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Propiedades de las Funciones Continuas
Revisión de la definición de Funciones Continuas Teorema del máximo y mínimo Teorema de BolzanoTeorema de los Valores IntermediosAplicaciones del Teorema de los Valores Intermedios
Funciones Continuas (1)
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
limx x0
f x f x0 .
Definición 1Definición 1
Una función que no es continua (en un punto o en un intervalo) se dice que es discontinua.
Una función f es continua en el punto x0 si
Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo punto del intervalo.
Función continua Función discontinua
Funciones Continuas(2)
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
Las siguientes funciones son continuas en los puntos donde toman valores finitos.
1. Polinomios – son funciones continuas siempre.
2. Funciones racionales.
3. Funciones definidas por expresiones algebraicas.
4. Funciones exponenciales y sus inversas.
5. Funciones trigonométricas y sus inversas.
Funciones Continuas(3)
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
Supongamos que f y g son funciones continuas.
TeoremaTeorema Las siguientes funciones son continuas:
1. f + g
2. f g
3. f / g supuesto que g 0, es decir es una función continua en todos los puntos x para los que g(x) 0.
Funciones Continuas(4)
lim
x x0
fg x limx x0
f g x f limx x0
g x
f g x
0 .
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
LemaLema
CorolarioCorolario Supongamos que f es continua en g(x0), g es continua en x = x0, y que f ◦ g esté definida. Entonces f ◦ g es continua x = x0.
Supongamos que f es continua en g(x0), g es continua en x = x0, y que f ◦ g esté definida. Entonces
El resultado anterior es consecuencia de la definición de continuidad. Se tiene inmediatamente el siguiente corolario.
Resultados importantes: El Teorema del Máximo-Mínimo
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
Teorema del Máximo-MínimoTeorema del Máximo-Mínimo
Una función continua en un intervalo cerrado alcanza máximo y mínimo en dicho intervalo. a
bM
Valor Máximo
ValorMínimo
Gráfica de la Función g. En el intervalo cerrado [a,b] la función g alcanza su máximo en el punto M y su mínimo en el extremo b.
Gráfica de la Función f. Esta función no es continua en x = c, y no alcanza máximo en el intervalo [a,b].
a bc
Candidato a máximo de f en [a,b]. La función f no alcanza el valor máximo porque f(c) < 0.
Resultados importantes: El Teorema de Bolzano
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en un intervalo [a,b], a < b, y tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe u n punto c (a,b) tal que f(c) = 0.
ab
c
Una función continua no puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0.
ab
Una función discontinua puede pasar de valores negativos a positivos sin tomar el valor 0.
Resultados importantes: El Teorema de los Valores Intermedios
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
Aplicar el teorema de Bolzano a la función f(x) – t.
TeoremaTeorema Supongamos que f es continua en [a,b], y que t es un número entre f(a) y f(b). Entonces existe un número c [a,b] tal que f(c) = t.
PruebaPrueba
a
bf(a)
f(b)
t
Puede haber varios candidatos para el punto c en los cuales la función toma el valor t. La función de la figura toma el valor t en tres puntos diferentes del intervalo [a,b].
Completitud de los Números Reales
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
Los resultados anteriores son profundos. El resultado principal para probarlos es la Completitud de los Números Reales:
Todo conjunto acotado y no vacío de números reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores).
Todo conjunto acotado y no vacío de números reales tiene SIEMPRE extremos superior (la menor de las cotas superiores) y extremo inferior (la mayor de las cotas inferiores).
Usando el Teorema de los Valores Intermedios (1)
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
ProblemaProblema Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error <0.001.
Consideremos la función f(x) = cos(x) – 2x.
Claramente: cos(x) – 2x = 0 f(x) = 0. Por tanto tenemos que demostrar que la función f toma el valor 0.
La función f es claramente continua.
Como f(0) = 1 > 0 y f(1) = cos(1) – 2 < 0, concluimos, por el Teorema de los Valores Intermedios, que existe un número c, 0 < c < 1, tal que f(c) = 0.
Por tanto la ecuación tiene una solución entre 0 y 1.
Solución
Usando el Teorema de los Valores Intermedios (2)
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
ProblemaProblema Demostrar que la ecuación cos(x) – 2x = 0 tiene solución. Hallar una aproximación de la solución con error <0.001.
Sabemos que hay solución c entre 0 y 1. Tomamos como primera aproximación de la solución c, el punto medio del intervalo (0,1), es decir la aproximación es c ½. Para mejora la aproximación evaluamos f(½) = cos(½) – 1 < 0.
Solución
Como f(0) = 1 > 0, la solución c está entre 0 y ½. Tomamos como aproximación de c, el punto medio del intervalo (0,½). La aproximación es ahora c ¼. Repetimos: Como f(¼) = cos(¼) – ½ > 0, la solución está entre ¼ y ½, y nuestra aproximación es c ⅜, punto medio del intervalo (¼, ½). Se repite lo anterior hasta encontrar un intervalo de longitud <0.002 conteniendo la solución. El punto medio de ese intervalo es la aproximación deseada
Usando el Teorema de los Valores Intermedios (3)
Funciones/Funciones Continuas/Propiedades.
10
1ª iteración, c0.5
Solución (cont’d)Solución (cont’d)
Conocemos , por el teorema de los valores intermedios, que la solución está entre dos números para los cuales la función cambia de signo. Esto sucede entre 0 y 1, entre 0 y ½, y entre ¼ y ½, y así sucesivamente.
0.50
2ª iteración, c0.25
0.45018 0.450195
17ª iteración, c0.45018750
Cálculo en una variable
Autor: Mika SeppäläTraducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa