• cara penyajian data
- tabel- grafik
• menghitung harga-harga penting :
- ukuran lokasi
- ukuran sebaran/penyimpangan
• apabila data mempunyai observasinya cukup banyak perlu disusun secara sistematik
Susunan data secara sistematik disebut distribusi atau deretan (runtun)
data disusun menurut : hasilnya disebut :
a. besarnya (kuantitasnya)
b. kategorinya (kualitasnya)
c. waktu (terjadinya)
d. letak geografisnya
a. distribusi frek. kuanti.
b. distribusi frek. kualit.
c. runtun waktu (time series)
d. distribusi spasial
Penyusunan distribusi frekuensi kuantitatif
- data dibagi menjadi kelompok yang biasa disebut kelas interval
- banyaknya kelompok dipilih antara 5 dan 15
- syarat : antara satu kelompok dengan kelompok yang lain tidak saling overlap
artinya : satu observasi hanya menjadi anggota satu kelompok saja
HARGA-HARGA TENGAH
Suatu harga yang dapat menggambarkan distribusi khusunya ukuran letak (lokasi)
a) rata-rata (= mean)
b) median
c) modus
d) geometrik mean
e) Harmonic mean
979737787851
689993334259
876628675134
4761108492037
567552735937
555854634754
575972573466
645425822747
714285775655
336972526921
734962514442
266641444872
613747615652
512248354467
Distribusi Frekuensi Penghasilan 84 keluarga di ABC
Penghasilan (dalam ribuan rupiah)
Banyak keluarga
20,0 – 29,9 7
30,0 – 39,9
40,0 – 49,9
50,0 – 59,9
60,0 – 69,9
70,0 – 79,980,0 – 89,9
90,0 – 99,9
100,0 – 109,9
9
16
21
14
94
3
1
84
Distribusi Frekuensi Penghasilan 84 keluarga di ABC
Penghasilan (dalam ribuan rupiah)
Banyak keluarga
19,5 – 29,5 7
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,579,5 – 89,5
89,5 – 99,5
99,5 – 109,5
9
16
21
14
94
3
1
84
Distribusi Frekuensi Kualitatif
171531
354Keseran
4057Dwico
3456Becak
161206Sepeda
873Gerobag
1585Kereta
Banyak Terjual
Jenis Plombir Kendaraan
a) Mean :
Jumlah data dibagi banyak data
n21 X,...,X,X angka,n
n
X...XXX n21 +++=
∑=
=n
1iiX
n
1
notasi untuk mean sampel
xμatau μ notasi untuk mean populasi
Contoh :
Ada 5 macam beras harganya per kilogram
Rp. 340, Rp. 525, Rp. 450, Rp. 210, Rp. 275
=> Mean harga beras per kilogram
5
275210450525340X
++++=
360=
Suatu sifat mean yang baik :
Dapat digunakan untuk menghitung mean kelompok gabungan, jika mean masing-masing kelompok diketahui.
11 X,f
66 X,f55 X,f
44 X,f
33 X,f22 X,fn
621
662211
...fff
Xf...XfXfX
+++++=
n
Xf
f
Xf6
1iii
6
1ii
6
1iii ∑
∑
∑=
=
= ==
=> n
Seharusnya mudah dimengerti, sebab
1kelompok dalam datajumlah X,f 11 =
2kelompok dalam datajumlah X,f 22 =
.
.
.
dst
662211 X,f...X,fX,f +++⇒= jumlah data dalam kelompok gabungan
4638,084JUMLAH
104,5104,5199,5 – 109,5
283,594,5389,5 – 99,5
338,084,5479,5 – 89,5
670,574,5969,5 – 79,5
903,564,51459,5 – 69,5
1144,554,52149,5 – 59,5
712,544,51639,5 – 49,5
310,534,5929,5 – 39,5
171,524,5719,5 – 29,5
fixi2fixixifiPenghasilan
fi = frekuensi interval ke-i
xi = titik tengah interval ke-i
84
0,4638
f
xf
X9
1ii
9
1iii
==
∑
∑
=
=
21,55=
kalau dihitung dari data asli (= raw data = data kasar)
ribu rupiah
84
5142...725267X
+++++=
21,55= ribu rupiah
b) Median :
angka yang letaknya ditengah setelah data diurutkan
contoh :
- banyaknya data ganjil :270, 210, 450, 340, 525
210, 270, 340, 450, 525
urutkan
median
- banyaknya data genap :
210, 275, 340, 450, 485, 525
median 3952
450340 =+=
Median untuk distribusi frekuensi dapat dicari dengan 2 cara
- menggunakan gambar (histogram)
- cara interpolasi
- menggunakan histogram :
a = jarak antara 49,5 ke median
76,421
100
median int. frekuensi
diarsirdaerah luas ===
=> median = 49,5 + 4,76
= 54,26
- menggunakan cara interpolasi :
rumus : .cf
F2n
LMedianmd
md
−+=
- Lmd = batas bawah interval median
- n = banyaknya data- F = nomor urut data tertinggi sebelum interval median
(= jumlah frekuensi interval – interval sebelum interval median- fmd = frekuensi interval median
- c = lebar interval median
interval median adalah interval yang memuat median
untuk contoh 1, hal 8, modul 2
interval median adalah
49,5 – 59,5
=> Lmd = 49,5
=> n = 84
=> F = 7+9+16 = 32
=> fmd = 21
=> c = 10
.1021
232
84
5,94Median −
+==>
26,5421
0015,94 =+=
c) Modus :
anggota data yang paling sering muncul (mempunyai frekuensi tertinggi
- data boleh kualitatif
contoh* 4, 8, 5, 6, 8, 7, 6, 7, 9, 7, 6, 7,5
=> modus = 7
* 63, 65, 65, 65, 70, 72, 74, 79, 79, 79, 82, 82, 85
=> modus = 65 dan 79
Untuk distribusi frekuensi
.cb
LModus mo ++=a
a
- Lmo = batas bawah interval modus
- a = beda antara interval modus dengan interval sebelumnya
- b = beda antara interval modus dengan interval sesudahnya
- c = lebar interval modul
Interval modus adalah interval dengan frekuensi tertinggi
interval modus adalah
49,5 – 59,5
=> Lmo = 49,5
a = 21 – 16 = 5
b = 21 – 14 = 7
c = 10
.1075
2355,94Modus
+−+==>
67,5212
505,94 =+=
Catatan :
interval modus dan interval median tidak harus sama
UKURAN LOKASI
Setelah data diurutkan
a) Median :
membagi data menjadi dua bagian yang sama
b) Kuartil :
membagi data menjadi empat bagian yang sama
c) Desil :
membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama
d) Persentil :
membagi data menjadi seratus bagian yang sama
e) Kuantil/N-til :
membagi data menjadi n bagian yang sama
=> Suatu data akan mempunyai
• 1 Median
• 3 Kuartil
• 9 Desil
• 99 Persentil
• (n-1) Kuantil/N-til
Menghitung Kuartil, Desil, Persentil atau Kuantil suatu distribusi frekuensi sesuai dengan cara menghitung median
.cf
FNi.n
LKuantil ki
kiike-
−+=rumus :
- i = 1, 2, …, (N-1)
- N = banyaknya kelompok
jika akan dihitung kuartil
(Q1, Q2, Q3)dicari dulu interval yang memuat masing-masing Kuartil
untuk Q1 adalah interval yang memuat observasi bernomor 214
84
4
1.n ==
untuk Q3 adalah interval yang memuat observasi bernomor 634
84.3
4
3.n ==
=> Interval yang memuat Q1 adalah : 39,5 – 49,5 sehingga
10.16
16215,39Q1
−+=
63,4213,35,39 =+=
HARGA-HARGA DEVIASIAdalah ukuran yang menunjukkan sebaran/penyimpangan tiap observasi data terhadap suatu harga tengah
a) Rentang/Range
b) Deviasi rata-rata
c) Variansi dan Deviasi Standar
d) Deviasi kuartil
a) Rentang/Range
beda antara maksimum data dengan minimum data
R = max. – min.Contoh :
* 60, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 90
=> R = 90 – 60 = 30
* 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 90=> R = 90 – 60 = 30
b) Deviasi rata-rata :
adalah harga rata-rata sebaran tiap observasi data terhadap meannya
n21 x,...,x, x; datan
∑=
=n
1iiX
n
1X :mean
∑=
−=n
1ii XX
n
1d.r.
Contoh
340, 525, 450, 210, 275
360
)275210450525340(5
1X
=
++++=
1175,6284JUMLAh
49,2949,29104,5199,5 – 109,5
117,8739,2994,5389,5 – 99,5
117,1629,2984,5479,5 – 89,5
173,6119,2974,5969,5 – 79,5
130,069,2964,51459,5 – 69,5
14,910,7154,52149,5 – 59,5
171,3610,7144,51639,5 – 49,5
186,3920,7134,5929,5 – 39,5
214,9730,7124,5719,5 – 29,5
fi |Xi –X||Xi –X|XifiPenghasilan
fi = frekuensi interval ke-i
Xi = titik tengah interval ke-i
21,5584
0,4638
f
Xf
X9
1ii
9
1iii
===
∑
∑
=
=
c) Variansi dan standar Deviasi
n angka, X1, X2, … , Xn
( ) ( ) ( )1n
XX...XXXXS
2n
22
212
−−++−+−=
notasi untuk variansi sampel
( )1n
XXn
1i
2i
−
−=
∑=
( )
N
μX
σatau σ
n
1i
2xi
2x
2∑
=
−=
notasi untuk variansi populasi
Standar deviasi = akar positif variansi
Notasi : s dan σ
untuk sampel untuk populasi
Contoh :
210, 340, 525, 450, 275
360
)275210450525340(5
1X
=
++++=
654500
37225165525
810090450
400-20340
7225-85275
22500-150210iX )X(Xi − 2
i )X(X −
5,163624
65450s : Variansi 2 ===>
916,1275,16362s :standar deviasi ==
untuk distribusi frekuensi
( )∑=
−=k
1i
2ii
2 XXfn
1s
∑∑
=
= ==k
1ii
k
1iii
fn ,n
Xf
X
1)-(nn
XfXfn
s
2k
1iii
k
1i
2ii
2
−
=∑∑
==
fi = frekuensi interval ke-i
Xi = titik tengah interval ke-i