Kolokvijum I (22.11.2012. godine)

Skup N čini 7 čvorova zadatih preko svojih (x,y) koordinata: N=(50,50); (13,0);

(150,10); (45,78); (22,120); (70,55); (47,99). Težinski koeficijenti čvorova

predstavljeni su vektorom težina: A=50, 75, 100, 82, 45, 90, 39. Udaljenost između

čvorova izražena je euklidskim rastojanjem, a minimalno dozvoljeno rastojanje između

čvorova je R = 100.

a) Naći rešenje lokacijskog problema nepokrivanja koristeći α heuristiku.

c) Optimalno rešiti dati lokacijski problem nepokrivanja koristeći LP Solve.

Udaljenost između čvorova računamo kao: 2 2( , ) ( ) ( ) ,i j i jd i j x x y y= − + − pa je

odgovarajuća matrica najkraćih rastojanja između svih parova čvorova D:

1 2 3 4 5 6 7

1 0 62.20 107.70 28.44 75.39 20.62 49.09

2 62.20 0 137.36 84.31 120.34 79.21 104.68

3 107.70 137.36 0 125.096 168.77 91.79 136.12

D 4 28.44 84.31 125

5

6

7

= ..096 0 47.89 33.97 21.10

75.39 120.34 168.77 47.89 0 80.80 32.65

20.62 79.21 91.79 33.97 80.80 0 49.65

49.09 104.68 136.12 21.10 32.65 49.65 0

a) α heuristika:

I ITERACIJA

KORAK 1 Inicijalizacija t = 1

KORAK 2 Inicijalizacija *1 = ∅Ω , Ψ1 = ∅, A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

KORAK 3 Za svaki čvor i∈A1 odrediti skup π(i):

π(1) = 1, 2, 4, 5, 6, 7

π(2) = 1, 2, 4, 6

π(3) = 3, 6

π(4) = 1, 2, 4, 5, 6, 7

π(5) = 1, 4, 5, 6, 7

π(6) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

π(7) = 1, 4, 5, 6, 7

KORAK 4 Za svaki čvor i∈A1 izračunati vrednosti kriterijuma

( )\

( ) :i jj i i

i a a∈

= − ∑π

α

α(1) = a1-(a2+a4+a5+a6+a7) = 50-(75+82+45+90+39) = -281

α(2) = a2-(a1+a4+a6) = 75-(60+82+90) = -157

α(3) = a3-(a6) = 100-(90)= 10

α(4) = a4-(a1+a2+a5+a6+a7) = 82-(50+75+45+90+39)= -217

α(5) = a5-(a1+a4+a6+a7) = 45-(50+82+90+39) = -216

α(6) = a6-(a1+a2+a3+a4+a5+a7) = 90-(50+75+100+82+45+39) = -301

α(7) = a7-(a1+a4+a5+a6) = 39-(50+82+45+90) = -228

KORAK 5 Odrediti čvor i* za koji važi: ( )

1

* *( ) max[ ] 10 3i A

i i i∈

= = ⇒ =α α

KORAK 6 t = t+1 = 2

KORAK 7 Ažurirati skup * *2 1 3 3= ∪ =Ω Ω

KORAK 8 Ažurirati skup Ψ2 = Ψ1∪6 = 6

KORAK 9 Ažurirati skup A2 = 1, 2, 4, 5, 7

KORAK 10 A2 ≠ ∅ ( ) KORAK 3Τ ⇒

II ITERACIJA

KORAK 3 π(1) = 1, 2, 4, 5, 7

π(2) = 1, 2, 4

π(4) = 1, 2, 4, 5, 7

π(5) = 1, 4, 5, 7

π(7) = 1, 4, 5, 7

KORAK 4 α(1) = a1-(a2+a4+a5+a7) = 50-(75+82+45+39) = -191

α(2) = a2-(a1+a4) = 75-(60+82) = -67

α(4) = a4-(a1+a2+a5+a7) = 82-(50+75+45+39)= -127

α(5) = a5-(a1+a4+ a7) = 45-(50+82+39) = -126

α(7) = a7-(a1+a4+a5+a6) = 39-(50+82+45) = -138

KORAK 5 ( )2

* *( ) max[ ] 67 2i A

i i i∈

= = − ⇒ =α α

KORAK 6 t = t+1 = 3

KORAK 7 * *3 2 2 2,3= ∪ =Ω Ω

KORAK 8 Ψ3 = Ψ2∪1, 4 = 1, 4, 6

KORAK 9 A3 = 5, 7

KORAK 10 A3 ≠ ∅ ( ) KORAK 3Τ ⇒

III ITERACIJA

KORAK 3 π(5) = 5, 7

π(7) = 5, 7

KORAK 4 α(5) = a5-(a7) = 45-(39) = 6

α(7) = a7-(a5) = 39-(45) = -6

KORAK 5 ( )3

* *( ) max[ ] 6 5i A

i i i∈

= = ⇒ =α α

KORAK 6 t = t+1 = 4

KORAK 7 * *4 3 2,3,55= ∪ =Ω Ω

KORAK 8 Ψ4 = Ψ3∪7 = 1, 4, 6, 7

KORAK 9 A4 = ∅

KORAK 10 A4 ≠ ∅ ( ) KORAK 11⊥ ⇒

KORAK 11 Usvojiti * *4 2,3,5= =Ω Ω , 4 1,4,6,7= =Ψ Ψ

KORAK 12 Vrednost funkcije cilja je:

*4

2 3 5 75 100 45 220ii

T a a a a

∈

= = + + = + + =∑Ω

KORAK 13 Kraj algoritma.

c) Optimalno rešavanje primenom LP Solve-a

Kod solvera: /* Objective function */

max: 50*x1+75*x2+100*x3+82*x4+45*x5+90*x6+39*x7;

/* Variable bounds */

7*x1+x2+x4+x5+x6+x7<=7;

7*x2+x1+x4+x6<=7;

7*x3+x6<=7;

7*x4+x1+x2+x5+x6+x7<=7;

7*x5+x1+x4+x6+x7<=7;

7*x6+x1+x2+x3+x4+x5+x7<=7;

7*x7+x1+x4+x5+x6<=7;

x1>=0;

x2>=0;

x3>=0;

x4>=0;

x5>=0;

x6>=0;

x7>=0;

x1<=1;

x2<=1;

x3<=1;

x4<=1;

x5<=1;

x6<=1;

x7<=1;

int x1;

int x2;

int x3;

int x4;

int x5;

int x6;

int x7;