Diapositiva 1 Propiedades de las Funciones Continuas Revisión de la definición de Funciones Continuas Teorema del máximo y mínimo Teorema de Bolzano Teorema de los Valores Intermedios Aplicaciones del Teorema de los Valores Intermedios Diapositiva 2 Funciones Continuas (1) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Definición 1 Una función que no es continua (en un punto o en un intervalo) se dice que es discontinua. Una función f es continua en el punto x 0 si Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo punto del intervalo. Función continua Función discontinua Diapositiva 3 Funciones Continuas(2) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Las siguientes funciones son continuas en los puntos donde toman valores finitos. 1.Polinomios – son funciones continuas siempre. 2.Funciones racionales. 3.Funciones definidas por expresiones algebraicas. 4.Funciones exponenciales y sus inversas. 5.Funciones trigonométricas y sus inversas. Diapositiva 4 Funciones Continuas(3) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Supongamos que f y g son funciones continuas. Teorema Las siguientes funciones son continuas: 1.f + g 2.f g 3.f / g supuesto que g 0, es decir es una función continua en todos los puntos x para los que g(x) 0. Diapositiva 5 Funciones Continuas(4) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Lema Corolario Supongamos que f es continua en g(x 0 ), g es continua en x = x 0, y que f g esté definida. Entonces f g es continua x = x 0. Supongamos que f es continua en g(x 0 ), g es continua en x = x 0, y que f g esté definida. Entonces El resultado anterior es consecuencia de la definición de continuidad. Se tiene inmediatamente el siguiente corolario. Diapositiva 6 Resultados importantes: El Teorema del Máximo-Mínimo Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Teorema del Máximo-Mínimo Una función continua en un intervalo cerrado alcanza máximo y mínimo en dicho intervalo. a b M Valor Máximo Valor Mínimo Gráfica de la Función g. En el intervalo cerrado [a,b] la función g alcanza su máximo en el punto M y su mínimo en el extremo b. Gráfica de la Función f. Esta función no es continua en x = c, y no alcanza máximo en el intervalo [a,b]. a b c Candidato a máximo de f en [a,b]. La función f no alcanza el valor máximo porque f(c) < 0. Diapositiva 7 Resultados importantes: El Teorema de Bolzano Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Teorema de Bolzano Sea f una función continua en un intervalo [a,b], a < b, y tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe u n punto c (a,b) tal que f(c) = 0. a b c Una función continua no puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0. a b Una función discontinua puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0. Diapositiva 8 Resultados importantes: El Teorema de los Valores Intermedios Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Aplicar el teorema de Bolzano a la función f(x) – t. Teorema Supongamos que f es continua en [a,b], y que t es un número entre f(a) y f(b). Entonces existe un número c [a,b] tal que f(c) = t. Prueba a b f(a) f(b) t Puede haber varios candidatos para el punto c en los cuales la función toma el valor t. La función de la figura toma el valor t en tres puntos diferentes del intervalo [a,b]. Diapositiva 9 Completitud de los Números Reales Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Los resultados anteriores son profundos. El resultado principal para probarlos es la Completitud de los Números Reales: Todo conjunto acotado y no vacío de números reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores). Diapositiva 10 Usando el Teorema de los Valores Intermedios (1) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Problema Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error 0 y f(1) = cos(1) – 2 < 0, concluimos, por el Teorema de los Valores Intermedios, que existe un número c, 0 < c < 1, tal que f(c) = 0. Por tanto la ecuación tiene una solución entre 0 y 1. Solución Diapositiva 11 Usando el Teorema de los Valores Intermedios (2) Funciones/Funciones Continuas/Propiedades. Problema Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error 0, la solución c está entre 0 y ½. Tomamos como aproximación de c, el punto medio del intervalo (0,½). La aproximación es ahora c ¼. Repetimos: Como f(¼) = cos(¼) – ½ > 0, la solución está entre ¼ y ½, y nuestra aproximación es c, punto medio del intervalo (¼, ½). Se repite lo anterior hasta encontrar un intervalo de longitud

Propiedades de las Funciones Continuas Revisión de la definición de Funciones Continuas Teorema del máximo y mínimo Teorema de Bolzano Teorema de los Valores.

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    14-Apr-2015

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