8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
1/24
SISTEM N PARTIKEL IDENTIK
Sistem N partikel di nyatakan dengan fungsi gelombang: ( x1, x2, ., xN)
Keadaan ternormalisasi:
dx1 dx2 . dxN( x1, x2, ., xN)2= 1
( x1, x2, ., xN)2 adalah generalisasi dari (x)
artinya: probabilitas menemukan patikel 1 pada x1, partikel 2 pada x2, dan
partikel N pada xN.
Hamiltonian sistem N partikel:
H==
N
i 1 im
Pi
2
2
+ V(x1, x2, ., xN)
H= - ( 2221 ximi ++ 22
2
1
NN xm
) + V(x1, x2, ., xN)
SISTEM 2 N PARTIKEL IDENTIK
Tinjau sistem 2 partikel identik, t berinteraksi satu dengan yang lain di namakan
partikel 1 dan partikel 2.
(inti) )E1)E2
Partikel sistem t saling berinteraksi, maka fungsi Hamilton total sistem adalah:
(1,2) = (1)+(2)..(1)
Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel:
(1,2) (1,2)= (E1 + E2) (1,2)(2)
(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikel identik.Ada 4 macam bentuk (1,2) yang memenuhi persamaan (2):1). (1,2) = (1) (2)2). (1,2) = (2) (1)
3). (1,2)=2
1[ (1) (2) + (2) (1)]
4). (1,2)=2
1[ (1) (2) - (2) (1)]
Cek! Ke-4 nya memenuhi persamaan (2)?
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
2/24
(1,2) = (1) (2) (1,2) (1,2) = [( 1 + 2)] (1) (2)
= (1) (1) (2) + (2) (1) (2)= (E1 + E2) (1) (2)=(E1 + E2) (1,2) memenuhi pers.(2)
Diantara 4 kemungkinan (1,2) manakah yang merupakan fungsi diri 2partikel identik?
cek dengan operator 12(penukar partikel 1 dengan 2)
(i) 12 (1,2) (1,2)= 12 (E1 + E2) (1,2)= (E1 + E2)
12 (1,2)(*)
(ii) (1,2) 12 (1,2) = (1,2) (1,2)= (1,2) (1,2)= (E1 + E2) (1,2)=(E1 + E2) (1,2)=(E1 + E2) 12 (1,2)(**)
Dari (*) dan (**): 12 (1,2) = (1,2) 12
[ 12, (1,2)] = 0
KOMUTHarus di pilih fungsi diri bersama bagi operator 12 dan (1,2)
Misal (1,2) adalah fungsi diri 12 dengan nilai diri : 12 (1,2) = (1,2)
122 = 12 . 12
12 (1,2) = 12 12 (1,2)= 12 (1,2)= 12 (1,2)
= (1,2)
Karena setiap permutasi dua kali harus kembali ke keadaan semula, maka nilai 2harus sama dengan 1.
2=1 = +1 dan = -1
s (1,2) a (1,2)(simetri) (antisimetri)
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
3/24
Untuk sistem 2 partikel identik, 1 partikel dalam keadaan , lainnya dalamkeadaan , maka fungsi gelombang simetri dan anti simetri yang mungkinadalah:
s (1,2)=2
1{ (1) (2) + (2) (1)}
a (1,2)=2
1{ (1) (2) - (2) (1)}
FERMION, PRINSIP EKLUSI PAULI, ENERGI FERMI
FERMION
memenuhi statistika Fermi Diracuntuk sistem 2 fermion identik, bentuk fungsi gelombang adalah:
a (1,2)=!2
11 (1) 1(2)
2 (1) 2(2)
Bila 2 fermion ( elektron ) berada dalam keadaan yang sama dan energi yangsama maka determinan = 0.
Jadi suatu keadaan yang energinya tertentu, dengan momentum sudut samadan spinnya berbeda, hanya dapat di isi oleh 2 elektron.
Di kenal dengan prinsip eklusi pauli1. Tidak terdapat 2 elektron dalam sebuah atom yang dapat berada dalam
keadaan kuantum yang sama. Masing masing elektron dalam sebuah atom
harus memiliki kumpulan bilangan kuantum n, l, mldan ms yang berbeda.
2. Elektron pada atom H pada keadaan normal berada pada keadaankuantum terendah.
Apakah 92 e- pada uranium juga berada dalam keadaan kuantum yang sama?
Tidak Mungkin! Mereka akan berdesakan dalam 1 orbit mengelilingi inti.
Ada perbedaan yang sangat besar terhadap sifat kimia unsur yang hanyamemiliki struktur atomik yang berbeda 1 e- saja.
Contoh:
9F, 10Ne, 11Na
halogen gas mulia logam
Jika seluruh e- berada dalam keadaan kuantum yang sama maka akan sulitbagi kita untuk menjelaskan mengapa ada perbedaan sifat ketika jumlah e-
berbeda.
Prinsip eklusi pauli memiliki konsekuensi bahwa: keadaan dasar bagi N elektron dalam suatu medan potensial sangat berbeda
di bandingkan keadaan dasar untuk N boson.
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
4/24
Untuk lebih jelasnya tinjau N buah partikel identik dalam sumur potensial tak
berhingga:
V(x)
0 1
V(x)= ; x
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
5/24
E dnnmb
N
n
=
2/
1
2
2
22
2/1
3
2
22
3
1 Nn
mb
3
12
22
mb
[(
2
N)3-12]
4.2
3
2
22N
mb
Energi per partikel ( fermion ):
N
E=
4.2
3
2
22N
mb
Fermion 1 dimensi kerapatan fermion =
b
N
Energi Fermi ( Ef)
Energi pada saat n =2
N
Ef= En ( pada n =2
N)
Ef= ( )2
22
22
N
mb
=2
222
8 b
N
m
=
m8
22 2
Tambahan:
Perbedaan s dan a : s : kedua partikel 1 dan 2 dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama
secara serentak ( = )
a : jika = berarti a = 0, artinya kedua partikel tidak dapat beradadalam keadaan kuantum yang sama, sehingga sehingga a 0.
Sehingga jika kita bandingkan dengan prinsip eklusi pauli maka berarti sistem
elektron ( fermion ) harus di berikan oleh fungsi gelombang antisimetri ( tandanya
berlawanan ) jika terjadi pertukaran tiap pasang elektron.
MOMENTUM SUDUT
Operator Momentum Sudut
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
6/24
Nilai diri dan fungsi diri
*. Persoalan elektron dalam medan potensial sferik*. Atom Hidrogen
*. Rotasi Molekul
Operator Momentum Sudut
Momentum sudut secara klasik:
L = pxr
( ) ( ) ( )xyzxyZ Y PX PkX PZ PjZ Py PiL ++= (1)
liniermomentump
posisivektorr
:
:
Komponen komponen Operator L dalam koordinat kartesian:
yzX PZPYL =
=
yz
iZiY
zXY PXPZL =
=
zx
iXiZ
xYZ PYPXL =
=
xy
iYiX
Operator Momentum Sudutkoordinat bolaTinjau:
Hubungan koordinat kartesian dengan koordinat bola
2222
cos
sinsin
cossin
zyxr
rz
ry
rx
++=
===
(*)
Pernyataan komponen L dalam koordinat bola
=
yz
X ZYiL
=zx
Y XZiL
=
xY
Z YXiL
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
7/24
Dari persamaan(*) di peroleh:
dzz
dyy
dxx
d
dzz
dyy
dxx
d
dzz
rdy
y
rdx
x
rdr
drdrdzdcrdrdrdy
drdrdrdx
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=++=
+=
sincoscossinsincossinsin
sinsincoscoscossin
(**)
)(0sin
cos
)(sin
cossincos
1sinsin
)(.sin
sincoscos
1cossin
iiirr
zzrz
r
z
iirrr
yyry
r
y
irrr
xrx
r
x
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
+
=
(i), (ii), dan (iii)substitusi ke persamaan komponen momentum sudutzyx LLL,, sehingga di peroleh:
+
=
++=
=
=
+
=
2
2
2
22
2222
sin
1sin
sin
1
sincotcos
coscotsin
L
LLLL
iL
giL
giL
zyx
z
y
x
Operator Momentum Sudut
Dalam
Koordinat Bola
Bagaimana fungsi diri dan nilai diri Operator ZL ?
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
8/24
Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator ZL
= iLz
Misal Fungsi diri ZL adalah ( ) :u
Persamaan Nilai Diri
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
zLi
m
z
z
z
zz
eNu
solusi
uiLd
du
uiLu
uLui
uLuL
=
=
=
=
=
u( )harus fungsi berharga tunggal( ) ( )
( )
( )
zz
zz
Li
Li
Li
m
Li
m
ee
eNeN
uu
=
=
=+
+
+
2
2
2
1
2
..
=
zLie
Nilai diri operator ,......1,0 == mmLL zz
( )
im
meNu =Berapa?
Syarat Normalisasi:
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
9/24
()()
2
1
1
1.
1*
2
0
2
2
0
2
2
0
=
=
=
=
m
m
imim
m
N
dN
deeN
duu
Fungsi Diri Operator zL
Fungsi Diri dan Nilai Diri Operator zL :
+
= 2
2
2
2
sin
1sin
sin
1
zL
Misal Fungsi Diri Operator zL Y ( , )Persamaan Nilai Diri:
2L Y ( , )= 2 Y ( , )
Nilai Diri
+
2
2
2
2
sin
1sin
sin
1
Y ( , )= 2 Y ( , )
[ ] 0,; 2 =
= zz LLiL
zLL,
2 saling komut berarti
Y ( , )Fungsi Diri bersama bagi zLL 2 +
Kita Pilih:
Y ( , )= ( )
im
m eP2
1
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ))(0
111
2
01
1
sin,cos:
)........(sin
1sin
sin
1
)......(,,
2
2
222
2
2
22
2
2
2
iiiPm
d
dP
d
Pd
Pm
d
dP
d
d
ddkanDidefinisi
iiPP
iYmYL
mm
mmZ
=
+
=
+
==
=
+
=
Fungsi P memiliki singularitas di titik = 1Penyelesaian di dekat +1,
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
10/24
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] )......(...1111
)......(0141
1
2
210
2
2
22
2
iiiiiaaaP
iiiiPm
d
dP
d
Pd
+++=
=
Substitusi (iiiii) ke (iiii) kemudian menyesuaikan koef.suku ( )1 diperoleh:
( )
2
.......(*)04
12
0
m
ma
=
=
+
Untuk ( ) ( ) ( )[ ]....112
102
1
0++== aaP
m m
Untuk ( ) ( ) ( )[ ]....1''12
10
21 ++==
aaP
m m
Bantuan matematis memperoleh pers(*):
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]......12.321....121
121....1111
...121....111
...111
0141
1
3221
1
21
12
210
2
2
2
212
210
1
2
210
2
2
2
2
++++
+++=
++++=
+++=
=
aaaa
aaaaad
Pd
aaaaad
dP
aaaP
Pm
d
dP
d
Pd
( ) 21 ( ) 11
2
2
d
Pd ( ) 01 a+ ( ) 111 aa +
( ) ddP
11
oa 11 aa +
( )P
m2
2
14 0
2
4a
m 1
2
4a
m+
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
11/24
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ).....(......111
)....(0141
1
,1...
2
4
04
04
1
0
4
1
10
2
2
2
2
22
22
2
0
0
2
00
viiibbP
v iiPm
d
dP
d
Pd
deka t d ianPenyelesa i
m
m
m
ma
am
aa
+++=
=+
+
=
=
=+
=
+
=+
Substitusi (viii) ke (vii) & lakukan penyamaan koefisien bagi suku
( ) :1 2diperoleh
2
m=
Untuk ( ) ( ) ( )[ ].......112
102
1
0++++=+= bbP
m m
Untuk ( ) ( ) ( )[ ].......1''12
10
21 ++++==
bbP
m m
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) diterimaPP
anpenyelesaisbgditerimatdivergenPP
10
1
0
11
&
)..(&
Penyelesaian pers(iii):
P m( )= ( ) ( )1
0
1 PPo
= ( ) ( ) ( ) mmm
Z22 11 +
= ( ) ( ) )......(1 22 ixZ mm
Substitusi (ix) ke (iii) diperoleh:
( ) [ ] ( )[ ] )....(011212
22 xzmm
d
dzm
d
zd=+++
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
12/24
Penyelesaian dalam bentuk deret:
( ) ).....(0
xiaz k
kk
=
=
Substitusi (xi) ke (x):
( )( ) ( )( )[ ] )......(112 2 xiiamkmkakk kk +++=++ +
Fungsi z( ) harus terbatas pada domain:
-1 +1 atau 0
Deret akan berhenti bila nilai pers(xii) di pilih bernilai:( )
lm
m
k
mkl
ll
=
=
+=
+=
2,1,0
,.....2,1,0
1
*Nilai diri operator 2L adalah l(l+1)2
Fungsi diri operator 2L :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,1,
:..
.1.2
1
..1
2
1,
22
2
22
m
l
m
l
l
l
l
ll
lm
mmm
l
imm
llm
m
l
YllYL
DiriNilaiPersamaan
LegendrePolinomd
d
lP
sekawanLegendrePolinomPd
dP
ePNY
+=
=
=
=
*Normalisasi Fungsi Diri ( ),mlY .Syarat Normalisasi: 1= dY
m
l
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
13/24
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] ( )
( )[ ]
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )*
21
'
4
1
21
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
1
!
!.
2
12
2
11,
!
!
2
12
':0,':
!
!
12
2
).......(1
1coscos
12.sincos2
1sin2
ml
mml
imml
mml
lm
ml
ml
mllm
mllm
ml
lm
ml
lm
YY
ePml
mllY
ml
mllN
llll
ml
ml
l
dPP
xiiidPN
dPN
dPN
ddPN
=
++
=
++
=
=
+
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Contoh Fungsi Diri ( ),mlY :
( )( )( )
( )
( )( )( )( )( )Y
Y
Y
Y
Y
eY
Y
eY
keadaanY
i
i
sin396
5,
sin324
5,
cos2
3
4
5,
sin324
5,
sin396
5
,
sin8
3,
cos4
3,
sin8
3,
4
1,
2
2
1
2
20
2
1
2
22
2
1
1
0
1
1
1
0
0
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
*Pemilihan sumbu z adalah sembarang dengan nilai diri komponen momentum
sudut terhadap arah z yang sembarang tersebut adalah m .
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
14/24
*Nilai diri mLL yx & karena masing masing operator zyx LLL &, tidaksaling komut.
BUKTI
( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]xyzzzYzz
zxyzyx
PZPZPXPYPXPZPXPY
PXPZPZPYLL
,,,,
.,
+=
=
( 1) (2)
.[ ] [ ] [ ] [ ]
0
,,,,
,,,).1(
0000
=
+++=
+=
zzzzzzZ
zzzzzz
PPYXPPXYPPXYXPY
PPYXPXPYPXPY
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] komuttidakLiLL
Li
PYPXi
PYiPXi
PPZXPPXZ
PPXZPPZPPYZPPZYPPZYPPY
PPZXPXPZPPYZPZPY
PXPZPZPYLL
PXPZPZPYLL
PPZZPPZZPPZZPZPZ
PPZZPZPZPZPZ
zyx
z
xy
xy
y
i
zzy
zyzxyzxxzxzx
i
zz
zyzyxzxz
zyxzyx
zyxzyx
yxxyxyxy
xyxyxy
.,
,,
,,,,,
,,,
,,
,,
0
,,,
,,).2(
0
00000
,
,
,
,
0000
,
,
=
=
=
=
++
+++++=
+++=
+=
+=
=
+++=
+=
Dengan cara serupa:
[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )
,,
,1,
,
,
22
m
l
m
lz
m
l
m
l
yxz
xzy
YmYL
YllYL
LiLL
LiLL
=
+=
=
=
Besar momentum sudut partikel di batasi oleh bilangan diskrit ( ) .1+ll Sebuah partikel dalam salah satu keadaan memiliki komponen momentum
sudut arah sumbu z sebesar m dengan m adalah salah satu dari:
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
15/24
-l, -l+1,,0,1,2,l
Contoh: untukl=2Maka m= -2, -1, 0, 1, 2
( ).1+ll = 6Momentum sudut
Untukl=2
Nilai l maks = 2Nilai L= 6
Berlaku:
k es e l u r u n t u k Llz
..Nilai lz tidak mungkin menyamai L artinya momentum sudut L tidak pernah dapat
di sejajarkan dengan sumbu z dan selalu membentuk sudut .
( )1cos
cos
1
1
+=
=
ll
m
L
lz
Nilai sudut akan minimum apabila m terbesar yaitu = l.
Misal: l=201
min 3,35)12(2
2cos =
+=
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
16/24
OPERATOR PENAIK & PENURUN
( )+ LL &
Didefinisikan:yx
yx
LiLL
LiLL
=
+=
+
( (
( )( )
[ ][ ] ( )[ ] [ ] [ ]
[ ]
+
+
+
+
+
+
+
=
+=
+=+=
=
++=
+=
++=
+=
+=
++=
+=
L
LiL
LLiLLLLiLLL
LLL
Tinjau
LLLL
atauLLLL
LLLL
LLL
LiLLiLLL
LLL
LiLLiLLL
yx
zyzxzyxz
Zz
zz
zz
zyx
zyx
yxyx
zyx
yxyx
,,,,
2,
!
2
2
2222
22
22
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
17/24
[ ] ( )[ ][ ] [ ]
[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]( )[ ]
( )ml
m
l
m
l
zzyx
z
y
zyyzyzzy
zxzxzzyxyxyy
xzxyxx
xzyxx
yx
yx
z
YllL
YLLYLL
berlakumakadiataskomutasisifatsifatnBerdasarka
CEK
LLLL
LL
LL
LL
samayangcaradengan
LLiLLiLLiLLi
LLLLLLLLLLLL
LLLLLL
LLLLLL
LLiLL
LiLLLL
LLL
2
22
222
2
2
2
22
0
2
2222
(**)
2
(*)
2
22
1
:.,...
!0
,
0?,
0,
0,(*)
:...
0
,,,,
,,,
,,
,,
,
,
+=
=
=
++=
=
=
=
++=
+++=
++=
++=
=
=
=
[ ]
m
l
m
l
m
l
m
lz
m
lz
m
lz
YLYLm
YLYLL
YLLLYLL
++
++
+++
+=
+=
+=
)2(
mlYL+
adalah fungsi diri bagi operator zL dengan nilai diri m di naikkan dengan
1.
( ) mlm
l YLllYLL += 122
( ) mlm
lz YLmYLL ++ += 1
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
18/24
[ ]
ml
ml
m
l
m
lz
m
lz
m
lz
YLYLm
YLYLL
YLLLYLL
=
=
=
)3(
mlYL
adalah fungsi diri bagi operator zL dengan nilai diri m di turunkan dengan
1.
Bagaimana dengan ? m
lYL( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) mlm
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
lz
m
l
m
lz
m
l
m
l
m
l
ml
zz
ml
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
YmmllYL
YmmllYL
mmllmlC
mmll
YYmYYmYYll
YLYYLYYLY
YLLLYC
CYLLY
YYCYLYL
YmlCYL
YmlCYL
dicariakan
komplekstakonsYC
YmlCYL
11
11
11,
1
1
,
,
!.
.tan:
,
_
2222
2222
22
222
2
112
1
1
1
1
+=
++=
+=
+=
+=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
PARTIKEL dalam MEDAN POTENSIAL SIMETRIS SFERIS dan ATOM
HIDROGEN
Pembahasan:
1. Gerak partikel karena pengaruh medan potensial sferispotensial ( )rV yangkuat medannya pada suatu titik hanya bergantung pada r dari titik pusat.
( ) mlm
lz YLmYLL = 1
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
19/24
2. Kasus khusus untuk atom hidrogen. ( )rV di sebabkan oleh tarikan Coulombantara inti dan elektron.
SEBUAH PARTIKEL DLM MEDAN POTENSIAL SIMETRIS SFERIS.
Persamaan Schrodinger bagi sebuah partikel massa me yang bergerak di bawah
pengaruh medan potesial simetris sferis.
( ) ( ) ( )
( )
EnergiE
dirifungsirU
rEUrUrVm
e
ee
e
:
.:,,
)1......(,,,,2
22
=
+
Laplacian 2 dalam koordinat bola:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]:)4(.......,.
0,
:..
)5(..........0,
..)4(..
)4.....(,,,,2
1
2
:.).3(.
sin
1sin
sin
1:
)3.......(,,,,
sin
1sin
sin
11
2
:)1.().2(.
)2....(sin
1sin
sin
11
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
222
2
2
2
2
2
222
2
2
2
perssolusibersamadirifungsimemilikiHdanLLJadi
LL
LdengankomutL
LH
LdengankomutpersamaanpadaH
rEUrUrVrm
L
rr
rrm
ditulisdapatpersmaka
LDiket
rEUrU
rVrrr
rrrm
kepersSubstitusi
rrrr
rr
z
z
z
EE
H
ee
EE
e
=
=
=
++
+
=
=
+
+
+
+
+
=
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
20/24
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=++
+
=
=
=+
++
=
++
=
=
=
+
++
=
+
++
+=
=
cos1
:sin..&
sin1
:..
....
012
:
2
012
2
11
2
:.).8.(
...2
0...1
:..
.:
)..(.:,
)8.......(2
11
2
,,
2
1,
1
2
:)4(..)7(&)6(
)7.....(,1,
!
....:
)6.......(,,,
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
22
l
l
l
l
l
e
e
nene
e
ne
e
m
ne
ne
ne
m
l
nene
e
ne
e
m
len
m
lne
e
m
lne
e
m
l
m
l
ne
m
lneE
d
dn
gularnonsolusi
d
dJ
regularsolusiDengan
sferisBesselfungsimerupakansolusi
RRll
d
dR
d
kd
krkandidefinisi
kEm
rRkrRr
ll
dr
d
rdr
d
rERrR
rm
llrR
r
r
rrm
ditulisdapatpers
r
ZerVHatomuntukrR
rVbebaspartikeluntukrR
rVpadabergantung
radialfungsirR
sebelumnyadiperolehsudahangularfungsiY
rERrRrVrm
llrR
rr
rrm
YrERYrR
rVrm
llYrR
rr
rrm
persamaankemasukPers
YllYL
INGAT
rpadabergantungyangfungsirR
YrRrU
Beberapa fungsi:
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
21/24
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
sin3
cos13
;cos3
sin13
sincos;cossin
cos;
sin
232232
2121
00
=
=
==
==
nJ
nJ
nJ
ATOM HIDROGEN
V(r): tarikan coulumb antara inti yang bermuatan Ze+ dengan sebuah elektron
yang bermuatan e.
( )
0
22
2
0
2
4
)9.....(4
ee
r
Ze
r
ZerV
m
m
=
==
r: jarak antara elektron dengan inti.
Bila elektron berada pada jarak jauh tak berhingga terhadap inti maka energi
potensial sistem elektron inti adalah Nol.
Persamaan(8) menjadi:
( )] ( ) ( ) ( )10.....
2
1
22
2
2
2
2
rRErRrm
ll
r
Ze
rr
rrmnlnenl
e
m
e
=+
+
Pemilihan energi acuan nol di jarak t- tak berhingga memberikan energi keadaan
terkungkung (Bound State) bernilai negatif.
nene EE =
Didefinisikan:
r
Zm
E
mZe
Em
n
n
eme
ne
em
neen
=
=
=
=
2
221
2
22
2
2
8
Persamaan (10) menjadi:
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
22/24
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
==
=+
++
=
+
+
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
++
&0..
11...........01
4
21
01
4
11
04
414
2
44
04
414
16
844
018
148
8
4
1
2
222
22
2
2
22
2
221
2
2
2
2
221
2
2
2
2
2
2
221
2
2
2
2
2
2
222
2
2
diCEK
RllRR
d
dR
d
Rd
Rll
d
d
d
d
Rll
E
mZ
d
d
d
d
RllEm
E
Z
d
d
d
d
Rrm
E
llEm
E
Ze
d
d
d
d
rE
m
RRrmE
ll
rE
Ze
rd
dr
rd
d
rmR
ne
nl
ne
eem
nl
nee
ne
em
ne
ene
nee
ne
m
ne
e
nene
enene
m
enl
Di dekat = , persamaan (11) dapat di dekati sbb:
0
4
12
2
= R
d
Rd
Penyelesainnya adalah: 2
= eR
Penyelesaian 2
e tidak dapat di terima sebagai fungsi diri, karena nilainya
menjadi tak berhingga ketika .
Penyelesaian lengkap pers.(11) di andaikan berbentuk:
( ) ( )12.........2
= eLR S d
( ) ).(.... 002
210polinomsuatuaaaaLdengan ++++=
Dalam hal ini 00 a dan s adalah bilangan positif.(Bila s
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
23/24
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 232122
2
2
21212122
2
2
2221
4
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
++
++=
++=
esLd
dLeeLs
d
dLe
d
Lde
d
dLeseLs
d
dLeseLss
d
Rd
eLd
dLeeLs
d
dR
shssss
ssss
sss
maka pers(11) menjadi:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )13..........011112
012122
01
4
1
2
22
24
1
2
1
2
1
2
1
2
11
2
22
2
2
22
22
22121212
222212
2
2
221212122
=++++++
=++++++
=+
++
++
+++
Lllsssd
dLs
d
Ld
LsLLsssLLllLd
dL
d
dLs
d
dL
d
Ld
eLll
eLeLeLd
dLeeL
seLd
dL
eeLsd
dL
ed
Ld
ed
dLeseLs
d
dLeseLs
s
ssss
sssss
sssss
Agar pers(13) tetap berlaku pada 0= maka haruslah:( ) ( ) 011 =++ lls sehingga s=latau s= -(l+1).-(l+1) tidak dapat di terima sebagai penyelesaian ( )R karena l 0.Yang diterima adalah s= lsehingga pers(13) menjadi:
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ...2111...3.22
.......1...32
.......
14.........0112
0112
20
1
1
2
322
2
1
12
321
2
210
2
2
2
22
++++++++=
+++++++=
+++++=
=+++
=+++
+
+
+
vv
v
v
v
v
v
v
v
v
v
avvavvvavaad
Ld
avsvaaaad
dL
aaaaL
ld
dLl
d
Ld
ld
dLl
d
Ld
8/3/2019 Sistem N Partikel Identik ( fisika kuantum )
24/24