�exão temos pelo
Corolário 3.14 que ∆−1(0) é uma união disjunta de círculos, neste caso, cada uma das
componentes conexas de K−1c (0) se projeta sobre uma componente conexa de M−.
Além disso, cada componente com genus g de K−1c (0)) dá origem a g+1 componentes
de ∆−1(0), Isto mostra o corolário.
De�nição 3.16. Dizemos que T é um hiperplano suporte local de f(M) em f(p) se
existe uma vizinhança V de p tal que f(V ) �ca de um mesmo lado de T .
Se para todo p ∈M , f(M) possui um hiperplano suporte local em f(p), dizemos
que M é localmente convexa.
Corolário 3.17. Seja f um mergulho genérico de M em R4. Então, M é localmente
convexa se, e somente se, ∆ ≤ 0 e ∆−1(0) consiste de pontos de in�exão isolados de
M .
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Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
Demonstração: Consideremos f dada na forma de monge, (x, y) 7→ (x, y, f1(x, y), f2(x, y)),
e seja (q1, q2) a 2a forma fundamental de M em p, onde q1, q2 são respectivamente os
2-jatos de f1, f2. Note que o 2-jato da função altura fv é v3q1 + v4q2
A�rmamos que M não é localmente convexa em ponto p tal que ∆(p) > 0. De
fato, neste caso pela Proposição 2.9 temos que o feixe [q1, q2] intersecta o cone D
apenas na origem. Implicando, que não existe forma quadrática q ∈ [q1, q2] de�nida
positiva (ou negativa). Logo, todas as funções altura tem uma sela não-degenerada
em p. Portanto a a�rmação é provada. Por outro lado, se ∆(p) < 0 temos pela
Proposição 2.9 que o feixe [q1, q2] intersecta D em duas retas. Daí, temos que
existem números reais α e β tais que q = αq1 +βq2 está dentro do cone D, ou seja, q é
uma forma quadrática de�nida positiva (ou negativa). Desta maneira a função altura
fv onde v = (0, 0, α, β) tem um máximo (ou mínimo) local em p, detH(fv)(p) 6= 0,
pois, note que H(fv)(p) é a matriz associada a forma quadrática q = αq1 + βq2, esta
por sua vez é de�nida positiva (ou negativa) e, portanto o hiperplano ortogonal a v é
um hiperplano suporte local.
Agora, se p é um ponto de in�exão do tipo imaginário, temos que ∆(p) = 0, k(p) > 0
e rankα(p) = 1, logo, segue da Proposição 2.9 que o feixe [q1, q2] é uma reta
dentro do cone D, implicando que fv tem um máximo (ou mínimo) local em p, onde
v = (0, 0, 0, 1). Assim o hiperplano ortogonal a v é um hiperplano suporte local.
Corolário 3.18. Seja f : S2 → R4 um mergulho genérico convexo. Então, S2 tem
pontos de in�exão.
Demonstração: Suponha que f não tem pontos de in�exão. Então, pelo Corolário
3.15, H0(M−) = H0(K−1c (0)). Como é M é convexa, segue do Corolário 3.17 que o
conjunto ∆−1(0) é vazio. Então, pela Proposição 3.5, K−1c (0) é difeomorfo a duas
copias disjuntas de S2, a qual é uma contradição com o Corolário 3.15.
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