Propiedades de las Funciones Continuas Revisin de la definicin de Funciones Continuas Teorema del mximo y mnimo Teorema de Bolzano Teorema de los Valores.

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    14-Apr-2015

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Diapositiva 1 Propiedades de las Funciones Continuas Revisin de la definicin de Funciones Continuas Teorema del mximo y mnimo Teorema de Bolzano Teorema de los Valores Intermedios Aplicaciones del Teorema de los Valores Intermedios Diapositiva 2 Funciones Continuas (1) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Definicin 1 Una funcin que no es continua (en un punto o en un intervalo) se dice que es discontinua. Una funcin f es continua en el punto x 0 si Una funcin f es continua en un intervalo si es continua en todo punto del intervalo. Funcin continua Funcin discontinua Diapositiva 3 Funciones Continuas(2) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Las siguientes funciones son continuas en los puntos donde toman valores finitos. 1.Polinomios son funciones continuas siempre. 2.Funciones racionales. 3.Funciones definidas por expresiones algebraicas. 4.Funciones exponenciales y sus inversas. 5.Funciones trigonomtricas y sus inversas. Diapositiva 4 Funciones Continuas(3) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Supongamos que f y g son funciones continuas. Teorema Las siguientes funciones son continuas: 1.f + g 2.f g 3.f / g supuesto que g 0, es decir es una funcin continua en todos los puntos x para los que g(x) 0. Diapositiva 5 Funciones Continuas(4) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Lema Corolario Supongamos que f es continua en g(x 0 ), g es continua en x = x 0, y que f g est definida. Entonces f g es continua x = x 0. Supongamos que f es continua en g(x 0 ), g es continua en x = x 0, y que f g est definida. Entonces El resultado anterior es consecuencia de la definicin de continuidad. Se tiene inmediatamente el siguiente corolario. Diapositiva 6 Resultados importantes: El Teorema del Mximo-Mnimo Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Teorema del Mximo-Mnimo Una funcin continua en un intervalo cerrado alcanza mximo y mnimo en dicho intervalo. a b M Valor Mximo Valor Mnimo Grfica de la Funcin g. En el intervalo cerrado [a,b] la funcin g alcanza su mximo en el punto M y su mnimo en el extremo b. Grfica de la Funcin f. Esta funcin no es continua en x = c, y no alcanza mximo en el intervalo [a,b]. a b c Candidato a mximo de f en [a,b]. La funcin f no alcanza el valor mximo porque f(c) < 0. Diapositiva 7 Resultados importantes: El Teorema de Bolzano Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Teorema de Bolzano Sea f una funcin continua en un intervalo [a,b], a < b, y tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe u n punto c (a,b) tal que f(c) = 0. a b c Una funcin continua no puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0. a b Una funcin discontinua puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0. Diapositiva 8 Resultados importantes: El Teorema de los Valores Intermedios Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Aplicar el teorema de Bolzano a la funcin f(x) t. Teorema Supongamos que f es continua en [a,b], y que t es un nmero entre f(a) y f(b). Entonces existe un nmero c [a,b] tal que f(c) = t. Prueba a b f(a) f(b) t Puede haber varios candidatos para el punto c en los cuales la funcin toma el valor t. La funcin de la figura toma el valor t en tres puntos diferentes del intervalo [a,b]. Diapositiva 9 Completitud de los Nmeros Reales Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Los resultados anteriores son profundos. El resultado principal para probarlos es la Completitud de los Nmeros Reales: Todo conjunto acotado y no vaco de nmeros reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores). Diapositiva 10 Usando el Teorema de los Valores Intermedios (1) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Problema Demostrar que la ecuacin cos(x) 2x = 0 tiene solucin. Hallar una aproximacin de la solucin con error 0 y f(1) = cos(1) 2 < 0, concluimos, por el Teorema de los Valores Intermedios, que existe un nmero c, 0 < c < 1, tal que f(c) = 0. Por tanto la ecuacin tiene una solucin entre 0 y 1. Solucin Diapositiva 11 Usando el Teorema de los Valores Intermedios (2) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Problema Demostrar que la ecuacin cos(x) 2x = 0 tiene solucin. Hallar una aproximacin de la solucin con error 0, la solucin c est entre 0 y . Tomamos como aproximacin de c, el punto medio del intervalo (0,). La aproximacin es ahora c . Repetimos: Como f() = cos() > 0, la solucin est entre y , y nuestra aproximacin es c, punto medio del intervalo (, ). Se repite lo anterior hasta encontrar un intervalo de longitud

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