Universidade Federal de Goias
Instituto de Fısica
REVISAO DE MATEMATICA
TABELAS
Prof.: Salviano A. Leao
Goiania – Goias
Capıtulo 1
Formulas uteis
1.1 Produtos Notaveis
• (A−B) (A + B) = A2 −B2
• (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
• (A−B)2 = A2 − 2AB + B2
• (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
• (A−B)3 = A3 − 3A2B + 3AB2 −B3
1.2 Formulas de Fatoracao
• Diferenca de quadrados: A2 −B2 = (A−B) (A + B)
• Quadrado Perfeito: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
• Quadrado Perfeito: A2 − 2AB + B2 = (A−B)2
• Diferenca de cubos: A3 −B3 = (A−B) (A2 + AB + B2)
• Soma de cubos: A3 + B3 = (A + B) (A2 − AB + B2)
1.3 Equacao Quadratica ou do Segundo Grau
ax2 + bx + c = 0
A equacao acima tem a seguinte solucao:
x =
−b +√
b2 − 4ac
2a
−b−√b2 − 4ac
2a
onde, o termo ∆ = b2 − 4ac, e conhecido como discriminante. Conhecendo-se o discrimi-nante podemos podemos dizer o seguinte a respeito das raızes da equacao:
• Se ∆ > 0 a equacao tera duas raizes reais.
• Se ∆ > 0 a equacao tera uma unica raiz real.
1
Salviano A. Leao 2
• Se ∆ < 0 a equacao tera duas raizes complexas, que serao uma o conjugado daoutra.
1.4 O Teorema do Binomio de Newton
(a + b)n =
(n
0
)an +
(n
1
)an−1b +
(n
2
)an−2b2 + · · ·+
(n
n− 1
)abn−1 +
(n
n
)bn
= an + nan−1b +n(n− 1)
2!an−2b2 + · · ·+ n(n− 1)
2!abn−2 + nabn−1 + bn
Portanto, agora podemos responder questoes tais como sera a expansao do seguinte termo(a + b)8:
(a + b)8 =
(8
0
)a8 +
(8
1
)a7b +
(8
2
)a6b2 +
(8
3
)a5b3 +
(8
4
)a4b4+
(8
5
)a3b5 +
(8
6
)a2b6 +
(8
7
)ab7 +
(8
8
)b8
= a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8
O Termo Geral da Expansao Binomial O termo que contem ar na expansao de(a + b)n e (
n
n− r
)arbn−r (1.1)
1.4.1 O Coeficiente Binomial
Seja n e r dois numeros inteiros nao negativos com r ≤ n. O Coeficiente Binomial eexpresso por
(nr
)e ele e definido por
(n
r
)=
n!
r! (n− r)!(1.2)
1.4.2 Propriedade Fundamental dos Coeficientes Binomiais
Para quaisquer dois numeros inteiros nao negativo r e k com r ≤ k, a seguinte propriedadee verdadeira (
k
r − 1
)+
(k
r
)=
(k + 1
r
)(1.3)
1.5 Progressao Geometrica (PG)
Soma dos n termos de uma progressao geometrica:
Sn = a0 + a0r + a0r2 + · · ·+ a0r
n−1 (1.4)
para encontrarmos uma expressao simples para esta soma, basta multiplicarmos ela pelasua razao e subtrair do resultado anterior:
Salviano A. Leao 3
Sn · r = a0r + a0r2 + a0r
3 + · · ·+ a0rn
Sn = a0 + a0r + a0r2 + · · ·+ a0r
n−1
Sn · r − Sn = a0rn − a0 = a0 (rn − 1)
Portanto,
Sn =a0 (rn − 1)
r − 1(1.5)
1.6 Notacao Cientıfica
Qualquer numero x real e diferente de zero, pode ser escrito como:
x = c× 10n
onde 1 ≤ c < 10 e n e um numero inteiro. Quando escrevemos um numero nesta fomra,dizemos que o escrevemos na notacao cientıfica. Exemplos:
12 = 1.2× 10 (1.6)
1274.9837 = 1.2749837× 103 (1.7)
.000001234 = 1.234× 10−6 (1.8)
1.7 Exercıcios
Complete as expressoes a seguir para que os numeros fiquem corretamente representadosem notacao cientıfica:
1. 1207000 = . . . . . . . . . . . × 105
2. 38.560 = . . . . . . . . . . . × 104
3. 7656.20 = . . . . . . . . . . . × 10−3
4. 0.00006560 = . . . . . . . . . . . × 10−6
5.
(108 · 10−10
104 · 10−2
)1/2
6.
(5−6 · 5−3
104 · 10−6
)−1
7.(4k−1)
2
2k−5
8.2−1x3y−3
xy−2
9.5−2m2y−2
52m−1y−3
10.x1/3y2/3z1/4
x5/3y−1/3z3/4
11.k−3/5h−1/3t2/5
k−1/5h−2/3t1/5
1.8 Potencia de dez com expoente inteiro
Na notacao cientıfica, as potencias de 10 sao usadas para evitar um grande numero dezeros, usar corretamente os algarismos significativos, facilitar a leitura e os calculos eevitar erros durante a transcricao. Por exemplo:
Salviano A. Leao 4
Velocidade da luz c = 299 790 000 m/s = 2.9979× 108 m/s.
Quando a velocidade da luz e escrita com zeros, nao fica claro se os zeros saonumeros significativos ou nao. Mas quando escrevemos em notacao cientıfica, fica claroque somente os cinco primeiros algarismos sao significativos.
Se n for um numero natural nao-nulo, define-se:
10n = 10× 10× 10× · · · × 10︸ ︷︷ ︸n fatores
= 1000 · · · 0︸ ︷︷ ︸n zeros
Por exemplo,
102 = 10× 10 = 100
103 = 10× 10× 10 = 1 000
104 = 10× 10× 10× 10 = 10 000
Se for um numero natural nao-nulo, tambem se define:
10−n =1
10n= 0.000 · · · 0︸ ︷︷ ︸ 1
n zeros
Por exemplo,
10−2 = 10× 10 = 0.01
10−3 = 10× 10× 10 = 0.001
10−4 = 10× 10× 10× 10 = 0.0001
Por definicao:
100 = 1 .
EXEMPLOS:
1. Distancia da terra ao sol: 149 500 000 000 m = m.
2. Distancia da terra a lua: 384 4 00 000 m = 3.844× 108 m.
3. Espessura de uma amostra de tecido: 0.0015 cm =1.5
103= 1.5× 10−3 cm
1.9 Soma de Expressoes contendo Potencias de 10
Para calcular (3.844× 108) + (1.495× 1011) e necessario, primeiramente, escrever todosos termos nas mesmas potencia de 10.
Salviano A. Leao 5
1.495× 1011 = 1495.0× 108
3.844× 108 = 3.844× 108
= 1498.844× 108
ou,
1.495× 1011 = 1.495× 1011
3.844× 108 = 0.003844× 1011
= 1.498844× 1011
Exercıcio: A distancia do centro da lua ao centro da terra e de 3.844 × 108 m.Sabendo-se que o raio da terra mede 6370 kme o da lua 1.738× 106 m, calcule a distanciaentre as superfıcies da terra e da lua.
1.9.1 PREFIXOS PARA O SI
fator prefixo sımbolo fator prefixo sımbolo1024 yotta Y 10−24 yocto y1021 zetta Z 10−21 zepto z1018 exa E 10−18 atto a1015 peta P 10−15 femto f1012 tera T 10−12 pico p109 giga G 10−9 nano n106 mega M 10−6 micro µ103 quilo k 10−3 mili m102 hecto h 10−2 centi c101 deca da 10−1 deci d
1.10 Potencia ou Expoentes
A expressao an, sendo a um numero real nao-nulo e n um numero inteiro, significa que ae multiplicado por si mesmo n vezes. Portanto, a2 = a · a, enquanto a3 = a · a · a, e assimpor diante. Nesta secao apresentaremos um significado mais geral para o simbolo an. Ostermos n e a sao chamados respectivamente por expoente e base.
Definicao 1 Se n e um numero natural, entao
an = a · a · a . . . a, (1.9)
onde a aprece como um fator n vezes.
Na expressao an, n e o expoente e a e a base. Esta definicao pode ser extendida,definindo an para valores de n negativos e o zero.
Salviano A. Leao 6
Caso 2 Se a e um numero real diferente de zero (a ∈ <∗), e n e um numero inteiropositivo (n ∈ Z+), entao
a0 = 1 e a−n =1
an(1.10)
O sımbolo 00 nao tem significado. A seguir apresentamos algumas propriedadesdos expoentes:
1. am · an = am+n
2.am
an= am · 1
an= am ·
a−n = am−n
3. (am)n = am·n
4. (a · b)m = am · bm
5.(a
b
)m
=am
bm
6.(a1/n
)m= am/n
7.an
am= an · a−m = an−m
1.10.1 Exercıcios
Simplifique as expressoes abaixo:
1.
(108 · 10−10
104 · 10−2
)1/2
2.
(5−6 · 5−3
104 · 10−6
)−1
3.(4k−1)
2
2k−5
4.2−1x3y−3
xy−2
5.5−2m2y−2
52m−1y−3
6.x1/3y2/3z1/4
x5/3y−1/3z3/4
7.k−3/5h−1/3t2/5
k−1/5h−2/3t1/5
Fatore as seguintes expressoes:
1. 23 · 25
2.35
33
3. (23)2 · 24
4. (2−2 · 33)2 · 44
5. (x2 + 2) (x2 − 1)−1/2
(x) + (x2 − 1)1/2
(2x)
6. (3x− 1) (5x + 2)1/2 (15) + (5x + 2)1/2 (5)
Salviano A. Leao 7
7.1
2(2x + 5)2 (x2 − 4)
−1/2(2x) + (x2 − 4)
−1/2(2x) (2x + 5)
8. (4x2 + 1)2(2x− 1)−1/2 + (2x− 1)−1/2 (2)(4x2 + 1)
1.11 Radicais
Definimos a1/n como a n-esima raız de a, para valores apropriados de a e de n. Umanotacao alternativa para a1/n e o uso dos radicais.
Definicao 3 Se n e um numero natural par e a > 0, ou n e um numero natural ımpar,entao:
a1/n = n√
a (1.11)
O sımbolo n√
e o sinal de um radical, e o numero a e o radicando, e n e o ındicedo radical. O sımbolo
√a e usado em vez de 2
√a.
A seguir apresentamos algumas propriedades dos radicais:
1. ( n√
a)n
= a
2. n√
an =
{ |a| Se n e para Se n e ımpar
3. n√
a · n√
b = n√
a · b
4.n√
an√
b= n
√a
b(b 6= 0)
5. m√
n√
a = m·m√a
1.11.1 Exercıcios
Simplifique as expressoes:
1.√
(−2)2
2. 3√
16z5x8y4
3.5√7
4.3√
r −√3
5.y − 5
√y −√5
6.
√x +
√x + 1√
x−√x + 1
7.
√p +
√p2 − 1
√p−
√p2 − 1
Capıtulo 2
Trigonometria no TrianguloRetangulo
Sabemos que um triangulo e um retangulo quando um de seus angulos internos e umangulo reto (um angulo de 90◦). Consideremos o triangulo retangulo ABC da figuraabaixo.
α + θ = 90◦
a
b
c
A C
B
α
θ
Figura 2.1: Triangulo retangulo
A relacao mais importante do triangulo e dada pelo Teorema de Pitagoras, aqual relaciona a hipotenusa (lado oposto ao angulo reto) aos catetos (lados adjacentes aoangulo reto) do triangulo retangulo da seguinte forma:
a2 = b2 + c2. (2.1)
Agora definiremos algumas funcoes trigonometricas:
seno de α =cateto oposto ao angulo α
hipotenusa=⇒ sen α =
c
a(2.2)
co-seno de α =cateto adjacente ao angulo α
hipotenusa=⇒ cos α =
b
a(2.3)
8
Salviano A. Leao 9
tangente de α =cateto oposto ao angulo α
cateto adjacente ao angulo α=⇒ tg α =
c
b(2.4)
Usando as definicoes acima para o angulo θ temos que:
sen θ =b
a; cos θ =
c
ae tg θ =
b
c. (2.5)
Devemos observar ainda que α + θ = 90◦, e analisando as expressoes anteriores vemosque:
sen α =c
ae cos θ =
c
a=⇒ sen α = cos θ (2.6)
cos α =b
ae sen θ =
b
a=⇒ cos α = sen θ (2.7)
tg α =c
be tg θ =
b
c=⇒ tg α =
1
tg θ(2.8)
sec α =1
cos α=
a
be cossec θ =
1
sen θ=
a
b=⇒ sec α = cossec θ
(2.9)
cotg α =1
tg α=
b
ce tg θ =
b
c=⇒ cotg α = tg θ (2.10)
Como α + θ = 90◦, entao podemos concluir que para dois angulos quaisquer cujaa soma seja 90◦ as relacoes (2.6), (2.7) e (2.8) serao sempre validas. Podemos escreveresta relacao em uma forma mais geral para um angulo agudo β (0◦ ≤ β ≤ 90◦) qualquercomo:
sen β = cos(90◦−β) e cos β = sen(90◦−β) para: 0◦ ≤ β ≤ 90◦
(2.11)
Apresentamos a seguir os valores do seno, do cosseno e da tangente dos angulosmais importantes:
Salviano A. Leao 10
θ = 0◦ θ = 30◦ θ = 45◦ θ = 60◦ θ = 90◦
sen θ 01
2
√2
2
√3
21
cos θ 1
√3
2
√2
2
1
20
tg θ 0
√3
31
√3 —
2.1 Relacoes entre o Seno, o Cosseno e a Tangente
Para encontrarmos algumas das relacoes mais importantes entre o seno, o cossenoe a tangente iremos utilizar o triangulo retangulo da figura 1. A Primeira relacao obtemosao dividirmos a eq. (2.1) (Teorema de Pitagoras) pelo quadrado da hipotenusa (trianguloretangulo, figura 1), ou seja,
a2 = b2 + c2 ÷ (a2) =⇒ a2
a2=
b2
a2+
c2
a2, (2.12)
1 =
(b
a
)2
+( c
a
)2
(2.13)
Substituindo a eq. (2.2) e (2.3) na equacao anterior, obtemos que:
1=cos2 α+sen2α ou cos2 α+sen2α=1 (2.14)
Consideremos a razao entre o seno e o cosseno:
sen α
cos α=
baca
=b
a· ac
=b
c= tg α =⇒ tg α =
sen α
cos α(2.15)
Agora vamos determinar a relacao entre a tangente e a secante.
a2 = b2 + c2 ÷ (c2) =⇒ a2
c2=
b2
c2+
c2
c2, (2.16)
(a
c
)2
=
(b
c
)2
+ 1 (2.17)
como sec θ = 1cos θ
= ca
e tg θ = bc, obtemos que:
sec2 θ=tg2 θ+1 ou sec2 θ-tg2 θ=1 . (2.18)
Salviano A. Leao 11
2.2 Relacoes Trigonometricas na Circunferencia
Agora, iremos investigar as relacoes trigonometricas na circunferencia, e para tal,devemos considerar uma circunferencia de raio unitario. Definiremos o eixo dos senos comosendo o eixo vertical que passa pelo centro da circunferencia e o eixo dos co-senos comosendo o eixo horizontal que passa pelo centro da circunferencia no ciclo trigonometrico(ver figura abaixo).
Figura 2.2: Ciclo Trigonometrico.
Na figura ao lado, consideremos o triangulo retangulo OMP , cujo o lado (hipo-tenusa) OP = 1 (raio da circunferencia trigonometrica). Desta forma, podemos escrever:
cos θ =OM
OP=
OM
1= OM =⇒ OM = cos θ (2.19)
sen θ =MP
OP=
MP
1= MP =⇒ MP = sen θ (2.20)
Devemos observar ainda que ON = MP , entao ON = sen θ.O que vimos ate agora foi que a projecao do segmento OP sobre o eixo dos
cossenos e dado pelo segmento OM que por sua vez e igual ao cos θ. Assim, podemosconcluir que a projecao do segmento OP sobre o eixo dos cossenos e igual ao cos θ.Analogamente, podemos concluir que a projecao do segmento OP sobre o eixo dos senose igual ao sen θ.
Ao analisarmos o ciclo trigonometrico apresentado na figura 2 acima podemosconcluir facilmente que:
0 ≤ sen θ ≤ 1 e que 0 ≤ cos θ ≤ 1 (2.21)
Salviano A. Leao 12
Sempre que 0◦ < θ < 90◦ diremos que o angulo θ se encontra no 1o quadrante.Na tabela abaixo apresentamos a definicao dos outros quadrantes, assim como o sinal dossenos, cossenos e tangentes nos respectivos quadrantes:
Arco AB 0◦ < θ < 90◦ 1o quadrante sen θ > 0 cos θ > 0 tg θ = sen θcos θ > 0
Arco BA′ 90◦ < θ < 180◦ 2o quadrante sen θ > 0 cos θ < 0 tg θ = sen θcos θ < 0
Arco A′B′ 180◦ < θ < 270◦ 3o quadrante sen θ < 0 cos θ < 0 tg θ = sen θcos θ > 0
Arco B′A 270◦ < θ < 360◦ 4o quadrante sen θ < 0 cos θ > 0 tg θ = sen θcos θ < 0
Da tabela acima observamos que a tangente so e positiva nos quadrantes em queo seno e o cosseno possuem o mesmo sinal.
Na figura 3 abaixo, apresentamos a definicao do eixo da tangente na circunferenciatrigonometrica.
(a) Tangente (b) Quadrantes
Figura 2.3:
Na figura 3.1(a), mostramos que o eixo das tangentes e paralelo ao eixo dos senos,e que o seu valor e dado pelo segmento AP ′, o qual e obtido ao prolongarmos o segmentoOP ate ele encontrar o eixo da tangente no ponto P ′. Desta forma, a tangente do anguloθ e definida como sendo o segmento AP ′. Da definicao acima vemos claramente que atangente de θ de zero e zero e a medida em que vamos aumentando o angulo θ a tangentevai assumindo valores que crescem indefinidamente a medida em que o angulo θ vai seaproximando de 90◦, ou seja,
0 ≤ tg θ < ∞ (2.22)
Salviano A. Leao 13
Agora, iremos analisar o caso em que o angulo θ e tal que 90◦ < θ < 180◦. Oque desejamos fazer aqui e relacionar o seno, o cosseno e a tangente de um angulo θ no2o quadrante com o seno, o cosseno e a tangente do angulo α = 180◦− θ no 1o quadrante.Para realizarmos este proposito iremos considerar a figura 3.1(b) acima, da qual, aposuma analise podemos concluir facilmente que:
cos α = cos (180◦ − θ) = − cos θ (2.23)
sen α = sen (180◦ − θ) = sen θ (2.24)
tg α = tg (180◦ − θ) = − tg θ (2.25)
2.3 Trigonometria em Triangulos Quaisquer
2.3.1 Lei dos Cossenos
Em qualquer triangulo, o quadrado de um lado e igual a soma dos quadrados dos outros doislados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do angulo formado por eles.
DEMONSTRACAO:
Figura 2.4: Lei dos cossenos
1o¯ CASO: Seja ABC um triangulo com o angulo A < 90◦ (Ver triangulo (a) da
figura 2.4).No triangulo BCD que e retangulo:
a2 = n2 + h2 (2.26)
No triangulo BAD que e retangulo:
Salviano A. Leao 14
h2 = c2 −m2 (2.27)
Temos tambem:
n = b−m (2.28)
Substituindo as eqs. (2.28) e (2.27) em (2.26), obtemos:
a2 = (b−m)2 + c2 −m2 ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm
Mas no triangulo BAD temos que: m = c · cos A. Logo
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
2o¯ CASO: Seja ABC um triangulo com o angulo 90◦ < A < 180◦ (Ver triangulo
(b) da figura acima).No triangulo BCD que e retangulo:
a2 = n2 + h2 (2.29)
No triangulo BAD que e retangulo:
h2 = c2 −m2 (2.30)
Temos tambem:
n = b + m (2.31)
Substituindo as eqs. (2.31) e (2.30) em (2.29), obtemos:
a2 = (b + m)2 + c2 −m2 ⇒ a2 = b2 + c2 + 2bm
Mas no triangulo BAD temos que:
m = c · cos(180◦ − A
)⇒ m = −c · cos A
Logo:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
3o¯ CASO: Analogamente podemos provar que:
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C
Salviano A. Leao 15
2.3.2 Aplicacao da Lei dos Cossenos
Consideremos a figura 2.5, onde mostramos a regra do paralelogramo para somarmos doisvetores F1 e F2 cujo o angulo entre eles e α. Ao somarmos os dois vetores obtemosa direcao e o sentido do um vetor resultante FRes. mas nao temos a sua intensidade(modulo). Para determinarmos a intensidade do vetor FRes. iremos utilizar a lei doscossenos no triangulo inferior da figura 2.5, na qual vemos que o angulo oposto ao vetorFRes. e o angulo θ.
Figura 2.5: Soma vetorial de dois vetores.
A lei dos cossenos e dada por:
|FRes.|2 = |F1|2 + |F2|2 − 2 · |F1| · |F2| · cos θ
Note na expressao acima o sinal do termo 2 · |F1| · |F2| · cos θ e negativo e o angulo e ooposto ao vetor F
Res., ou seja o angulo θ. Tambem podemos escrever a lei dos cossenosem termos do angulo α entre os vetores F1 e F2, e para isto devemos observar a seguinterelacao α = 180◦ − θ, entre o angulo α e o θ. Entao como foi visto anteriormente,
cos α = (180◦ − θ) = − cos θ =⇒ cos θ = − cos α
assim podemos expressar a lei dos cossenos como:
|FRes.|2 = |F1|2 + |F2|2 + 2 · |F1| · |F2| · cos α
2.3.3 Lei dos Senos
Em qualquer triangulo, o quociente entre cada lado e o seno do angulo oposto e constante eigual a medida do diametro da circunferencia circunscrita.
DEMONSTRACAO:
Salviano A. Leao 16
Seja ABC um triangulo qualquer, inscrito numa circunferencia de raio R. Porum dos vertices do triangulo (o vertice B), tracemos o diametro correspondente BA′ eliguemos A′ com C.
Sabemos que A = A′ por determinarem na circunferencia a mesma corda BC. Otriangulo A′BC e retangulo em C por estar inscrito numa semicircunferencia.
Temos, entao:
a = 2R · sen A′ ⇒ a = 2R · sen A ⇒ a
sen A= 2R
Analogamente:
b
sen B= 2R e
c
sen C= 2R
Donde concluımos que:
a
sen A=
b
sen B=
c
sen C= 2R
Salviano A. Leao 17
2.4 Lista Exercıcios de Trigonometria
2.4.1 Trigonometria no triagulo retangulo
1-) Usando a figura abaixo determine:
Figura 2.6: Triangulos retangulos.
1. Calcule as razoes trigonometricas seno, cosseno, tangente e cotangente dos angulosagudos do triangulo retangulo em que um dos catetos mede 3 e a hipotenusa 2
√3.
2. Em um triangulo ABC reto em A, determine as medidas dos catetos, sabendo quea hipotenusa vale 50 e sen B = 4
5.
3. Sabe-se que a hipotenusa de um triangulo retangulo mede 2√
17, e que o cosseno deum dos seus angulos mede 2
√51/17. Calcule os catetos.
4. Seja ABC um triangulo retangulo em A. Sao dados tg B =√
52
e hipotenusa a = 6.Calcule os catetos b e c.
5. Determine os lados a e b e o angulo θ do triangulo (a) acima.
6. Determine os lados a, b e o angulo θ do triangulo (b) acima sabendo que a+√
2b = 9.
7. Determine os lados a, b, c e o angulo θ do triangulo (c) acima sabendo que c+b = 21,e que sen θ = 3
5. Encontre tambem o cos α, cos θ, sen α, tg α e a tg θ.
8. Determine os lados a, b, c e os angulo β e θ do triangulo (c) acima sabendo quec + b = 18, e que tg β = 0.8. Encontre tambem o sen β, cos β, sen θ, cos θ e atg θ.
2.4.2 Funcoes trigonometricas
1. Escreva uma expressao para o cos θ em funcao da tg θ.
2. Escreva uma expressao para o sen θ em funcao da tg θ.
3. Calcule cos x sabendo que cotg x = 2√
mm−1
, com m > 1.
4. Calcule sec x sabendo que sen x = 2aba2+b2
, com a > b > 0.
5. Sabendo que sec x = 3, calcule o valor da expressao y = sen2 x + 2 · tg2 x
6. Calcule sen x e cos x sabendo que 3 · cos x + sen x = −1.
7. Calcule sen x e cos x sabendo que 5 · sec x− 3 · tg2 x = 1.
8. Sabendo que sen x = 45
e que π2
< x < π, calcule o cos x, cossec x, tg x e cotg x.
Salviano A. Leao 18
9. Determine a relacao entre x e y, independente de t, sabendo que x = 3 · sen t e quey = 4 · cos t.
10. Sabendo que sen x = 13
e 0 < x < π2
calcule o valor da expressao:
y =1
cossec x + cotg x+
1
cossec x− cotg x(2.32)
11. Simplifique as expressoes abaixo:
a) y =cossec x + sen x
sec x + cos xb) y =
cos2x− cotg2x
sen2x− tg2x
12. Simplifique y =sec x + tg x
sec x− tg xe calcule o valor de y sendo dado que cossec x = −10.
13. Dado que a tg x =√
19, calcule o valor de y =sen x
1 + sen x− sen x
1− sen x
14. Simplifique as expressoes abaixo:
a) y =(tg a + cotg a)2
sec2 a · cossec2 ab) y =
cotg2θ
1 + cotg2θ− 1
1 + tg2θ
15. Sabendo que 10 · sen2 x + 14 · cos2x = 11, calcule os possıveis valores da tg x.
16. Sendo dado 5 · tg2x + 12 · sec2 x = 29, calcule cos x.
17. Calcule sen x nos seguintes casos:
a) Dado que cos x = 2 sen x. b) Dado que cossec x + cotg x = 3.
18. Se sen2 x + cos4x = 1 quais os possıveis valores de sen x? (Lembre que cos4x =cos2x · cos2x = (1− sen2 x)
2).
19. Simplifique as expressoes abaixo:
a) y = sen4 x− cos4x + 2cos2x
b) y = sen2 α + sen2 β − sen2 α · sen2 β + cos2α · cos2β
20. Sabendo que tg x =√
3 e que π2
< x < 3π2
, calcule:
a) sec x b) cos x c) sen x d) cossec x
21. Sabendo que tg x =√
33
e que sen x = −12
determine x.
2.4.3 Funcoes trigonometricas: Arcos
1. Se cos θ = 35, calcule o valor de sen(θ + π
2).
2. Se sen x = 12
e 0 ≤ x ≤ π2
calcule o valor de:
a) cos x
b) cos(
π2
+ x), cos (π + x) e cos
(3π2
+ x)
c) sen(
π2
+ x), sen (π + x) e sen
(3π2
+ x)
Salviano A. Leao 19
d) tg(
π2
+ x), tg (π + x) e tg
(3π2
+ x)
e) cotg(
π2
+ x), cotg (π + x) e cotg
(3π2
+ x)
f) sec(
π2
+ x), sec (π + x) e sec
(3π2
+ x)
g) cossec(
π2
+ x), cossec (π + x) e cossec
(3π2
+ x)
3. Calcule o valor das expressoes:
a) Z = sen2 120◦ + 2 · sen 120◦ · cos 150◦ + cos2 150◦
b) W = sen 3π2· cos 2π
3− sen 2π
3· cos 3π
2
4. Verifique que: cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + . . . + cos 160◦ + cos 180◦ = 0.
5. Verifique que: sen 10◦ + sen 20◦ + + sen 30◦ sen 40◦ + . . . + sen 350◦ + sen 360◦ = 0.
6. Calcule:
a)(sen 7π
2
) · (cos 31π) b) sen 11π + cos 11π2
.
2.4.4 Formulas de adicao de arcos
Nos exercıcios a seguir usaremos as seguintes propriedades:
Formulas da adicao
sen (A±B) = sen A · cos B ± sen B · cos A
cos (A±B) = cos A · cos B ∓ sen A · sen B
tg (A±B) =tg A± tg B
1∓ tg A · tg B
Salviano A. Leao 20
Formulas da multiplicacao
sen 2θ = 2 sen θ · cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ = 2 · cos2 θ − 1 = 1− 2 · sen2 θ
tg 2θ =2 · tg θ
1− tg2 θ
Formulas da divisao
cos θ = cos2 θ
2− sen2 θ
2= 2 · cos2 θ
2− 1 = 1− 2 · sen2 θ
2
senθ
2= ±
√1− cos θ
2cos
θ
2= ±
√1 + cos θ
2
tgθ
2=
sen θ2
cos θ2
= ±√
1− cos θ
1 + cos θ
Resolva os exercıcios a seguir:
1. Calcule os seguintes valores:
a) cos 15◦ b) sen 105◦ c) tg 75◦ d) sec 285◦
e) sen 225◦ f) cos 195◦ g) tg 165◦ h) cossec 285◦
2. Sabendo que tg A = 2 e que tg B = 1 ache tg (A−B)
3. Dado que sen x = 35
e que cos y = 513
, calcule o valor de cos(x ± y) e o valor dosen(x± y), sabendo que 0 < x < π
2e que 3π
2< y < 2π.
4. Sabendo que sen x = 1517
, sen y = −35
e que 0 < x < π2
e que 3π2
< y < 2π, calcule osseguintes valores:
a) cos(x±y) b) sen(x±y) c) tg(x±y) d) sec(x±y)
5. Se sen α = 23
e 0 < α < π2, calcule:
a) cos(π2
+ 2α) b) sen(π2
+ 2α) c) tg(π2
+ 2α) d)sec(π
2+ 2α)
6. Desenvolva:
a) cos(π2+x) b) sen(π
4+x) c) cos(π+x) d) cos(3π
2+
x)
Salviano A. Leao 21
7. Desenvolva:
a) sen(a − π) b) sen(2π − b) c) cos(β − 3π2
) d)cos(π
3− α)
8. Prove que sen(π − x) = sen x e que cos(π − x) = − cos x.
9. Dado sen x = 14
e 0 < x < π2
calcule sen(π6
+ x).
10. Dados cos α = 2025
e cos β = 2425
, α e β no 1o¯ quadrante, calcule cos(α + β).
11. Dados sen α = 725
e sen β = 1525
, α e β no 1o¯ quadrante, calcule sen(α + β).
12. Simplifique:
a) y = sen(π4
+ x)− sen(π4− x)
b) y = sen(π6
+ x) + cos(π3
+ x)
13. Dada tg x = 6 calcule tg(x + π4).
14. Dados sen 37◦ ' 0.60 e cos 37◦ ' 0.80, calcule sen 74◦ e cos 74◦.
15. Expresse cos 4x em funcao do cos x.
16. Prove a identidade (sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x
17. Dado sen x + cos x = m, mostre que sen 2x = m2 − 1
18. Dado cos α = 18, com 0 < α < π
2, calcule sen α
2e cos α
2.
19. Dado cos x = 23, com 0 < x < π
2, calcule tg x
2.
20. Dado cos x2
=√
24
calcule o valor de cos x.
21. Dado cos x2
= −23
calcule os possıveis valores de sen x.
2.4.5 Transformacao em Produto
2.4.6 Exercıcio
Prove, cada uma das relacoes abaixo:
sen (α + β) + sen (α− β) = 2 sen α · cos β
sen (α + β)− sen (α− β) = 2 sen β · cos α
cos (α + β) + cos (α− β) = 2 cos α · cos β
cos (α + β)− cos (α− β) = −2 sen α · sen β
Salviano A. Leao 22
Seja,
{α + β = pα− β = q
=⇒
α =p + q
2
β =p− q
2
(2.33)
sen p + sen q = 2 sen
(p + q
2
)· cos
(p− q
2
)
sen p− sen q = 2 sen
(p− q
2
)· cos
(p + q
2
)
cos p + cos q = 2 cos
(p + q
2
)· cos
(p− q
2
)
cos p− cos q = −2 sen
(p + q
2
)· sen
(p− q
2
)
Capıtulo 3
Funcoes Exponenciais
Se a > 0, a funcao exponencial com base a e definida por
f(x) = ax
Para a 6= 1, o domınio de f e R, o intervalo de f esta em (0,∞), e o grafico de ftem uma das seguintes formas:
(a) f (x) = ax para a > 1 (b) f (x) = ax para 0 < a < 1
3.1 Propriedades das Funcoes Exponenciais de Base
e
Desde que e > 1, a funcao exponencial f(x) = ex e uma funcao contınua crescente com odomınio R = (−∞,∞) com variacao em (0,∞). Portanto ex > 0 para todo x. Tambem
limx→−∞
ex = 0 limx→∞
ex = ∞ (3.1)
portanto o eixo dos x e uma assıntota horizontal da funcao f(x) = ex e a funcao f(x) = ex
nao esta limitada acima – isto e, cresce indefinidamente.
Exemplo 1 As funcoes y = ex e y = ex sao mostradas no grafico abaixo.
23
Salviano A. Leao 24
Figura 3.1: No grafico acima a funcao y = exe a funcao que cresce com x enquanto afuncao y = e−x e que decresce a medida em que x cresce.
3.2 Funcoes Logaritmicas
Definicao 4 Se a e um numero positivo diferente de um (a 6= 1). A funcao logaritmicacom base a, representada pelo sımbolo log, e definida por
loga x = y ⇐⇒ ay = x
Em outras palavras, isto pode ser dito comoO loga x e o exponente o qual devemos elevar a base a para obtermos x.
A funcao logarıtmica loga e contınua ja que ela e a inversa de uma funcao contınua,nominalmente a funcao exponencial. O seu grafico e uma reflexao do grafico da funcaoy = ax sobre a reta y = x. A seguir mostramos os graficos de funcoes logarıtmicas para asbases e (no grafico abaixo e a funcao que tem maior taxa de crescimento), 10 (no graficoabaixo e a funcao crescente com menor taxa de crescimento), e −1
2(no grafico abaixo e a
funcao decrescente).
Figura 3.2: Funcoes logarıtmicas para diferentes bases.
Os graficos sao crescentes para a > 1 e decrescentes para a < 1. O fato de quey = ax e uma funcao que cresce muito rapidamente para x > 1 decresce para x < 1, erefletido no fato de que y = loga x e uma funcao que cresce ou decresce muito lentamentepara x > 1.
Salviano A. Leao 25
3.2.1 Propriedades dos Logaritmos
Propriedade Razao
loga 1 = 0 Devemos elevar a base a a potencia 0 para obtermos 1loga a = 1 Devemos elevar a base a a potencia 1 para obtermos a.loga ax = x Devemos elevar a base a a potencia x para obtermos ax.aloga x = x O loga x e a potencia que a base a deve ser elevada para obtermos x.
3.2.2 Logaritmo Comun
O logaritmo com a base 10 e chamado logaritmo comun e ele e representado omitindo abase:
log x = log10 x
3.2.3 Logaritmo Natural (ln)
O logaritmo com a base e e chamado logaritmo natural e ele e representado pelo sımbololn:
ln x = loge x
3.2.4 Propriedades dos Logaritmos Naturais
Propriedade Razao
ln 1 = 0 Devemos elevar a base e a potencia 0 para obtermos 1ln e = 1 Devemos elevar a base e a potencia 1 para obtermos e.ln ex = x Devemos elevar a base e a potencia x para obtermos ex.eln x = x O ln x e a potencia que a base e deve ser elevada para obtermos x.
3.3 Propriedades das funcoes Logaritmos
Se a e um numero positivo, com a diferente de um (a 6= 1). Seja x > 0, y > 0, e r umnumero real qualquer, entao as seguintes propriedades sao validas:
• loga(xy) = loga x + loga y
O logaritmo do produto de dois numeros e a soma dos logaritmos destes numeros.
• loga
(xy
)= loga x− loga y
O logaritmo do quociente de dois numeros e a diferenca dos logaritmos destesnumeros.
• loga (xr) = r loga x
O logaritmo de um numero elevado a uma potencia e o expoente vezes o logaritomdeste numero.
Salviano A. Leao 26
• aloga x = x ou ainda eln x = x
• Se a > 1, entao
limx→∞
loga x = ∞ e limx→0+
loga x = −∞
3.3.1 Formula da Mudanca de Base
Para mudarmos da base a para a base b, e necessario conhecermos loga b.
logb x =loga x
loga b
Para qualquer numero positivo a (a 6= 1), temos
loga x =logb x
logb a⇔ loga x =
ln x
ln a
Capıtulo 4
Formulas e Tabelas de Calculo
4.1 Limites Fundamentais
• limx→0
1x
= ∞
• limx→∞
1x
= 0
• limx→0
sen x
x= 1
• limx→0
sen 1x
= @
• limx→0
x sen 1x
= 0
• limx→0
ln(1 + x)
x= 1
• limx→0
(1 + x)1/x = e
• limx→∞
(1 + 1x)x = e
• limθ→0
sen θ = 0
• limθ→0
cos θ = 1
• limθ→0
sen θθ
= 1
• limθ→0
cos θ−1θ
= 0
4.2 Tabelas de Diferenciacao: Regras e Formulas
4.2.1 Formulas de Diferenciacao
Nestas formulas, u e v representam funcoes de x; a, b e n representam constantes; e = 2.71828.... e π = 3. 14159... ; e todos os angulos sao medidos em radianos.
4.2.2 Definicao da Derivada com um Limite
A derivada de uma funcao f em um numero x, e denotada por f ′(x),d
dxf (x),
df
dx(x), ou Dx (f(x)) e tambem e o limite
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
se este limite existir.Esta associada com a funcao y = f(x), uma nova funcao dy
dx= f ′(x), chamada a
derivada de f em relacao a x.
27
Salviano A. Leao 28
4.2.3 Regra da Cadeia
Considere uma funcao f que e uma funcao de uma outra funcao g(x), ou seja, f = f(g(x)).A sua derivada e dada por:
d
dxf(g(x)) =
df
dg· dg
dx
4.2.4 Funcoes Algebricas
1.d
dx(au± bv) = a
du
dx± b
dv
dx
2.d
dx(un) = nun−1du
dx
4.2.5 Regras de Diferenciacao
Nesta tabela, f , g, u, v, e y representam funcoes de x, e c e n representam constantes.
1. c′ = 0d
dx(c) = 0
2. (cf )′ = cf ′ d
dx(cu) = c
du
dx
3. (f + g)′ = f ′ + g′d
dx(u + v) =
du
dx+
dv
dx(regra da soma)
4. (f − g)′ = f ′ − g′d
dx(u− v) (x) =
du
dx− dv
dx
5. (xn)′ = nxn−1 d
dx(xn) = nxn−1 (regra da potencia)
6. (f (x)n)′ =d
dx(un) = nun−1du
dx(regra generalizada da potencia)
7. (fg)′ = f ′g + fg′d
dx(uv) = u
dv
dx+ v
du
dx(regra do produto)
8.
(f
g
)′=
f ′g − fg′
g2
d
dx
(u
v
)=
vdu
dx− u
dv
dxv2
(regra do quociente)
9. (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g) g′dy
dx=
dy
du
du
dx(regra da cadeia)
Salviano A. Leao 29
4.2.6 Tabela de Derivadas de Funcoes
d
dxx = 1
d
dxun = n un−1du
dx
d
dx(a x) = a
d
dx(u + v) =
d
dxu +
d
dxv
d
dxxn = nxn−1 d
dx(u · v) = u
d
dxv + v
d
dxu
d
dx(a u) = a
du
dx
d
dx
( u
v
)=
vd
dxu− u
d
dxv
v2(v 6= 0)
4.3 Tabela de Derivadas das Funcoes Trigonometricas
d
dx(sen x) = cos x
d
dx(sen u) = cos u
du
dx
d
dx(cos x) = − sen x
d
dx(cos u) = − sen u
du
dx
d
dx(tg x) = sec2 x
d
dx(tg u) = sec2 u
du
dx
d
dx(sec x) = sec x tg x
d
dx(sec u) = sec u tg u
du
dx
d
dx(cossec x) = − cossec x cotg x
d
dx(cossec u) = − cossec u cotg u
du
dx
d
dx(cotg x) = − cossec2 x
d
dx(cotg u) = − cossec2 u
du
dx
4.3.1 Tabela de Derivadas das Funcoes Exponenciais e Logarıtmicas
d
dxex = ex d
dxeu = eu du
dx
d
dx(ln x) =
1
x
d
dx(ln u(x)) =
1
u(x)
du
dx
d
dxax = ax ln a
d
dxau = au ln a
du
dx
d
dx(loga x) =
1
x ln a
d
dx(loga u) =
1
u ln a
du
dx
d
dx(uv) = vuv−1du
dx+ uv ln u
dv
dx
Salviano A. Leao 30
4.3.2 Funcoes Trigonometricas Inversas
1.d
dx
(sin−1 u
)= 1√
1−u2
du
dx
2.d
dx(cos−1 u) = − 1√
1−u2
du
dx
3.d
dx(tan−1 u) = 1
1+u2
du
dx
4.d
dx(cot−1 u) = − 1
1+u2
du
dx
5.d
dx(sec−1 u) = 1
u√
u2−1
du
dx, −π ≤
sec−1 u < −π2, 0 ≤ sec−1 u < π
2
6.d
dx(csc−1 u) = − 1
u√
u2−1
du
dx, −π <
csc−1 u ≤ −π2, 0 < sec−1 u ≤ π
2
4.3.3 Funcoes Hiperbolicas
1.d
dx(sinh u) = cosh u
du
dx
2.d
dx(cosh u) = sinh u
du
dx
3.d
dx(tanh u) = sech2 u
du
dx
4.d
dx(coth u) = − csch2 u
du
dx
5.d
dx(sech u) = − sech u tanh u
du
dx
6.d
dx(csch u) = − csch u coth u
du
dx
4.3.4 Funcoes Hiperbolicas Inversas
1.d
dx
(sinh−1 u
)= 1√
u2+1
du
dx
2.d
dx
(cosh−1 u
)= 1√
u2−1
du
dx, u > 1
3.d
dx
(tanh−1 u
)= 1
1−u2
du
dx
4.d
dx
(coth−1 u
)= 1
1−u2
du
dx
5.d
dx
(sech−1 x
)= − 1
u√
1−u2
du
dx, u > 0
6.d
dx
(csch−1 u
)= − 1
u√
1+u2
du
dx
4.4 Tabela de Integrais Indefinidas: Antiderivada
4.4.1 Integracao por Partes
Se f e g sao funcoes difrenciaveis, entao
∫f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)−
∫f ′ (x) g (x) dx
Fazendo u = f (x) e v = g (x), entao du = f ′ (x) dx e dv = g′ (x) dx. Usando a regra dasubstituicao, obtemos ∫
udv = uv −∫
vdu
Salviano A. Leao 31
∫cf(x) dx = c
∫f(x) dx
∫[f(x) + g(x)] dx =
∫f(x) dx +
∫g(x) dx
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C (n 6= −1)
∫axn dx = a
xn+1
n + 1+ C (n 6= −1)
∫1
xdx = ln |x|+ C
∫1
axdx =
1
aln |x|+ C
∫ex dx = ex + C
∫eaxdx =
eax
a+ C
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫abx dx =
1
b ln aabx
∫sen x dx = − cos x + C
∫sen (ax) dx = −cos (ax)
a+ C
∫cos x dx = sen x + C
∫cos (ax) dx =
sen (ax)
a+ C
∫sec2 x dx = tg x + C
∫sec2 (ax) dx =
tg (ax)
a+ C
∫cossec 2x dx = − cotg x + C
∫cossec 2 (ax) dx =
cotg (ax)
a+ C
∫sec x tg x dx = sec x + C
∫sec (ax) tg (ax) dx =
sec (ax)
a+ C
∫cossec x cotg x dx = − cossec x + C
∫cossec (ax) cotg (ax) dx = −cossec (ax)
a+ C
∫1√
1− x2dx = sen−1 x + C
∫1
x2 + 1dx = tg −1x + C
4.5 Tabela de Integrais
4.5.1 Formas Basicas
1.
∫u dv = uv −
∫v du
2.
∫un du =
1
n + 1un+1 + C, n 6= −1
3.
∫du
u= ln |u|+ C
4.
∫eu du = eu + C
5.
∫au du =
1
ln aau + C
6.
∫sin u du = − cos u + C
7.
∫cos u du = sin u + C
8.
∫sec2 u du = tan u + C
9.
∫csc2 u du = − cot u + C
10.
∫sec u tan u du = sec u + C
11.
∫csc u cot u du = − csc u + C
12.
∫tan u du = ln |sec u|+ C
13.
∫cot u du = ln |sin u|+ C
14.
∫sec u du = ln |sec u + tan u|+ C
15.
∫csc u du = ln |csc u− cot u|+ C
16.
∫du√
a2 − u2= sin−1 u
a+ C
Salviano A. Leao 32
17.
∫du
a2 + u2=
1
atan−1 u
a+ C
18.
∫du
u√
u2 − a2=
1
asec−1 u
a+ C
19.
∫du
a2 − u2=
1
2aln
∣∣∣∣u + a
u− a
∣∣∣∣ + C
20.
∫du
u2 − a2=
1
2aln
∣∣∣∣u− a
u + a
∣∣∣∣ + C
4.5.2 Formas Envolvendo Radicais de Expressoes Quadraticas
Formas Envolvendo√
a2 + u2, a > 0
1.
∫ √a2 + u2 du =
u
2
√a2 + u2 +
a2
2ln
(u +
√a2 + u2
)+ C
2.
∫u2√
a2 + u2 du =u
8(a2 + 2u2)
√a2 + u2 − a4
8ln
(u +
√a2 + u2
)+ C
3.
∫ √a2 + u2
udu =
√a2 + u2 − a ln
∣∣∣∣∣a +
√a2 + u2
u
∣∣∣∣∣ + C
4.
∫ √a2 + u2
u2du = −
√a2 + u2
u+ ln
(u +
√a2 + u2
)+ C
5.
∫du√
a2 + u2= ln
(u +
√a2 + u2
)+ C
6.
∫u2 du√a2 + u2
=u
2
√a2 + u2 − a2
2ln
(u +
√a2 + u2
)+ C
7.
∫du
u√
a2 + u2= −1
aln
∣∣∣∣∣
√a2 + u2 + a
u
∣∣∣∣∣ + C
8.
∫du
u2√
a2 + u2= −
√a2 + u2
a2u+ C
9.
∫du
(a2 + u2)3/2=
u
a2√
a2 + u2+ C
Formas Envolvendo√
a2 − u2, a > 0
1.
∫ √a2 − u2 du =
u
2
√a2 − u2 +
a2
2sin−1 u
a+ C
2.
∫u2√
a2 − u2 du =u
8(2u2 − a2)
√a2 − u2 +
a4
8sin−1 u
a+ C
3.
∫ √a2 − u2
udu =
√a2 − u2 − a ln
∣∣∣∣a +
√a2 − u2
u
∣∣∣∣ + C
4.
∫ √a2 − u2
u2du = −1
u
√a2 − u2 − sin−1 u
a+ C
Salviano A. Leao 33
5.
∫u2 du√a2 − u2
= −u
2
√a2 − u2 +
a2
2sin−1 u
a+ C
6.
∫du
u√
a2 − u2= −1
aln
∣∣∣∣a +
√a2 − u2
u
∣∣∣∣ + C
7.
∫du
u2√
a2 − u2= − 1
a2u
√a2 − u2 + C
8.
∫(a2 − u2)
3/2du = −u
8(2u2 − 5a2)
√a2 − u2 +
3a4
8sin−1 u
a+ C
9.
∫du
(a2 − u2)3/2=
u
a2√
a2 − u2+ C
Formas Envolvendo√
u2 − a2, a > 0
1.
∫ √u2 − a2 du =
u
2
√u2 − a2 − a2
2ln
∣∣u +√
u2 − a2∣∣ + C
2.
∫u2√
u2 − a2 du =u
8(2u2 − a2)
√u2 − a2 − a4
8ln
∣∣u +√
u2 − a2∣∣ + C
3.
∫ √u2 − a2
udu =
√u2 − a2 − a cos−1 a
u+ C
4.
∫ √u2 − a2
u2du = −
√u2 − a2
u+ ln
∣∣u +√
u2 − a2∣∣ + C
5.
∫du√
u2 − a2= ln
∣∣u +√
u2 − a2∣∣ + C
6.
∫u2 du√u2 − a2
=u
2
√u2 − a2 +
a2
2ln
∣∣u +√
u2 − a2∣∣ + C
7.
∫du
u2√
u2 − a2=
√u2 − a2
a2u+ C
8.
∫du
(u2 − a2)3/2= − u
a2√
u2 − a2+ C
Formas Envolvendo√
2au− u2
1.
∫ √2au− u2 du =
u− a
2
√2au− u2 +
a2
2cos−1
(a− u
a
)+ C
2.
∫u√
2au− u2 du =2u2 − au− 3a2
6
√2au− u2 +
a3
2cos−1
(a− u
a
)+ C
3.
∫ √2au− u2
udu =
√2au− u2 + a cos−1
(a− u
a
)+ C
Salviano A. Leao 34
4.
∫ √2au− u2
u2du = −2
√2au− u2
u− cos−1
(a− u
a
)+ C
5.
∫du√
2au− u2= cos−1
(a− u
a
)+ C
6.
∫u du√
2au− u2= −√2au− u2 + a cos−1
(a− u
a
)+ C
7.
∫u2 du√
2au− u2= −(u + 3a)
2
√2au− u2 +
3a2
2cos−1
(a− u
a
)+ C
8.
∫du
u√
2au− u2= −
√2au− u2
au+ C
4.5.3 Formas Envolvendo a + bu
1.
∫u du
a + bu=
1
b2(a + bu− a ln |a + bu|) + C
2.
∫u2 du
a + bu=
1
2b3[(a + bu)2 − 4a(a + bu) + 2a2 ln |a + bu|] + C
3.
∫du
u(a + bu)=
1
aln
∣∣∣∣u
a + bu
∣∣∣∣ + C
4.
∫du
u2(a + bu)= − 1
au+
b
a2ln
∣∣∣∣a + bu
u
∣∣∣∣ + C
5.
∫u du
(a + bu)2=
a
b2(a + bu)+
1
b2ln |a + bu|+ C
6.
∫du
u(a + bu)2=
1
a(a + bu)− 1
a2ln
∣∣∣∣a + bu
u
∣∣∣∣ + C
7.
∫u2 du
(a + bu)2=
1
b3
(a + bu− a2
a + bu− 2a ln |a + bu|
)+ C
8.
∫u√
a + bu du =2
15b2(3bu− 2a)(a + bu)3/2 + C
9.
∫u du√a + bu
=2
3b2(bu− 2a)
√a + bu + C
10.
∫u2 du√a + bu
=2
15b3(8a2 + 3b2u2 − 4abu)
√a + bu + C
11.
∫du
u√
a + bu=
1√a
ln
∣∣∣∣√
a + bu−√a√a + bu +
√a
∣∣∣∣ + C, if a > 0
2√−atan−1
√a + bu
−a+ C, if a < 0
Salviano A. Leao 35
12.
∫ √a + bu
udu = 2
√a + bu + a
∫du
u√
a + bu
13.
∫ √a + bu
u2du = −
√a + bu
u+
b
2
∫du
u√
a + bu
14.
∫un√
a + bu du =2
b(2n + 3)
[un(a + bu)3/2 − na
∫un−1
√a + bu du
]
15.
∫un du√a + bu
=2un
√a + bu
b(2n + 1)− 2na
b(2n + 1)
∫un−1 du√a + bu
16.
∫du
un√
a + bu= −
√a + bu
a(n− 1)un−1− b(2n− 3)
2a(n− 1)
∫du
un−1√
a + bu
4.5.4 Formas Trigonometricas
1.
∫sin2 u du = 1
2u− 1
4sin 2u + C
2.
∫cos2 u du = 1
2u + 1
4sin 2u + C
3.
∫tan2 u du = tan u− u + C
4.
∫cot2 u du = − cot u− u + C
5.
∫sin3 u du = −1
3(2 + sin2 u) cos u + C
6.
∫cos3 u du = 1
3(2 + cos2 u) sin u + C
7.
∫tan3 u du = 1
2tan2 u + ln |cos u|+ C
8.
∫cot3 u du = −1
2cot2 u− ln |sin u|+ C
9.
∫sec3 u du = 1
2sec u tan u + 1
2ln |sec u + tan u|+ C
10.
∫csc3 u du = −1
2csc u cot u + 1
2ln |csc u− cot u|+ C
11.
∫sinn u du = − 1
nsinn−1 u cos u +
n− 1
n
∫sinn−2 u du
12.
∫cosn u du =
1
ncosn−1 u sin u +
n− 1
n
∫cosn−2 u du
13.
∫tann u du =
1
n− 1tann−1 u−
∫tann−2 u du
Salviano A. Leao 36
14.
∫cotn u du =
−1
n− 1cotn−1 u−
∫cotn−2 u du
15.
∫secn u du =
1
n− 1tan u secn−2 u +
n− 2
n− 1
∫secn−2 u du
16.
∫cscn u du =
−1
n− 1cot u cscn−2 u +
n− 2
n− 1
∫cscn−2 u du
17.
∫sin au sin bu du =
sin(a− b)u
2(a− b)− sin(a + b)u
2(a + b)+ C
18.
∫cos au cos bu du =
sin(a− b)u
2(a− b)+
sin(a + b)u
2(a + b)+ C
19.
∫sin au cos bu du = −cos(a− b)u
2(a− b)− cos(a + b)u
2(a + b)+ C
20.
∫u sin u du = sin u− u cos u + C
∫u cos u du = cos u + u sin u + C
21.
∫un sin u du = −un cos u + n
∫un−1 cos u du
22.
∫un cos u du = un sin u− n
∫un−1 sin u du
4.5.5 Formas Trigonometricas Inversas
1.
∫sin−1 u du = u sin−1 u +
√1− u2 + C
2.
∫cos−1 u du = u cos−1 u−√1− u2 + C
3.
∫tan−1 u du = u tan−1 u− 1
2ln(1 + u2) + C
4.
∫u sin−1 u du =
2u2 − 1
4sin−1 u +
u√
1− u2
4+ C
5.
∫u cos−1 u du =
2u2 − 1
4cos−1 u− u
√1− u2
4+ C
6.
∫u tan−1 u du =
u2 + 1
2tan−1 u− u
2+ C
7.
∫un sin−1 u du =
1
n + 1
[un+1 sin−1 u−
∫un+1 du√
1− u2
], n 6= −1
8.
∫un cos−1 u du =
1
n + 1
[un+1 cos−1 u +
∫un+1 du√
1− u2
], n 6= −1
9.
∫un tan−1 u du =
1
n + 1
[un+1 tan−1 u−
∫un+1 du
1 + u2
], n 6= −1
Salviano A. Leao 37
4.5.6 Formas Exponencial e Logarıtmica
1.
∫ueau du =
1
a2(au− 1)eau + C
2.
∫uneau du =
1
auneau − n
a
∫un−1eau du
3.
∫eau sin bu du =
eau
a2 + b2(a sin bu− b cos bu) + C
4.
∫eau cos bu du =
eau
a2 + b2(a cos bu + b sin bu) + C
5.
∫ln u du = u ln u− u + C
6.
∫un ln u du =
un+1
(n + 1)2[(n + 1) ln u− 1] + C
7.
∫1
u ln udu = ln |ln u|+ C
4.5.7 Formas Hiperbolicas
1.
∫sinh u du = cosh u + C
2.
∫cosh u du = sinh u + C
3.
∫tanh u du = ln cosh u + C
4.
∫coth u du = ln |sinh u|+ C
5.
∫sech u du = tan−1 |sinh u|+ C
6.
∫csch u du = ln
∣∣tan 12u∣∣ + C
7.
∫sech2 u du = tanh u + C
8.
∫csch2 u du = − coth u + C
9.
∫sech u tanh u du = − sech u + C
10.
∫csch u coth u du = − csch u + C