Programa de Pos-Graduacao em Matematica - UFRGSProva de Selecao - Mestrado

10/12/2012

Nome:

Questao 1. Seja

n=1 an uma serie absolutamente convergente e (bn) uma sequencia limitada.

(a) Prove que a serie

n=1 anbn e absolutamente convergente.

(b) Prove que a serie

n=1 a2n e absolutamente convergente.

(c) Mostre que existem series

n=1 cn divergentes tais que

n=1 c2n convergem absolutamente.

Questao 2. Seja f uma funcao definida num intervalo aberto (a, b) R que contem a origem.

(a) Prove que se f e derivavel em 0, entao

limx0

f(x) f(x)x

= 2f (0).

(b) Mostre que se f e uma funcao par, entao o limite do item anterior existe mesmo que f naoseja derivavel em 0. De exemplos de funcoes em que o limite acima existe e que nao sejam derivaveis.

(c) Prove que se f e monotona e

limx0

f(x) f(x)x

= 0,

entao f e derivavel em 0.

Questao 3. Seja f : [0,+) R uma funcao de classe C1 no seu domnio. Suponhamos que fseja uma funcao convexa, ou seja, f (x) e uma funcao nao-decrescente.

(a) Usando a monotonicidade de f , prove que a funcao g(x) = f(x) f(c) f (c)(x c) enao-decrescente em [c,+), onde c > 0. A partir disto, mostre que f(x) f(c) + f (c)(x c) parax c.

(b) Usando o item (a), mostre que se existem M, b R tais que f(x) Mx+ b para x 0, entaof (c) M para qualquer c 0.

(c) Usando (b) e o Teorema do Valor Medio, mostre que se f(x) Mx + b para x 0, entao|f(y) f(x)| M |y x| para x, y [0,+), isto e, f e uma funcao de Lipschitz.

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10/12/2012

Nome:

Questao 4. Sejam K um corpo, V um K-espaco vetorial e T : V V um operador linear.Se p(t) =

ni=0 ait

i K[t], entao definimos o operador linear p(T ) : V V , por

p(T ) =ni=0

aiTi

Sejam f(t), g(t) K[t] e d(t) = mdc(f(t), g(t)). Mostre que:

Ker d(T ) = Ker f(T ) ker g(T )

.

Questao 5. Sejam K um corpo, V um espaco vetorial sobre K e T : V V um operador linear.Mostre que:

(a) Se u V e um autovetor de T associado ao autovalor 1 e v V e um autovetor de T associadoao autovalor 2, com 1 6= 2, entao nenhum vetor da forma u+v, com 6= 0 e 6= 0, podeser um autovetor de T .

(b) Se todo vetor v V e um autovetor de T , entao existe K tal que T = idV .(c) Se T comuta com todo operador linear de V em V , entao existe K tal que T = idV .

Questao 6. Sejam K um corpo, V um K-espaco vetorial munido de um produto interno < , > eT : V V um operador linear. Dizemos que T possui um operador adjunto se existir um operadorlinear T : V V tal que < T (u), v >=< u, T (v) >. Neste caso, chamamos T de adjunto de T .

Fixando v, w V , definimos T : V V , por T (u) =< u, v > w,u V . Mostre entao que:(a) T e um operador linear de V em V .

(b) T possui um adjunto.