Proprietà elastiche dei
materiali
Proprietà elastiche dei
materiali
In un materiale solido gli atomi e le molecole sono distribuiti nello spazio in
modo ordinato e le forze di interazione si oppongono ad ogni cambiamento
delle distanze reciproche.
Ogni sollecitazione esterna determina una deformazione e forze di richiamo
(elastiche) che tendono a riportare gli atomi nelle posizioni originali
• Un corpo perfettamente rigido non esiste
• Un corpo reale, sottoposto all’azione di una forza o di un momento
di forza, si deforma, ovvero le sue dimensioni o la sua forma variano
• Un corpo è detto elastico se tende a riassumere le dimensioni e la
forma originaria al cessare delle sollecitazioni esterne
• Se le sollecitazioni esterne sono sufficientemente intense, la
deformazione che il corpo subisce può diventare permanente
• Esite quindi un limite elastico
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Rigidità elasticità
TIPI DI SFORZI PRINCIPALI: TRAZIONE/COMPRESSIONE, TAGLIO, TORSIONE
Sforzo e deformazione
Se si applica una forza F ad una striscia di gomma di sezione pari ad A
F
A
2F
2A
Alla deformazione si oppongono le forze intermolecolari che agiscono all’interno del
materiale.
Sforzo e deformazione
Se la forza F è applicata ad una striscia di uguale sezione ma di maggior lunghezza
rispetto alla striscia precedente si osserva un allungamento maggiore.
F
A
Sforzo e deformazione
F
A
Sforzo e deformazione
0A
F=
0L
L=
L
0L
• Si definisce deformazione (strain ) la variazione
relativa della lunghezza iniziale
• L’allungamento dipende non solo dalla
sollecitazione ma anche dalla lunghezza
iniziale
• Si definisce lo sforzo ( stress) [N/m2] o [Pa]
ovvero Pascal
Materiali duttili e fragili
Materiali fragili
• Nei materiali fragili, l’impossibilità degli atomi di scorrere provoca
la rottura catastrofica del materiale quando la forza applicata
supera la forza di legame
Fragile (rottura)
• Ad esempio l’osso il materiale si rompe molto prima di deformarsi,
come avviene invece nel caso della gomma.
• I materiali fragili resistono molto meglio a sforzi
di compressione che a quelli di trazione
Dopo più applicazioni e rimozioni della forza alla fine il materiale si rompe
anche se viene sottoposto a piccoli sforzi.
Materiali duttili
0A
F=
0L
L=
Tratto elastico
• La relazione che lega lo sforzo σ e la deformazione ε può essere ricavata in via sperimentale
Sfo
rzo (
MP
a)
deformazionePROVA DI TRAZIONE
https://www.youtube.com/watch?v=D8U4G5kcpcM
strizione
Tratto elastico
Sfo
rzo (
MP
a)
deformazione
• Deformazione elastica: Deformazione reversibile indotta da uno sforzo esterno
agente sul materiale - Quando la forza agente viene annullata, si azzera anche
la deformazione
• Il materiale si oppone ad una certa deformazione imposta dall’esterno con uno sforzo
• Si ricava un diagramma -
=E
• La pendenza del grafico sforzo deformazione (per la deformazione o
compressione) è data dal rapporto tra sforzo e deformazione e definisce il
modulo di Young
Modulo di Young
Per materiali omogenei (acciaio) il modulo E è uguale sia per la compressione
che per la trazione
Per materiali non omogenei (calcestruzzo od osso) E sono differenti per
compressione e la trazione
E
E
x
=E
=E
ll
AEF =
0
Legge di Hooke
l
l
A
F
= 0
lk=
Un filo di ferro lungo 10 m, sottoposto ad uno sforzo di trazione di 400 MPa
si allunga elasticamente di 19 mm.
Calcolare il modulo elastico
l
lE
== 0
Esercizi
1 MPa = 106 N/m²=N/mm2
=400*104/19=210526MPa
Esercizi
A quale sforzo di trazione è sottoposta una barretta di alluminio inizialmente
lunga 2 m se subisce un allungamento elastico di 5 mm? (E Al 70 GPa)
1 GPa = 109 N/m²=103N/mm2
0l
lE= =5*70*103/2*103=175MPa
Una barretta di tungsteno di lunghezza iniziale 820 mm è sottoposta ad uno
sforzo di trazione di 300 MPa. Qual’è l’allungamento elastico?
(E W 393 Gpa)
l
lE
= 0
E
ll 0= =300*820/393*103=0,626mm
Resistenza alla flessioneLa capacità di un oggetto di curvarsi senza rompersi cioè di “resistere alla
flessione” dipende dalla composizione e dalla forma dell’oggetto. Una trave si piega
sotto l’azione del suo peso.
F
F/2F/2
x
Resistenza alla flessione
Affinché la trave sia in equilibrio il momento delle forze interne deve equilibrare
quello della reazione vincolare. La barra si flette fino a che questa condizione non è
raggiunta
Se una trave è in equilibrio la parte superiore della trave è compressa mentre la parte
inferiore è sotto trazione, vi è un’unica parte che non cambia lunghezza.
Tanto più queste forze sono applicate lontano dalla superficie neutra tanto più
grande è il loro contributo al momento. Le travi lunghe ed alte hanno momenti
maggiori.
Resistenza alla flessione
R
IE s=
Il momento delle forze interne è dato dal prodotto del modulo
di Young per il momento d’inerzia areolare (diviso per il raggio
di curvatura della sbarra)
Momento delle forze interne :
12
3baI s =
Is=156,25 Is=1406,25
Resistenza alla flessione
R
IE s=
12
3baI s =
In entrambi i casi il momento delle forze
interne equilibra quello della forza peso
(lo stesso nei due casi)
21 =2
2
1
1
R
IE
R
IE =
1
2
1
2
I
I
R
R= =153*5/ 53*15 =9
A parità di peso l’asse 2 si flette meno dell’asse 1, ma di quanto?
Resistenza alla flessione
1
2
1
2
I
I
R
R=
R
IE s=
Per costruire elementi con struttura resistente e leggera la maggior parte del
materiale dovrebbe essere lontana dalla superficie neutra.
Resistenza alla flessione
La trave a doppio T è più adatta a resistere alle flessioni di quanto non sia una
trave a sezione trasversa quadrata costruita con la stessa quantità di materiale.
a=b=5cm (a=15cm, b=5cm, t=1cm)
=843,75
08,5212
3
==ba
I s
Resistenza alla pressoflessione
Colonna cilindrica lunga e sottile
Effetto congiunto di compressione e flessione
Fissato il raggio di una colonna esiste un’altezza critica,
che dipende dal modulo di Young del materiale, al di
sopra della quale, la struttura collassa.
===R
IEwd s
R
dE
4
4
*0lww = 2d
R
ld
8
2
=
22
2
4)( R
ldR =+− 2
222
42 R
lRddR =+−+
𝑤0=peso specifico
Resistenza alla pressoflessione
===R
IEwd s
R
rE
4
4
lww (0= )2dR
ld
8
2
=
0wR
dE
4
4=)( 2 ld
R
l
8
2
R
dE
4
4=
2
0d
R
l
8
32
3
0
2Ed
l=
0
23 2
Edl =
3/1
0
22
=
Edl 3/2cdl =
H= c r2/3
Resistenza alla pressoflessione
Se raddoppio il diametro qual è l’altezza massima che
si può raggiungere?
H1= c r2/3 H2= c (2r)2/3
H2/H1= (2)2/3=1.6
Taglio e torsione
Taglio e torsione
A
Ft =
Sforzo di taglio
La deformazione dovuta allo sforzo di taglio è:
tan==h
ci
Si definisce allora modulo di scorrimento G:
t
tG
=
Taglio e torsione
In generale quindi lo sforzo e la deformazione sono grandezze complesse.
Il modulo di scorrimento G è legato al modulo di Young del materiale
G compreso tra 1/3 ed 1/2 del valore di E
Taglio e torsione
t
tG
=
f
q
F/2
F/2
P
P’
Taglio e torsione
È un caso particolare della variazione di forma
Supponiamo di avere un cilindro di lunghezza l e raggio R. Tenendo fissa una
base, ruotiamo l’altra con una coppia di forze F/2 applicate tangenzialmente
alla superficie laterale.
Calcolo il momento totale con cui le forze interne reagiscono allo sforzo:
Gtt =
iii Fr= rdrAF tti 2==
lrt /tan qf ==
lGrt /q =
l
drGrrdrAF tti
q
22
2
===
Cosa succede se applico una coppia di forze, ad un cilindro e le forze
hanno una direzione perpendicolare all’asse del cilindro?
f
q
F/2
F/2
P
P’
Taglio e torsione
lGI p
q =
iii Fr=
lGI
l
GRdr
l
Grdr
p
i
q
=
=== 2
2 43
2
4RI p =con
Poiché il momento d’inezia polare aumenta con la quarta potenza del raggio,
raddoppiando il raggio la sua resistenza alla torsione aumenta di 16 volte.
𝐹𝑖 =2𝜋𝐺𝜃𝑟2𝑑𝑟
𝑙
Taglio e torsione
lGI p
q = Momento delle forze interne che si
oppongono alla torsione
Se un corpo è sottoposto ad un momento torcente crescente è soggetto a frattura
momento torcente angolo corrisp. frattura
Taglio e torsione
Riepilogo
0A
F=
0L
L=
=E
Sforzo deformazione relativa
Modulo di Young
R
IE s=
Momento delle forze interne - Flessione Pressoflessione
H= c r2/3
Riepilogo
A
Ft = q
tan==
hci
t
tG
=
Sforzo di taglio deformazione taglio
Modulo di scorrimento
lGI p
q =
IP è il momento polare d’inerzia
IP= πr4 / 2