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5/17/2018 secciones conicas

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r--1----------

s r adoIt ole s

7.3 Ecuaciones cuadrSticas

E s valida la siguiente interpretaci6n geometrica:Sid < 0, el punto y el origen estan al mismo lade de la recta L.Sid > 0, el origen y el punto estan a distinto lado de la recta LEjemplo 7.2.10 L a d is ia nc ia e ntre (6 , -2) If ln recta 3x - 41 {+ 4 = 0 es. .

d= (36)+(-4)(-2)+4 = 1 - 6 1 =6/9+ 16

Familia de rectasSilas rectas alx + b lY + cl, a2x + b 2 Y + C2 se intersectan en un pun to P , entonces la ecuaci6n

alx + b lY + Cl + k ( a 2 x + b 2 Y + C 2 ) =0 (7.1)siendo k constante, representa tambien a una recta. Mas aun, el pun to P tiene coordenadas quesatisfacen a ambas ecuaciones de rectas. Luego, la ecuaci6n 7.1 representa a una recta que pasa parel punto P , para cualquier valor de Ie Como tenemos s610 una condicion para poder determinar elvalor de k en la ecuaci6n 7.1, esta ecuaci6n representa una familia de rectas que pasan par el puntoP , aS I k es una constante para cad a recta de la familia y recibe el nombre de parametro.Ejeroplo 7.2.11 L a ecuac ion de la rec ta que pasa par e l punta de in iersecc ion de las rectos lO x - 3y + 6 =0,y9x + Y - 1=0, y par e 1 punta (1,2), se p ued e h alla r c om o sig ue :La familia de rectas ( lO x - 3 y + 6) + k(9x +Y- 1) =0 pasa par el punta de intersecci6n de las rectasdadas. Como el punta (1,2) esta en la recta se tiene que (10 - 3(2) + 6) + k(9 + 2 - 1) = 0, de 10cual k = -1. Por tanto, la ecuaci6n buscada es

(lO x - 3y + 6) - (9 x + y - 1) =0ia laque se reduce a x - 4y + 7 =O.

Otra metodologia para resolver este problema es hallar, en primer lugar, el punta de intersecci6n delas rectas, y luego, con el punta (1,2) hallar la ecuacion de la recta que pasa par dos puntas.

7.3 Ecuaciones cuadraticasLo s lugares geometricos a estudiar tienen la forma general

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =O .A, B , C, D, E, F son constantes, con A, B,C no nulas simultaneamente, Los casas interesantes ocurrenpara B =0 y son:

1 . A =C. La ecuaci6n cuadratica es una circunferencia.2. A YC distinto signa. La ecuaci6n cuadratica es una hiperbola.3. A YC igual signa, A # - C. La ecuaci6n cuadratica es una elipse.4. A =O.La ecuaci6n cuadratica es una parabola.5. C =O.La ecuaci6n cuadratica es una parabola.

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7.3 Ecuaciones cuedttitices7.3.1 La circunferenciaDefinicion 7.3.1 L a c ir cu nfe re nc ia e s e li llg ar g eo llle tr ic o d e t od oe lo s p un to q ll e e s tr in a u na d is ta nc ia C O I 1 $ -ta nte d e 1 1 1 1 punta fli o ll an ta d o c en tr o. L a d is ia n ci a c on st an ie Sf l lama r a di o d e ' I n c ir c ur fe r en c ia .Determinemos la ecuaci6n de la circunferencia de centro (/I,k) y radio r. Para ella, sea P(x , y ) unpunta arbitrario sobre la circunferencia (figura 7.9), entonces segun el teorema de Pitagoras se tiene

10 que equivale a

I Figura 7 . 9 1Casas particulares a mencionar:

::;, (x - 11)2 + y 2 = 1'2, circunferencia can centro (It, 0), es decir, sabre el eje x .'""- .12 + (y - k ) 2 = 1'2, circunferencia can centro en (O,k), esto es, sobre el eje y ..",," x2 + .' 1 2 = 1'2, circunferencia can centro en eI origen de coordenadas (0,0).

Ejemplo 7.3.2 L a ecua cion de la c ircun feren cia con cen tro en e l or igen .' I qlle pasa por el punto (3,4) esx2 + .' 1 2 =25, ya que(h,k) = (0,0), d[(O,O),(3,4)] = I' = 5.

Ecuaci6n general de circunferenciaSi desarrollarnos la ecuacion ( x - h ) 2 + (y - k ) 2 = r 2 hallamos

x 2 - 2 x h + 1 1 2+~?- 2 ky + k 2 = 1'2expresi6n que, al comparar can la ecuaci6n de segundo grado general Ax2 + B x y + Cy2 + O x +Ey + F = 0, debe satisfacer A = C = 1; B = O. A partir de esto, observamos que toda ecuaci6n decircunferencia se puede escribir en la Hamada forma general

x2 +l+ O x + Ey + F = O .A partir de esta ecuacion, par completaci6n de cuadra dos, se obtiene que:--.- ......---~ ..__-._._-----282


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.-----~---- _._-_-- .-~--- 7.3 Ecuaciones cundretice[) E1 . El centro es el punta ( - - " ' 2 - , - 2 " ) -

2. El radio es r =~J [)2 + 2 - 4 F _3. Si 02 + 2 - 4F > 0, entonces la circunferencia es real.4. Si 02 + 2 - 4F < 0, entonces la circunferencia es imaginaria.5. Si 02 + E2 - 4F =0, en tonces la circunferencia es un punto,

Ejemplo 7.3.31 . Pa ra l ia tl av centro y r ad io d e la c ir cu nfe re nc ia x2 + y2- 3x + 5 y - = 0,51. ' c om pie ta e l c ua dr ad o.

3 ? 5 2(x - - )- + (y + -) =162 2de aou i, e ! cen tro es el punta (~ , - ~ ), y el ra dio r = 4 .

2. La c cu a ci on d e la c ircu nfe ren cia q ue pasa po t i os p u nt as (1, -2), (-1,4) Y (5,2) 5 1 . ' hal la como s igue .L os p un to s d ad os d eb eu s ati sfa ce r 1 1 1 e cu a ci on , s i s e r ee mp la za n e ll la ecua cio n g en em l d e centro ih , k)(x - 1 1 ) 2 + (y - k ) 2 = r2

se tie ne el sistem a d e ire s ec ua cio nes c on tre s in co gn ita s(1 - h )2

{-l-h)2(5 - / 1 ) 2

+++(-2 - k )2{4-k)2(2 - k)2

Esto cs h 2 - 2h + k 2 + 4k +5 1'2jz 2 + 2 1 z + k 2 - 8 k + 17 = r2/1 2 - 10h + k2 - 4k + 29 = r2

Ia! r es ta r d e la prim era ecuacion fa segundo, y de la segundo l a t er ce ra se tien e el sistema d e d o s e cu a ci on es

- 4 1 z + 12k - 12 = 012h - 4k - 12 = 0

e l c li nt e nt re ga l os v a lo re s ti =k = ~,2 = 2 { . C an e sto s d ato s la ec ua cio n b usc ad a es( 3 2 3)2 25x - -) + (y + - =-2 2 2

l a q u e a l s im p li fi ca r y e scrib ir en In fo rm a g en era l se re du ce a

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7.3 Ecueciones cundreiicas -- _ _~~---_~~-----~~ ---~---.--~--.--_-.~-~---_-----U na [a nn a 11[(15 senc ilia de ab ordar csie tipo de prob lem as rs t mba ja r COl i I n e c ua c io n cuadnitica de unac ircu ujercncia x2 + y 2 + O x + E y + F =0, ya que d e esia m anera e t s i s t ema 0 form: es

1+ 4 + 0 - 2 + F 01 + 16 - 0 + 4 + F = 025 + 4 + 50 + 2 + F 0

III r es olv er a rr cia lo s FIIIOJ'es E = -3, 0 = -3, F =-8. C on e llo s, 10 ecuac ion d e In circ[I}ljerellciax2 +l-3x - 3 y - 8 = O .

3 . La ecua c io u d e la circun ferenc ia que es tang en te a la recta 3x - 4y - 4 = 0, Y cuyo cen tro cst sab re lin ie rsecc ion de la s rec ia s 5x - y + 7 = 0, x - 4y + 9 =0, se d e term in e de l m odo qlle sigu e. E I p un tade in tersecc ion d e las rec ia s es (-1,2) = (II, k). C om o adenu is es tang en te a la recta , fa d is in nc ia de lcentro a fa rec ta es c l rad io r =3. C on es io , la ecuacion b uscad a es

4. L a ecua c io n de la circun ferenc ia que pa sa po r los pun tas (-8,3), (4, -5) Y que iiene Sll c en tro so bre lorec ta 2x - 3 y - 14 =0, se encu en tra asi. Si e l cen tro est sabre In rec ta , en ion ces las coo rd en ad as (h , k )sa tisfa ce n e sa e cu ac io n, e s d ec ir , 2 1 1 - 3k - 14 =O. Adenu is , la d isia nc ia de (h ,k ) a lo s pun tas (-8,3)Y(4,-5) debe ser la mi s i na . L ue go , d el s is te m a

= d((h,k),(4,-5))os e e n cu e n tr a que (h , k) = (-8, -10), Ye n c o n se c u en c ia

(x + 8f + (!!+ 1of =169,Familia de circunferenciasDe la ecuaci6n general de la circunferencia se observa que ella queda bien determinada si se conocenh , k Y el radio r. El conocer menos condiciones hace que la circunferencia no sea unica, en este casodecimos que estamos en presencia de una familia de circunferencias y la constante no conocida sedenornina parametro.Ejemplo 7.3.4 La ecuacion (x - 2)2 + (y -1)2 = r2 r ep re se nta u na f am i lia d e c ir cu rfe re nc ia s, todas decentro (2,1) Y rad io a rb it r ar i o .Ejemplo 7.3.5 H allar la ecuac io n de la c ircun ferenc ia qu e pa sa pOl' e l p u nic (-8,5) Y pa r In in tersecc ion dela s c ircun feren cia s x2 - 8x + y2- 6y + 17 =0, x2 - 18 x + y2 - 4y + 67 =O .La familia de circunferencias que pasa por el punta de intersecci6n de las circunferencias dadas.tiene ecuaci6n

x2 - 8x +l-6y + 17 + k(x 2 -18x +l-4y + 67) =O .La circunferencia a encontrar debe pasar par el punto (-8,5), de modo que a1reemplazar este puntoen la ecuaci6n de Ia familia se tiene k = - l . Ahora, a1reemplazar este k en la ecuaci6n de Ia familiase tiene que la ecuacion de circunferencia pedida es

x2 + 2x +l~y - 33=0,284


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----~-----.--.------ 7.3 Ecuncione CllCldraticas._-------------7.3.2 La parabolaEsta curva,


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7.3 Ecunciones cuedrstices---------------~-- --------_--~dado que d [ P , Hj = - y y d [P , F j =Jx 2 + (y + a)2, entonces

(a - y) 2 =."2 + (y + a) 2Al reducir terrninos semejantes,

H

1Figura 7 . 1 1 1 1Figura 7 .121Esta ecuacion representa a una parabola de vertice en eI origen, directriz sobre el foco, yean el eje yde simetna.Ecuaci6n y 2 =4nx.Si el foco se encuentra en eI punta (a,O) y la distancia entre el foco y la directriz, ubicada a laizquierda del foco, es 2a, entonces la ecuaci6n de la directriz es x + a = O. Si P(x, y ) es un puntocualquiera sabre la parabola (figura 7-13), se tiene

\ .\.\.\. \: \

('

vN: T "fu. II V

. ~ ~ .I Figura 7.13 1 1 Figura 7.141

dado que d [ P , H j =x - (-a) y d [ P J ] = v '(x - a)2 + y 2 , entonces(x+a)2= {x-a)2+l.

Al reducir terminos semejantes, l=4nx.Esta ecuaci6n representa una parabola de vertice en el origen, directriz ala izquierda del foco, y quetiene par eje de simetria al eje .r.

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7.3Ecuaciones cuedreticesEcuaci6n y2 = -40x.Si el foco se encuentra en el punta (-0,0) y la distancia entre el foco y la directriz, ubicada a laderecha de el, es 20, entonces la ecuaci6n de la directriz es x = a . Si P(x,y) es un punta cualquierasabre la parabola (figura 7.14), se tiene

dIP, H] = dIP, F]dado que d iP, H ] =a - x, y d [ P , F ] = J{x + 0 ) 2 + y 2 , entonces

( a - x ) 2 = ( x - a ) 2 + y 2 .Al reducir terminos semejantes l= -40x.Esta ecuacion representa una parabola de vertice en el origen, directriz a la derecha del foco, y quetiene par eje de simetria al eje x.Elementos notables de la parabola

Q

: 1 Figura 7.151 I Figura 7.161

v: V.(II);) .

.I f ~ k-n

11Elementos de referenda habitual en una parabola (figura 7.15) son:~. El punta fijo F, Hamada foco.",,' La recta fija, Hamada directriz.'7La recta que pasa par el foco y perpendicular a la recta fija, Hamada eje de la parabola.",,' El segmento de recta FM que une el foco F can cualquier punta M de la parabola, Hamada

radio focal del punta M.::'- E1segmento de recta NHque une dos puntas cualquiera de la parabola, denominado cuerda.~ . El segmento de recta PQ que une dos puntas cualquiera de la parabola y que pasa par el foco,Hamada cuerda focal.

, Elsegmento de recta LR que une dos puntas cualquiera de la parabola, pasando par el foco yperpendicular al eje de la parabola, Hamada lado recto a latum rectus. Su longitud es Lr =40.

" El punto V de intersecci6n de la parabola y su eje, llamado vertice.J" La excentricidad de la parabola, que es 1 2 1 raz6n ~~ = e =1.

.__ .-.__----287


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7.3 Ecuacioncs cuedrsiiice

Generalizaci6n de las ecuaciones de parabolaSea (II, k ) el vertice de Ia parabola, can eje de simetria paralelo al eje x, foco F sabre el vertice, Yuna distancia a de el (figura 7.16). La ecuacion de la directriz, paralela al eje y, y a una distanciadel foco, tiene por ecuaci6n y =k - a . Si P( x , y ) es un punta cualquiera de la parabola, entoncesacuerdo can Indefinicion se tiene

d(P , F) = d(P , H).En terminos de coordenadas esto equiva1e a

Despues de elevar a1cuadrado y simplificar,(x _II)2 =4a(y - k ).

Las restantes generalizaciones son:1 . (y - k )2 =4n (x - It). Es la ecuaci6n de la parabola con eje de simetria paralelo al eje}l, directrala izquierda del foco y vertice (h,k).

2. (y - kf = -4n (x -Iz). Es la ecuaci6n de la parabola can eje de simetria paralelo al ejedirectriz ala derecha del foco y vertice (h,k).3 . (x - 11)2= -4a (y - k ). Es Ia ecuacion de la parabola can eje de simetria paralelo al ejedirectriz bajo el foco y vertice (h ,k) .

La figura 7.17 muestra las posiciones relativas de la parabola en e1plano, cuando su eje de simetnes paralelo a uno de los ejes coordenados.V" ... . . . . . .~ dlrectriz :

......: directriz

1 Figura 7.171

Posiclones relativas de I" parabola

2 8 8


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7 .3 E c ua cio n es c ue dr ii ti ce s- - -

Ejemplo 7.3.71. E l foco y In d ir ec triz d e In p ara bo la 3 y2 = 8x se encuentran com o s igue . De la ecuac ion 3y 2 = 8x se

iiene l= 8~l.L ue go , In p ar ab ola iie ne In fo rm a(y ~ k)2 =4a(x - h ).

C om p ar an do a m ba s e cu ac io ne s, (h , k) = (0,0), a = ~. En c on se cu en cia , e l fo co tie ne c oo rd en ad as( ~ , 0 ) y l a d ir ec ir iz e cu ac io n x + ~= O .

2. La ecuacion y 2 =3x + 2y - 4 re pre se nia u na p ar ab ola . D eie rm in em o s e le me nto s n ota ble s, ta le s c om o ,[ ce o, u er ti ce , e je d e s im e tr ia y direetriz .C om ple ta nd o cu ad ra do s en la e cu acio n d ad a, se tien e

y 2 =3x + 2y - 4 =* ( y -If =3{x -1).E sia e eu ac i6 n c or re sp on de a u na p ara bo la d e o ertlc e (1,1), e je d e s im eir ia p ar ale lo a l e je x (re cta y =1).L as c oo rd en ad as d el fo co so n F (1 + i, 1) =F(~, 1). L a ecu acio n d e la d irectriz e s x = !.

3 . L a ec ua cio n d e ia p ara bo la d e o ertic e (3,2) y foco (5,2), s e e nc ue ntra c om o s ig ue :d(F, V) =2 => a = 2

COI1 esto es claro que la form a de la parabola es(y - k)2 =4a(x - h ).

L ueg o, fa ee ua ci6 n b usc ad a es (y - 2)2 =8(x - 3).7.3.3 La elipseDefinici6n 7.3.8 La elipse es eI lugar geom etrico de todos los puntas euya sum a de distancias a dos puntasfi jo s, l lam ad os J oc os , e s c on st an te .Para visualizar esta definicion es suficiente can imaginar que en los focos se encuentran dos clavosy atado a estes un trozo de cuerda, Al ir moviendo otro objeto que tense la cuerda, su trazo iradibujando una elipse tal como se puede ver en la figura 7.18.

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1 Figura 7. 18 1


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7.3Ecuaciones cuedreticesE .' ,2 1/cuaClOn ' - - > < - + 701 = 1.o o t . 1~Sean F1 (e, 0) y F2( -c, 0) los puntos fijos, a > c y P(x, y) punto arbitrario sabre la elipse. De acuercon la definicion y con ayuda de la figura 7.19 se tiene que

de donde

J( x + e)2 + y2 + J(x - c)2 + y2J( x + c)2 + y2

Ahora se elevan al cuadrado ambos miembros(x + e ) 2 +l=4a2 - 4a J (x - c)2 + y2 + (x - e ) 2 +l.

2 a

Se deja la expresi6n que contiene radical de un solo lado,ex - a2 = -aJ{x - e)2 + y2.

Al elevar al cuadrado y reunir terminos semejantes se obtienex2(a 2 - c2) + a21= a2(a 2 - c2).

Como a > e ====} a2 - c2 = b2 > 0, entonces, despues de dividir par a2b2x2 y2a2 + b2 =1.

Como la ecuacion contiene potencias pares de x e y, entonces la curva es simetrica respecto deejes coordenados y del origen (centro de la elipse). Los ejes de simetria se llaman eje mayory menorespectivamente. Los puntas en los cuales la elipse corta al eje mayor se 'denominan vertices .

. -n

-n .1Figura 7 . 1 9 1 1 Figura 7.20 12 y 2Ecuaci6n ~ + Q 2 =1.

En la figura 7.20 sean FI(O,c) y h (O , -c ) los puntas fijos, a > c y P(x ,y ) punta arbitrario sobreelipse, De manera analogs a la empleada en la obtenci6n de la primera ecuaci6n, se tienex2 y2b2 + a2 =1.

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7.3 Ecueciones cuedreiicesGeneralizaciones de las ecuaciones de elipse

1. Si eI centro de la elipse es el punta (h , k ), Yel eje mayor sigue 1adirecci6n del eje X, entonces laecuacion de Ia elipse es

( X _ h ) 2 (y-k)2a2 + b2 =1.

2. Si el centro de la elipse es el punta (h,k), y el eje mayor sigue la direccion del eje y, entonces laecuaci6n de la elipse es

Ejemplo7.3.91. Ha liem os la ecuacion de la elip ee de cen tro en e l origen .foco en e l p un to (0,3) Y semieie m ayor igua! 5 .

De las co nd ic io nes de l prob lem a, c = 3, a = 5. L ue go p od em os de ierm ina r b = J a2 - c2 ;::; 4 . Laecua cion es

2. Ident i f iquemos e l lugar geom eirico de un pun to qu e se m ueve de ta l m anera qu e SIl d ista nc ia a la rec tay + 8 = es s iem pre igua l a l d ob le de su d isianc ia a l pun to (0, -2).Sea P( x , y ) e l p un to en cues tion , en tonces deb e sa tisjacer

d[ ( x , y ) , y+8=O] = 2d[(x ,y), (O,-2)]

-(y + 8)i+16y+64 4x2 + 4y 2 + 16y+ 16

4 8

E n con secuenc ia , e llu gar g eom eirico es una e lip se .Definici6n 7.3.10 La excentricidad e de una e lip ee es Ia expres io n e = :..Com o a > c, en to nces e < 1.a

p

I Figura 7.21[2 9 1


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I!I7.3 EcuClciones cuedretices~~-------------------------------------------- - - - - - - - - - - - - - - - -La excentricidad es el grado de aplastamiento de la elipse. A mayor excentricidad mayor es el gradde aplastamiento de la elipse. De la Figura 7.21 se tiene que la excentricidad corresponde al cocientde la distancia entre los focos y la longitud del eje mayor.

Se puede observar que si la distancia entre los focos es cero, entonces la excentricidad es cera y lfigura geometrica es un drculo.Elementos notables de la elipse0- Los puntos fijos F I Y F 2, llamados focos.@La recta L que pasa par ambos focos, Hamada eje focal.""'- Los puntas donde el eje focal corta a la elipse, llamados vertices.0"El segmento de eje focal comprendido entre los vertices, conocido como eje mayor.""" El punta del segmento que sabre el eje focal une los focos, que se llama centro.c : o - La recta que pasa par el centro de la elipse yes perpendicular al eje focal, Hamada eje normal.c;- El segmento determinado al cortar el eje normal a la elipse se llama eje menor.CEr El segmento que une dos puntas cualquiera de la elipse se llama cuerda.CEr La cuerda que pasa par uno de los focos se llama cuerda focal.c : o - La cuerda focal perpendicular al eje focal se denomina lado recto de la elipse.t2I'" La cuerda que pasa par el centro de la elipse se llama diametro de la elipse.0"El segmento que une uno de los focos can cualquier punta de la elipse se denomina radiovector.

c /a2 - b 2@" La excentricidad de la elipse es e = - = -------a a7.3.4 La hiperbolaDefinicion 7.3.11 La hiperbola es e llug ar geom eirico d e ta dos lo s p un ta s cu ya diferenc ia de distan cia s ado s pu ntas fijo s F ] y F2 e s c o ns ta n te .

E "x2 Ii 1cuaClOn f i 2 - P = .Sean F1(c,O) y F2(-C,O) los puntas fijos, a < c y P(x,y) punta arbitrario sabre la hiperbola, Deacuerdo con la definicion, y can ayuda de la figura 7.22 , se tiene

d(P , Ii) - d(P , Ft} =2a292


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7.3 Ecueciones cuedreticesde donde

J( x + c) 2 + y2 = 2a + J (x - c)2 + y2 / ()2(x + C)2 + y2 = 4a 2 + 4a J (x - c) 2 + y2 + (x - c) 2 + y2

ex - a2 aJ(x - e)2 + y2 /(fx2(c 2 _ a2) _ a2y2 = a 2( c 2 _ a 2)

v

IFigura 7 . 2 2 1 IFigura 7 .231 . . y2 x2Ecuacion :i! - IJ f = 1.

Sean Fl (0, c) y F2 (O , -c) puntos fijos, a < c y P{x , y ) punto arbitrario sobre la hiperbola, De maneraanaloga a la anterior se obtieney 2 x2a2 - b2 =1.Los puntos en que la curva corta al eje de simetrfa se Haman vertices. La distancia entre los vertices

se denornina eje real y tiene longitud 2a . La longitud del eje transverso es 2b. La excentricidad de lac ~hiperbola es e = -, y como c > a, entonces e > 1. La longitud del Latum rectum (Lr) es -.a a

GeneralizacionesLas ideas anteriores.se generalizan como sigue:

1. Si el centro de la hiperbola es el punta ( h , k ), y el eje real sigue la direcci6n del eje x, entoncesla ecuaci6n de tal hiperbola es

(x -h )2 _ (y-k)2_1a 2 b2 -.2 9 3


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7.3 Ecuaciones cuedxstices

2. Si e) centro de la hiperbola es el punta (h ,k ) , y el eje real sigue la direcci6n del eje y, entoncesla ecuaci6n de la hiperbola es

Ejemplo 7.3.12

1. H allem os la ecu acion d e In h iperbo ta d e c en tr o e n e l o rig en d e c oo rd en ad as , e je r ea l s ob re e l d e c oo rd en nd ass. y que pasa p ar lo s p un io s (4,6) Y (1,-3).D e a cu erd o c on la s h ip oie sis, la e cu ac io n tie ne la f orm a g en era l

C om o lo s p un to s p erte ne ce n a llu ga r g eo m eir ic o, e lIo s d eb en s atis fa ce r

yAt reso lv er este sistem a, en co ntra mo s b2 =4, a2 =36/5. R ee m pla za nd o e sto s v alo re s e n la e cu ac io n,t enemos

1 0 q u e d e spw is de s im p lifi ca r s e r ed uc e a

1 0 q ue r ep re se nt a la e cu ac io n b us ca da d e l a h ip er bo la .2. Vam os a iden iificar e l lugar geom eirico de un pun io que se m ueoe de ta l m anera que su d isiancia a l

punic (2,-1) e s siem pre ig ua l a t d oble d e su d is ta ncia a In rec ta x +2 =o .S i P (x, y ) e s e l p un ta , e nto nc es d eb e s ati sf ac er

d [ (x,y), (2, -1) 1 =2 d ! (x,y),x + 2 =0 J .A l i nte rp re ta r e sta s e xp re sio ne s s e t ie ne

A l d e sa r ro ll ar y c omp le ta r c ua dr ad os e qu io al e a10)2 2 643(x-- -(y+1) =-3 3'

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7.3 Ecuecioties cuedtetices

7.3.5 AsintotasSe entiende par asfntota de una curva a una recta que tiene 1apropiedad de que la longitud de laperpend.icu1a~, ~ajada a la re:ta desde un_punto .de la cur va, tiende.a cera a me~i~a qu: el puntase aleja mdefimdamente hacia el +00 a bien hacia el -00. Para mejor comprension la flgura 7.24muestra un par de situaciones.

295

..'I '" ';I: 1/:t . ~ +.r, ~~ ... :. . . , . .

... .f~ : (.. : ..~ I:// I .II.IE10. . c : ' ~ 5 ':~T ..I:I. . . 1 . : . . . . :IFigura 7.241asfntota

La figura de la izquierda muestra una curva que tiene al eje x como asintota, se trata de una asintotahorizontal, y la figura de la derecha muestra una curva con asintotas vertical y oblicua.Ecuaciones generales de las asintotas

1. Si el eje real es paralelo al eje x, las ecuaciones sonby-k= -(x-h).a

2. Si el eje real es paralelo al eje y, las ecuaciones son

Para que estas ideas tengan un sustento matematico, veamos e1caso de la hiperbola

que tiene por asmtota ala rama derecha, a la recta y = ~.En efecto, 1arama derecha tiene por ecuaci6n

y =+ j x2 - a2.aPara una abscisa arbitraria x la correspondiente ordenada la entrega la ecuaci6n de la curva, en estecaso, y, es la ordenada en la recta e Y h en la hiperbola, cuyas ecuaciones son

bs=:.a


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7.3 Ecuaciones cuadraticasSi la recta es asintota, entonces la diferencia entre estas ordenadas

Y r - Y ll = s . . - ~ v x 2 - a 2a adebe tender a cera. Al reducir y racionalizar el numerador se llega a

a bY r - Y Ir = _ 2 2X+vx -aexpresion que efectivamente se acerca a cera, pues el numerador es canstante y el denominadar creceindefinidamente al creeer x. En eonsecuencia la recta es asfntota a la rama dereeha de la hiperbola,De manera similar se pueden probar los casos generales.Elementos notables de la hiperbola@Los puntas fijos Fl y F 2, Ilamados focos.~ La recta L que pasa por ambos focos, Hamada eje real 0tranversal.0"Los puntas donde el eje focal corta a la hiperbola, Ilamados vertices.0"EI segmento de eje real comprendido entre los vertices mide 2a.


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IFigura 7.25\ IFigura 7.261

,(fr.k) ,

7.4 Transformaci6n de cootdetuuies---.~~~-.~~--~~~---~---~.~~---.,---~-.--

M' Pili.").\I ---------- --",Plx,.,/)

!/

--- .....--'--11lI' ~ N',,,

i,I,I N x .l-------L----

7.4 Transformaci6n de coordenadasEn diversas ramas de la maternatica, como tarnbien en fisica e ingenierfa, resulta muy importanteelegir el sistema de coordenadas adecuado, que simplifique al maximo las ecuaciones que resulteninvolucradas a objeto de optimizar el tiempo de resolucion. En el sistema de coordenadas cartesianasdel plano, el procedimiento adecuado eonsiste en usar una transforrnacion de coordenadas, quepara los fines inmediatos, considerarnos reducido ados movimientos: uno de rotaci6n y otro detraslaci6n. Cabe mencionar que un sistema alternativo de coordenadas 10 constituye el sistema decoordenadas polares, que mas adelante tendremos ocasion de estudiar,Traslad6nSean x e y los ejes primitivos, !I y v los nuevos ejes, paralelos a los anteriores. Sean ( I z l k ) las coor-denadas del nuevo origen con respeeto del sistema inicia1. Consideremos, adernas, un punto P decoordenadas (xIY) en los ejes primitives, y coordenadas iu, v) en los nuevos ejes. Vamos a determi-nar x e y en funcion de !I,v, hi k. La Figura 7.26 permite observar que

x = MP=MM'+M'P=h+1IY NP=NN'+N'P=k+ll

De aquf que las ecuaciones de traslacion seanx = lz + !II y = k + v.

Rotaci6nEn la Figura 7.27 se muestran los ejes prirnitivos x e y, y los nuevos u y v. El origen es corruin a ambossistemas. Sea e el angulo xOu de rotacion. Consideremos, adernas, el punto P de coordenadas (x,!!)en los ejes primitivos y coordenadas ( I l l v ) en los nuevos. Vamos a determinar x e y en funcion de H,(I, e, trabajando en los triangulos aNN' y M'N'P. Se tiene

x = OM =ON - MN = II co s e - v sen e1 / =MP =MM' +M' P = 1I se n e + v co s e

297


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7.4 Transformaci6n de coordenadasLuego, las ecuaciones de rotacion son

x = II cos e - v sen e , y = II sel l e + v cos e

. P(.t,yl1'( Ii, t> I

II yl' sIII. . . . . . . " ' ' 0

L ~ E< + + , , < + , .mIII

.\[. .. .: asintota :-----------+-----------x!Figura 7.27! !Figura 7.28!

. ..~. . . . ............... . . . . . . . . c T . . . . . . . ................ xy= 1 :

Par 10general, 10que se pretende con una rotacion de coordenadas es eliminar el termino xy, can efin de identificar el1ugar geometrico en la ecuaci6n de segundo grade

AX2 + Bxy +cl + Dx + Ey + F = O .Ejemplo 7.4.1 Hallem os fa nueva ecuacion d e fa cu rua 2x2 + 3y2 - 8x + 6 yorigen d e coord enad as at punta (2,-1).

7, cuan do se traslad a e

Usando las ecuaciones de traslaci6n:x h-s-u ==? x = 11+2Y k+v ==? Y = v-I

y al sustituir en la ecuaci6n original tenemos2(u+2f+3(v-l?-8(u+2)+6(v-l) =7

1 0 que desarrollado equivale a2u2 + 8u +8 + 3v2 - 6v + 3 - S l l - 16+ 6v - 6 = 7

y que al simplificar y escribir en forma can6nica es una elipse

Ejemplo 7.4.2 H allen tos e l angu lo de ro iac ion de ejes necesario para elini inar e l term ilia ell xy e n la e cu ac io n7x2 - 6 V3xy + 13y2 =16.298


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- - 7.4 Ttensiormecion de coordenadasHacemos 105 reemplazos en las ecuaciones de rotaci6n

x II cos 8 u sc n tiY [Ise n 8 + v cos 8

Cada terrnino de la ecuaci6n original tiene la siguiente equivalencia7 (u cos 8 - v se l l 8 ) 2

6V3xy 6 )3{lI co s 8 - v sen 8)(u se ll 8 + v co s 8)13(u sen 8 + v cos 8 ) 2

A I reemplazar esto en la ecuaci6n dada se tiene7(cos2 e - 6)3 se n 8 cos 8+ 13sen2 8) . u2 + (12sen 8 co s 8 - 6)3 co s 28) . !I V+

(7sen2 8+ 6)3 se l l 8 co s 8 + 13cos2 8) . v2 =16 (7.2)Para eliminar el termino en xy, igualamos a cero el coeficiente de !IV, es decir

12sen e co s 8 - 6)3 co s 28 =O.a bien,

6sen 2 e - 6 V 3 co s 28 =0de donde tg 28 = )3, y de aqui, 28 = ~,es decir, 8 = ~=30. Ahara, se sustituye este angulo enla ecuaci6n 7.2, y se tiene la elipsejAtencion!Se puede probar que el angulo en que deben rotarse los ejes coordenados, para eliminar el terminoxy en la ecuaci6n general de segundo grado, Ax2 + Bxy + C y2 + Dx + Ey + F =0, viene dado por .la ecuacion Btg2e = A - C7.4.1 Hiperbola equilateraCuando los semiejes de una hiperbola son iguales, esto es, si a =b, dicha hiperbola recibe el nombrede equilatera. Se tiene as! que su ecuaci6n es de la forma

x2 _ y2 = a2 .Sus asintotas tienen ecuaciones

y =x, e y = -x.Par otra parte, su excentricidad, como es sencillo de verificar, es c = 12.La mas famosa de las hiperbolas equilateras es la de ecuaci6n

xy = 1.299


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7.4Transformaei6n de cootderuides.--~~-~---~--~~~-.-------~--~--------~---------~---~-Para el [ector interesado en conocer eJ origen de ella, le sugiero considerar Ia ecuacion

.\"2 _ y 2 = a2y hacer una rotaci6n de -45", can ello se obtiene

a 2IIV =-2con a = v i z se llega ala hiperbola mencionada (figura 7.28).

300


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---------~------------ ~---- ___ ._. 7.5 Ejercicios propuestos7.5 Ejercicios propuestos

1. La abscisa de un punta es -6 y su distancia al punta (1,3) es , ;74. Hallar la ordenada delpunto.

2. Si dos vertices de un triangulo equilatero son los puntas ( -4, 3) y (0,0), hallar el tercer vertice.3. Hallar las coordenadas de tres puntas que dividen al segmenta de recta AB en cuatro partes

igualessi A = (-5,3), B = (6,9).4. Encontrar una ecuaci6n cuya grafica consista de todos los puntas equidistantes de los puntas

(-1,2) Y (3,4). Representar graficamente la ecuaci6n.5. Hallar las coordenadas del cuarto vertice de un rectangulo, tres de cuyos vertices son ( -2, -2),(3, -2), (3,5).6. Hallar las coordenadas del punta que se encuentra a 2/3 del camino entre ( - 2,5) Y(1, -1).7. En cada uno de los casos siguientes, hallar la ecuaci6n de la recta que satisfaga las condiciones

dadas(a) La pendiente es 4 y pasa por el punta (2,-3).(b ) Pasa par los puntas (3,19) Y (-5,4).(c) Pasa par el punta (-3, -4) yes paralela al eje x.(d) Pasa par el punta (1, -7) yes paralela al eje y .(e) Pasa par el punta (1,4) yes paralela a la recta 2x - 5y = -7.(f) Pasa par (I, -3) yes perpendicular a la recta 2y - 3x - 4 =0.

8. Las ecuaciones de los lados de un triangulo son 5x - 7y + 27 =0, 9x - 2y -15 =0, 4x + 5y +11 =O.Determinar si el triangulo es equilatero, is6sceles a escaleno.

9. Dos rectas se cortan formando un angulo de 45. La recta inicial pasa par los puntas (-2,1) Y(9,7). La recta final pasa par el punta (3,9) Ypar el punta A de abscisa -2. Hallar la ordenadade A.

10. Hallar k para que la recta kx + (k - 1)y -18 =0 sea paralela can 4x + 3y + 7 =O.11. Hallar k para que la recta kx + (k + l) y + 3 =0 sea perpendicular a la recta 2 x - 7y + 2:=;0O.12. Determinar k para la recta 4x + 5y + k = 0 forme can los ejes coordenados un triangulo

rectangulo de area ~.13. Hallar n y b para que las ecuaciones ax + (2 - b)y - 23 =0, (a -1)x + by + 15 =0 representen

rectas que pasen par el punta (2, -3).14. Hallar k para que la recta 3x - ky - 8 =0 forme un angulo de 45 con la recta 2 x + 5y -17 =O.15. Hallar la recta de abscisa en el origen - ~ que es perpendicular a la recta 3x + 4y - 10 =0.

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-----16. Una recta es tangente a un cfrculo de centro en el origen y radio 3. Si el punta de tangencia es

(2, - VS), hallar la ecuaci6n de la tangente.17. HalLar la distancia del origen a la recta 2x - 3y + 9 =O.18. Hallar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky - 7 =0 sea 2.19. Hallar la ecuacion de la recta que pasa par los puntos (-1,7) Y(4,2).20. Hallar la recta que es paralela can la recta x - 5 . 1 1 + 11 =0 y pasa par el punto (-7,2).21. Hallar la distancia de la recta 4x ~ 5.11+ 10 =0 al punto (2, -3).22. Hallar la distancia de la recta x + 2 . 1 1 + 7 =0 al punto (1,4).23. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3 x - 4.11+ 8 =0 Y 6 x - 8 . 1 1 + 9 =O.24. Hallar el valor de Ie en la recta fey +3.11+ 3 =0 para que su distancia al punto (2, -2) sea 2.25. Hallar la recta que pasa por (3,1) Y tal que la distancia de esta recta al punto ( -1,1) es 2/2.26. Hallar dos puntas en la recta x - y + 5 = a cuya distancia a la recta 3x + 4.11+ 6 =0 sea 3.27. Un cuadrado de lado 2 11 tiene par centro el origen de coordenadas y sus lados son paralelos a

los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vertices.28. Si tres vertices de un rectangulo son los puntos (2, -1), (7, -1) Y(7,3). Hallar el cuarto vertics

y el area del rectangulo.29. Los vertices de un triangulo rectangulo son los puntos (1, -2), (4, -2), (4,2). Hallar la longi-

tud de los catetos y de la hipotenusa.30. Uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud 5 es el punto (3, -2). Si la abscisa

del otro extremo es 6, hallar su ordenada.31. Hallar Ia ecuaci6n dellugar geometrico en el que cualquier punta (x, .11)equidista de los puntas

(-2,3) Y (6, -3).32. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7,B). Si el punto medio del segmento es elpunto (4,3) hallar el otro extrema.33. Los extremes de un segmento son los puntos P(7,4) y Q( -1,-4). Hallar la raz6n PR(RQ en

que el punto (I, -2) divide al segmento.34. Los puntos medios de los lados de un triangulo son los puntos (2,5), (4,2), (1,1). Hallar las

coordenadas de los tres vertices.35. Una recta de pendiente 3 pasa par el punta (3,2). Si Ia abscisa de otro punta de la recta es 4

hallar la ordenada del punto.36. Una recta de pendiente -2 pasa par el punta (2,7) Ypar los puntos A y B. Si la ordenada de

A es 3 y la abscisa de B es 6, hallar la abscisa de A y la ordenada de B.37. Demostrar que los puntos (2,5), (8,-1), (-2,1) son vertices de un triangulo rectangulo.

30 2


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7.5 Ejercicios prop uesios38. Demostrar que los puntos (2,4), (7,3), (6, -2), (I, -1) son los vertices de un cuadrado, y que

sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuarnente en partes iguales.39. Demostrar que los puntas (2,2), (5,6), (9,9), (6,5) son los vertices de un rornbo, y que sus

diagonales son perpendiculares y se cortan en su punta media.40. Demostrar que las rectas 5x - y - 6 = a , x + 5y - 22 = A,5x - Y- 32 = a , x + 5y + 4 = a

forman un cuadrado.41. Hallar k para que x2 + y 2 - 8x + lay + k = a represente una circunferencia de radio 7.42. En cada caso siguiente, hallar una ecuaci6n de circunferencia que satisfaga las condiciones

dadas:(a) centro (3, -1), radio 5.(b) centro (-4,2), diametro 8.(c) centro (a, 0) y que pasa par el punta (6,0).(d) centro (-2,5) Ytangente a la recta y = -3.(e) centro (1,2) Ypasando par el punta (3, -1).(f) pasa par (-5, -5) Ycentro en el punta de intersecci6n de las rectas x - 9y - 10 = a y

2x -7y+2 =o .(g) radio 8, centro en el primer cuadrante y tangente a los ejes coordenados.(h) centro (-3, -5) Ytangente a la recta 12x +5y- 4 =O.(i) el diarnetro es el segmento que une los puntas (-3,5) Y(7, -3).(j) tangente a la recta 3 x + y + 2 = a en (-1,1) Ypasa par (3,5).(k) centro sabre el eje x y pasa par los puntas (1,3) Y(4,6).

( 1 ) centro sabre la recta 3 x - 2y - 23 =a y pasa por los puntas (-3,3), (1,4).(m) centro en (a , -2) y tangente a la recta 5x - 12y + 2 =O.(n) centro en el punta de intersecci6n de las rectas 7x - 9 y - 10 = 0, 2x - 5y + 2 = a y pasa

par el punta (7, -5).43. Hallar la longitud de la circunferencia 25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 =O.44. Hallar la ecuaci6n de la circunferencia de centro (-2,3) Ytangente a la recta 20x - 21y -13 =

O .45. Hallar la ecuaci6n de la circunferencia can centro en el eje X, y que pase par los puntas (-2,3)

Y(4,5).46. Hallar la ecuaci6n de la circunferencia que pasa par el punta (1,2) y tangente a la recta de

ecuaci6n 2x + 3y -18 = a en el punta (3,4).47. Hailar la ecuaci6n de la circunferencia tangente a las rectas x - 3y + 9 = 0, 3x + Y - 3 = a y

cuyo centro se encuentra sabre la recta 7x + 12y - 32 =O.48. Hallar la ecuaci6n de la circunferencia de radio 10 y tangente ala circunferencia x2 +l= 25

enelpunto (3,4).303


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? : : ~ ' ! - : j _ i . ? ! . .~ J c i ( ) Sw p L i e s t o s . _ -----__-----------49. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a la recta 3x - 4y + 17 = 0 y concentricacircunferencia x2 + _ 1 / - 4x + 6y - 11 =O.50. Hallar la maxima y minima distancia del punta (10,7) ala circunferencia x2 + y2 - 4x -20 = o .51. La ecuacion de una circunferencia es (x - 3) 2 + ( y + 4 )2 =36. Dernostrar que el punta (2es interior a Ia circunferencia y que (-4, 7) es exterior.52. Hallar, en cada caso, la ecuaci6n de Ia parabola.

(a) Foco (0,2/3), directriz 3 y + 2 =o .(b) Foco (0,0), vertice (2,0).(c) Foco (7,2) y directriz x = 1.(d) Vertice (0,0), se abre ala izquierda, y longitud del lado recto 6.

53. Hallar vertice, foco y directriz de las parabolas que se indican:(a) x 2 - 6x - 8y + 1 =0(b ) 3 1 /2 - 8x - 121J = 0. .(c) 2y2 - 4y - 3x =0

(d) 4x2 - 8x+3y =2(e) y =3 x2 - 3 x + 3(f ) y2 + 6 x + lOy + 19 =0

54. Hallar las coordenadas del foco, del vertice y Ia directriz de las parabolas:(a) lP = 12x(b) 3 y2 + 4x =0(c ) 6 x 2 + 24x + 16 y + 16 = 0

(d) x2 =12y(e) x2 + 2y =0(f) 4x2 + 48y + 12x =159

55. Hallar las ecuaciones de las parabolas que tienen las siguientes propiedades:(a) Foco (3, 0), directriz x + 3 =0_(b) Foco (0,6), directriz el eje .r.(c ) Foco (O,-3), vertice en eI origen.(d) Vertice en el origen, directriz y - 5 =O.(e) Vertice en e1origen, eje x de simetrfa, pasa par el punta (-3,6)_

56. Hallar la ecuacion de la parabola que tiene vertice en el arigen, eje coincidente can el eje xque pasa par el punta (-2,4).57. Hallar la ecuaci6n de la parabola de vertice (-4,3) Yfoco (-1,3).58. Hallar la ecuaci6n de la parabola que tiene par directriz la recta x + 5 = 0 y como verticepunta (0,3).59. Determinar el Iugar geornetrico de los puntas (x ,y) cuya distancia al punta fijo (-2,3) seamisma que su distancia a la recta x + 6 = O.

304


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7.5 Ejercicios propuestos60. Hallar la ecuaci6n de la parabola de eje paralelo al eje x y que pasa par los puntas (0,0), (8, -4),

(3,1).61. Hallar la ecuaci6n de la parabola de vertice (4, -1), que bene par eje la recta y + 1 =0, y que

pasa par el punta (3, -3).62. Hallar la ecuaci6n de la parabola de eje paralelo al eje y y que pasa par los puntas (4,5),(-2,11), (-4,21).63. Hallar excentricidad, centro, focos de las elipses:

(a) 6x2 + 9y2 - 24x - 54y + 51 =0(b) 9x2 + 4y2 -18x + 16y -11 =0 (c) 5x

2 + 3y2- 6y-12 =0(d) 4x2 + 8y2 + 32x -16y + 40 =0

64. Hal1ar la ecuaci6n de la elipse que satisface:(a) Vertices (0,5) y (0,-5); pasa par el punta (2,-~).(b) Focos (4,0) Y( -4,0) Ypasa par (3,1).(c) Focos (1,1) Y (1,-1), a =2.

65. Hallar focos, vertices, centro y excentricidad de las elipses:(a) 4x2 + 9y2 =36(b) 9x2 +4y2 =1

(c) 9x2 + 2Sy2 =25(d) lOOx2 + 64y2 =6400

66. Hallar las ecuaciones de las elipses can las siguientes propiedades:(a) Focos (2,O), longitud del lado mayor 10.(b) Focos (3, 0), excentricidad ~.(c) Eje mayor sabre eje x de longitud 10, pasa par (3,3).(d) Eje mayor sabre eje y de longitud 2, excentricidad 1 .

67. Hallar la elipse can centro en el origen, un vertice en (0,-7), y que pasa por el punta (v's, \4).68. Una elipse tiene centro en el origen y eje mayor coincidente can el eje x. Hallar su ecuaci6n si

pasa par los puntas (V6,-1) y (2, v ' 2 ) .69. Los vertices de una elipse son los puntas (1,1) Y (7,1). Si su excentricidad es!allar laecuaci6n de esta elipse.70. Hallar ecuacion de elipse de focos (3,8) Y (3,2), y eje menor de longitud 8.71. Determinar centro, vertices y focos de las elipses:

(a) 9x2 + 4y 2 + 72x - 48y + 144 =0(b) 4x2 + 9y2 +32x -18y + 37 =0

(c) x2 + 4y2 -lOx - 40y + 109 = 0(d) 9x2 +4y2- 18x - 27 =0

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7.5 Ejercicios prop ues tos72. Hallar la ecuacion de las hiperbolas de datos:

(a) Focos (-4, 0) Y (4, 0), distancia entre los vertices 4.(b) Asintotas y = ~y vertice (2, 0).(c) Asintotas y = 3x y pasa par el punto (2,1).(d) Pecos (-3,0) y (3,0) Y excentricidad 3.(e) Focos (-3,0) Y (3,0) Y pasa par el punta (8,5V3).

73. Representar grMicarnente las siguientes hiperbolas:(a) y2 - x2 =4(b) 9x2 - 16y2 = 144(c) x2 - 2y2 + 2 = a(d) xy - 2x - y = 2

(e) 6xy + 9x - 4y + 30 = a(f) 5x2 - 4y2 - 20x - 8y - 4 =0(g) 4x2 - 4y2 + 20x - 16y + 25 = a(h) 16x2 - 9y2 + 96x + 72y + 114 = a

74. Hallar focos, vertices, excentricidad y asfntotas de las siguientes hiperbolas:x2 y2(a) - - - = 1100 36

(b) x2 - 41/ = 19x2(c) - -l= 116

(d) 9x2 - 4y2 =3675. Hallar la ecuaci6n de la hiperbola de vertices (a, 4) y excentricidad ~.76. Hallar Ia ecuaci6n de la hiperbola de vertices (6, 0) y asmtotas 6y = 7x.77. Hallar la ecuaci6n de la hiperbola de focos (-I, 1) Y (5, I), can un vertice en (a, I).78. Hallar la ecuaci6n de la hiperbola que pasa por el punto (2,3), tiene por centro el origen, el

transverso esta sobre el eje y, y una asintota es la recta 2y - fix.79. Determinar centro, vertices, focos y asfntotas de:

(a) 8x2 -y2- 64x =0 (b) x2 - 4y2 =480. Transformar la ecuaci6n x2 + 4y2 - 2x - 12y + 1 = a , en otra que no contenga terminos

primer grado,81. Determinar el angulo de rotaci6n necesario para eliminar el termino xy en cada una de

siguientes ecuaciones.(a) 25x2 - 36xy + 40y2 - 52 =a(b) 3x2 + 8xy - 3y2 - 20 =0 (c ) 9x

2 + 24xy + 16y2 + 160x -120y =0(d) 8x2 - 4xy + 5y2 - 36 =0

82. Identificar la grMica, eliminando el termino xy, six2 + 2xy +l-2xv2 + 6yV2 - 6 = O .

30 6


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7.5 Ejercicios propuestos83. Hallar 1aecuacion de la circunferencia sabiendo que los puntas (1,2) Y(3,6) son los extremes

de un diarnetro.84. Hallar la ecuaci6n de la circunferencia de centro (1, -2) Ytangente a la recta 3 .1 - 4y - 1 =O.85. Hallar la ecuaci6n del1ugar geometrico de los puntas cuyo producta de las pendientes de las

rectas que los unen can los puntas fijos ( -2, 1) Y (4,5) es igual a 3.86. Hallar la ecuaci6n dellugar geometrico de los puntas cuya distancia a1punto (4,0) es igual a

la rnitad de la distancia a la recta x - 16 = o .87. Hallar la ecuad6n dellugar geometrico de los puntos cuya surna de distancias a los puntos

fijos (4,2) Y (-2,2) es igual a 8.88. Hallar la ecuaci6n de la hiperbola con vertice (0, 7) Yexcentricidad e = j.89. Hallar ellugar geometrico del punto P(x , y ) cuyo producto de las pendientes de las rectas que

unen P(x,y) con los puntas fijos (3, -2) Y (-2,1) es -6.90. Bosquejar las siguientes curvas, sefialando algunos elementos tales como radio, centro, vertice,

foco (cuando corresponda). Verificar las respuestas can Maple.(a) 5x +4y - 20(b) 3x2 + 3 y 2 - 10 =0(c ) 4x2 - 9y2 - 30 =0(d) 3x2 + 4y2 - 12 =0(e) 16x2 - y =0(f) 4x2 - 5 y 2 =16(g) x2 + (y - 1)2 =9(h) 25x2 + 16y2 =400

(i) 2 y 2 - x2 - 4x + 6 =a(j ) 2 x 2 + 2 y 2 + 8x - lO y + 4 = 0(k) Y =2X 2 + X - 3(1 ) x -l+ y + 1=a

(rn) x2 +l-x + 2y =20(n) x2 + 3y2 - 4x + 6y + 1 =0(0) 2x2 - 3y2 - 4x - 6y -13 =0(p) 4x2 + 8x + 3y - 5 =0

91. Graficar los siguientes conjuntos de puntas:(a) {(x,y)/ (x _1)2 + y 2 : : : ;16}(b) {(x,y)/ x 2 +l> 16} (c) {(x,y)! y =-)1-x2}(d) {(x,y)/ x = }1- y 2 }

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7.6 Soluciones a los eje_rciciospropuestos

7.6 Soluciones a los ejercicios propuestos[] -2y8 m(-2~V3,~J3) [lJ(-,~), ( i ,6 ) , n r ~ ) [! j2x+y-5=0 [I] (-~ ( - ~ , 1 J l ) [ ] (a) v - 4x + 11=0 (b) 8 y -1 5x -107 = 0 (c) y + 4 = 0 (d) x -1 = 0

(e )5y-2x-18= 0 (f)3 y+2x+7= O [[jescaleno [2]4 I T Q H [ ITJ-~ 1121-[ I 1 J a= 4 , b= 7 11413 115121y-28x -12= 0 [illyV S-2x+9= 0 11713VS/2~ 9 v ' T 3 [ ! 2 J x + y = 6 120Ix - 5y = 17 [ill~ 1221F s 1231 a 1241~125 1 x+y=4 , x- y=2 1261(-,274)y(-li,-~) 1271a,a) 1281(2,3)y2412913 ,4 ,5 130Iy= 0,o y= -8 13114x-3y=8 132Ia=1 ,b=-2 1331f[ M J (5,6),(-1,4),(3,-2) ~y= 5 @ illx= 4ey= -1 [ i l lk=-81421 (a) (x-3)2+(y+1)2=2S (h) ( x+3)2+(y+S)2=25

(b) (x + 4)2 + ( y - 2)2= 16 (i) (x - 2)2+ (y + 1)2 = 41(c) x2+y2=36 0 ) (x-1)2+(y-3)2=8(d) (x + 2)2+ (y - 5)2 = 4 (k) (x -7)2 + y2 = 45(e) (x - 1)2 + (y - 2)2= 13 ( 1 ) (x - 2)2 + {y + Y ' ) 2 = 6~9(f) {X+9)2+(y+2)2=25 (m) x2+(Y+2)2= \ 6 ;(g) {x - 8)2+ (y - 8)2 = 64 (n) {x - 4)2 + (y - 2)2 = 58

14316n 144I (x+2)2+(y-3 )2=16 14SI{x-~)2+y2=~o1461 (x - 1 1 )2+ ( y - 1 4 ? = ~ 147J ( x + 4)2+ ( y - 5? = 101481 (x - 9)2 + (y -12)2 = 100y (X+3)2 + (y+4)2 = 100 1491(x - 2)2+ {y+3)2 =49150lSy15 IS21(a )y= ~ x2 (b )y2= -8{x -2) (c )(y-2)2= -12(x -4) (d )y2= -6 x1531 (a) V(3 , -I), F(3,1), Y =-3 (d)V(l,1) ' F(l, ~), y = -~

(b) V( -~,2), F(-~,2), Y = -l[ (e ) v n . ~ ),F (I,3 ), Y = ~(c ) V( -~,1), F(-;4,1), y = -~ (f) vu. -5), F ( -!,-S), y = ~

1541 (a) V(O ,O ), F (3 ,O ), x = -3 (d) V( -2, ~), F ( -2, -!), y = ~(b) V{O,O), F(-~,O), x = ~ (e) V(O ,O ), F (O , -t y =!(c) V(O ,O ), F (3 ,O ), x =-3 (f) V( -~ , -~ ), F ( -~ , !), y = If

1551 (a) y2 = 12x (b) x2 = 12(y - 3) (c) x2 = -12y (d) x2 = -20y (e) y2 = -12x1561 y2= -8x IS71(y-3 )2= 12(x+4) IS81{y-3 )2= 20x IS91(y-3)2=8(x+4)308


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7.6 Soluciones a los eiexcicios propuestos@ I (y+!)2= ~ (x+i~ ) [61 ](y+l)2= -4(x -4) 1621 (x -2)2= 2(y-3 )!]fI (a) e= 1,C(2,3)J(2V3,3) (c) e= ~2,C(O,I)J(0 ,1J2)

(b) e = ' ? , C(I, -2), F(I , -2 v i s ) (d) e = 1 , C(-4,1), F( -4 2,1)[ i J (a ) ~ + 2~2 = 1 (b)~~+ ~ = 1 (c ) (x-;lf + ~ = 1[6~ (a) F{yS,O), V{3 ,O) , C(O,O), e =1 (c) F(j,O), V{~ ,O) , qo,O), e = ~

(b) F(0,1 ), V (O ,i), C(O,O), e = - i f (d) F (0, 6), V (0, 10), C(O,O), e = ~rLZl .2 II I 2 11 2 2 16y2 4 .2 2~ (a ) ~ + ~ = 1 (b) ~6 + v = 1 (c ) t s - + 225 = 1 (d) - + + y = 1[67J ~2 + ~ = 1 1681~ + f = 1 1691(X~4)2 + (Y~l)2 =1 I 1 Q ] (x1if + (y;;)l = 1[ill (a) F ( -4,6 V20), V( -4,0), V( -4,12), C{-4,6)

(b) F(-4VS,I), V (-7 ,1 ), V (-I ,I) , C{-4,1)(c ) F(5 vU,5), V (I,5 ), V (9 ,5 ), C(5,5)(d) F(I,V5), V(I ,3) , C(I,O)

1721 (a ) t -~1 (b)~ - = 1 (c ) 93~- f s = 11741 (a) V(10,0), F(y'&tO), y = 3S '" e = 1,17

(b) V (l,O ), F ( 1,0), y = ~,e o = : 1,12(c ) V (~ ,O ), F (~ ,O ), y = ::t , e = 1,25(d) V (2,0), F (v 'I3 , 0), y o = : 3{, e = 1,80

1751 ~-~~=1 1761~-~=1 l77px~2)2_(Y~1)20=:1 17sl~_7~2=1

(d)x2 _ lP - 1 (e) x2 _ i-I1 8- 4 5-

~ (a)C(4,O), V (44 ,0), F (412,O ), 2v'2(x-4)y=0(b ) C(O,O), V(2 ,O) , F(V5,O), y ix =

Iso I u2 + 4v2 =16 lSI I(a) '" 33,69 (b) '" 26,56 (c) '" -27,34 (d) ,._,-26,56IS21 (u + I? = -4(v -1), parabola IS31x2 + y2 - 4x - Sy+ 15 =0IS41 (x_ I )2+(y+2)2=4 IS51(y-3)2-3(x-I)2=35 IS613x2+4y2=1921 8 7 1 7(x+5?+I6(y -2}2=112 lssI9x2-7y2=343 IS916x 2+y2+y-6x=38

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