Kolokvijum I (22.11.2012. godine)
Skup N čini 7 čvorova zadatih preko svojih (x,y) koordinata: N=(50,50); (13,0);
(150,10); (45,78); (22,120); (70,55); (47,99). Težinski koeficijenti čvorova
predstavljeni su vektorom težina: A=50, 75, 100, 82, 45, 90, 39. Udaljenost između
čvorova izražena je euklidskim rastojanjem, a minimalno dozvoljeno rastojanje između
čvorova je R = 100.
a) Naći rešenje lokacijskog problema nepokrivanja koristeći α heuristiku.
c) Optimalno rešiti dati lokacijski problem nepokrivanja koristeći LP Solve.
Udaljenost između čvorova računamo kao: 2 2( , ) ( ) ( ) ,i j i jd i j x x y y= − + − pa je
odgovarajuća matrica najkraćih rastojanja između svih parova čvorova D:
1 2 3 4 5 6 7
1 0 62.20 107.70 28.44 75.39 20.62 49.09
2 62.20 0 137.36 84.31 120.34 79.21 104.68
3 107.70 137.36 0 125.096 168.77 91.79 136.12
D 4 28.44 84.31 125
5
6
7
= ..096 0 47.89 33.97 21.10
75.39 120.34 168.77 47.89 0 80.80 32.65
20.62 79.21 91.79 33.97 80.80 0 49.65
49.09 104.68 136.12 21.10 32.65 49.65 0
a) α heuristika:
I ITERACIJA
KORAK 1 Inicijalizacija t = 1
KORAK 2 Inicijalizacija *1 = ∅Ω , Ψ1 = ∅, A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
KORAK 3 Za svaki čvor i∈A1 odrediti skup π(i):
π(1) = 1, 2, 4, 5, 6, 7
π(2) = 1, 2, 4, 6
π(3) = 3, 6
π(4) = 1, 2, 4, 5, 6, 7
π(5) = 1, 4, 5, 6, 7
π(6) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
π(7) = 1, 4, 5, 6, 7
KORAK 4 Za svaki čvor i∈A1 izračunati vrednosti kriterijuma
( )\
( ) :i jj i i
i a a∈
= − ∑π
α
α(1) = a1-(a2+a4+a5+a6+a7) = 50-(75+82+45+90+39) = -281
α(2) = a2-(a1+a4+a6) = 75-(60+82+90) = -157
α(3) = a3-(a6) = 100-(90)= 10
α(4) = a4-(a1+a2+a5+a6+a7) = 82-(50+75+45+90+39)= -217
α(5) = a5-(a1+a4+a6+a7) = 45-(50+82+90+39) = -216
α(6) = a6-(a1+a2+a3+a4+a5+a7) = 90-(50+75+100+82+45+39) = -301
α(7) = a7-(a1+a4+a5+a6) = 39-(50+82+45+90) = -228
KORAK 5 Odrediti čvor i* za koji važi: ( )
1
* *( ) max[ ] 10 3i A
i i i∈
= = ⇒ =α α
KORAK 6 t = t+1 = 2
KORAK 7 Ažurirati skup * *2 1 3 3= ∪ =Ω Ω
KORAK 8 Ažurirati skup Ψ2 = Ψ1∪6 = 6
KORAK 9 Ažurirati skup A2 = 1, 2, 4, 5, 7
KORAK 10 A2 ≠ ∅ ( ) KORAK 3Τ ⇒
II ITERACIJA
KORAK 3 π(1) = 1, 2, 4, 5, 7
π(2) = 1, 2, 4
π(4) = 1, 2, 4, 5, 7
π(5) = 1, 4, 5, 7
π(7) = 1, 4, 5, 7
KORAK 4 α(1) = a1-(a2+a4+a5+a7) = 50-(75+82+45+39) = -191
α(2) = a2-(a1+a4) = 75-(60+82) = -67
α(4) = a4-(a1+a2+a5+a7) = 82-(50+75+45+39)= -127
α(5) = a5-(a1+a4+ a7) = 45-(50+82+39) = -126
α(7) = a7-(a1+a4+a5+a6) = 39-(50+82+45) = -138
KORAK 5 ( )2
* *( ) max[ ] 67 2i A
i i i∈
= = − ⇒ =α α
KORAK 6 t = t+1 = 3
KORAK 7 * *3 2 2 2,3= ∪ =Ω Ω
KORAK 8 Ψ3 = Ψ2∪1, 4 = 1, 4, 6
KORAK 9 A3 = 5, 7
KORAK 10 A3 ≠ ∅ ( ) KORAK 3Τ ⇒
III ITERACIJA
KORAK 3 π(5) = 5, 7
π(7) = 5, 7
KORAK 4 α(5) = a5-(a7) = 45-(39) = 6
α(7) = a7-(a5) = 39-(45) = -6
KORAK 5 ( )3
* *( ) max[ ] 6 5i A
i i i∈
= = ⇒ =α α
KORAK 6 t = t+1 = 4
KORAK 7 * *4 3 2,3,55= ∪ =Ω Ω
KORAK 8 Ψ4 = Ψ3∪7 = 1, 4, 6, 7
KORAK 9 A4 = ∅
KORAK 10 A4 ≠ ∅ ( ) KORAK 11⊥ ⇒
KORAK 11 Usvojiti * *4 2,3,5= =Ω Ω , 4 1,4,6,7= =Ψ Ψ
KORAK 12 Vrednost funkcije cilja je:
*4
2 3 5 75 100 45 220ii
T a a a a
∈
= = + + = + + =∑Ω
KORAK 13 Kraj algoritma.
c) Optimalno rešavanje primenom LP Solve-a
Kod solvera: /* Objective function */
max: 50*x1+75*x2+100*x3+82*x4+45*x5+90*x6+39*x7;
/* Variable bounds */
7*x1+x2+x4+x5+x6+x7<=7;
7*x2+x1+x4+x6<=7;
7*x3+x6<=7;
7*x4+x1+x2+x5+x6+x7<=7;
7*x5+x1+x4+x6+x7<=7;
7*x6+x1+x2+x3+x4+x5+x7<=7;
7*x7+x1+x4+x5+x6<=7;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x7>=0;
x1<=1;
x2<=1;
x3<=1;
x4<=1;
x5<=1;
x6<=1;
x7<=1;
int x1;
int x2;
int x3;
int x4;
int x5;
int x6;
int x7;
Recommended