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Propiedades de las Funciones Continuas

Revisión de la definición de Funciones Continuas Teorema del máximo y mínimo Teorema de BolzanoTeorema de los Valores IntermediosAplicaciones del Teorema de los Valores Intermedios

Funciones Continuas (1)

Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.

limx x0

f x f x0 .

Definición 1Definición 1

Una función que no es continua (en un punto o en un intervalo) se dice que es discontinua.

Una función f es continua en el punto x0 si

Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo punto del intervalo.

Función continua Función discontinua

Funciones Continuas(2)


Las siguientes funciones son continuas en los puntos donde toman valores finitos.

1. Polinomios – son funciones continuas siempre.

2. Funciones racionales.

3. Funciones definidas por expresiones algebraicas.

4. Funciones exponenciales y sus inversas.

5. Funciones trigonométricas y sus inversas.



Supongamos que f y g son funciones continuas.

TeoremaTeorema Las siguientes funciones son continuas:

1. f + g

2. f g

3. f / g supuesto que g 0, es decir es una función continua en todos los puntos x para los que g(x) 0.


lim

x x0

fg x limx x0

f g x f limx x0

g x

f g x

0 .


LemaLema

CorolarioCorolario Supongamos que f es continua en g(x0), g es continua en x = x0, y que f ◦ g esté definida. Entonces f ◦ g es continua x = x0.

Supongamos que f es continua en g(x0), g es continua en x = x0, y que f ◦ g esté definida. Entonces

El resultado anterior es consecuencia de la definición de continuidad. Se tiene inmediatamente el siguiente corolario.

Resultados importantes: El Teorema del Máximo-Mínimo


Teorema del Máximo-MínimoTeorema del Máximo-Mínimo

Una función continua en un intervalo cerrado alcanza máximo y mínimo en dicho intervalo. a

bM

Valor Máximo

ValorMínimo

Gráfica de la Función g. En el intervalo cerrado [a,b] la función g alcanza su máximo en el punto M y su mínimo en el extremo b.

Gráfica de la Función f. Esta función no es continua en x = c, y no alcanza máximo en el intervalo [a,b].

a bc

Candidato a máximo de f en [a,b]. La función f no alcanza el valor máximo porque f(c) < 0.

Resultados importantes: El Teorema de Bolzano


Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en un intervalo [a,b], a < b, y tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe u n punto c (a,b) tal que f(c) = 0.

ab

c

Una función continua no puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0.

ab

Una función discontinua puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0.

Resultados importantes: El Teorema de los Valores Intermedios


Aplicar el teorema de Bolzano a la función f(x) – t.

TeoremaTeorema Supongamos que f es continua en [a,b], y que t es un número entre f(a) y f(b). Entonces existe un número c [a,b] tal que f(c) = t.

PruebaPrueba

a

bf(a)

f(b)

t

Puede haber varios candidatos para el punto c en los cuales la función toma el valor t. La función de la figura toma el valor t en tres puntos diferentes del intervalo [a,b].

Completitud de los Números Reales


Los resultados anteriores son profundos. El resultado principal para probarlos es la Completitud de los Números Reales:

Todo conjunto acotado y no vacío de números reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores).

Todo conjunto acotado y no vacío de números reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores).

Usando el Teorema de los Valores Intermedios (1)


ProblemaProblema Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error <0.001.

Consideremos la función f(x) = cos(x) – 2x.

Claramente: cos(x) – 2x = 0 f(x) = 0. Por tanto tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0.

La función f es claramente continua.

Como f(0) = 1 > 0 y f(1) = cos(1) – 2 < 0, concluimos, por el Teorema de los Valores Intermedios, que existe un número c, 0 < c < 1, tal que f(c) = 0.

Por tanto la ecuación tiene una solución entre 0 y 1.

Solución



ProblemaProblema Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error <0.001.

Sabemos que hay solución c entre 0 y 1. Tomamos como primera aproximación de la solución c, el punto medio del intervalo (0,1), es decir la aproximación es c ½. Para mejora la aproximación evaluamos f(½) = cos(½) – 1 < 0.

Solución

Como f(0) = 1 > 0, la solución c está entre 0 y ½. Tomamos como aproximación de c, el punto medio del intervalo (0,½). La aproximación es ahora c ¼. Repetimos: Como f(¼) = cos(¼) – ½ > 0, la solución está entre ¼ y ½, y nuestra aproximación es c ⅜, punto medio del intervalo (¼, ½). Se repite lo anterior hasta encontrar un intervalo de longitud <0.002 conteniendo la solución. El punto medio de ese intervalo es la aproximación deseada



10

1ª iteración, c0.5

Solución (cont’d)Solución (cont’d)

Conocemos , por el teorema de los valores intermedios, que la solución está entre dos números para los cuales la función cambia de signo. Esto sucede entre 0 y 1, entre 0 y ½, y entre ¼ y ½, y así sucesivamente.

0.50


0.45018 0.450195


Cálculo en una variable

Autor: Mika SeppäläTraducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa