Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukanproyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
DIMENSI TIGA PROYEKSI DAN SUDUT
Proyeksi Pada Bangun Ruang: proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
DIMENSI TIGA PROYEKSI DAN SUDUT
Proyeksi titik pada garis
Dari titik P
ditarik garis m⊥ garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m
ContohDiketahui kubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garis a. BC b.BDc. ET (T perpotongan AC dan BD).
A BCD
HE F
G
T
PembahasanProyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A BCD
HE F
G
T
B
TA’
A’(AC ⊥ ET)
(AB ⊥ BC)
(AC ⊥ BD)
Proyeksi Titik pada BidangDari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g ⊥ H. Garis g menembus bidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H
H
P
P’
g
Contoh
Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah….b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….
A BCD
HE F
G
Pembahasana. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah
b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE ⊥ BDG
A BCD
HE F
G
(EA ⊥ ABCD)A
P
P
Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.H
A
A’
g
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
B
B’g’
Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h ⊥ β maka
proyeksi garis h pada bidang β berupa titik.
3. Jika garis g // bidang β maka g’ yaitu proyeksi garis g padaβ dan sejajar garis g
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah….A B
CD
HE F
G
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….
Pembahasan
a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B
A BCD
HE F
G
Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB
Pembahasanb. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G
A BCD
HE F
G
Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?
P
6 cm
A BCD
HE F
G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG.
•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6
PR
•Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm
6 cm
Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….
T
A
D C
B16 cm
18 c
m
PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2
T
A
D C
B16 cm
18 c
m
T’
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm
Sudut Pada Bangun Ruang: Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m
ContohDiketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DF
A BCD
HE F
G
PembahasanBesar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BG = 900
b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH smss)c. BE dengan DF = 900 (BE ⊥ DF)
A BCD
HE F
G
P
QV
Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis a dan bidang β
dilambangkan (a,β)adalah sudut antara
garis a dan proyeksinya pada β.
Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = ∠ PQP’
P’
Contoh 1Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
A BCD
HE F
G
6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
PembahasanProyeksi garis BG
pada bidang ACGEadalah garis KG(K = titik potong
AC dan BD) A BC D
HE F
G
6 cm
Jadi ∠(BG,ACGE) = ∠(BG,KG)
= ∠BGK
K
PembahasanBG = 6√2 cm
BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆BKG siku-siku di K
A BC D
HE F
G
6 cm
sin∠BGK =
Jadi, besar ∠BGK = 300
K
= BG
BK
2
1
26
23 =
Contoh 2Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
A BCD
HE F
G
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah….
Pembahasantan∠(CG,AFH)
= tan ∠(PQ,AP) = tan ∠APQ =
=
A BCD
HE F
G
8 cm
P
Q=
PQ
AQ
8
24
8
28.21
=
GC
AC21
Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah ½√2
Contoh 3Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCDadalah….
T
A B
CD
a cm
a cm
Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal persegi)• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki
T
A B
CD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCDadalah sudut antara TA dan ACyang besarnya 450
Sudut antara Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang α dan bidang β
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g ⊥ (α,β) dan h ⊥ (α,β).(α,β) garis potong bidang α dan β
α
β(α,β)
g
h
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!
A BCD
HE F
G
Pembahasana. ∠(BDG,ABCD) • garis potong BDG dan ABCD → BD • garis pada ABCD yang ⊥ BD → AC • garis pada BDG yang ⊥ BD → GP
A BCD
HE F
G
Jadi ∠(BDG,ABCD) = ∠(GP,PC) =∠GPC
P
Pembahasanb. sin∠(BDG,ABCD)
= sin ∠GPC
=
=
= ⅓√6A BCD
HE F
G
Jadi, sin∠(BDG,ABCD) = ⅓√6
P
GP
GC
x 6a
a
21 .6
6
6
6
21
=
Contoh 2
Limas beraturan T.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah….
A
B
C
T
6 cm
9 cm
Pembahasan
•sin∠(TAB,ABC) = sin∠(TP,PC) = sin∠TPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm•PC = =•PT = =
A
B
C
T
6 cm
9 cm
P 22 36 −cm 3327 =
22 39 −cm 3672 =
3
• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos∠TPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos∠TPC
36√6.cos∠TPC = 99 – 81
36√6.cos∠TPC = 18
cos∠TPC =
=
A
B
C
T
9 cm
P
6√2
3√3 2 1
62
1
6
6x
12
6
• Lihat ∆ TPCcos∠P =
Maka diperoleh
Sin ∠P =
Jadi sinus ∠(TAB,ABC)
=
12
6
12
√6
6 144 -
P 138 =
12
138
12
138
Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH, pan- jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD.
A BCD
HE F
G
Sudut antara bidang FHQP dan bi-dang AFH adalah α. Nilai cosα =…
4 cm
P
Q
Pembahasan • ∠(FHQP,AFH) = ∠(KL,KA) = ∠AKL = α • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC = ¼a√2 = √2 • KL = = =3√2
A BCD
HE F
G4 cm
P
Q
K
L
α
M22 MLKM +
1824 2 =+
Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcosα 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosα24√3.cosα = 42 – 2 24√3.cosα = 40 cosα =
K
L
α
MA
Jadi nilai cosα = 39
5
39
5
SELAMAT BELAJAR